教學(xué)案例撰寫與小課題研究

2021年9月教學(xué)案例與小課題研討

石河子教育局教研室

蔣新討的問題一、教學(xué)案例的特征、意義二、教學(xué)案例的類型、文本要素三、如何撰寫教學(xué)案例四、教學(xué)案例賞析五、關(guān)于小課題研究的常識與方法

案例是建立在典型事物發(fā)生的真實情節(jié)根底之上的，并基于詳細的資料〔影像資料和書面報告〕以及對當事人的訪分析后所形成的過程和結(jié)論的記述。醫(yī)學(xué)-----病例研究法學(xué)-----案例研究軍事-----戰(zhàn)例研究教育-----教例研究case---“事件〞；“具有典型和普遍意義的事件〞。

案例的特征、意義1、案例的含義

2、教學(xué)案例教學(xué)案例：把一個真實的、已經(jīng)發(fā)生的，包含有某些解決疑難問題以及師生典型行為、思想、感情在內(nèi)的教學(xué)故事加以描述，并反映分析其產(chǎn)生原因、問題解決方法及經(jīng)驗教訓(xùn)等的一種文章體裁。一般針對某一教學(xué)內(nèi)容的施教活動或具體的教學(xué)情境真實的描述。它表達了教學(xué)設(shè)計、教學(xué)過程的片段和剖析、教學(xué)反思、總結(jié)等內(nèi)容。教學(xué)案例不僅記敘教學(xué)行為，還記錄伴隨行為而產(chǎn)生的思想，情感及靈感，反映教師在教學(xué)活動中遇到的問題、矛盾、困惑，以及由此而產(chǎn)生的想法、思路、對策等。它既有具體的情節(jié)和過程，真實感人，又從教育理論、教學(xué)方法、教學(xué)藝術(shù)的高度進行歸納、總結(jié)，悟出其中的育人真諦，予人以啟迪。

教學(xué)案例是事先預(yù)計的，事中在預(yù)料之外的，事后有所遺憾的故事。

----顧泠沅

(1)客觀性〔真實性〕：來自教育教學(xué)實踐，事例的經(jīng)過與結(jié)果是真實的，如實反映了事實的本來面目。(2)典型性：一般是最具有代表性的、最能反映事物本質(zhì)的有價值的實例。它最能顯示同一類事物的共同特征、意義，通過對一個事例的研究，就能探索同一類事例相同的內(nèi)在規(guī)律，這一事例具有很強的標準性、聯(lián)系性。(3)指導(dǎo)性：是本案例具有啟發(fā)遷移作用，對其他事例的分析與處理具有借鑒意義和啟示作用。(4)鮮明性：具有時代感，有明確的指向，富有鮮明的個性。3、教學(xué)案例的根本特征4、案例與論文、教學(xué)實錄、教案、教學(xué)設(shè)計的區(qū)別〔1〕案例與論文：論文----論文是以說理為目的，以議論為主，論據(jù)以案例說明。案例----以記錄為目的，以記敘為主，兼有議論和說明，即案例是講一個故事，是通過故事說明道理。寫作思路-----論文寫作一般是一種演繹思維，思維的方式是從抽象到具體；案例寫作是一種歸納思維，思維的方式是從具體到抽象。論文闡述科學(xué)論點以說理為目的主要以論述的方式一般是演繹思維從抽象到具體教學(xué)案例講述教學(xué)故事以描述為目的主要以記敘的方式一般是歸納思維從具體到抽象從特殊到一般4、案例與論文、教學(xué)實錄、教案、教學(xué)設(shè)計的區(qū)別〔2〕案例與教學(xué)實錄：體例比較接近，它們都是對教學(xué)情景的描述，但教學(xué)實錄是有聞必錄，而案例那么是有所選擇的，教學(xué)案例是根據(jù)目的和功能選擇內(nèi)容，并且必須有作者的反思〔價值判斷或理性思考〕?！?〕案例與教案、教學(xué)設(shè)計-----都是事先設(shè)想的教學(xué)思路，是對準備實施的教學(xué)措施的簡要說明，教案和教學(xué)設(shè)計寫在教之前，是實施教學(xué)目標和過程、環(huán)節(jié)的一種預(yù)期。教學(xué)案例是對已經(jīng)發(fā)生的教學(xué)過程的反映，案例寫在教學(xué)之后；是結(jié)果到達什么水平的真實記錄。教學(xué)設(shè)計教學(xué)前事先的設(shè)想、構(gòu)思思路流程完整的教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)活動教學(xué)預(yù)期教學(xué)實錄教學(xué)時實施的過程、實踐有聞必錄詳細的師生對話記錄教學(xué)活動教學(xué)達到的記錄教學(xué)案例教學(xué)后事件的發(fā)生、結(jié)果反思評析選擇的教學(xué)場景描述教學(xué)得失教學(xué)過程后有價值的記錄及分析總結(jié)

