中學(xué)數(shù)學(xué) 三角形 期末復(fù)習(xí)題（含答案）

第1頁（共1頁）《三角形》拔高練習(xí)一．解答題（共20小題）1．（2018春?方城縣期末）如下幾個(gè)圖形是五角星和它的變形．（1）圖（1）中是一個(gè)五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．（2）圖（2）中的點(diǎn)A向下移到BE上時(shí)，五個(gè)角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有無變化說明你的結(jié)論的正確性．（3）把圖（2）中的點(diǎn)C向上移到BD上時(shí)（1）如圖（3）所示，五個(gè)角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有無變化說明你的結(jié)論的正確性．2．（2017春?西城區(qū)期末）如圖1，在△ABC中，∠B＝90°，分別作其內(nèi)角∠ACB與外角∠DAC的平分線，且兩條角平分線所在的直線交于點(diǎn)E．（1）∠E＝°；（2）分別作∠EAB與∠ECB的平分線，且兩條角平分線交于點(diǎn)F．①依題意在圖1中補(bǔ)全圖形；②求∠AFC的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，射線FM在∠AFC的內(nèi)部且∠AFM＝∠AFC，設(shè)EC與AB的交點(diǎn)為H，射線HN在∠AHC的內(nèi)部且∠AHN＝∠AHC，射線HN與FM交于點(diǎn)P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH滿足的數(shù)量關(guān)系為∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH，請(qǐng)直接寫出m，n的值．3．（2016春?西城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△FGH的一個(gè)頂點(diǎn)F在y軸的負(fù)半軸上，射線FO平分∠GFH，過點(diǎn)H的直線MN交x軸于點(diǎn)M，滿足∠MHF＝∠GHN，過點(diǎn)H作HP⊥MN交x軸于點(diǎn)P，請(qǐng)?zhí)骄俊螹PH與∠G的數(shù)量關(guān)系，并寫出簡(jiǎn)要證明思路．4．（2013春?西城區(qū)期末）已知：△ABC中，記∠BAC＝α，∠ACB＝β．（1）如圖1，若AP平分∠BAC，BP，CP分別平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于點(diǎn)D，用α的代數(shù)式表示∠BPC的度數(shù)，用β的代數(shù)式表示∠PBD的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)P為△ABC的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，BD⊥AP于點(diǎn)D，猜想（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化，補(bǔ)全圖形并直接寫出你的結(jié)論．5．（2020春?西城區(qū)期末）在△ABC中，BD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E在射線DC上，EF⊥BC于點(diǎn)F，EM平分∠AEF交直線AB于點(diǎn)M．（1）如圖1，點(diǎn)E在線段DC上，若∠A＝90°，∠M＝α．①∠AEF＝；（用含α的式子表示）②求證：BD∥ME；（2）如圖2，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，EM交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，用等式表示∠BNE與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并證明．6．（2018?雙清區(qū)模擬）在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F(xiàn)為射線AE上一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），且FD⊥BC于D；（1）如果點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，且∠C＝50°，∠B＝30°，如圖1，求∠EFD的度數(shù)；（2）如果點(diǎn)F在線段AE上（不與點(diǎn)A重合），如圖2，問∠EFD與∠C﹣∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．（3）如果點(diǎn)F在△ABC外部，如圖3，此時(shí)∠EFD與∠C﹣∠B的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．7．（2017春?西城區(qū)校級(jí)期中）（1）如圖1，設(shè)∠A＝x，則∠1+∠2＝；（2）把三角形紙片ABC頂角A沿DE折疊，點(diǎn)A落到點(diǎn)A'處，記∠A'DB為∠1，∠A'EC為∠2．①如圖2，∠1，∠2與∠A的數(shù)量關(guān)系是；②如圖3，請(qǐng)你寫出∠1，∠2與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖4，把一個(gè)三角形紙片ABC的三個(gè)頂角分別向內(nèi)折疊之后，3個(gè)頂點(diǎn)不重合，那么圖中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝．8．（2016春?五峰縣期中）已知：如圖，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，EF經(jīng)過點(diǎn)O且平行于BC，分別與AB，AC交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度數(shù)；（2）若∠ABC＝α，∠ACB＝β，用α，β的代數(shù)式表示∠BOC的度數(shù)．（3）在第（2）問的條件下，若∠ABC和∠ACB鄰補(bǔ)角的平分線交于點(diǎn)O，其他條件不變，請(qǐng)畫出相應(yīng)圖形，并用α，β的代數(shù)式表示∠BOC的度數(shù)．9．（2015春?東城區(qū)期末）已知∠MON，點(diǎn)A，B分別在射線ON，OM上移動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，直線AD，BC相交于點(diǎn)C．（1）如圖1，若∠MON＝90°，試猜想∠ACB的度數(shù)，并直接寫出結(jié)果；（2）如圖2，若∠MON＝α，問：當(dāng)點(diǎn)A，B在射線ON，OM上運(yùn)動(dòng)的過程中，∠ACB的度數(shù)是否改變？若不改變，求出其值（用含α的式子表示）；若改變，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，若∠MON＝α，BC平分∠ABO，其他條件不改變，問：（2）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)直接寫出你得結(jié)論．10．（2014春?西城區(qū)期末）在△ABC中，BD，CE是它的兩條角平分線，且BD，CE相交于點(diǎn)M，MN⊥BC于點(diǎn)N．將∠MBN記為∠1，∠MCN記為∠2，∠CMN記為∠3．（1）如圖1，若∠A＝110°，∠BEC＝130°，則∠2＝°，∠3﹣∠1＝°；（2）如圖2，猜想∠3﹣∠1與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若∠BEC＝α，∠BDC＝β，用含α和β的代數(shù)式表示∠3﹣∠1的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果即可）11．（2012春?青島期末）已知：在△ABC和△XYZ中，∠A＝40°，∠Y+∠Z＝95°，將△XYZ如圖擺放，使得∠X的兩條邊分別經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C．（1）當(dāng)將△XYZ如圖1擺放時(shí)，則∠ABX+∠ACX＝度；（2）當(dāng)將△XYZ如圖2擺放時(shí)，請(qǐng)求出∠ABX+∠ACX的度數(shù)，并說明理由；（3）能否將△XYZ擺放到某個(gè)位置時(shí)，使得BX、CX同時(shí)平分∠ABC和∠ACB？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論：．12．（2010春?朝陽區(qū)期末）（1）如圖1，有一塊直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ分別經(jīng)過點(diǎn)B、C、△ABC中，∠A＝40°，則∠ABC+∠ACB＝度，∠XBC+∠XCB＝度；（2）如圖2，改變（1）中直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ仍然分別經(jīng)過點(diǎn)B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否變化？