重慶市二0三中學2023屆高三上學期第二次質(zhì)量監(jiān)測試題 數(shù)學（解析版）

二0三中學校2022-23上期高三第二次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題一?選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A B. C. D.2.根據(jù)分類變量與觀察數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)下表給出的獨立性檢驗中（）A.有的把握認為變量與獨立B.有的把握認為變量與不獨立C.變量與獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過D.變量與不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過3.函數(shù)圖象大致是（）A. B.C. D.4.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素后，在距釋放處的地方測得信息素濃度y滿足，其中A，K為非零常數(shù).已知釋放1s后，在距釋放處2m的地方測得信息素濃度為a，則釋放信息素4s后，信息素濃度為的位置距釋放處的距離為（）A. B. C.2m D.4m5.六名大四學生（其中4名男生、2名女生）被安排到A、B、C三所學校實習，每所學校2人，且2名女生不到同一學校，也不到C學校，男生甲不到A學校，則不同的安排方法共有（）A.9種 B.12種 C.15種 D.18種6.曲線上點到直線的最短距離是（）A.2 B. C. D.7.若，且，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.8.若，且的解集為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二?多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知隨機變量服從正態(tài)分布，定義函數(shù)為取值不超過的概率，即.若，則下列說法正確的有（）A. B.C.在上是增函數(shù) D.10.已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象關于直線對稱C.D.在上的值域為11.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.在單調(diào)遞增B.為的一個極小值點C.無最大值D.有唯一零點12.已知a，，滿足，則（）A. B. C. D.三?填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.13.命題“，”是______（填：真/假）命題，它的否定是________.14.已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，則sinβ的值為________．15.函數(shù)的所有零點之和為__________．16.記定義在上的可導函數(shù)的導函數(shù)為，且，，則不等式的解集為______．四、解答題：本大題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17.設函數(shù)，在處的切線方程為.（1）求實數(shù)，的值；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間和最值.18.（1）設，為銳角，且，，求的值；（2）化簡求值：．19.高三年級某班50名學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示，成績分組區(qū)間為：，，，，，，．其中，，成等差數(shù)列且．物理成績統(tǒng)計如表．（說明：數(shù)學滿分150分，物理滿分100分），若數(shù)學成績不低于140分等第為“優(yōu)”，物理成績不低于90分等第為“優(yōu)”.分組頻數(shù)6920105（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求出實數(shù)，，的值以及數(shù)學成績?yōu)椤皟?yōu)”的人數(shù)；（2）已知本班中至少有一個“優(yōu)”同學總數(shù)為6人，從該6人中隨機抽取3人，記為抽到兩個“優(yōu)”的學生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．20已知函數(shù).（1）求的最小正周期和對稱軸方程；（2）若函數(shù)在存在零點，求實數(shù)的取值范圍.21.2022年冬季奧林匹克運動會主辦城市是北京，北京成為第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會以及亞洲運動會三項國際賽事的城市.為迎接冬奧會的到來，某地很多中小學開展了模擬冬奧會賽事的活動，為了深入了解學生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地隨機選取了10所學校進行研究，得到如下數(shù)據(jù)：（1）在這10所學校中隨機選取3所來調(diào)查研究，求在抽到學校至少有一個參與“自由式滑雪”超過40人的條件下，“單板滑雪”不超過30人的概率；（2）現(xiàn)在有一個“單板滑雪”集訓營，對“滑行?轉彎?停止”這3個動作技巧進行集訓，且在集訓中進行了多輪測試.規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達到“優(yōu)秀”.則該輪測試記為“優(yōu)秀”，在集訓測試中，小明同學3個動作中每個動作達到“優(yōu)秀”的概率均為，每個動作互不影響且每輪測試互不影響.如果小明同學在集訓測試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達到3次，那么理論上至少要進行多少輪測試？22.設，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）令，若在上恒成立，求的最小值．