案例與教案、教學(xué)設(shè)計、教學(xué)實錄的區(qū)別

個案研究對個人或小集體進行的詳細的觀察或測驗的方法。經(jīng)常作為進行更大范圍研究的一種準備。個案研究所用的具體方法隨研究的目的和研究的對象為轉(zhuǎn)移?！?〕研究對象的選擇：必須具有典型性、代表性；〔2〕材料的積累：必須較全面地記錄關(guān)于研究對象的個案材料；〔3〕對所擁有的資料做出任務(wù)分析和解釋，并根據(jù)實際需要提出處理的措施。①課改②鄧小平理論5、教學(xué)案例研究及其價值價值：收集以先進的教育的理念為指導(dǎo)的成功的和教學(xué)中的不經(jīng)意的錯誤的教學(xué)案例，并進行實證分析，成為進一步研究和提高課堂教學(xué)水平的一個突破口。

豐富的案例及其點評，將為廣闊教師提供在課堂教學(xué)中落實素質(zhì)教育的示范性作法，科學(xué)有效，富有創(chuàng)意的課堂教學(xué)策略將為改革課堂教學(xué)提供理論性的指導(dǎo)；

通過案例研究，升華實驗假說或理論，豐富數(shù)學(xué)教育學(xué)、數(shù)學(xué)教育心理學(xué)、素質(zhì)教育及其方法論的理論，可以使某些感性的實驗結(jié)果理性化得到推廣。二、教學(xué)案例的文本要素

〔1〕背景：案例需要向讀者交代故事發(fā)生的有關(guān)情況：時間、地點、人物、事情的起因等。例如介紹一堂課，就有必要說明這堂課是在什么背景情況下上的，是一所重點學(xué)校還是普通學(xué)校，是一個重點班級還是普通班級，是有經(jīng)驗的優(yōu)秀教師還是年青的新教師執(zhí)教，是經(jīng)過準備的“公開課〞還是平時的“家常課〞，等等。背景介紹并不需要面面俱到，重要的是說明故事的發(fā)生是否有什么特別的原因或條件。1、教學(xué)案例文本的一般要素1、教學(xué)案例文本的一般要素(2)主題：每篇案例要有一個鮮明的主題，寫案例首先要考慮案例想通過什么問題現(xiàn)象來反映或傳播一種教育思想，即主題指案例所說明的教育思想的主題，而不僅是教學(xué)內(nèi)容的主題。案例的主題，是案例描述的人物行為、事件所顯示出來貫穿于全篇的根本思想，它是案例撰寫者對事例經(jīng)過描述、綜合分析及案例題材、背景的處理與提煉而得出來的思想結(jié)晶，是案例的靈魂。撰寫時須有一定的理論水平，并且簡明扼要。關(guān)于案例的標題例1：在實踐中開展學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺----?一次函數(shù)的應(yīng)用?的教學(xué)與反思例2：課堂是學(xué)生主動學(xué)習(xí)的場所1、教學(xué)案例文本的一般要素〔3〕情境描述〔細節(jié)〕：

是案例撰寫的主體。根據(jù)主題，對原始材料進行篩選。首先需要教師對課堂教學(xué)中師生雙方(外顯的和內(nèi)隱的)活動的清晰感知，然后是有針對性地向讀者交代特定的情境，把關(guān)鍵性的細節(jié)寫清楚。