若變化，請(qǐng)舉例說明；若不變化，請(qǐng)求出∠ABX+∠ACX的大??；（3）如果（1）中的其它條件不變，把“∠A＝40°”改成“∠A＝n°”，請(qǐng)直接寫出∠ABX+∠ACX的大?。?3．（2019秋?平谷區(qū)期末）一副三角板如圖所示擺放，OA邊和OC邊與直線EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°．（1）求圖1中∠BOD的度數(shù)是多少；（2）如圖2，三角板COD固定不動(dòng)，若將三角板AOB繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中當(dāng)OB分別平分∠EOD、∠DOC時(shí)，求此時(shí)α的值．14．（2019春?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知在△ABC中，∠BAC＝α，∠ABC＝β，∠BCA＝γ，△ABC的三條角平分線AD，BE，CF交于點(diǎn)O，過O向△ABC三邊作垂線，垂足分別為P，Q，H，如圖所示（1）若α＝78°，β＝56°，γ＝46°，求∠EOH的大?。唬?）用α，阝，γ表示∠EOH的表達(dá)式為∠EOH＝；（要求表達(dá)式最簡(jiǎn)）（3）若α≥β≥γ，∠EOH+∠DOP+∠FOQ＝β，判斷△ABC的形狀并說明理由．15．（2018春?海淀區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，若存在一個(gè)內(nèi)角角度，是另外一個(gè)內(nèi)角角度的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱△ABC為n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC為3倍角三角形．（1）在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝25°，則△ABC為倍角三角形；（2）若△DEF是3倍角三角形，且其中一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另外一個(gè)內(nèi)角的余角的度數(shù)的，求△DEF的最小內(nèi)角；（3）若△MNP是2倍角三角形，且∠M＜∠N＜∠P＜90°，請(qǐng)直接寫出△MNP的最小內(nèi)角的取值范圍．16．（2018春?西城區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，BM平分∠ABC交AC于點(diǎn)M，點(diǎn)P是直線AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥BM于點(diǎn)H．（1）如圖1，當(dāng)∠ACB＝110°，∠BAC＝30°，且點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，∠APH＝°；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：2∠APH＝∠ACB﹣∠BAC；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段AM上（不含端點(diǎn)）時(shí)，①補(bǔ)全圖形；②直接寫出∠APH、∠ACB、∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系：．17．（2018春?北京期末）△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AE⊥BC，垂足為E，作CF∥AD，交直線AE于點(diǎn)F．設(shè)∠B＝α，∠ACB＝β．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝70°，依題意補(bǔ)全圖1，并直接寫出∠AFC的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ACB是鈍角，求∠AFC的度數(shù)（用含α，β的式子表示）；（3）如圖3，若∠B＞∠ACB，直接寫出∠AFC的度數(shù)（用含α，β的式子表示）．18．（2018春?東遼縣期末）如圖，在小學(xué)我們通過觀察、實(shí)驗(yàn)的方法得到了“三角形內(nèi)角和是180°”的結(jié)論．小明通過這學(xué)期的學(xué)習(xí)知道：由觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、猜想得到的結(jié)論還需要通過證明來確認(rèn)它的正確性．受到實(shí)驗(yàn)方法1的啟發(fā)，小明形成了證明該結(jié)論的想法：實(shí)驗(yàn)1的拼接方法直觀上看，是把∠1和∠2移動(dòng)到∠3的右側(cè)，且使這三個(gè)角的頂點(diǎn)重合，如果把這種拼接方法抽象為幾何圖形，那么利用平行線的性質(zhì)就可以解決問題了．小明的證明過程如下：已知：如圖，△ABC．求證：∠A+∠B+∠C＝180°．證明：延長(zhǎng)BC，過點(diǎn)C作CM∥BA．∴∠A＝∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠B＝∠2（兩直線平行，同位角相等）．∵∠1+∠2+∠ACB＝180°（平角定義），∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．請(qǐng)你參考小明解決問題的思路與方法，寫出通過實(shí)驗(yàn)方法2證明該結(jié)論的過程．19．（2015春?北京校級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，點(diǎn)E在線段BC上，射線ED⊥AB于點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)F在線段DE上，過F作MN∥BC，M分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)G在線段AF上，且∠GFN＝∠GNF，∠GDF＝∠GFD．①試判斷DG與NG有怎樣的位置關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論；②求證：∠1＝∠2；（2）如圖2，點(diǎn)F在線段ED的延長(zhǎng)線上，過F作FN∥BC，M，N分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)G在線段AF上，且∠GFN＝∠GNF，∠GDF＝∠GFD．試探究DG與NG的位置關(guān)系，并說明理由．20．（2015春?北京校級(jí)期中）已知兩個(gè)大小相同的含30°角的直角三角板ABC、DEF，如圖（1）放置，點(diǎn)B、D重合，點(diǎn)F在BC上，AB與EF交于點(diǎn)G．直線BC與DE交于點(diǎn)H，∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°．（1）如圖（2）將三角板ABC繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)大小為α的角，當(dāng)AB∥FD時(shí)，求∠EGB+α的度數(shù)；（2）在將三角板ABC繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜60°）的過程中，請(qǐng)你判斷∠EGB與α的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化；如果不變，請(qǐng)寫出并證明這個(gè)關(guān)系；如果改變，請(qǐng)說明理由．

《三角形》拔高練習(xí)參考答案與試題解析一．解答題（共20小題）1．（2018春?方城縣期末）如下幾個(gè)圖形是五角星和它的變形．（1）圖（1）中是一個(gè)五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．（2）圖（2）中的點(diǎn)A向下移到BE上時(shí)，五個(gè)角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有無變化說明你的結(jié)論的正確性．（3）把圖（2）中的點(diǎn)C向上移到BD上時(shí)（1）如圖（3）所示，五個(gè)角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有無變化說明你的結(jié)論的正確性．【考點(diǎn)】K7：三角形內(nèi)角和定理．【分析】（1）如圖，連接CD，把五個(gè)角和轉(zhuǎn)化為同一個(gè)三角形內(nèi)角和．根據(jù)三角形中一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得．（2）、（3）五個(gè)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角．【解答】解：（1）如圖，連接CD．在△ACD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB＝180°．