二0三中學校2022-23上期高三第二次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題一?選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡集合，然后根據(jù)交集運算即可得到答案【詳解】解：因為，且，所以，故選：D2.根據(jù)分類變量與的觀察數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)下表給出的獨立性檢驗中（）A.有的把握認為變量與獨立B.有的把握認為變量與不獨立C.變量與獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過D.變量與不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過【答案】D【解析】【分析】根據(jù)獨立性檢驗的含義進行判斷可得.【詳解】由題意，，所以有的把握認為變量與不獨立，即變量與不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過.故選：D3.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性排除兩個選項，再利用時，值為正即可判斷作答.【詳解】函數(shù)定義域為R，，即是奇函數(shù)，A，B不滿足；當時，即，則，而，因此，D不滿足，C滿足.故選：C4.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素后，在距釋放處的地方測得信息素濃度y滿足，其中A，K為非零常數(shù).已知釋放1s后，在距釋放處2m的地方測得信息素濃度為a，則釋放信息素4s后，信息素濃度為的位置距釋放處的距離為（）A. B. C.2m D.4m【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，根據(jù)和時的表達式，結合對數(shù)運算，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由，，，得當，時，，即，因此，故.故選：D.5.六名大四學生（其中4名男生、2名女生）被安排到A、B、C三所學校實習，每所學校2人，且2名女生不到同一學校，也不到C學校，男生甲不到A學校，則不同的安排方法共有（）A.9種 B.12種 C.15種 D.18種【答案】D【解析】【分析】用分步方法安排：第一步安排2名女生到兩個學校，第二步學校選除男生甲外的1名男生，第三步學校再從剩下的3名男生中選1名，第四步最后2名男生安排到學校，由乘法原理計數(shù)．【詳解】第一步2名女生分配到兩個學校，方法數(shù)為，第二步學校選1名男生，方法數(shù)為（不含男生甲），第三步學校從剩下的3名男生中選1名，方法為，最后還有2名男生到學校，所以總方法數(shù)為．故選：D．6.曲線上的點到直線的最短距離是（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出曲線與直線平行的切線的切點，則到直線的距離即為所求．【詳解】解：由題知：，再令得，故與直線平行的切線的切點為，所以所求的距離為：．故選：D．7.若，且，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由及二倍角的余弦公式可得，根據(jù)兩角差的正弦公式可得，由誘導公式及的范圍，結合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】解：∵，∴.由，可得，即.∴，∴.∵，∴，且.由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即.故選:C.8.若，且的解集為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】當時，由，得到，求導得到單調(diào)遞增，從而求得的范圍，再求得當時，的范圍，再結合題意得到結果即可.【詳解】當時，，由，可得，設，則，則在遞增，所以，即當時，，可得當時，的解集為當時，的解集為，不滿足題意，舍去因為關于的不等式的解集為當時，，滿足當時，，不滿足綜上可得:的取值范圍是故選:B.二?多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知隨機變量服從正態(tài)分布，定義函數(shù)為取值不超過的概率，即.若，則下列說法正確的有（）A. B.C.在上是增函數(shù) D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)和逐個分析判斷即可.【詳解】對于A，因為隨機變量服從正態(tài)分布，，所以，所以A正確，對于B，因為，，所以B錯誤，對于C，因為隨機變量服從正態(tài)分布，，所以當時，隨的增大，的值在增大，所以在上是增函數(shù)，所以C正確，對于D，因為，所以，所以D正確，故選：ACD10.已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象關于直線對稱CD.在上的值域為【答案】AC【解析】【分析】結合函數(shù)圖像求出的解析式，進而判斷AC；利用代入檢驗法可判斷B；利用換元法和三角函數(shù)性質(zhì)求出在上的值域可判斷D.【詳解】由圖像可知，，，故A正確；從而，又由，，因為，所以，從而，故C正確；因為，所以不是的對稱軸，故B錯誤；當時，則，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，，所以，故，即，從而，即在上的值域為，故D錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.在單調(diào)遞增B.為的一個極小值點C.無最大值D.有唯一零點【答案】ABC【解析】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，借助導數(shù)分析、推理判斷選項A，B，C；舉例說明判斷D作答.【詳解】依題意，，令，求導得，當時，令，則，即在上遞增，，則在上遞增，，因此在上遞增，A正確；當時，，求導得，顯然函數(shù)在上遞增，而，，則存在，使得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，即當時，，則，因此為的一個極小值點，B正確；當時，令，求導得，函數(shù)在上遞增，當時，，而在上遞增，值域為，因此當時，，所以無最大值，C正確；因，即和是函數(shù)的零點，D不正確.故選：ABC【點睛】結論點睛：可導函數(shù)y=f(x)在點處取得極值的充要條件是，且在左側與右側的符號不同．12.已知a，，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A、D利用基本不等式即可判斷，注意等號成立條件；B由，構造且，利用導數(shù)證明不等式；C根據(jù)A、B的分析，應用特殊值法判斷.【詳解】A：由，即，當且僅當時等號成立，正確；B：由，則且，令且，則，遞減，所以，，即成立，正確；C：當時，，錯誤；D：由，當且僅當時等號成立，正確.故選：ABD三?填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.13.命題“，”是______（填：真/假）命題，它的否定是________.【答案】①.真②.，【解析】【分析】利用判定全稱量詞命題真假方法判斷，再寫出其否定作答.【詳解】命題“，”是全稱量詞命題，因，，則，所以命題“，”是真命題，其否定是：，.故答案為：真；，14.已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，則sinβ的值為________．