注意情境描述不等同于課堂實錄，案例描述應(yīng)該是一種經(jīng)過文學(xué)加工過的具有教育價值的作品片斷。1、教學(xué)案例文本的一般要素〔4〕結(jié)果：一般來說，教案和教學(xué)設(shè)計只有設(shè)想的措施而沒有實施的結(jié)果，教學(xué)實錄通常也只記錄教學(xué)的過程而不介紹教學(xué)的效果；而案例那么不僅要說明教學(xué)的思路、描述教學(xué)的過程，還要交代學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，即這種教學(xué)措施的即時效果，包括學(xué)生的反映和教師的感受等。一般以問題為主線，有矛盾、沖突甚至懸念，能引起讀者興趣和深入思考。1、教學(xué)案例文本的一般要素〔5〕評析〔反思〕：評析或反思是在記敘根底上的議論，對于案例所反映的主題和內(nèi)容，包括教育教學(xué)指導(dǎo)思想、過程、結(jié)果，對其利弊得失，作者要有一定的看法和分析。評析或反思意在進一步揭示事件的意義和價值，評析可以是自評，就事論事，有感而發(fā)，也可請專家點評、深化。案例:創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計中一個遺憾背景：時間：2021年5月15日上午第一節(jié)地點：某學(xué)校七年級某班科目：七年級數(shù)學(xué)課型：新授課課題：?多邊形及其內(nèi)角和?〔人教版七下〕授課教師：2002年從教的某老師素材提供：該授課老師案例整理：蔣新林主題：創(chuàng)新教學(xué)就是以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素質(zhì)為根本價值取向的教學(xué)實踐活動。創(chuàng)新教學(xué)要求教師在教學(xué)目標明確“教什么〞的根底上，解決教師“如何創(chuàng)新教〞和學(xué)生“如何創(chuàng)新學(xué)〞的問題?！皩W(xué)會——會學(xué)——創(chuàng)新學(xué)〞，循環(huán)上升，不斷開展學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)動力。創(chuàng)新教學(xué)的原那么：學(xué)為主體，教為主導(dǎo)，疑為主軸，動為主線。數(shù)學(xué)教學(xué)給學(xué)生提供了條理清晰的、嚴謹周密的數(shù)學(xué)知識體系，能為學(xué)生日后的創(chuàng)新打好堅實的理論根底。尤其是在教學(xué)中滲透創(chuàng)新性原那么后，學(xué)生全過程地參與到知識的發(fā)生發(fā)現(xiàn)及運用過程，體會到數(shù)學(xué)中蘊藏的歸納、演繹、化歸、類比等這些在各個學(xué)科中都會用到的方法。以下這個教學(xué)案例?多邊形的內(nèi)角和?，教師試圖一改正去“作輔助線----把多邊形化成假設(shè)干個三角形---以三角形的內(nèi)角和求多邊形的內(nèi)角和〞的傳統(tǒng)教法，但在創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計中出了紕漏。聽課后頗有感觸，信手寫來，和同行們同感共勉。情境描述〔細節(jié)〕：師1：同學(xué)們，今天我們一起來做一個剪紙數(shù)學(xué)實驗。請你們拿出準備好的一把剪刀、一些三角形紙片，依次減去三角形紙片的一個角，觀察每一次得到的是一個什么圖形？生1：是一個四邊形。眾生：我也剪出的是一個四邊形。師2：很好！同學(xué)們都剪出了一個四邊形，那么你能通過原三角形和剪去的三角形求出四邊形的內(nèi)角和嗎？眾生：經(jīng)過約5分鐘思考，答復(fù)是360度。生2：老師,我剪出的還是一個三角形〔如圖〕這時，學(xué)生嘩然…..,教師也極為不悅：淘氣搗蛋，誰讓你這樣剪的，坐下!結(jié)果：于是乎，教師按照事先的“教學(xué)算計〞繼續(xù)展示其歸納的高招：四邊形剪去一個角，得到的圖形是五邊形,由四邊形的內(nèi)角和是360°可以得到：五邊形的內(nèi)角和是540°.以此類推……結(jié)論：n邊形剪去一個角后，得到n+1邊形；n邊形的內(nèi)角和是(n-2)·180°.問題：假設(shè)我們剪去的是四邊形的一個角，得到的究竟是什么圖形？師生歸納不難得出：四邊形剪去一個角，得到的圖形分別是三角形，四邊形，五邊形。師：假設(shè)我們剪去的是n〔n>3)邊形的一個角，得到什么圖形呢？師生歸納可以得到：得到的圖形分別是〔n-1)邊形、n邊形、〔n+1)邊形?！?由此，即保護了學(xué)生探究的積極性，又使創(chuàng)造性教學(xué)設(shè)計合情合理。案例評析：評析：學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體、開展的主體，學(xué)生的學(xué)習(xí)和開展，只有通過他們自己的學(xué)習(xí)實踐活動才能實現(xiàn)。具體到數(shù)學(xué)教學(xué)中而言：數(shù)學(xué)概念、定理教學(xué)的根本目標是幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念，掌握定理的實質(zhì)和其中的數(shù)學(xué)思想方法。這就需要學(xué)生進行積極復(fù)雜的心理加工活動，不是教師簡單灌輸和學(xué)生的死記硬背所能奏效的。上面?多邊形的內(nèi)角和?的探究活動中，應(yīng)該說教師的教學(xué)設(shè)計是富有創(chuàng)造性的。但是沒有注意圖形在“剪去一個角后〞的多種情況，誤傷了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，失去了一次培養(yǎng)學(xué)生分類歸納能力的絕好時機，實屬可惜！好在教學(xué)研究相長，我們可以不斷賞識到學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的閃光之處，反思自己的失誤和教訓(xùn)，使教學(xué)的生命之樹常青。

畫外音：把一個矩形剪去一個角，還有幾個角？3個角4個角5個角

把一個矩形剪去一個角---還有幾個角？對問題的考慮：①是剪去一個角還是只剪去一個角？②剪的路徑是直線？折線？曲線？三、如何撰寫教學(xué)案例？選擇事例：關(guān)注在教學(xué)過程中，反映生成性問題、典型性問題的教學(xué)事例；關(guān)注突發(fā)性教學(xué)事件的處理方法；關(guān)注在教師解決問題過程中的新思想、新理念、新方法和新策略。寫作方法：主要采取描述的方法，用第一人稱或第三人稱；生動具體，有詳有略，重點突出。1.撰寫前的準備

2.如何進行案例描述〔1〕怎樣寫案例細節(jié)一、選擇一個好的教學(xué)情境。二、注意描述教師所關(guān)注教學(xué)事件。三、注意描寫教師和學(xué)生的心理。四、注意闡述教學(xué)事件獨特的思考?！?〕怎樣寫案例結(jié)果一、表達學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性;二、反映常規(guī)教學(xué)中的自然狀態(tài);三、突出教學(xué)過程中的主要矛盾。3.怎樣撰寫案例評析案例的評析是教學(xué)案例撰寫的升華階段，主要說明對案例教學(xué)事件的看法和分析，進一步揭示教學(xué)事件的意義和價值。主要任務(wù)：評析學(xué)習(xí)的效果，反思教學(xué)理念，提煉教學(xué)經(jīng)驗與汲取教訓(xùn)等。主要方式：可以是自評，就事論事，有感而發(fā)；也可以是他人的點評。寫作方法：采取闡述方式和概括手法，用準確的語言把所提煉的教學(xué)理念、總結(jié)的教學(xué)經(jīng)驗、教訓(xùn)表達出來。根本要求：以新的教育思想、教學(xué)理念為指導(dǎo)，結(jié)合自己〔或他人〕的教學(xué)實踐活動所進行的思考與分析。程

