概率論在實際生活中的應用

概率論在實際生活中的應用論文摘要：概率論是從數(shù)量上研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門數(shù)學學科，是對隨機現(xiàn)象進行演繹和歸納的科學[1]。概率論的表述，能夠使人們清楚直觀的看清現(xiàn)象，理解、掌握、運用概率論知識和概率計算方法，對解決各種概率相關問題能起到促進和深化的作用。本文就概率論在經(jīng)濟，市場，體育，博弈，加密，保險方面的應用進行了簡單的介紹，通過一些貼近生活的例子，說明了概率論的應用為生活帶來了極大的便利，從數(shù)字的角度清晰的解析了問題的關鍵局部，也為許多問題提供了一個方法。關鍵詞：概率論；生活；應用ApplicationofprobabilitytheoryinreallifeAbstract：Arequantitativeresearchinprobabilitytheoryrandomstatisticallawsofamathematicaldiscipline,iscarriedoutonrandomphenomenaofdeductiveandinductivescience.Descriptionoftheprobabilitytheory,tomakeitclearandintuitivetosee,understandandmaster,usingprobabilitytheoryknowledgeandprobabilitycalculationmethodsforsolvingvariousprobability-relatedissuescanplayaroleinpromotinganddeepening.Thisarticleonprobabilitytheoryineconomic,market,sports,games,encryption,applicationofinsurancetoasimpleintroduction,throughanumberofexamplesofdailylife,describestheapplicationofprobabilitytheorytolivebringsgreatconvenience,clearanalysisfromadigitalperspectivethekeypartoftheproblem,alsoprovideamethodformanyoftheproblems.Keywords:Probabilitytheory；Life；Applications引言概率論問題的應用十分寬泛，這里就經(jīng)濟，交通，體育，博弈學，密碼學方面進行簡單的舉例，通過這些貼近生活的具體實例說明概率論的方法可以為解決實際問題提供方法，為生活提供便利。概率論在經(jīng)濟中的應用1.1概率論在生產(chǎn)中的應用生產(chǎn)流程中間，出現(xiàn)合格產(chǎn)品以及不合格產(chǎn)品都有一定的概率，抽取局部產(chǎn)品，檢查其中不合格品的數(shù)量，就可以推斷出全部生產(chǎn)產(chǎn)品中的不合格品的數(shù)量，以及出現(xiàn)不合格產(chǎn)品的概率，進而推斷出該批次產(chǎn)品能否投入市場。例1：某零件場生產(chǎn)出的產(chǎn)品有3種，規(guī)定ABC產(chǎn)品的不合格產(chǎn)品概率要分別低于0.01，0.005，0.001的時候才能出廠。某日檢查第一種產(chǎn)品，隨機抽查5個產(chǎn)品中有1個不合格產(chǎn)品。用概率的方法推測這個批次的產(chǎn)品能否出廠？解:把抽查每一個產(chǎn)品看成一個獨立事件，可把問題看成一個典型的概率問題。如果產(chǎn)品符合要求，那么其不合格的概率小于0.01，令p=0.01，q=1-p=0.99。抽取5件產(chǎn)品沒有不合格品的概率為P〔0〕=C〔0.01〕〔0.99〕=0.950990049假設產(chǎn)品符合要求，那么抽取樣品中有不合格品的概率為1-P〔0〕≈0.05。