人教版數(shù)學(xué)八年級上冊 等邊三角形的性質(zhì)與判定

13.3.2

等邊三角形第十三章軸對稱第1課時

等邊三角形的性質(zhì)與判定13.3

等腰三角形學(xué)習目標1．探索等邊三角形的性質(zhì)和判定；（重點）2．能運用等邊三角形的性質(zhì)和判定進行計算和證明.（難點）

小明想制作一個三角形的相框，他有四根木條長度分別為

10cm，10cm，10cm，6cm，你能幫他設(shè)計出幾種形狀的三角形？問題引入導(dǎo)入新課10cm10cm6cm10cm10cm10cm等腰三角形等邊三角形一般三角形

在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底與腰相等，即三角形的三邊相等，我們把三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.名稱圖形定義性質(zhì)判定等腰三角形等邊對等角三線合一等角對等邊兩邊相等兩腰相等軸對稱圖形ABC有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形等邊三角形的性質(zhì)一講授新課類比探究ABCABC問題1等邊三角形的三個內(nèi)角之間有什么關(guān)系？等腰三角形AB=AC∠B=∠C等邊三角形AB=AC=BCAB=AC∠B=∠CAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C內(nèi)角和為180°=60°結(jié)論：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角

都等于60°.已知：△ABC

中，AB=AC=BC.求證：∠A

=∠B=∠C=60°.證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C(等邊對等角).同理，∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°.ABCABC問題2

等邊三角形有“三線合一”的性質(zhì)嗎？等邊三角形有幾條對稱軸？結(jié)論：等邊三角形每條邊上的中線，高和所對角的平分線都“三線合一”.頂角的平分線、底邊上的高、底邊的中線三線合一一條對稱軸三條對稱軸圖形等腰三角形性質(zhì)

每一邊上的中線、高和這一邊所對的角的平分線互相重合3條對稱軸等邊三角形1條對稱軸兩個底角相等底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合且都是

60°兩條邊相等三條邊都相等知識要點三個角都相等，

例1

如圖，△ABC是等邊三角形，E是

AC上一點，D是

BC延長線上一點，連接

BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°.∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.ABCDE典例精析方法總結(jié)：等邊三角形是特殊的三角形，它的三個內(nèi)角都是60°，這個性質(zhì)常應(yīng)用在求三角形角度的問題上，一般需結(jié)合“等邊對等角”、三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)等知識求解.

如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長

BC到

E，使得

CE=CD．求證：BD=DE.變式訓(xùn)練：證明：∵△ABC

是等邊三角形，BD

平分∠ABC，∴∠ABC

=∠ACB

=

60°，∠DBC

=

30°．又∵

CE

=

CD，∴∠CDE

=∠CED．又∵∠BCD

=∠CDE

+∠CED

=

60°，∴∠CDE

=∠CED

=

30°．∴∠DBC

=∠DEC．∴

BD

=

DE(等角對等邊)．ABCED例2△ABC為正三角形，點

M是

BC邊上任意一點，點

N是

CA邊上任意一點，且

BM＝CN，BN與

AM相交于

Q點，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC為正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS).∴∠BAM＝∠CBN.∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM

＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.ACBMNQ方法總結(jié)：此題屬于等邊三角形與全等三角形的綜合運用，一般是利用等邊三角形的性質(zhì)判定三角形全等，而后利用全等及等邊三角形的性質(zhì)，求角度或證明邊相等.類比探究等邊三角形的判定二圖形等腰三角形等邊三角形判定

三個角都相等的三角形是等邊三角形從角看：兩個角相等的三角形是等腰三角形從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形小明認為還有第三種方法“兩條邊相等且有一個角是60°的三角形也是等邊三角形”，你同意嗎？理由是？等邊三角形的判定方法：

有一個角是

60°的等腰三角形是等邊三角形.辯一辯：根據(jù)條件判斷下列三角形是否為等邊三角形.不是是是是是不一定是（1）554（2）555（3）60°60°（4）60°（5）5560°（6）5560°

例3如圖，在等邊三角形ABC中，DE∥BC.求證：△ADE是等邊三角形.ACBDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵

DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.想一想：本題還有其他證法嗎？典例精析證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°．∵DE∥BC，∴∠ABC=∠ADE，

∠ACB=∠AED.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.變式1若點

D、E分別在邊

AB、AC的延長線上，且DE∥BC，結(jié)論還成立嗎？ADEBC變式2

若點

D、E分別在邊

AB、AC的反向延長線上，且

DE∥BC，結(jié)論依然成立嗎？證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠D，∠C=∠E．∴∠EAD=∠BAC=∠D=∠E．∴△ADE是等邊三角形．ADEBC變式3上題中，若將條件

DE∥BC改為

BD=CE，△ADE還是等邊三角形嗎?試說明理由.ACBDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°，AB=AC.∵

BD=CE，∴

AB－BD=

AC－CE，即

AD=

AE.又∵∠A=60°，∴△ADE是等邊三角形.例4

等邊△ABC中，點

P在△ABC內(nèi)，點

Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試證明你的結(jié)論．解：△APQ為等邊三角形．證明如下：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS).∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°.∴△APQ是等邊三角形.BCQAP方法總結(jié)：判定一個三角形是等邊三角形有以下方法：一是證明三角形三條邊相等；二是證明三角形三個內(nèi)角相等(或兩個內(nèi)角等于60°)；三是先證明三角形是等腰三角形，再證明有一個內(nèi)角等于60°.證明：∵

△ABC

為等邊三角形，且

AD

=

BE

=

CF，∴

AF

=

BD

=

CE，∠A

=∠B

=∠C

=

60°.∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）.∴

DF

=

ED

=

FE.∴△DEF

是等邊三角形.針對訓(xùn)練：如圖，等邊△ABC

中，D、E、F

分別是各邊上的點，且

AD

=

BE

=

CF．求證：△DEF

是等邊三角形．ACBDEF當堂練習

2.如圖，等邊三角形

ABC的三條角平分線交于點

O，過點

O作

DE∥BC，則這個圖形中的等腰三角形共有(

)A.4個

B.5個C.6個

D.7個DACBDEO1.等邊三角形的兩條高線相交所成鈍角的度數(shù)是()

A．105°B．120°C．135°D．150°

B3.如圖，在等邊△ABC

中，BD

平分∠ABC，BD

=

BF，則∠CDF

的度數(shù)是（）A．10°B．15°

C．20°D．25°

4.如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，已知△ABC的周長為

18cm，EC=2cm，則△ADE的周長是

cm.ACBDE12BBCDAF證明：∵△ABD

是等邊三角形，∴∠DAB＝60°.∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝180°－90°－30°＝60°．∴∠FAE＝∠EBC．∵

E

為

AB

的中點，∴

AE＝BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC(ASA)．5.如圖，在△ABC

中，∠ACB

=

90°，∠CAB

=

30°，以

AB

為邊在△ABC

外作等邊△ABD，E

是

AB

的中點，連接

CE

并延長交

AD

于

F．求證：△AEF≌△BEC．BCDAFE6.如圖，A、O、D三點共線，△OAB和△OCD是兩

個全等的等邊三角形，求∠AEB的大小.CBODAE解：∵△OAB和△OCD是兩個全等的等邊三角形.∴

AO=BO，CO=DO，∠AOB=∠COD=60°.∵A、O、D三點共線，∴∠DOB=∠COA=120°.∴△COA≌△DOB(SAS).∴∠DBO=∠CAO.設(shè)

OB與

EA相交于點

F.∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°.F7.圖①、圖②中，點

C為線段

AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形．