∵∠1＝∠B+∠E＝∠2+∠3，∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E＝∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB＝∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB＝180°；（2）無變化．根據(jù)平角的定義，得出∠BAC+∠CAD+∠DAE＝180°．∵∠BAC＝∠C+∠E，∠EAD＝∠B+∠D，∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠BAC+∠CAD+∠DAE＝180°；（3）無變化．∵∠ACB＝∠CAD+∠D，∠ECD＝∠B+∠E，∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E＝∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了轉(zhuǎn)化思想求解，（1）是把五個(gè)角轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中求解，（2）（3）是把五個(gè)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角求解．2．（2017春?西城區(qū)期末）如圖1，在△ABC中，∠B＝90°，分別作其內(nèi)角∠ACB與外角∠DAC的平分線，且兩條角平分線所在的直線交于點(diǎn)E．（1）∠E＝45°；（2）分別作∠EAB與∠ECB的平分線，且兩條角平分線交于點(diǎn)F．①依題意在圖1中補(bǔ)全圖形；②求∠AFC的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，射線FM在∠AFC的內(nèi)部且∠AFM＝∠AFC，設(shè)EC與AB的交點(diǎn)為H，射線HN在∠AHC的內(nèi)部且∠AHN＝∠AHC，射線HN與FM交于點(diǎn)P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH滿足的數(shù)量關(guān)系為∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH，請(qǐng)直接寫出m，n的值．【考點(diǎn)】K7：三角形內(nèi)角和定理；K8：三角形的外角性質(zhì)．【分析】（1）設(shè)∠CAF＝x，∠ACE＝y(tǒng)，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得：∠ACB+∠BAC＝90°，可得x﹣y＝45，由外角的性質(zhì)得：∠E＝∠CAF﹣∠ACE＝x﹣y＝45°；（2）①畫圖2，②根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等列等式，可得結(jié)論；（3）先根據(jù)條件畫圖3，設(shè)∠FAH＝α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式：∠E+∠EAF＝∠AFC+∠FCH，∠FAH+∠AFM＝∠AHN+∠FPH，分別表示∠FCH和∠FPH，代入已知可得m，n的值．【解答】解：（1）如圖1，∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠CAF＝∠DAC，∠ACE＝∠ACB，設(shè)∠CAF＝x，∠ACE＝y(tǒng)，∵∠B＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∴2y+180﹣2x＝90，x﹣y＝45，∵∠CAF＝∠E+∠ACE，∴∠E＝∠CAF﹣∠ACE＝x﹣y＝45°，故答案為：45；（2）①如圖2所示，②如圖2，∵CF平分∠ECB，∴∠ECF＝y(tǒng)，∵∠E+∠EAF＝∠F+∠ECF，∴45°+∠EAF＝∠F+y①，同理可得：∠E+∠EAB＝∠B+∠ECB，∴45°+2∠EAF＝90°+y，∴∠EAF＝②，把②代入①得：45°+＝∠F+y，∴∠F＝67.5°，即∠AFC＝67.5°；（3）如圖3，設(shè)∠FAH＝α，∵AF平分∠EAB，∴∠FAH＝∠EAF＝α，∵∠AFM＝∠AFC＝×67.5°＝22.5°，∵∠E+∠EAF＝∠AFC+∠FCH，∴45+α＝67.5+∠FCH，∴∠FCH＝α﹣22.5①，∵∠AHN＝∠AHC＝（∠B+∠BCH）＝（90+2∠FCH）＝30+∠FCH，∵∠FAH+∠AFM＝∠AHN+∠FPH，∴α+22.5＝30+∠FCH+∠FPH，②把①代入②得：∠FPH＝，∵∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH，α﹣22.5＝mα+n，解得：m＝2，n＝﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和與外角的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵，要注意整體思想的利用．3．（2016春?西城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△FGH的一個(gè)頂點(diǎn)F在y軸的負(fù)半軸上，射線FO平分∠GFH，過點(diǎn)H的直線MN交x軸于點(diǎn)M，滿足∠MHF＝∠GHN，過點(diǎn)H作HP⊥MN交x軸于點(diǎn)P，請(qǐng)?zhí)骄俊螹PH與∠G的數(shù)量關(guān)系，并寫出簡(jiǎn)要證明思路．【考點(diǎn)】D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；K7：三角形內(nèi)角和定理；K8：三角形的外角性質(zhì)．【分析】先根據(jù)EH平分∠GHF，F(xiàn)E平分∠GFH，求得△FEH中，∠FEF＝90°+∠G，再根據(jù)∠FEH是△EOP的外角，求得∠FEH＝90°+∠MPH，最后得出結(jié)論∠MPH＝∠G．【解答】解：∠MPH與∠G的數(shù)量關(guān)系為∠MPH＝∠G．證明：如圖，∵∠MHF＝∠GHN，HP⊥MN，∴∠FHE＝∠GHE，即EH平分∠GHF，又∵FE平分∠GFH，∴△FEH中，∠FEF＝180°﹣∠EHF﹣∠EFH＝180°﹣（∠GHF﹣∠GFH）＝180°﹣（180°﹣∠G）＝90°+∠G，∵∠FEH是△EOP的外角，∴∠FEH＝∠EOP+∠MPH＝90°+∠MPH，∴90°+∠G＝90°+∠MPH，即∠MPH＝∠G．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．探究角度之間的數(shù)量關(guān)系，多用外角的性質(zhì)．4．（2013春?西城區(qū)期末）已知：△ABC中，記∠BAC＝α，∠ACB＝β．（1）如圖1，若AP平分∠BAC，BP，CP分別平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于點(diǎn)D，用α的代數(shù)式表示∠BPC的度數(shù)，用β的代數(shù)式表示∠PBD的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)P為△ABC的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，BD⊥AP于點(diǎn)D，猜想（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化，補(bǔ)全圖形并直接寫出你的結(jié)論．【考點(diǎn)】K7：三角形內(nèi)角和定理；K8：三角形的外角性質(zhì)．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出∠CBA+∠ACB，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可求出∠MBC+∠NGB，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)∠PBC+∠PCB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理算出結(jié)果．【解答】解：（1）∵∠BAC+∠CBA+∠ACB＝180°，∠BAC＝α∴∠CBA+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α∵∠MBC+∠ABC＝180°，∠NCB+∠ACB＝180°∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣∠ABC﹣∠ACB＝360°﹣（180°﹣α）＝180°+α∵BP，CP分別平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN∴∠PBC＝∠MBC，∠PCB＝∠NCB∴∠PBC+∠PCB＝∠MBC+∠NCB＝（180°+α）＝90°+α∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α∵∠BAC＝α，∠ACB＝β，∵∠MBC是△ABC的外角∴∠MBC＝α+β∵BP平分∠MBC∴∠MBP＝∠MBC＝（α+β）∵∠MBP是△ABP的外角，AP平分∠BAC∴∠BAP＝α，∠MBP＝∠BAP+∠APB∴∠PBD＝90°﹣∠APB＝90°﹣（∠MBP﹣∠BAP）＝90°﹣∠MBP+∠BAP＝90°﹣（α+β）+α＝90°﹣β；（2）如圖2，若點(diǎn)P為△ABC的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，BD⊥AP于點(diǎn)D，猜想（1）中的兩個(gè)結(jié)論已發(fā)生變化；∠PBD＝．