序方

法1、搜集資料回憶教學(xué)過程、觀察課堂教學(xué)、分析教學(xué)錄像帶，進行教學(xué)訪談。2、整理分析①定性分析（歸因分析，從主客觀的角度找出疑難或兩難問題歸類分析，形成一定的觀點、策略）。②定量分析（可以使用數(shù)據(jù)、表格以及統(tǒng)計方法）。3、確定主題有啟發(fā)性、思辯性。用準確、理性的語言概括。4、撰寫初稿列出提綱，按教學(xué)案例的結(jié)構(gòu)和“標準”來寫。5、集體研討召集三、四名教師集體討論，就其內(nèi)容和表現(xiàn)形式提出修改意見。6、修改定稿整體把握，突出主題；反復(fù)閱讀、潤色、補充資料。撰寫案例的一般程序和方法

4.平時注意搜集案例素材——要有一雙發(fā)現(xiàn)的眼睛；

——要有一種自覺的行為；

——要有一種反思的習(xí)慣；

——要有一個實踐的共同體。例題：圖中的線段、射線、直線有多少條，你能表示嗎？CAB答：有3條線段，分別是線段AB、線段AC、線段BC有6條射線，只有一條直線，是直線AB素材1---線段射線直線按以下語句畫出圖形．

練習(xí)cbaO〔3〕經(jīng)過點O的三條線段a、b、c；o素材2-------三線八角錯了嗎？12345678abcAB圖112345678abc9101112CAB圖2素材3：直線與圓的位置關(guān)系三、例題講解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,以C為圓心，以r為半徑的圓與AB有怎樣的位置關(guān)系？為什么？①r=2cm;②r=2.4cm;③r﹥2.4cm.進一步討論：當r滿足

時，

⊙C與AB相離；當r滿足

時，

⊙C與AB相切；當r滿足

時，

⊙C與AB相交。案例研究：把直線與圓的位置關(guān)系演變?yōu)榫€段與圓的位置關(guān)系，概念的屬性發(fā)生了變化，判定方法已經(jīng)不適用！如果是考慮有利于學(xué)生靈活地掌握根本概念；但立足未穩(wěn)就急于求變，不利于掌握根底知識！ABCD四、練習(xí)穩(wěn)固1、⊙O的半徑為5cm,點O與直線a的距離為3cm,那么⊙O與直線a的位置關(guān)系是；直線a與⊙O的公共點個數(shù)是。2、⊙O的直徑是11cm,點O與直線a的距離為5.5cm,那么⊙O與直線a的位置關(guān)系是；直線a與⊙O的公共點個數(shù)是。3、⊙O的直徑為10cm,點O與直線a的距離為7cm,那么⊙O與直線a的位置關(guān)系是；直線a與⊙O的公共點個數(shù)是。4、直線m上一點A到圓心O的距離等于⊙O的半徑，那么直線m與⊙O的位置關(guān)系是。5、假設(shè)A、B是⊙O外兩點，那么直線AB與⊙O的位置關(guān)系是。案例研究：1、為什么要用“點線距〞來判定直線與圓的位置關(guān)系，而不用“點點距〞來判定？2、在定義、法那么教學(xué)時，是只從正面強加給學(xué)生還是以開展的觀點，多側(cè)面地呈現(xiàn)給學(xué)生？素材4：創(chuàng)設(shè)問題情境中的“現(xiàn)代西游記〞情境1〔數(shù)列的應(yīng)用〕：同學(xué)們，孫悟空與豬八戒去西天取經(jīng)，孫悟空對豬八戒說：我愿意在一個月內(nèi)每天給你100元錢，但在這個月內(nèi)，你必須第一天回扣我1分錢，第二天回扣我2分錢…，即后一天回扣給我的錢數(shù)是前一天的2倍〞。請問：孫悟空和豬八戒的這個交易誰會盈利？

情境2〔平行四邊形的判定):同學(xué)們，唐僧師徒經(jīng)過九九八十一難取得真經(jīng)后，佛祖要獎勵他們，在獎勵之前佛祖要考悟空，題目是：E、F是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點,并且AE=CF,求證：四邊形BFDE是平行四邊形。素材5：指數(shù)函數(shù)圖象間的關(guān)系人教A版P55:用描點法畫出函數(shù)的圖象，再畫出函數(shù)的圖象.思考：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？可否利用的圖象畫出的圖象？y

1ox

圖2.1-2x

圖2.1-3y

1oP76探索與發(fā)現(xiàn)【案例1】一次舞會的盈利額p同售票數(shù)x之間的關(guān)系圖〔其中保險部門規(guī)定：人數(shù)超過150的時候，需繳納一定的公安保險等費用〕，請求出它的函數(shù)表達式，并寫一段文字對圖像從不同角度〔如本錢，賺錢，賠本等方面〕加以解釋。