【答案】【解析】【詳解】2tan(π－α)－3cos＋5＝0化為－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1化為tanα－6sinβ＝1，解方程組因而sinβ＝.故填.15.函數(shù)的所有零點之和為__________．【答案】9【解析】【分析】根據(jù)給定條件，構造函數(shù)，，作出這兩個函數(shù)的部分圖象，確定兩個圖象的交點個數(shù)，再結合性質(zhì)計算作答.【詳解】由，令，，顯然與的圖象都關于直線對稱，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)，的圖象，如圖，觀察圖象知，函數(shù)，的圖象有6個公共點，其橫坐標依次為，這6個點兩兩關于直線對稱，有，則，所以函數(shù)的所有零點之和為9.故答案為：916.記定義在上的可導函數(shù)的導函數(shù)為，且，，則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】首先設函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，不等式等價于，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】設，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，且，不等式，所以.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17.設函數(shù)，在處的切線方程為.（1）求實數(shù)，值；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間和最值.【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為1，最小值為.【解析】【分析】（1）由題意先求的導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義和切點的性質(zhì)，建立的方程求解即可.（2）求的導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)在上的最值.【小問1詳解】因，所以，又的圖象在處的切線方程為，所以解得【小問2詳解】由（1）可知，，則當時，；當時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又，所以在上的最大值為1，最小值為.18.（1）設，為銳角，且，，求的值；（2）化簡求值：．【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的平方關系求得，然后算出的值，結合范圍即可得到答案；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關系、輔助角公式和二倍角公式，求得所給式子的值.【詳解】解：（1）∵為銳角，，且，∴；∵為銳角，，且，∴，∴，∵，∴；（2）19.高三年級某班50名學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示，成績分組區(qū)間為：，，，，，，．其中，，成等差數(shù)列且．物理成績統(tǒng)計如表．（說明：數(shù)學滿分150分，物理滿分100分），若數(shù)學成績不低于140分等第為“優(yōu)”，物理成績不低于90分等第為“優(yōu)”.分組頻數(shù)6920105（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求出實數(shù)，，的值以及數(shù)學成績?yōu)椤皟?yōu)”的人數(shù)；（2）已知本班中至少有一個“優(yōu)”同學總數(shù)為6人，從該6人中隨機抽取3人，記為抽到兩個“優(yōu)”的學生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1），，，4人；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）根據(jù)題中條件和頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程，從而解得結果；（2）依題意可得抽取6人中，兩科均為“優(yōu)”的同學為3人，寫出的可能值，求出對應的概率，進而可得分布列和數(shù)學期望.【詳解】（1）由于，，．解得，，，數(shù)學成績?yōu)椤皟?yōu)”的人數(shù)：（人）（2）數(shù)學成績?yōu)椤皟?yōu)”的同學有4人，物理成績?yōu)椤皟?yōu)”有5人，因為至少有一個“優(yōu)”的同學總數(shù)為6名同學，故兩科均為“優(yōu)”的同學為3人，故的取值為0，1，2，3．，，．則的分布列為0123．20.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和對稱軸方程；（2）若函數(shù)在存在零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）最小正周期為，對稱軸方程為（2）【解析】【分析】（1）化簡函數(shù)，結合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)題意轉化為在上有解，根據(jù)時，得到，即可求解.【小問1詳解】解：對于函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期為，令，解得，所以函數(shù)的對稱軸的方程為.【小問2詳解】解：因為函數(shù)在存在零點，即方程在上有解，當時，可得，可得，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍.21.2022年冬季奧林匹克運動會主辦城市是北京，北京成為第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會以及亞洲運動會三項國際賽事的城市.為迎接冬奧會的到來，某地很多中小學開展了模擬冬奧會賽事的活動，為了深入了解學生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地隨機選取了10所學校進行研究，得到如下數(shù)據(jù)：（1）在這10所學校中隨機選取3所來調(diào)查研究，求在抽到學校至少有一個參與“自由式滑雪”超過40人的條件下，“單板滑雪”不超過30人的概率；（2）現(xiàn)在有一個“單板滑雪”集訓營，對“滑行?轉彎?停止”這3個動作技巧進行集訓，且在集訓中進行了多輪測試.規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達到“優(yōu)秀”.則該輪測試記為“優(yōu)秀”，在集訓測試中，小明同學3個動作中每個動作達到“優(yōu)秀”的概率均為，每個動作互不影響且每輪測試互不影響.如果小明同學在集訓測試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平