應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)：第4章 集中趨勢(shì)和離中趨勢(shì)

安徽工程大學(xué)

第4章集中趨勢(shì)和離中趨勢(shì)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的數(shù)值描述數(shù)據(jù)離散程度的數(shù)值描述數(shù)據(jù)分布的形態(tài)安徽工程大學(xué)

2通過本章的學(xué)習(xí)，要求達(dá)到：①明確平均數(shù)和標(biāo)志變異指標(biāo)的概念和作用；②熟練掌握數(shù)值平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的特點(diǎn)及其計(jì)算方法；③了解眾數(shù)、中位數(shù)的概念、特點(diǎn)及其計(jì)算方法；④能正確區(qū)分?jǐn)?shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)，了解幾種平均數(shù)之間的關(guān)系；⑤了解計(jì)算平均數(shù)和離中趨勢(shì)指標(biāo)應(yīng)注意的問題。教學(xué)目的安徽工程大學(xué)

3特別關(guān)注：

各基礎(chǔ)概念經(jīng)濟(jì)背景下的含義安徽工程大學(xué)

41.數(shù)據(jù)描述的數(shù)值方法數(shù)據(jù)描述的數(shù)值方法分布的形狀集中趨勢(shì)離散程度眾數(shù)中位數(shù)均值離散系數(shù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差峰度四分位距極差偏態(tài)安徽工程大學(xué)

54.1集中趨勢(shì)概念常用的集中趨勢(shì)的測(cè)度指標(biāo)：算術(shù)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)集中趨勢(shì)：一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向和程度。集中趨勢(shì)測(cè)度：尋找數(shù)據(jù)水平的代表值或中心值。安徽工程大學(xué)

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這種“同質(zhì)性”即某標(biāo)志變化過程的均衡狀態(tài)；其存在的基本理論根據(jù)即所謂“大數(shù)定律”；其度量方法又可分為二類：位置平均數(shù)與數(shù)值平均數(shù)。安徽工程大學(xué)

7大數(shù)定律1算術(shù)平均數(shù)(均值，ArithmeticMean)總體均值常用表示。樣本均值常用表示。樣本均值的計(jì)算公式：

簡(jiǎn)單平均數(shù)：加權(quán)平均數(shù)(分組數(shù)據(jù))：安徽工程大學(xué)

9算術(shù)平均數(shù)(例子)某企業(yè)的工會(huì)隨機(jī)調(diào)查了20名工人2005

年6月加班的小時(shí)數(shù)，結(jié)果如下：該組數(shù)據(jù)算術(shù)平均數(shù)等于

（13+18+…+12）/20=11.6（小時(shí)）。1318121571551217712109131219671112安徽工程大學(xué)

10加權(quán)算術(shù)平均數(shù)(例子)在前面的例子中，假設(shè)我們只得到了分組后的資料：該組數(shù)據(jù)算術(shù)平均數(shù)等于

245/20=12.25（小時(shí)）。分組人數(shù)5-10610-15915-205合計(jì)20分組人數(shù)組中值xf5-1067.54510-15912.5112.515-20517.587.5合計(jì)20-245安徽工程大學(xué)

11關(guān)于計(jì)算結(jié)果的說明根據(jù)原始數(shù)據(jù)和分組資料計(jì)算的結(jié)果一般不會(huì)完全相等，根據(jù)分組數(shù)據(jù)只能得到近似結(jié)果。只有各組數(shù)據(jù)在組內(nèi)呈對(duì)稱或均勻分布時(shí)，根據(jù)分組資料的計(jì)算結(jié)果才會(huì)與原始數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果一致。安徽工程大學(xué)

12算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)1、 所有的定量數(shù)據(jù)都有算術(shù)平均數(shù)。2、計(jì)算算術(shù)平均數(shù)時(shí)使用了所有數(shù)據(jù)。3、一組數(shù)只有一個(gè)均值。4、各變量值與均值的離差之和等于零。張村有個(gè)張千萬，九個(gè)鄰居窮光蛋；統(tǒng)計(jì)平均算資產(chǎn)，個(gè)個(gè)都是張百萬。

缺點(diǎn)：易受極端值的影響。嚴(yán)格來說無法根據(jù)有開口組

的分組數(shù)據(jù)計(jì)算算術(shù)平均數(shù)。安徽工程大學(xué)