素材6、國外問題教學(xué)法兩例

030100150172200x(張)-200

P(元)1200900550層次指標學(xué)生解答舉例得分第一層次

能寫出分段函數(shù)表達式，但不會對圖像作出解釋3第二層次會求表達式，對圖像的理解膚淺這舞會成本少，總的來說利潤上升，可以賺錢5第三層次會求表達式，能分三段分述利潤變化情況若票數(shù)少于30，舞會就要賠本，票數(shù)在30<n<150,利潤持續(xù)上升，票數(shù)在150至200人時利潤先略有下降后再上升可達最高。6第四層次會求表達式，會對圖象各段及間斷點做出較合理的解釋票數(shù)少于30，舞會就要賠本；票數(shù)在0至于150之間，成本較少，利潤上升；票數(shù)在150至172之間時成本增大，利潤跌落；票數(shù)大于172時利潤又上升并在世200人時達最高。8第五層次會求表達式，對圖象中的數(shù)字、間斷點、增減性能結(jié)合實際進行合理的解釋圖象是一條分段函數(shù)，從第一段圖象可知，當參加舞會的人少于30時，所得收益不足以支付其成本，就賠本了；當票數(shù)超過30時，收益開始平衡并出現(xiàn)利潤，到150人入場式利潤最大；但當超過150人后，就要繳納保險費使利潤不能持續(xù)增長出現(xiàn)下滑，但隨著票數(shù)增長，利潤也再次回升并收得更多利潤，從172人開始后，先平前記錄并再創(chuàng)更高利潤。10【案例2】蘋果樹與防風(fēng)林：一個農(nóng)夫在一塊方形地里種蘋果樹。為了防止風(fēng)對果樹的侵襲，他在果園的四周種了針葉樹。如圖，從圖中你可以看到果樹和針葉樹的排列狀況，用n表示蘋果樹的行數(shù)?！粒结樔~樹

●＝蘋果樹問題1：完成表格n

蘋果樹數(shù)量針葉樹數(shù)量12345問題2：有兩個公式你可以用來計算上圖所示的針葉樹和蘋果樹的數(shù)量。蘋果樹數(shù)量＝n2;針葉樹數(shù)量＝8n,請找出n為何值時，蘋果樹和針葉樹數(shù)量相等，并說明你的計算方法;問題3：假設(shè)農(nóng)夫想要擴建果園并種植更多的果樹，問蘋果樹和針葉樹中哪一種會由于果園的擴建而增加的更快？解釋你怎樣得出答案。四、教學(xué)案例賞析案例1：難道不是數(shù)學(xué)問題嗎？背景：2021年6月某學(xué)校、課題：?8.2消元〔1〕?〔人教版七下〕情節(jié)：體育節(jié)快到了，籃球是初一〔1〕班的拳頭工程。為了取得好名次，他們想在全部22場比賽中得到40分。每場比賽都要分出勝負，勝隊得2分，負對得1分，那么初一〔1〕班應(yīng)該勝、負各幾場？解：設(shè)初一〔1〕班勝x場，負y場，根據(jù)題意得：①②②-①可得：代入①可得：.所以勝18場，負4場.這時有一位男生舉手提問：老師，有一點我不明白，①的等量關(guān)系是場次，②的等量關(guān)系是得分。那么②-①表示的是場次減得分，相減后差的意義是什么呢？在解方程中不同單位的量可以想減嗎？結(jié)果：老師想了想說，你很聰明，觀察的也很仔細！但這不是一個數(shù)學(xué)問題，我們下來再交流好嗎？評析：數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系科學(xué)。研究數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)要求。方程法是一種直接的方法，列方程時是把未知量設(shè)為字母(如x、y)，然后把字母(x、y)作為量參與計算，最終得到等式的過程。在具體解方程時，要考慮等式中“量〞的屬性，如本例中“勝的場次+敗的場次=總場次，勝的得分+敗的得分=總得分〞，不同的“量〞是不能相加減列等式的,在相關(guān)的物理學(xué)科中更是要考慮單位〔量綱〕問題。但是等量關(guān)系一旦列出，具體到解方程時，我們主要考慮的是“數(shù)〞的關(guān)系，即抽象為含有未知數(shù)的等式，而不考慮其“量〞的屬性是“場次〞或“得分〞。這也正是方程與算數(shù)的本質(zhì)區(qū)別。從算數(shù)角度考慮，不同屬性的量相減也不是沒有意義。一堆蘋果50個，一筐雞蛋32個。算式50-32=18中，減法的意義表示蘋果比雞蛋多18個。本例中“②-①表示的意義〞并非不可解釋，可以是“場數(shù)〞比“得分數(shù)〞多18。案例2、由“勾股定理〞引起的“質(zhì)疑〞之聲

