《高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）》（陽(yáng)平華）646-1教案 第9章 第12課 空間曲線及其方程

第第課空間曲線及其方程12空間曲線及其方程空間曲線及其方程第課12PAGE8 PAGE8PAGE7 PAGE7空間曲線及其方程空間曲線及其方程第課12

課題空間曲線及其方程課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）掌握空間曲線的一般方程、空間曲線的參數(shù)方程（2）了解曲面的參數(shù)方程（3）理解空間曲線在坐標(biāo)面上的投影思政育人目標(biāo)：通過(guò)學(xué)習(xí)空間曲線及其方程，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；樹立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：空間曲線的一般方程、空間曲線的參數(shù)方程教學(xué)難點(diǎn)：空間曲線在坐標(biāo)面上的投影教學(xué)方法講授法、問(wèn)答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第1節(jié)課：第2節(jié)課：知識(shí)講解（20min）（10min）→課堂小結(jié)（5min）教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識(shí)講解

（33min）【教師】講解空間曲線的一般方程，并通過(guò)例題介紹其應(yīng)用由第四節(jié)知，任何空間曲線都可以看作兩個(gè)曲面的交線．設(shè)，是曲面的方程，它們的交線為，如圖9-45所示．曲線上任何點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿足這兩個(gè)方程，即應(yīng)滿足方程組（9-14）同時(shí)，如果點(diǎn)不在曲線上，那么它不可能同時(shí)在兩個(gè)曲面上，即它的坐標(biāo)不滿足方程組（9-14）．因此，曲線可以用方程組（9-14）來(lái)表示．方程組（9-14）就稱為空間曲線C的一般方程．例1方程組表示怎樣的曲線？解方程組中第一個(gè)方程表示母線平行于軸的圓柱面，其準(zhǔn)線是面上圓心在原點(diǎn)、半徑為1的圓．方程組中第二個(gè)方程表示一個(gè)母線平行于軸的柱面，由于它的準(zhǔn)線是面上的直線，因此它是一個(gè)平面．方程組表示上述平面與圓柱面的交線，如圖9-46所示．例2方程組表示怎樣的曲線？解方程組中第一個(gè)方程表示球心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的上半球面．第二個(gè)方程表示母線平行于軸的圓柱面，它的準(zhǔn)線是面上的圓，這圓的圓心在點(diǎn)，半徑為．方程組表示上述半球面與圓柱面的交線，如圖9-47所示．圖9-46圖9-47【學(xué)生】掌握空間曲線的一般方程【教師】講解空間曲線的參數(shù)方程，并通過(guò)例題介紹其應(yīng)用空間曲線的方程除了一般方程之外，也可以用參數(shù)方程來(lái)表示，即把空間曲線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示為參數(shù)的函數(shù)，其一般形式是（9-15）方程組（9-15）稱為空間曲線的參數(shù)方程．當(dāng)給定時(shí)，就得到上的一個(gè)點(diǎn)，隨著參數(shù)的變動(dòng)便得曲線上的全部點(diǎn)．例3如果空間點(diǎn)在圓柱面上以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以線速度沿平行于軸的正方向上升（其中都是常數(shù)），那么點(diǎn)構(gòu)成的圖形稱為螺旋線．試建立其參數(shù)方程．分析關(guān)鍵是確定參數(shù)．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)角速度和線速度，則動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)與時(shí)間有關(guān)，可以以時(shí)間為參數(shù)．解取時(shí)間為參數(shù)．當(dāng)時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)位于軸上的一點(diǎn)處．經(jīng)過(guò)時(shí)間，圖9-48動(dòng)點(diǎn)由運(yùn)動(dòng)到，如圖9-48所示．在面上的投影記為，的坐標(biāo)為．由于動(dòng)點(diǎn)在圓柱面上以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，所以經(jīng)過(guò)時(shí)間，．從而圖9-48．由于動(dòng)點(diǎn)同時(shí)以線速度沿平行于軸的正方向上升，所以．因此，螺旋線的參數(shù)方程為也可以用其他變量作參數(shù)．例如，令，則螺旋線的參數(shù)方程可寫為其中，，為參數(shù)．螺旋線有一個(gè)重要的性質(zhì)：當(dāng)從變到時(shí)，從變到，說(shuō)明當(dāng)轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)，點(diǎn)沿螺旋線上升了，即上升的高度與旋轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比．當(dāng)旋轉(zhuǎn)過(guò)一周時(shí)，點(diǎn)上升的高度為，這個(gè)高度在工程技術(shù)上稱為螺距.【學(xué)生】掌握空間曲線的參數(shù)方程學(xué)習(xí)空間曲線的一般方程、空間曲線的參數(shù)方程。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)（10min）【教師】出幾道測(cè)試題目，測(cè)試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過(guò)程【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過(guò)測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象第二節(jié)課知識(shí)講解