因此出現(xiàn)不合格品應該是一個小概率事件[2]，當抽取5個出現(xiàn)有1個不合格產(chǎn)品的時候，不合格品出現(xiàn)的概率為0.2，這個批次的A產(chǎn)品不合格率超過了0.01,故這批次產(chǎn)品不能夠直接出廠，需要繼續(xù)檢查。1.2概率論在市場銷售中的運用生產(chǎn)商，銷售商，經(jīng)濟活動中的各個角色在從事一定的經(jīng)濟活動中都需要考慮這一活動所帶來的結果，通俗的來說，就是要考慮其所得的利益。那么，銷售商在進貨的過程中就需要考慮到市場的需求量，產(chǎn)品的價值等綜合問題，以獲取最大的利益。這里，舉出一個例子。例2：市場中每月對產(chǎn)品A的需求量為10到30間的任意數(shù)值，故產(chǎn)品銷售商每月初去進貨的數(shù)量也就應該為區(qū)間[10，30]中的某一整數(shù)值。成功的銷售出去一樣產(chǎn)品，經(jīng)銷商將盈利400元。假設產(chǎn)品的數(shù)量大于需求量，銷售商會將過量的局部商品采取降價處理的措施，那么這多出的這局部產(chǎn)品每一件將虧損200元。為了使銷售商每個月的盈利期望到達10000元，那么銷售商每個月應該進貨的數(shù)量為多少件？解：設進貨量為a,那么每個月的盈利量為=g〔〕=400a〔a≤≤30〕=400a〔a≤≤30〕400-200(a-)(≤a≤30)600-200a(≤a≤30)期望利潤為E〔〕=g〔x〕dx=(600x-200a)dx+400adx=25〔a+28a-60〕=25(a+14)-25×256依題意得當a最小取值為26時取得盈利期望到達10000，所以可以獲利10000的進貨區(qū)間為[26，30]故要到達期望的利潤值要求進貨商進貨量應為[26，30]中的任意整數(shù)值。1.3概率論在投資中的運用俗話說，不要把雞蛋放在一個籃子里面。同樣，這個原理也可以運用于投資中，在購置股票的時候，購置多支股票的要優(yōu)于購置一支股票，這里可以用概率的方法進行解析。例3．某公司購置了3支可以獲利的獨立股票，且3支股票獲利的概率分別為0.7，0.5,0.4,求任意兩種股票中至少有一種能夠取得收益的概率；三種股票中至少有一種能夠取得收益的概率。解：設3支獨立股票獲利分別獲利的事件為A.B.C，那么事件A.B.C是相互獨立的。且P〔A〕=0.7，P〔B〕=0.5，P〔C〕=0.4〔1〕任意兩支股票中有至少一只股票獲利的概率相當于3支股票中至少有兩支獲利?！布僭O少于兩支股票獲利，那么3只股票中就可能隨機抽取出兩只不獲利的股票〕。任意兩種股票中至少有一種能夠取得利益的概率P=P(AB+BC+AC)=P(AB)+P(BC)+P(AC)-2P(ABC)=0.7×0.5+0.5×0.4+0.7×0.4-2×0.7×0.5×0.4=0.35+0.20+0.28-0.28=0.55〔2〕三種股票中至少有一種能夠取得收益的概率P=P〔A+B+C〕=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)×××0.4+0.7×0.5×0.4=0.91可見三種股票中至少有一種獲利的概率到達了9成以上，即有極大的幾率會獲利。而兩支股票至少有一支會獲利的概率只比一半多一些。假設想要保證能夠獲利，就應該選擇分散投資，也就是說“不要把雞蛋放在一個籃子里面”[3]。2概率論在交通設施建設上的應用隨著城市人口的增加，城市車輛數(shù)目的增多，也就出現(xiàn)越來越嚴重的交通問題[4]。怎么樣合理安排路線，成為了交通設施建設中的一個重要環(huán)節(jié)。而某一時間，某一路線，某一位置會面臨怎樣的交通狀況，是可以運用概率的方法計算出來，正確的處理各種可預測的交通問題，就能為人民的生活出行營造一個舒適的環(huán)境。例4：A城的B路口，由西而來到路口的車輛，經(jīng)過十字路口時，向東行駛的概率是0.5，向南行駛的概率是0.25，向北行駛的概率是0.25。