-----石河子第二十八中學(xué)馬飛【案例主題】：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不僅僅只是接受、記憶、模仿和練習(xí)，數(shù)學(xué)課程還應(yīng)提倡自主探索、動手實踐、合作交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。因此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動應(yīng)該是學(xué)生主動探索、合作交流的過程。2021年4月20日，在我校八〔一〕班上的一次常態(tài)課上，我和學(xué)生們一起學(xué)習(xí)了?義務(wù)教育課程標準實驗教科書?人教版八年級下冊第十八章第一節(jié)?勾股定理?的第二課時．本節(jié)內(nèi)容是對上節(jié)課勾股定理相關(guān)知識的延展和升華，本節(jié)課的重點是利用該夠定理解決一些實際問題，難點是能把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)知識去解決。現(xiàn)對其中的一個探究環(huán)節(jié)中出現(xiàn)的教師意料之外的方法做一個案例說明?！景咐枋觥浚何覀兦懊鎺坠?jié)課學(xué)習(xí)了勾股定理及其表示，還學(xué)習(xí)了幾組常見的勾股數(shù)。利用勾股定理我們可以解決很多幾何圖形中未知的量。但是勾股定理的實際應(yīng)用也是非常廣泛的。比方我們可以利用此定理解決一些高度不可測、廣度不可測、曲面不可測、異面不可測等問題。但難點都在于如何建立數(shù)學(xué)模型，并利用相關(guān)的知識去解決它，并總結(jié)相關(guān)規(guī)律上升到理性認識。在當時的教學(xué)過程中就有這樣一道探究題：如圖，一架2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時梯子底部B到墻底端的距離為0.7米，考慮爬梯子的穩(wěn)定性，現(xiàn)要將梯子頂部A沿墻下移0.4米到A′處，問梯子底部B將外移多少米？

問題一出來,很多同學(xué)都說梯子下滑和外移的距離都是一樣的,但是經(jīng)過如下計算其實不然。解題過程如下：解：在Rt△ABC中，∵AB=2.5，BC=0.7，∴AC===2.4米，又∵AA′=0.4，∴A′C=2.4-0.4=2，在Rt△A′B′C中，B′C===1.5米，

2.4-1.5=0.8米．故：梯子底部B外移1.5-0.7=0.8米．話音剛落，就有一個學(xué)生提出來：我怎么看著下滑和外移的距離是一樣的?。侩y道就沒有一樣的情況嗎？緊接著他提出來：“老師你能不能換個梯子，換個擺法？〞“選一個5m的梯子，讓其底端距離墻面3m，那么此時梯子上端下滑1m下端就外移1m〞,因為當時上課任務(wù)比較重,我沒有立即對他進行評價而是轉(zhuǎn)為課下和他單獨交流。經(jīng)過交流現(xiàn)將他的發(fā)現(xiàn)總結(jié)如下：1、梯子上端下滑和下端外移相等的情況：當梯子和垂直的墻面構(gòu)成直角三角形，并且三邊必須是3k，4k，5k〔k為正整數(shù)〕時，梯子上端下滑〔4k-3k〕個單位時，下端也同時外移〔4k-3k〕個單位.如以下圖所示：如果AB=5k，BC=3k，AC=4k，AA′=k，那么BB′=k對于所有的形式上是3k，4k，5k〔k為正整數(shù)〕的勾股數(shù)都成立.2、對于一些不滿足第一種情況的“梯子〞也有上端下滑和下端外移等距的情況：例如：一架2.5長的梯子AB斜靠在墻AC上，這是梯子低端B點到墻角C的距離為0.7米，試探究，有沒有可能梯子頂端沿著墻垂直下滑的距離與梯子低端外移的距離恰好相等？解：設(shè)梯子沿墻下降了x米。即梯頂點距地2.4-x梯子底向外走了x米。梯子底離墻距離為0.7+x梯子的長不變，所以有：(0.7+x)^2+(2.4-x)^2=2.5^2x=0(舍去),x=1.7當x=1.7時1.7+0.7=2.4<2.52.4-1.7=0.7>0所以AA′=BB′成立.【案例分析】：本節(jié)課雖然練習(xí)題設(shè)置了下滑和外移不等距的情況，旨在顛覆學(xué)生的直觀認識，鍛煉學(xué)生探究，質(zhì)疑的學(xué)習(xí)精神，但是該生愛鉆“牛角尖〞，卻鉆出了很多道理，在鉆的同時利用到了很多數(shù)學(xué)知識，而且用的都很到位,其實也同樣到達掌握運用知識的效果，而且自主性更強。雖然兩種情況很特殊，條件比較嚴格而且似乎對實際沒有太大的指導(dǎo)作用但是卻加深了對勾股定理公式的理解，并激起了學(xué)生的質(zhì)疑精神的,勇于探索不服輸?shù)木?，我想這點是非常重要的?！景咐此肌浚喊凑招抡n程的要求敢于讓學(xué)生質(zhì)疑，不怕學(xué)生打斷自己的“方案〞教學(xué)，我做的還不夠.課堂上鼓勵學(xué)生質(zhì)疑對活潑課堂氣氛，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，提高課堂教學(xué)效果，肯定會起到非常大的推動作用。數(shù)學(xué)教育需要質(zhì)疑嗎？從多數(shù)教師的眼光看，這個必要性并不迫切，對數(shù)學(xué)教學(xué)而言，廣闊教師習(xí)慣了講授，傳授自己的知識，對于學(xué)生而言,老師所說的每一句話都是“公理〞哪怕是老師不經(jīng)意間的犯錯都被認為是成心給學(xué)生挖的“陷阱〞，而敢于質(zhì)疑，勇于探索學(xué)習(xí)變被動接受為主動探究的還很少。課堂教學(xué)成了我的任務(wù)，我的目標僅僅變成了完成任務(wù)而不是按照學(xué)生的認知水平去探究知識。事實上，我想我的課堂應(yīng)該是機械的、低效的、沒有生機和活力。我認為高效的課堂應(yīng)該注重師生之間思維火花的碰撞，肯定學(xué)生對認知的質(zhì)疑，鼓勵學(xué)生的自主探究，學(xué)生才是教學(xué)的主體。知識的傳授是階段性的不是機械性的，而思維的火花卻是瞬間的。我想當時如果暫停下當前的課轉(zhuǎn)而讓學(xué)生沿著這條主線去探究應(yīng)該是值得的、更有意義的，最起碼對學(xué)生是一個鼓勵和肯定，對于學(xué)生以后自主學(xué)習(xí)和探究的意義應(yīng)該比學(xué)會了一個孤立的知識點更重要。如果說沒有碰撞出思維火花的課堂不是高效的那么我想沒有質(zhì)疑聲的課堂是不具有生命力的。一、問題的提出這是一個真切來自教學(xué)實踐的真實案例。在學(xué)完24.2.3?圓和圓的位置關(guān)系?后我留出了足夠的時間讓同學(xué)們探索103頁第17題，原題：如圖-1，⊙o1、⊙o2，作一個圓，使它與這兩個圓都相切。你能做出多少個這樣的圓？與同學(xué)交流一下。案例3：探究跬步貴涉遠無人跡處有奇觀〔論文節(jié)選〕