證明：∠BPD＝∠BAD+∠ABP，∠CPD＝∠CAD+∠ACP，∴∠BPC＝∠BAD+∠ABP+∠CAD+∠ACP＝∠BAC+∠ABC+∠BCA＝∠BAC+（∠ABC+∠BCA）＝∠BAC+（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC＝90°+α．∠PBD＝90°﹣∠BPD＝90°﹣（∠BAD+∠ABP）＝90°﹣（∠ABC+∠BAC）＝90°﹣（180°﹣∠BCA）＝∠BCA＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線，外角的性質(zhì)．注意知識(shí)的靈活運(yùn)用．5．（2020春?西城區(qū)期末）在△ABC中，BD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E在射線DC上，EF⊥BC于點(diǎn)F，EM平分∠AEF交直線AB于點(diǎn)M．（1）如圖1，點(diǎn)E在線段DC上，若∠A＝90°，∠M＝α．①∠AEF＝180°﹣2α；（用含α的式子表示）②求證：BD∥ME；（2）如圖2，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，EM交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，用等式表示∠BNE與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并證明．【考點(diǎn)】JB：平行線的判定與性質(zhì)；K7：三角形內(nèi)角和定理．【分析】（1）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論；②根據(jù)垂直的定義得到∠EFC＝90°，求得∠ABC＝2α，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABD＝ABC＝α，求得∠ABD＝∠M，于是得到結(jié)論；（2）設(shè)∠ABD＝x，∠AEM＝y(tǒng)，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABC＝2x，∠AEF＝2y，求得x﹣y＝∠END﹣∠BAD，得到2x﹣2y＝∠EFC﹣∠BAC，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）①∵∠A＝90°，∠M＝α，∴∠AEM＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，∵EM平分∠AEF，∴∠AEF＝2∠AEM＝180°﹣2α，故答案為：180°﹣2α；②證明：∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∵∠A＝90°，∴∠C+∠ABC＝90°，∴∠CEF＝∠ABC，∵∠AEF＝180°﹣2α，∴∠CEF＝2α，∴∠ABC＝2α，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD＝ABC＝α，∴∠ABD＝∠M，∴BD∥ME；（2）2∠BNE＝90°+∠BAC，證明：∵BD平分∠ABC，EM平分∠AEF，設(shè)∠ABD＝x，∠AEM＝y(tǒng)，∴∠ABC＝2x，∠AEF＝2y，∵∠ABD+∠BAD＝180°﹣∠ADB，∠NED+∠END＝180°﹣∠NDE，∵∠ADB＝∠NDE，∴∠ABD+∠BAD＝∠NED+∠END，∴x+∠BAD＝y(tǒng)+∠END，∴x﹣y＝∠END﹣∠BAD，同理，∠ABC+∠BAC＝∠FEC+∠EFC，∴2x+∠BAC＝2y+∠EFC，∴2x﹣2y＝∠EFC﹣∠BAC，∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∴2（x﹣y）＝90°﹣∠BAC，∴2（∠END﹣∠BAD）＝90°﹣∠BAC，即2（∠BNE﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∴2∠BNE＝90°+∠BAC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平行線的判定，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．6．（2018?雙清區(qū)模擬）在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F(xiàn)為射線AE上一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），且FD⊥BC于D；（1）如果點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，且∠C＝50°，∠B＝30°，如圖1，求∠EFD的度數(shù)；（2）如果點(diǎn)F在線段AE上（不與點(diǎn)A重合），如圖2，問∠EFD與∠C﹣∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．（3）如果點(diǎn)F在△ABC外部，如圖3，此時(shí)∠EFD與∠C﹣∠B的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)】K7：三角形內(nèi)角和定理；K8：三角形的外角性質(zhì)．【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC＝100°，∠CAD＝40°，由角平分線的性質(zhì)易得∠EAC的度數(shù)，可得∠EFD；（2）由角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得出∠BAE＝90°﹣（∠C+∠B），外角的性質(zhì)得出∠AEC＝90°+（∠B﹣∠C），在△EFD中，由三角形內(nèi)角和定理可得∠EFD；（3）與（2）的方法相同．【解答】（1）解：∵∠C＝50°，∠B＝30°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°．∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝50°．在△ACE中∠AEC＝80°，在Rt△ADE中∠EFD＝90°﹣80°＝10°．（2）∠EFD＝（∠C﹣∠B）證明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝＝90°﹣（∠C+∠B）∵∠AEC為△ABE的外角，∴∠AEC＝∠B+90°﹣（∠C+∠B）＝90°+（∠B﹣∠C）∵FD⊥BC，∴∠FDE＝90°．∴∠EFD＝90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）∴∠EFD＝（∠C﹣∠B）（3）∠EFD＝（∠C﹣∠B）．如圖，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝．∵∠DEF為△ABE的外角，∴∠DEF＝∠B+＝90°+（∠B﹣∠C），∵FD⊥BC，∴∠FDE＝90°．∴∠EFD＝90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）∴∠EFD＝（∠C﹣∠B）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，綜合利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解答此題的關(guān)鍵．7．（2017春?西城區(qū)校級(jí)期中）（1）如圖1，設(shè)∠A＝x，則∠1+∠2＝180°+x；（2）把三角形紙片ABC頂角A沿DE折疊，點(diǎn)A落到點(diǎn)A'處，記∠A'DB為∠1，∠A'EC為∠2．①如圖2，∠1，∠2與∠A的數(shù)量關(guān)系是∠1+∠2＝2∠A；②如圖3，請(qǐng)你寫出∠1，∠2與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖4，把一個(gè)三角形紙片ABC的三個(gè)頂角分別向內(nèi)折疊之后，3個(gè)頂點(diǎn)不重合，那么圖中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．【考點(diǎn)】K7：三角形內(nèi)角和定理；K8：三角形的外角性質(zhì)；L3：多邊形內(nèi)角與外角．