13調(diào)和平均數(shù)-Harmonicmean概念:各變量倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù);場(chǎng)合:統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)只有每組的變量值和相應(yīng)的標(biāo)志總量；分為簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。安徽工程大學(xué)

14調(diào)和平均數(shù)-Harmonicmean簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)：安徽工程大學(xué)

15調(diào)和平均數(shù)-Harmonicmean

加權(quán)調(diào)和平均數(shù)：安徽工程大學(xué)

16例子時(shí)間單價(jià)所花錢數(shù)購買量早市中市晚市0.50.40.243287.510合計(jì)-925.5安徽工程大學(xué)

17接上例平均價(jià)格如下:安徽工程大學(xué)

18幾何平均數(shù)-Geometricmean概念：n個(gè)變量連乘積的n次方根；用表示；簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)：加權(quán)幾何平均數(shù):安徽工程大學(xué)

192中位數(shù)(Median)一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處在數(shù)列中點(diǎn)位置的數(shù)值。特點(diǎn)：對(duì)一組數(shù)據(jù)是唯一的。不受極端值的影響。主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)。安徽工程大學(xué)

20根據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)n為奇數(shù)時(shí)等于第(n+1)/2個(gè)數(shù)。n為偶數(shù)時(shí)等于第n/2和n/2+1個(gè)數(shù)的平均值1，2，5，9，11中位數(shù)=51，2，5，9，11，18中位數(shù)=（5+9）/2=7安徽工程大學(xué)

213眾數(shù)(Mode)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。主要特點(diǎn)：不受極端值的影響。有的數(shù)據(jù)無眾數(shù)或有多個(gè)眾數(shù)。對(duì)未分組定量資料很少使用。安徽工程大學(xué)

22眾數(shù)的不惟一性眾數(shù)無眾數(shù)眾數(shù)1眾數(shù)2眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系對(duì)稱分布

均值=中位數(shù)=眾數(shù)分配為鐘形、輕微不對(duì)稱的經(jīng)驗(yàn)公式：左偏分布均值

中位數(shù)

眾數(shù)<<右偏分布眾數(shù)

中位數(shù)均值<<安徽工程大學(xué)

24小結(jié)：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的特點(diǎn)算術(shù)平均數(shù)：易受極端值影響(使用了全部數(shù)據(jù))數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良,主要用于數(shù)值型數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)對(duì)稱分布或接近對(duì)稱分布時(shí)應(yīng)用中位數(shù):不受極端值影響數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時(shí)應(yīng)用;主要用于順序數(shù)據(jù)眾數(shù)：不受極端值影響不具有惟一性數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時(shí)應(yīng)用;主要用于分類數(shù)據(jù)安徽工程大學(xué)

254分位數(shù)（Quantile)把順序排列的一組數(shù)據(jù)分割為若干相等部分的分割點(diǎn)的數(shù)值。分位數(shù)可以反映數(shù)據(jù)分布的相對(duì)位置（而不單單是中心位置）。常用的有四分位數(shù)、十分位數(shù)、百分位數(shù)。四分位數(shù)（Quartile)：Q1Q2Q3

十分位數(shù)(Decile):D1D2………D9百分位數(shù)(percentile)：

P1P2…………P99安徽工程大學(xué)

26四分位數(shù)（Quartile)數(shù)據(jù)按大小順序排序后把分割成四等分的三個(gè)分割點(diǎn)上的數(shù)值。在實(shí)際應(yīng)用中四分位數(shù)的計(jì)算方法并不統(tǒng)一（數(shù)據(jù)量大時(shí)這些方法差別不大）。對(duì)原始數(shù)據(jù)：SPSS中四分位數(shù)的位置為(n+1)/4，2(n+1)/4，3(n+1)/4。Excel中四分位數(shù)的位置分別為(n+3)/4，2(n+1)/4，（3n+1)/4。如果四分位數(shù)的位置不是整數(shù)，則四分位數(shù)等于前后兩個(gè)數(shù)的加權(quán)平均。四分位數(shù)計(jì)算（例子）排序后的數(shù)據(jù):2，5，6，7，8，9，10，12，15，16不能整除時(shí)需加權(quán)平均：

位置22.753

數(shù)值560.75×(6-5)=0.75安徽工程大學(xué)

282.