（20min）【教師】講解曲面的參數(shù)方程曲面的參數(shù)方程通常含有兩個(gè)參數(shù)，形如例如，空間曲線（9-16）繞軸旋轉(zhuǎn)，所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為（9-17）這是因?yàn)?，參?shù)方程（9-16）固定一個(gè)，得曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)繞軸旋轉(zhuǎn)，得空間的一個(gè)圓，該圓在平面上，其半徑為點(diǎn)到軸的距離，因此，固定的方程（9-17）就是該圓的參數(shù)方程．再令在內(nèi)變動(dòng)，方程（9-17）便是旋轉(zhuǎn)曲面的方程．例如，球面可看成面上的半圓周繞軸旋轉(zhuǎn)所得，故球面方程為．圓柱面可看成面上直線繞軸旋轉(zhuǎn)所得，故圓柱面方程為．【學(xué)生】了解曲面的參數(shù)方程【教師】講解空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線的一般方程為（9-18）由方程組（9-18）消去后得到方程．（9-19）由于方程（9-19）是由方程組（9-18）消去后所得的結(jié)果，因此，如果點(diǎn)的坐標(biāo)值滿足方程組（9-18），則一定滿足方程（9-19），說(shuō)明曲線上的所有點(diǎn)都在方程（9-19）所表示的曲面上，方程（9-19）表示母線平行于軸的柱面，這柱面包含著曲線．定義以曲線為準(zhǔn)線，且母線平行于軸的柱面稱為曲線關(guān)于面的投影柱面．這個(gè)投影柱面與面的交線稱為空間曲線在面上的投影曲線，如圖9-49所示．投影曲線的方程為圖9-49同理可得，曲線在面或面上的投影曲線方程為或例4求球面與平面的交線在面上的投影方程．解由得，代入得．這是母線平行于軸，準(zhǔn)線為球面與平面交線的柱面方程，即投影柱面方程．因此，所求投影曲線方程為例5求由上半球面和錐面所圍成的立體在面上的投影，如圖9-50所示．圖9-50解由方程和消去得到．這是一個(gè)母線平行于軸的圓柱面，恰好是半球面與錐面的交線關(guān)于面的投影柱面，因此交線在面上的投影曲線方程為這是面上的一個(gè)圓．于是所求立體在面上的投影，就是該圓在面上所圍的部分，即．【學(xué)生】理解空間曲線在坐標(biāo)面上的投影學(xué)習(xí)曲面的參數(shù)方程、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化問(wèn)題討論

（10min）【教師】組織學(xué)生討論以下問(wèn)題1．給定一條空間曲線，其一般方程是否唯一？2．已知空間曲線的參數(shù)方程是如何求它繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程？【學(xué)生】討論、發(fā)言通過(guò)課堂討論，活躍課堂氣氛，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解課堂測(cè)驗(yàn)（10min）【教師】出幾道測(cè)試題目，測(cè)試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過(guò)程【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過(guò)測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象課堂小結(jié)

（5min）【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課介紹了空間曲線的一般方程及參數(shù)方程；重點(diǎn)討論了空間曲線關(guān)于坐標(biāo)面的投影，例如，由方程組消去后得到曲線關(guān)于坐標(biāo)面的投影柱面方程，曲線在面上的投影曲線方程為。課后要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知。【學(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)【教師】布置課后作業(yè)：習(xí)題9.7總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，鞏固印象教學(xué)反思本節(jié)