【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（2）①先根據(jù)折疊得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，由兩個(gè)平角∠ADB和∠AEC得：∠1+∠2等于360°與四個(gè)折疊角的差，化簡(jiǎn)得結(jié)果；②利用兩次外角定理得出結(jié)論；（3）由折疊可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六邊形的內(nèi)角和減去（∠B'FG+∠B'GF）以及（∠C'HI+∠C'IH）和（∠A'DE+∠A'ED），再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：（1）∠1+∠2＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+x；（2）①如圖2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：由折疊得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∵∠ADB+∠AEC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；②如圖3，∠1﹣∠2＝2∠A，理由是：∵∠1＝∠AFE+∠A，∠AFE＝∠A′+∠2，∴∠1＝∠A′+∠A+∠2，∵∠A＝∠A′，∴∠1＝2∠A+∠2，∴∠1﹣∠2＝2∠A；（3）如圖4，由題意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°﹣（∠B'FG+∠B'GF）﹣（∠C'HI+∠C'IH）﹣（∠A'DE+∠A'ED）＝720°﹣（180°﹣∠B'）﹣（180°﹣C'）﹣（180°﹣A'）＝180°+（∠B'+∠C'+∠A'）又∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．故答案為：180°+x；∠1+∠2＝2∠A；360°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知圖形翻折變換的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．8．（2016春?五峰縣期中）已知：如圖，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，EF經(jīng)過點(diǎn)O且平行于BC，分別與AB，AC交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度數(shù)；（2）若∠ABC＝α，∠ACB＝β，用α，β的代數(shù)式表示∠BOC的度數(shù)．（3）在第（2）問的條件下，若∠ABC和∠ACB鄰補(bǔ)角的平分線交于點(diǎn)O，其他條件不變，請(qǐng)畫出相應(yīng)圖形，并用α，β的代數(shù)式表示∠BOC的度數(shù)．【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì)；K7：三角形內(nèi)角和定理；K8：三角形的外角性質(zhì)．【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC的度數(shù)即可；（2）先用α、β表示出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC的度數(shù)即可；（3）根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)三角平分線的定義求出∠CBO+∠ACO的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（50°+60°）＝55°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°；（2）∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，∠ABC＝α，∠ACB＝β，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（α+β），∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（α+β）；（3）如圖所示：∵∠ABC和∠ACB鄰補(bǔ)角的平分線交于點(diǎn)O，∴∠CBO+∠BCO＝+＝180°﹣，∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣）＝α+β．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)，熟知三角形的內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．9．（2015春?東城區(qū)期末）已知∠MON，點(diǎn)A，B分別在射線ON，OM上移動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，直線AD，BC相交于點(diǎn)C．（1）如圖1，若∠MON＝90°，試猜想∠ACB的度數(shù)，并直接寫出結(jié)果；（2）如圖2，若∠MON＝α，問：當(dāng)點(diǎn)A，B在射線ON，OM上運(yùn)動(dòng)的過程中，∠ACB的度數(shù)是否改變？若不改變，求出其值（用含α的式子表示）；若改變，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，若∠MON＝α，BC平分∠ABO，其他條件不改變，問：（2）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)直接寫出你得結(jié)論．【考點(diǎn)】K7：三角形內(nèi)角和定理；K8：三角形的外角性質(zhì)．【分析】（1）利用外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得∠NAB+∠MBA＝90°+∠ABO+90°+∠BAO＝90°+180°＝270°，由角平分線的性質(zhì)得∠CAB+∠CBA，由內(nèi)角和定理得∠ACB；（2）如圖1，由角平分線的性質(zhì)易得∠1＝∠2＝∠BAN，∠3＝∠4＝∠ABM，由三角形外角和定理易得∠2+∠4，得∠ACB；（3）如圖2，同（2）可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∠NAB＝∠AOB+∠ABO＝90°+∠ABO，∠ABM＝∠AOB+∠BAO＝90°+∠BAO，∴∠NAB+∠MBA＝90°+∠ABO+90°+∠BAO＝90°+180°＝270°，∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，∴∠CAB+∠CBA＝＝135°，∴∠ACB＝45°；（2）∠ACB的度數(shù)不改變?nèi)鐖D1，∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，∴∠1＝∠2＝∠BAN，∠3＝∠4＝∠ABM，∵∠BAN＝∠O+∠6，∠ABM＝∠O+∠5，∴∠2+∠4＝（∠BAN+∠ABM）＝（∠O+∠5+∠O+∠6）＝90°+∠O，∴∠ACB＝180°﹣（∠2+∠4）＝90°﹣∠O＝90°﹣α；（3）∠ACB的度數(shù)不改變，如圖2，∵∠2＝∠ACB+∠3，∠NAB＝α+∠3+∠4，AD平分∠BAN，BC平分∠ABO，∴∠NAB＝2∠2，∴2∠2＝α+2∠3，∴∠2＝+∠3，∴∠ACB＝α．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，外角性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，綜合運(yùn)用各定理是解答此題的關(guān)鍵．10．（2014春?西城區(qū)期末）在△ABC中，BD，CE是它的兩條角平分線，且BD，CE相交于點(diǎn)M，MN⊥BC于點(diǎn)N．將∠MBN記為∠1，∠MCN記為∠2，∠CMN記為∠3．（1）如圖1，若∠A＝110°，∠BEC＝130°，則∠2＝°，∠3﹣∠1＝°；（2）如圖2，猜想∠3﹣∠1與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若∠BEC＝α，∠BDC＝β，用含α和β的代數(shù)式表示∠3﹣∠1的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果即可）【考點(diǎn)】K7：三角形內(nèi)角和定理；K8：三角形的外角性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACE＝∠BEC﹣∠A，再根據(jù)角平分線的定義可得∠2＝∠ACE；根據(jù)角平分線的定義求出∠ACB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC，然后求出∠1，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠3，然后相減即可得解；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余表示出∠3，然后表示出∠3﹣∠1＝90°﹣∠ACB﹣∠ABC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A，然后代入整理即可得解；（3）在△BCE和△BCD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理得到∠1+∠2，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義用∠A表示出∠1+∠2，然后根據(jù)∠3﹣∠1＝∠A整理即可得解．