數(shù)據(jù)描述的數(shù)值方法數(shù)據(jù)描述的數(shù)值方法分布的形狀集中趨勢(shì)離散程度眾數(shù)中位數(shù)均值離散系數(shù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差峰度四分位距極差偏態(tài)3.2.13.2.23.2.3安徽工程大學(xué)

294.2離散程度反映各變量值遠(yuǎn)離其中心值的程度（離散

程度），從另一個(gè)側(cè)面說明了集中趨勢(shì)測(cè)

度值的代表程度。不同類型的數(shù)據(jù)有不同的

離散程度測(cè)度指標(biāo)。常用指標(biāo)：全距（極差）四分位距方差和標(biāo)準(zhǔn)差離散系數(shù)安徽工程大學(xué)

301全距（Range）全距也稱極差，是一組數(shù)據(jù)的最大值與最

小值之差。R=最大值-最小值組距分組數(shù)據(jù)可根據(jù)最高組上限-最低組下限計(jì)算。受極端值的影響。全距=？2，5，6，7，8，9，10，12，15，16，20安徽工程大學(xué)

31等于上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度，數(shù)值越小說明中間的數(shù)據(jù)越集中。不受極端值的影響?？梢杂糜诤饬恐形粩?shù)的代表性。

2四分位差(Quartiledeviation)2，5，6，7，8，9，10，12，15，16，20Q1=6,Q2=9,Q3=15安徽工程大學(xué)

323平均差(meandeviation)概念:各變量與其平均數(shù)的絕對(duì)值的平均數(shù),用MD表示;簡(jiǎn)單式:加權(quán)式:安徽工程大學(xué)

33方差是一組數(shù)據(jù)中各數(shù)值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差是方差正的平方根?？傮w方差和樣本方差的符號(hào)不同，計(jì)算公式也不一樣。是反映定量數(shù)據(jù)離散程度的最常用的指標(biāo)。方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(varianceandstandarddeviation)安徽工程大學(xué)

34方差的計(jì)算公式總體方差樣本方差未分組

數(shù)據(jù)分組數(shù)據(jù)樣本方差用（n-1）去除，從數(shù)學(xué)角度看是因?yàn)樗强傮w方差σ2的無偏估計(jì)量。安徽工程大學(xué)

35標(biāo)準(zhǔn)差(例子)某工會(huì)隨機(jī)調(diào)查了5名工人上月的加班時(shí)間如下表，平均加班時(shí)間為13小時(shí)。計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。加班小時(shí)數(shù)絕對(duì)離差離差平方130018525121115247636合計(jì)1466加班小時(shí)數(shù)131812157安徽工程大學(xué)

364離散系數(shù)（CoefficientofVariation)標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比，表示為百分?jǐn)?shù)。特點(diǎn)：反映了相對(duì)于均值的相對(duì)離散程度；可用于比較計(jì)量單位不同的數(shù)據(jù)的離散程度；計(jì)量單位相同時(shí)，如果兩組數(shù)據(jù)的均值相差懸殊，離散系數(shù)可能比標(biāo)準(zhǔn)差等絕對(duì)指標(biāo)更有意義。安徽工程大學(xué)

37離散系數(shù)：例子對(duì)30名經(jīng)理人員的調(diào)查表明年平均收入=$500,000，標(biāo)準(zhǔn)差=$50,000。對(duì)30名工人的調(diào)查表明平均收入=$32,000，標(biāo)準(zhǔn)差=$5,000。離散系數(shù)：經(jīng)理人員:工人:雖然經(jīng)理人員收入的絕對(duì)離散程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于工人，但經(jīng)理人員收入的相對(duì)離散程度小于工人。安徽工程大學(xué)

38總方差、組內(nèi)方差和組間方差原則：對(duì)于收集的數(shù)據(jù)，分成k組第i組的平均數(shù)記為總平均數(shù)記為安徽工程大學(xué)

39總方差、組內(nèi)方差和組間方差組內(nèi)方差：各組組內(nèi)方差的平均值：組間方差：

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403.