——對一道課本習(xí)題的探究

八師148團第一中學(xué)朱云峰圖1同學(xué)們探索結(jié)果的多樣性，復(fù)雜性出乎我的意料，這個看似簡單的問題卻并不簡單。有作出來是一個的，有作出來是二個、三個、四個、五個、六個……還有同學(xué)說可以作出無數(shù)個。當時我也不能從更一般的角度有理有據(jù)地說明問題。剛好響起了下課的鈴聲，我草草的下結(jié)論說有無數(shù)個圓。但心里總感覺不踏實，因為我對所下結(jié)論也是一片茫然?；氐浇萄薪M后與同行們進行了初步切磋。大局部教師在教學(xué)中都是看了學(xué)生做出的五花八門的圖形，然后下結(jié)論說這樣的圓有無數(shù)個，以此而搪塞過去。我覺得這是不應(yīng)該的。按照劉紹學(xué)老先生的觀點：數(shù)學(xué)是清楚的—清楚的前提，清楚的推理得出清楚的結(jié)論。我們有必要搞清楚這個問題，以消除認識上的封閉現(xiàn)象。對一道課本習(xí)題的探究三、分析探究靜下心來，我仔細想一想，新課改中提出的探究式學(xué)習(xí)是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程。這個過程包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測、探究適當?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，然后給出解釋或證明?！骄?---由同學(xué)們作圖的多樣性，我們把結(jié)果分為三大類。第一類：滿足條件的⊙o與⊙o1，⊙o2都外切。(圓心軌跡雙曲線右支)對一道課本習(xí)題的探究第二類：滿足條件的⊙o與⊙o1或⊙o2中的一個外切，一個內(nèi)切〔不妨研究⊙o與⊙o1外切和⊙o2內(nèi)切的情況〕。第三類：滿足條件的⊙o與⊙o1，⊙o2都內(nèi)切。四、結(jié)論1.與⊙o1，⊙o2都外切的⊙o的圓心軌跡方程為〔〕———Ⅰ2.與⊙o1外切，與⊙o2內(nèi)切的⊙o的圓心軌跡方程為:()———Ⅱ3.與⊙o1，⊙o2都內(nèi)切的⊙o的圓心軌跡方程為:()———Ⅲ可以看出它們都是雙曲線,得到這樣的結(jié)論，我們應(yīng)該滿足了。七、感悟1、問題的作用是巨大的，它是研究者和探究者的動力。2、此題與其說是讓學(xué)生探究，不如說是讓我們老師之間探討。3、我們只有對條件進行充分挖掘、再挖掘抓住問題的本質(zhì)，并且選擇正確的思想方法就可以對探究的結(jié)論有更深刻、更全面的認識。對探究式學(xué)習(xí)體會感悟的越深，就能更快更好的有效的組織指導(dǎo)學(xué)生進行探究學(xué)習(xí)。4、從我們親身體驗可以得出：探究式學(xué)習(xí)這種新的學(xué)習(xí)方式有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和藹于反思的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力；有助于開展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力。并且在很多情況下，探究者的經(jīng)歷能發(fā)生共鳴，共同享受探究成果的快樂，這正是今天新課改所倡導(dǎo)的。五、開展小課題研究的常識與方法關(guān)于組織開展以校為本小課題研究的通知新教教科研字[2021]08號各地、州、市教育局教研室：為鼓勵中小學(xué)開展以校為本的小課題研究，引導(dǎo)學(xué)校和教師解決教育教學(xué)中的具體問題，經(jīng)自治區(qū)教育廳同意，決定由自治區(qū)教科所教研室牽頭，各地〔州、市〕教育局教研室協(xié)助，共同組織開展以校為本的小課題研究，現(xiàn)將具體事項通知如下：一、研究目的通過以校為本的小課題研究，引導(dǎo)中小學(xué)發(fā)現(xiàn)和解決課程改革、教學(xué)管理、學(xué)科教學(xué)、教師開展、學(xué)情分析和考試評價等方面的具體問題，使中小學(xué)教師樹立較強的問題意識，掌握根本的教育研究方法，通過自己的探索解決教育實踐中的問題，從而更好地促進教師的專業(yè)開展。二、課題申報自治區(qū)教科所教研室負責(zé)受理以校為本小課題研究的課題立項申請。各地、州、市教育局教研室根據(jù)本地區(qū)縣〔市、區(qū)〕教育局教研室和學(xué)校的教科研力量，組織本地各學(xué)科教研員和學(xué)校教師通過聽課、討論和查閱資料，找出學(xué)校管理、教學(xué)和開展中面臨的實際問題，并對這些問題進行提煉、概括，擬訂出學(xué)校小課題研究的題目。同時，各課題組要設(shè)計出該課題的研究方案〔研究時間控制在半年之內(nèi)〕，經(jīng)各地、州、市教育局教研室評審后報自治區(qū)教科所教研室。申報單位課題組成員姓名職務(wù)（職稱）聯(lián)系電話分工手機負責(zé)人聯(lián)系人主要成員發(fā)現(xiàn)問題的過程與基本的事實依據(jù)申請立項論證1、研究目的和意義