【解答】（1）解：在△ACE中，∠ACE＝∠BEC﹣∠A＝130°﹣110°＝20°，∵CE平分∠ACE，∴∠2＝∠ACE＝20°，∠ACB＝2∠2＝2×20°＝40°，在△ABC中，∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣110°﹣40°＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠ABC＝×30°＝15°，∵M(jìn)N⊥BC，∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣20°＝70°，∴∠3﹣∠1＝70°﹣15°＝55°，故答案為：20，55；（2）∠3﹣∠1與∠A的數(shù)量關(guān)系是：∠3﹣∠1＝∠A．證明：∵在△ABC中，BD，CE是它的兩條角平分線，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∵M(jìn)N⊥BC于點(diǎn)N，∴∠MNC＝90°，∴在△MNC中，∠3＝90°﹣∠2，∴∠3﹣∠1＝90°﹣∠2﹣∠1，＝90°﹣∠ACB﹣∠ABC，＝90°﹣（∠ACB+∠ABC），∵在△ABC中，∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠3﹣∠1＝90°﹣（180°﹣∠A），＝∠A；（3）解：∵BD，CE是△ABC的兩條角平分線，∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，在△BCE和△BCD中，∠1+2∠2+β＝180°，∠2+2∠1+α＝180°，∴∠1+∠2＝120°﹣，∵∠1+∠2＝（∠ACB+∠ABC）＝（180°﹣∠A），∴120°﹣＝（180°﹣∠A），整理得，∠A＝﹣30°，∴∠3﹣∠1＝﹣30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．11．（2012春?青島期末）已知：在△ABC和△XYZ中，∠A＝40°，∠Y+∠Z＝95°，將△XYZ如圖擺放，使得∠X的兩條邊分別經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C．（1）當(dāng)將△XYZ如圖1擺放時(shí)，則∠ABX+∠ACX＝235度；（2）當(dāng)將△XYZ如圖2擺放時(shí)，請(qǐng)求出∠ABX+∠ACX的度數(shù)，并說明理由；（3）能否將△XYZ擺放到某個(gè)位置時(shí)，使得BX、CX同時(shí)平分∠ABC和∠ACB？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論：不能．【考點(diǎn)】K7：三角形內(nèi)角和定理；K8：三角形的外角性質(zhì)．【分析】（1）要求∠ABX+∠ACX的度數(shù)，只要求出∠ABC+∠CBX+∠ACB+∠BCX，利用三角形內(nèi)角和定理得出∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠CBX+∠BCX＝∠Y+∠Z＝95°，∴∠ABX+∠ACX＝∠ABC+∠CBX+∠ACB+∠BCX＝140°+95°＝235°；（2）要求∠ABX+∠ACX的度數(shù)，只要求出∠ABC+∠ACB﹣（∠BCX+∠CBX）的度數(shù)．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠CBX+∠BCX＝∠Y+∠Z＝95°；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∴∠ABX+∠ACX＝∠ABC+∠ACB﹣（∠BCX+∠CBX）＝140°﹣95°＝45°；（3）不能．假設(shè)能將△XYZ擺放到某個(gè)位置時(shí)，使得BX、CX同時(shí)平分∠ABC和∠ACB．則∠CBX+∠BCX＝∠ABX+∠ACX＝95°，那么∠ABC+∠ACB＝190°，與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以不能．【解答】解：（1）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°在△BCX中，∠X+∠BCX+∠CBX＝180°∴∠BCX+∠CBX＝180°﹣∠X在△XYZ中，∠X+∠Y+∠Z＝180°∴∠Y+∠Z＝180°﹣∠X∴∠CBX+∠BCX＝∠Y+∠Z＝95°∴∠ABX+∠ACX＝∠ABC+∠CBX+∠ACB+∠BCX＝140°+95°＝235°；（2）∠ABX+∠ACX＝45度．理由如下：∵∠Y+∠Z＝95°∴∠X＝180°﹣（∠Y+∠Z）＝85°∴∠ABX+∠ACX＝180°﹣∠A﹣∠XBC﹣∠XCB＝180°﹣40°﹣（180°﹣85°）＝45°；（3）不能．假設(shè)能將△XYZ擺放到某個(gè)位置時(shí)，使得BX、CX同時(shí)平分∠ABC和∠ACB．則∠CBX+∠BCX＝∠ABX+∠ACX＝95°，那么∠ABC+∠ACB＝190°，與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以不能．【點(diǎn)評(píng)】考查三角形內(nèi)角和定理，外角性質(zhì)．12．（2010春?朝陽區(qū)期末）（1）如圖1，有一塊直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ分別經(jīng)過點(diǎn)B、C、△ABC中，∠A＝40°，則∠ABC+∠ACB＝140度，∠XBC+∠XCB＝90度；（2）如圖2，改變（1）中直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ仍然分別經(jīng)過點(diǎn)B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否變化？若變化，請(qǐng)舉例說明；若不變化，請(qǐng)求出∠ABX+∠ACX的大?。唬?）如果（1）中的其它條件不變，把“∠A＝40°”改成“∠A＝n°”，請(qǐng)直接寫出∠ABX+∠ACX的大?。究键c(diǎn)】K7：三角形內(nèi)角和定理．【分析】（1）在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和等于180°，可求∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，即可求∠ABC+∠ACB；同理在△XBC中，∠BXC＝90°，那么∠XBC+∠XCB＝180°﹣∠BXC，即可求∠XBC+∠XCB；（2）不發(fā)生變化，由于在△ABC中，∠A＝40°，從而∠ABC+∠ACB是一個(gè)定值，即等于140°，同理在△XBC中，∠BXC＝90°，那么∠XBC+∠XCB也是一個(gè)定值，等于90°，于是∠ABX+∠ACX的值不變，等于140°﹣90°＝50°；（3）利用∠ABX+∠ACX＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠XBC+∠XCB），把具體數(shù)值代入，化簡(jiǎn)即可求出，注意∠A是鈍角時(shí)，方法類似．【解答】解：（1）140°，90°．（2）不發(fā)生變化．∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，（三角形內(nèi)角和180°）∵∠YXZ＝90°，∴∠XBC+∠XCB＝90°，（三角形內(nèi)角和180°）∴∠ABX+∠ACX＝140°﹣90°＝50°，（3）90°﹣n°或n°﹣90°．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°．13．（2019秋?平谷區(qū)期末）一副三角板如圖所示擺放，OA邊和OC邊與直線EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°．（1）求圖1中∠BOD的度數(shù)是多少；（2）如圖2，三角板COD固定不動(dòng)，若將三角板AOB繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中當(dāng)OB分別平分∠EOD、∠DOC時(shí)，求此時(shí)α的值．【考點(diǎn)】IL：余角和補(bǔ)角；K7：三角形內(nèi)角和定理．【分析】（1）利用平角是180°的知識(shí)點(diǎn)來分析；（2）先根據(jù)角平分線的定義計(jì)算∠BOC的度數(shù)，可得∠EOA的度數(shù)，就是旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖1，∵∠AOB+∠BOD+∠COD＝180°，又∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝75°；則∠BOD的度數(shù)是75°；（2）如圖2，當(dāng)OB平分∠EOD時(shí)，∵∠DOC＝60°，∴∠DOE＝120°，∵OB平分∠EOD，∴∠EOB＝∠BOD＝60°．∵∠BOA＝45°，∴∠EOA＝α＝15°．當(dāng)OB平分∠DOC時(shí)，如圖3，∵∠DOC＝60°，OB平分∠DOC，∴∠DOB＝∠BOC＝30°．∴∠BOE＝150°．∵∠BOA＝45°，∴∠EOA＝α＝105°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的相關(guān)計(jì)算，難度適中．本題的易錯(cuò)點(diǎn)在（2）題，需要考慮OB分別平分∠EOD、∠DOC時(shí)兩種情況，并注意利用數(shù)形結(jié)合的思想．14．（2019春?