數(shù)據(jù)分布形狀的描述數(shù)據(jù)描述的數(shù)值方法分布的形狀集中趨勢(shì)離散程度眾數(shù)中位數(shù)均值離散系數(shù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差峰度四分位距極差偏態(tài)3.2.13.2.23.2.3安徽工程大學(xué)

41偏態(tài)和峰度的類型偏態(tài)左偏分布右偏分布正態(tài)分布扁平分布峰態(tài)尖峰分布安徽工程大學(xué)

421原點(diǎn)矩和中心矩K階原點(diǎn)矩：K階中心矩：安徽工程大學(xué)

432偏態(tài)及其測(cè)定（Skewness)

數(shù)據(jù)分布的不對(duì)稱性稱作偏態(tài)。偏態(tài)系數(shù)就是對(duì)數(shù)據(jù)分布的不對(duì)稱性（即偏斜程度）的測(cè)度。

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44偏態(tài)及其測(cè)定（Skewness)偏態(tài)系數(shù)為三階中心矩和標(biāo)準(zhǔn)差的三次方比：偏態(tài)系數(shù)有多種計(jì)算方法，在統(tǒng)計(jì)軟件中（如Excel等）通常采用以下公式：安徽工程大學(xué)

45偏態(tài)系數(shù)的含義左偏分布(也稱負(fù)偏分布)：偏態(tài)系數(shù)<0；偏態(tài)系數(shù)的絕對(duì)值越大，偏斜越嚴(yán)重?cái)?shù)據(jù)向左邊延伸得更多右偏分布(也稱正偏分布)：偏態(tài)系數(shù)>0；偏態(tài)系數(shù)的絕對(duì)值越大，偏斜越嚴(yán)重。數(shù)據(jù)向右邊延伸得更多對(duì)稱分布：偏態(tài)系數(shù)=0。

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463峰度及峰度系數(shù)(Kurtosis)峰度：數(shù)據(jù)分布的扁平或尖峰程度。峰度系數(shù)：數(shù)據(jù)分布峰度的度量值，對(duì)數(shù)據(jù)分布尖峰或扁平程度的測(cè)度，一般用K表示。統(tǒng)計(jì)軟件(如Excel等）中常用以下公式計(jì)算：安徽工程大學(xué)

47峰度系數(shù)(Kurtosis)為四階中心矩和標(biāo)準(zhǔn)差的四次方比與3的差統(tǒng)計(jì)軟件(如Excel等）中常用以下公式計(jì)算：安徽工程大學(xué)

48峰度系數(shù)的含義扁平分布尖峰分布峰度系數(shù)K<0，與正態(tài)分布相比該分布一般為扁平、瘦尾，肩部較胖。峰度系數(shù)K>0，與正態(tài)分布相比該分布一般為尖峰、肥尾，肩部較瘦。均值和方差相同的正態(tài)分布安徽工程大學(xué)

493、箱線圖（BoxPlot)用于描述數(shù)據(jù)分布特征的一種圖形。最簡(jiǎn)單的箱線圖可以根據(jù)數(shù)據(jù)的最大值、最小值和三個(gè)四分位數(shù)繪制的：先根據(jù)三個(gè)四分位數(shù)Q1、Q2、Q3畫出中間的盒子，然后由盒子兩端分別向最大、最小值連線。在SPSS中標(biāo)準(zhǔn)的箱線圖一般是這樣繪制的：先根據(jù)三個(gè)四分位數(shù)Q1、Q2、Q3畫出中間的盒子；由Q3至Q3+1.5*IQR區(qū)間內(nèi)的最大值向盒子的頂端連線，由Q1至Q1-1.5*IQR區(qū)間內(nèi)的最小值向盒子的底部連線；處于Q3+1.5*IQR至Q3+3*IQR或者Q1-1.5*IQR至Q1-3*IQR范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)用圓圈標(biāo)出；大于Q3+3*IQR或者小于Q1-3*IQR的用星號(hào)標(biāo)出。安徽工程大學(xué)

50數(shù)據(jù)：2，5，6，7，8，9，10，12，15，20，35箱線圖Q1Q2Q3IQR=91.5*IQR=13.51.5*IQR=13.5離群點(diǎn)安徽工程大學(xué)

51分布的形狀與箱線圖

對(duì)稱分布Q1中位數(shù)

Q3左偏分布Q1中位數(shù)

Q3右偏分布Q1

中位數(shù)

Q3安