2、研究的基本內(nèi)容3、研究的思路和方法4、研究的進度計劃5、已具備的工作基礎(chǔ)和有利條件6、經(jīng)費預(yù)算7、預(yù)期的研究成果以校為本小課題研究申報表〔縮樣〕1、問題發(fā)現(xiàn)與事實依據(jù)(15%)學(xué)校組織教科研力量，會同教研組、年級組以及學(xué)校教師通過聽課、討論和查閱資料，找出學(xué)校管理、教學(xué)和開展中面臨的實際問題。問題發(fā)現(xiàn)準確，列舉事實清楚，依據(jù)有關(guān)的教育教學(xué)理論和新課改的理念對并對這些問題進行提煉、概括，擬訂出小課題研究的題目。評分等級A:11-15分；B:6-10分；C:5分以下。2、研究的目的和意義(15%)

對事實分析透徹，課題研究的目的明確，對促進教育教學(xué)有研究的必要和價值，研究的立足點可行。評分等級

A:11-15分；B:6-10分；C:5分以下。3、研究的根本內(nèi)容以及思路和方法(25%)

課題研究的根本內(nèi)容明確具體，有課題研究可依托的文本資料、資源信息；研究的根本思路清晰，有邏輯性和連貫性，科學(xué)研究的方法具體可行，便于操作。評分等級A:20-25分；B:10-19分；C:10分以下。4、研究的進度和方案(20%)有課題研究的具體時間進度方案，研究的各階段任務(wù)明確具體。評分等級A:15-20分；B:8-14分；C:8分以下。5、工作根底和條件及經(jīng)費(10%)對課題研究組人員的研究根底、研究分工分析落實清楚，對有利因素包括研究的軟件、硬件環(huán)境和條件有一定的分析和考慮；學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)支持課題研究，能提供、落實課題研究必要的經(jīng)費。評分等級A:10-8分；B:4-7分；C:4分以下。6、預(yù)期研究成果(15%)

對預(yù)期的課題研究成果有定性的和定量的陳述，課題的研究成果的表達形式明確、具體〔論文、報告書、教學(xué)案例、文獻及影視資料等〕，能對促進教育教學(xué)以及學(xué)生開展、教師專業(yè)開展產(chǎn)生一定的效果。評分等級A:11-15分；B:6-10分；C:5分以下。1.小課題研究：

小課題研究是與大課題研究相對而言的，屬于校本研究的范疇，是一種重要而可行的校本教研方式。“小〞是指：研究范圍微觀、內(nèi)容具體、切口小、周期短，容易操作。“自下而上〞，“土生土長〞，充滿鮮活的生命力?！病安莞建曅≌n題研究〕2.小課題研究的目的：主要是解決教師個人教育教學(xué)中出現(xiàn)的問題、困惑，并總結(jié)經(jīng)驗，不以理論研究為主，是一種微觀的應(yīng)用性質(zhì)的研究。3.研究者、內(nèi)容：教師本人作為研究者，研究內(nèi)容可以是教學(xué)過程中的章節(jié)或某個專題，教育教學(xué)中存在的現(xiàn)象、問題、傳統(tǒng)做法等。“草根式〞小課題研究的特點“小〞---從小事，小現(xiàn)象，小問題入手，以小見大。如“提高課堂教學(xué)中學(xué)生參與度的研究〞“近〞---貼近教學(xué)，貼近現(xiàn)實，不好高騖遠。如“數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的研究〞，“學(xué)困生轉(zhuǎn)化研究〞，“提高學(xué)生對數(shù)學(xué)錯題進行自我分析診斷能力的研究〞?！皩崹?--實實在在，摒棄大而空的描述預(yù)測，多一點實在的關(guān)注。如“怎樣記住學(xué)生的名字