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知在△ABC中，∠BAC＝α，∠ABC＝β，∠BCA＝γ，△ABC的三條角平分線AD，BE，CF交于點(diǎn)O，過O向△ABC三邊作垂線，垂足分別為P，Q，H，如圖所示（1）若α＝78°，β＝56°，γ＝46°，求∠EOH的大?。唬?）用α，阝，γ表示∠EOH的表達(dá)式為∠EOH＝α+﹣90°；（要求表達(dá)式最簡(jiǎn)）（3）若α≥β≥γ，∠EOH+∠DOP+∠FOQ＝β，判斷△ABC的形狀并說明理由．【考點(diǎn)】K7：三角形內(nèi)角和定理．【分析】（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和與平角的定義可得∠EOH的度數(shù)；（2）同理可得∠EOH的度數(shù)；（3）同理表示∠DOP和∠FOQ，代入∠EOH+∠DOP+∠FOQ＝β，可得結(jié)論．【解答】解：（1）四邊形ABHO中，∵BE平分∠ABC，∴∠ABO＝＝＝28°，∵OH⊥AC，∴∠AHO＝90°，∵∠BAC＝78°，∴∠BOH＝360°﹣28°﹣78°﹣90°＝164°，∴∠EOH＝180°﹣164°＝16°；（2）四邊形ABHO中，∵BE平分∠ABC，∴∠ABO＝，∵OH⊥AC，∴∠AHO＝90°，∵∠BAC＝α，∴∠BOH＝360°﹣α﹣﹣90°＝270°﹣α﹣，∴∠EOH＝180°﹣∠BOH＝α+β﹣90°；故答案為：α+β﹣90°；（3）△ABC是直角三角形，理由是：由（2）知：∠EOH＝α+β﹣90°；四邊形ABOP中，同理∠AOP＝360°﹣α﹣β﹣90°＝270°﹣α﹣β，∴∠DOP＝180°﹣∠AOP＝β+α﹣90°；同理得：∠FOQ＝α+γ﹣90°，∵∠EOH+∠DOP+∠FOQ＝β，且α+β+γ＝180°，∴α+﹣90°+α﹣90°+α+γ﹣90°＝β，5α+β+γ＝540°，∴4α＝360°，α＝90°，∵α≥β≥γ，∴△ABC是直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°．也考查了三角形角平分線與四邊形的內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)．15．（2018春?海淀區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，若存在一個(gè)內(nèi)角角度，是另外一個(gè)內(nèi)角角度的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱△ABC為n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC為3倍角三角形．（1）在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝25°，則△ABC為4倍角三角形；（2）若△DEF是3倍角三角形，且其中一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另外一個(gè)內(nèi)角的余角的度數(shù)的，求△DEF的最小內(nèi)角；（3）若△MNP是2倍角三角形，且∠M＜∠N＜∠P＜90°，請(qǐng)直接寫出△MNP的最小內(nèi)角的取值范圍．【考點(diǎn)】IL：余角和補(bǔ)角；K7：三角形內(nèi)角和定理．【分析】（1）由∠A＝55°，∠B＝25°，可求∠C的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角之間的倍數(shù)關(guān)系，得出答案，（2）△DEF是3倍角三角形，必定有一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍，然后根據(jù)這兩個(gè)角之間的關(guān)系，分情況進(jìn)行解答，（3）可設(shè)未知數(shù)表示2倍角三角形的各個(gè)內(nèi)角，然后列不等式組確定最小內(nèi)角的取值范圍．【解答】解：（1）∵∠A＝55°，∠B＝25°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°，∴∠C＝4∠B，故答案為：4（2）設(shè)最小的內(nèi)角為x°，則3倍角為3x°①當(dāng)最小的內(nèi)角的度數(shù)是3倍內(nèi)角的余角的度數(shù)的時(shí)，即：x＝（90°﹣3x），解得：x＝15°②3倍內(nèi)角的度數(shù)是最小內(nèi)角的余角的度數(shù)的時(shí)，即：3x＝（90°﹣x），解得：x＝9°，因此，△DEF的最小內(nèi)角是9°或15°．（3）設(shè)∠M的度數(shù)為x，則其它的兩個(gè)角分別為2x，（180°﹣3x），由∠M＜∠N＜∠P＜90°可得：2x＜90°且180°﹣3x＜90°且2x≠180°﹣3x∴30°＜x＜45°且x≠36°．答：△MNP的最小內(nèi)角的取值范圍是30°＜x＜45°且x≠36°．【點(diǎn)評(píng)】考查三角形的內(nèi)角和定理，余角的意義，不等式組的解法和應(yīng)用等知識(shí)，讀懂新定義n倍角三角形的意義和分類討論是解決問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．16．（2018春?西城區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，BM平分∠ABC交AC于點(diǎn)M，點(diǎn)P是直線AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥BM于點(diǎn)H．（1）如圖1，當(dāng)∠ACB＝110°，∠BAC＝30°，且點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，∠APH＝40°；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：2∠APH＝∠ACB﹣∠BAC；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段AM上（不含端點(diǎn)）時(shí)，①補(bǔ)全圖形；②直接寫出∠APH、∠ACB、∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系：∠APH＝180°+（∠BAC﹣∠ACB）．【考點(diǎn)】K7：三角形內(nèi)角和定理．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠HBC，然后求出∠HCB，再根據(jù)∠APH＝∠ACB﹣∠HCB計(jì)算即可得解；（2）作射線AH，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠4＝∠1+∠2，∠3＝∠5+∠P，從而得到∠3+∠4＝∠1+∠2+∠5+∠P，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義用∠ACB和∠BAC表示出∠2，代入整理即可得解；（3）用∠ACB和∠BAC表示出∠HBC，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式整理即可得解．【解答】解：（1）如圖1中，∵∠ACB＝110°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠BCA＝180°﹣110°﹣30°＝40°，∵BM平分∠ABC，∴∠HBC＝×40°＝20°，∵PP⊥BM，∴∠HCB＝90°﹣∠HBC＝90°﹣20°＝70°，∴∠APH＝∠ACB﹣∠OCB＝110°﹣70°＝40°；故答案為40．（2）如圖2中，作射線AH，則∠4＝∠1+∠2，∠3＝∠5+∠P，所以，∠3+∠4＝∠1+∠2+∠5+∠P，∵PH⊥BH，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠2+∠5+∠P＝90°，即∠BAC+∠2+∠P＝90°，∵BH平分∠ABC，∴∠2＝∠ABC，∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB，∴∠2＝（180°﹣∠BAC﹣∠ACB），∴∠APH＝90°﹣∠BAC﹣∠2＝90°﹣∠BAC﹣（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）＝（∠ACB﹣∠BAC）；（3）如圖3中，結(jié)論：∠APH＝180°+（∠BAC﹣∠ACB）．∵BH平分∠ABC，∴∠ABH＝（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）．∵PH⊥BH，∴∠APH＝90°+（∠ABH+∠BAC）＝90°+（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）+∠BAC＝180°+（∠BAC﹣∠ACB），即∠APH＝180°+（∠BAC﹣∠ACB）．故答案為∠APH＝180°+（∠BAC﹣∠ACB）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，難度中等，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．17．（2018春?北京期末）△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AE⊥BC，垂足為E，作CF∥AD，交直線AE于點(diǎn)F．設(shè)∠B＝α，∠ACB＝β．