分類討論求一元二次不等式

分類討論案例----一元二次不等式求解集

一、分類討論在素質(zhì)教育教學(xué)中的作用高中數(shù)學(xué)學(xué)習離不開思維，高中數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實現(xiàn)，在高中教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的思維習慣，既符合新課程標準，也是進行素質(zhì)教育的一個切入點。波利亞所說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路”學(xué)分類討論思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點和不同點，使其分成幾個不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。它既是一種很重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種很重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。數(shù)學(xué)分類討論方法，就是將數(shù)學(xué)對象分成幾類，分別進行討論來解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、明顯的綜合性、明顯的探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。分類討論思想，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容。應(yīng)用分類討論，往往能夠使復(fù)雜的問題簡單化。分類的過程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性，條理性能力，而分類討論，又促進學(xué)生研究問題，探索規(guī)律的能力，這是素質(zhì)教育的本質(zhì)所在。分類討論的思想是一種很重要的解題策略，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴密性，嚴謹性與靈活性以及提高學(xué)生分析問題能力和解決問題的能力具有較大的幫助。二、分類討論在整個高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用分類討論思想不象一般數(shù)學(xué)知識那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡心理特征，學(xué)生在學(xué)習的各階段的認識水平和知識特點，逐步的滲透，螺旋式上升，不斷豐富自身的內(nèi)涵。在高中教育教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)分類討論思想，如不等式一節(jié)中不等式的乘法：a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc.學(xué)生在使用時容易忽略定理中c的條件，特別是當c是隱含有符號的代數(shù)式尤易疏忽，此時可以有意識地加強對性質(zhì)的應(yīng)用，題目雖小，但卻很好地考察了對定理的掌握和運用情況，也逐步滲透了分類又如，等比數(shù)列前幾項和公式是分別給出的：所以在解這類問題時，如果q是可以變化的量，就要以q為標準進行分類討論。又如在對直線互相垂直問題，必須討論斜率K存在與否。

學(xué)習分類討論思想方法，增強思維的縝密性在教學(xué)中滲透分類思想時，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當?shù)臉藴?，根?jù)對象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為很多類，最后對每一類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就會成為解決問題的關(guān)鍵所在。利用課本教材，教學(xué)中有意滲透并力求幫助學(xué)生初步掌握分類的思想方法，結(jié)合其它數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習，注意幾種思想方法的綜合使用，給學(xué)生提供足夠的資源和時間，啟發(fā)學(xué)生積極思考。相信會使學(xué)生在認識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學(xué)效果。三、一元二次不等式求解集是對分類討論思想的應(yīng)用一元二次不等式通過一元二次函數(shù)圖象進行求解。求一元二次不等式的解集實際上是使這個一元二次不等式的所有項移到不等式左邊并進行因式分解分類討論求出解集。解一元二次不等式，實際是將一元二次方程不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的形式，求出函數(shù)與X軸的交點，將一元二次不等式，二次函數(shù)，一元二次方程聯(lián)系起來，并利用圖像法進行解題。1．判別方法對于一元二次不等式影響考慮ax^2+bx+c>0（a＞0）（以下僅考慮a>0的情況，a<0可類推）A判別式△>0時，ax^2+bx+c=0（有兩個不相等的解）xx1x2 根據(jù)圖像y=ax^2+bx+c,寫出解集B判別式△=0時，對應(yīng)方程有一個根，因為a>0，二次函數(shù)圖象拋物線的開口向上，拋物線與x軸有一個交點，則x1=x2，所以不等式ax^2+bx+c>0的解集是x≠x1的全體實數(shù)，x1=x2xC判別式△<0時，拋物線在x軸的上方與x軸沒有交點。所以不等式ax^2+bx+c>0的解集是全體實數(shù)解集為Rx最后歸納得出一元二次不等式求解一元二次不等式與一元二次方程及一元二次函數(shù)的關(guān)系。一元二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根有兩實根有兩相等的實根無實根一元二次不等式的解集R不等式的解集ΦΦ解一元二次不等式的步驟：求根——畫圖——找解這里對判別式影響解集情況進行討論，當然用到了數(shù)學(xué)經(jīng)常用的另一種思想，數(shù)形結(jié)合思想，兩者思想相結(jié)合求解一元二次不等式。2含參數(shù)問題討論，以一元二次不等式解集為例子參數(shù)廣泛地存在于中學(xué)數(shù)學(xué)的各類問題中，是近幾年來高考重點考查的熱點問題之一。一種類型問題是根據(jù)參數(shù)在允許值范圍內(nèi)的不同取值（或取值范圍），去探求命題可能出現(xiàn)的結(jié)果，然后歸納出命題結(jié)論；另一種類型的問題是給定命題的結(jié)論去探求參數(shù)的取值范圍或參數(shù)應(yīng)滿足的條件。解決第一類型的參數(shù)問題，通常要用“分類討論”的方法，是根據(jù)問題的條件和所涉及到的概念；運用的定理、公式、性質(zhì)和運算的需要，圖形的位置等進行科學(xué)合理的分類，然后逐類分別加以討論，探究出各自的結(jié)果，而后歸納出命題的結(jié)論，達到解決問題的目的。它實際上是一種化難為易。化繁為簡的解題策略和方法。下面就一元二次不等式含參數(shù)問題進行闡述分類討論思想例：關(guān)于的不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.當，即時，原不等式可化為：時，不等式恒成立當，即時，不等式是一個一元二次不等式.當時，圖像就是這三種情況.那么不等式的對應(yīng)方程的根的情況對應(yīng)圖像上就分別是兩個、一個或無.那么它的判別式依次是：、或.的圖像的圖像解之得：綜上所述，當時，對于的不等式對一切實數(shù)恒成立.上面這個題在教學(xué)