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝70°，依題意補(bǔ)全圖1，并直接寫出∠AFC的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ACB是鈍角，求∠AFC的度數(shù)（用含α，β的式子表示）；（3）如圖3，若∠B＞∠ACB，直接寫出∠AFC的度數(shù)（用含α，β的式子表示）．【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì)；K7：三角形內(nèi)角和定理．【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC和∠CAE，根據(jù)角平分線定義求出∠CAD，即可求出答案；（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)角平分線定義求出∠BAD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠ADC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DAE，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出即可；（3）求出∠DAE度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出即可．【解答】解：（1）如圖1，∵∠B＝30°，∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠CAD＝CAB＝40°，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∵∠ACB＝70°，∴∠EAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝40°﹣20°＝20°，∵CF∥AD，∴∠AFC＝∠DAE＝20°；（2）如圖2，∵△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣（α+β），∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠BAC＝90°﹣（α+β），∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝α+90°﹣（α+β）＝90°﹣（β﹣α），∵AE⊥BC，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝（β﹣α），∵CF∥AD，∴∠DAE+∠AFC＝180°，∴∠AFC＝180°﹣（β﹣α）；（3）如圖3，∵△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣（α+β），∵AD是∠BAC的平分線，∴∠CAD＝∠BAC＝90°﹣（α+β），∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∵∠ACB＝β，∴∠EAC＝180°﹣90°﹣β＝90°﹣β，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝（90°﹣β）﹣[90°﹣（α﹣β）]＝（α﹣β）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形角平分線定義、三角形的高、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．18．（2018春?東遼縣期末）如圖，在小學(xué)我們通過觀察、實(shí)驗(yàn)的方法得到了“三角形內(nèi)角和是180°”的結(jié)論．小明通過這學(xué)期的學(xué)習(xí)知道：由觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、猜想得到的結(jié)論還需要通過證明來確認(rèn)它的正確性．受到實(shí)驗(yàn)方法1的啟發(fā)，小明形成了證明該結(jié)論的想法：實(shí)驗(yàn)1的拼接方法直觀上看，是把∠1和∠2移動(dòng)到∠3的右側(cè)，且使這三個(gè)角的頂點(diǎn)重合，如果把這種拼接方法抽象為幾何圖形，那么利用平行線的性質(zhì)就可以解決問題了．小明的證明過程如下：已知：如圖，△ABC．求證：∠A+∠B+∠C＝180°．證明：延長(zhǎng)BC，過點(diǎn)C作CM∥BA．∴∠A＝∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠B＝∠2（兩直線平行，同位角相等）．∵∠1+∠2+∠ACB＝180°（平角定義），∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．請(qǐng)你參考小明解決問題的思路與方法，寫出通過實(shí)驗(yàn)方法2證明該結(jié)論的過程．【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì)；K7：三角形內(nèi)角和定理．【分析】過點(diǎn)A作MN∥BC，利用平行線的性質(zhì)得到∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C，進(jìn)而利用平角的定義得到結(jié)論．【解答】已知：如圖，△ABC．求證：∠A+∠B+∠C＝180°．證明：過點(diǎn)A作MN∥BC．∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°（平角定義），∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，此題難度不大．19．（2015春?北京校級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，點(diǎn)E在線段BC上，射線ED⊥AB于點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)F在線段DE上，過F作MN∥BC，M分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)G在線段AF上，且∠GFN＝∠GNF，∠GDF＝∠GFD．①試判斷DG與NG有怎樣的位置關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論；②求證：∠1＝∠2；（2）如圖2，點(diǎn)F在線段ED的延長(zhǎng)線上，過F作FN∥BC，M，N分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)G在線段AF上，且∠GFN＝∠GNF，∠GDF＝∠GFD．試探究DG與NG的位置關(guān)系，并說明理由．【考點(diǎn)】J3：垂線；JA：平行線的性質(zhì)；K7：三角形內(nèi)角和定理；K8：三角形的外角性質(zhì)．【分析】（1）①先由MN∥BC得出∠ANM＝∠ACB＝90°，即：∠GNF+∠2＝90°．在Rt△AFN中，∠GFN+∠1＝90°，根據(jù)∠GFN＝∠GNF可得出∠1＝∠2，同理可得∠DAG＝∠ADG，故∠2+∠ADG＝∠BAC＝45°，再由D⊥AB可知∠ADF＝90°，故可得出∠GDF+∠GNM的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)求出∠DFN的度數(shù)，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；②同①可得出結(jié)論；（2）由FN∥BC得出∠GNF+∠2＝90°．在Rt△AFN中，由∠GFN+∠FAN＝90°得出∠FAN＝∠2，再根據(jù)ED⊥AB于D得出∠GDF+∠1＝90°．在Rt△AFD中，∠GFD+∠3＝90°可得出∠1＝∠3．同理∠FGD＝∠1+∠3＝2∠3．∠FGN＝∠FAN+∠2＝2∠FAN，∠NGD＝∠FGN﹣∠FGD＝2∠BAC．在Rt△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）①∵M(jìn)N∥BC，∴∠ANM＝∠ACB＝90°，即：∠GNF+∠2＝90°．在Rt△AFN中，∠GFN+∠1＝90°，∵∠GFN＝∠GNF∴∠1＝∠2．同理可得，∠DAG＝∠ADG，∴∠2+∠ADG＝∠BAC＝45°，∵DE⊥AB，∴∠ADF＝90°，∴∠GDF+∠GNM＝180°﹣45°＝135°．∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，DE⊥AB，∴∠BED＝45°，∴∠DEC＝135°．∵M(jìn)N∥BC，∴∠DFN＝135°，∴∠DGN＝360°﹣135°﹣135°＝90°，即DG⊥NG．②∵M(jìn)N∥BC，∴∠ANM＝∠ACB＝90°，即：∠GNF+∠2＝90°．在Rt△AFN中，∠GFN+∠1＝90°，∵∠GFN＝∠GNF∴∠1＝∠2．（2）DG⊥GN．理由如下：∵FN∥BC，∴∠ANF＝∠ACB＝90°，即∠GNF+∠2＝90°．在Rt△AFN中，∠GFN+∠FAN＝90°，∵∠GFN＝∠GNF∴∠FAN＝∠2．又∵ED⊥AB于D，∴∠ADF＝90°，即：∠GDF+∠1＝90°．在Rt△AFD中，∠GFD+∠3＝90°，∵∠GDF＝∠GFD，∴∠1＝∠3．在△AGD中，∠FGD＝∠1+∠3＝2∠3．在△AGN中，∠FGN＝∠FAN+∠2＝2∠FAN∴∠NGD＝∠F