在C時間段60秒內(nèi)十字路口由西而來的車輛約為150輛。假設向東行駛的車輛最長的紅燈等待時間為40秒?？赏ㄐ袝r間為20秒。那么這20秒內(nèi)需要通過多少輛車才能夠防止交通的堵塞？解：向東行駛的車輛最長等待紅燈時間為40秒，可通行時間為20秒，那么在自西向東車輛等待紅燈的40秒時間內(nèi)將有20秒時間內(nèi)自西向南和自西向北的車輛可通行。40秒內(nèi)約有由西而來的車輛100輛，其中向東行駛的車輛概率為0.5。那么可以得出，向東行駛的車輛約為50輛，為了防止交通的堵塞，那么在這20秒內(nèi)通過車輛的數(shù)量至少應該為50輛，相當于每秒中要通過路口的車輛為2.5輛。路口的設計行駛為8行道。所以在每秒中完全可以到達道路交通要求的標準，這樣，這個路口就不會造成堵塞。概率問題運用到交通設施建設中方便了生活的方方面面，春節(jié)期間，人們的出行率到達一個頂峰，五一，十一等節(jié)假日，人們的出行率也會有很大程度的提高，這對于鐵路交通運輸就會造成很大的壓力。特別是春節(jié)期間，人們常常感慨一票難求。交通運輸部門可以根據(jù)人們出行，以及人們返鄉(xiāng)出行路線概率的計算，結合車輛的運輸容量，增開一些班次路線的列車，可緩解交通運輸?shù)膲毫?，為人們帶來福利。而人們在制定旅行方案時，也可以運用概率的方法推算一定時間內(nèi)景點的客流量，確定自己的路線和時間。3概率論在體育賽事中的運用奧運會是全世界人民共同關注的一場體育盛宴，而每四年舉行的奧運會中第一天總會有射擊的賽事，也是中國取得開門紅的重要奪金點。例5：射擊所用的靶子一般有十環(huán)，從靶心向外分別是黃色，紅色，藍色，黑色和白色，射中位置越靠近靶心，所得的環(huán)數(shù)就越高，同樣，選手的得分就越高。請運用概率方法解釋這一現(xiàn)象，為什么越靠近中心分數(shù)越高？解:可將靶子中間的十環(huán)看成是十個同心圓，由內(nèi)向外，設最小的那個圓的半徑為r，那么由內(nèi)向外的其余9個圓的半徑分別為2r,3r,4r,5r,6r,7r,8r,9r,10r。[6]根據(jù)圓面積公式S=r這10個圓的面積分別r，4r，9r，16r，25r，36r，49r，64r，81r，100r。那么可以得出向外每個同心圓環(huán)的面積分別為3r，5r，7r，9r，11r，13r，15r，17r，19r。假設選手每一次都不會脫靶，那么他射中每一個環(huán)的概率應該與環(huán)的面積比例相等。那么射中10環(huán)的概率為r/100r=0.01，依此類推，9環(huán)的概率為0.03，8環(huán)的概率為0.05……見下表環(huán)數(shù)10987654321概率0.010.030.050.070.090.110.130.150.170.19通過概率的方法，可以很容易看出，射中越大環(huán)數(shù)的概率越小，也就越有難度，所以也就得分越高。體育運動是全民的活動，概率論在體育中的運用也是十分廣泛的。例6：A校和B校將進行一次乒乓球友誼賽，地點和賽事規(guī)定由B校制定。A校的李選手和B校的王選手曾經(jīng)進行過許屢次比賽，統(tǒng)計其比賽結果，A校的李選手的勝率為0.6，B校的王選手勝率為0.4。乒乓球比賽的賽事一般采用三局兩勝制或者五局三勝制，那么如何制定才能讓B校的勝率更大呢？解：設某一局李選手勝為事件A，王選手勝為事件B。假設采取三局兩勝制，那么王選手獲勝的情況分為兩種：1.前兩局王選手獲勝2.前兩局王選手一勝一負，第3局獲勝。王選手獲勝的概率為P=P(BB)+P(ABB)+P(BAB)=0.4×0.4+2×0.6×0.4×0.4=0.352假設采取五局三勝制，那么王選手獲勝的情況分為三種：1.前3局王選手獲勝2.前3局王選手兩勝一負，第4局獲勝3.前4局王選手兩勝兩負，最后一局獲勝。王選手獲勝的概率為P=P〔BBB〕+P〔ABBB〕+P(BABB)+P〔BBAB〕+P〔AABBB〕+P〔ABABB〕+P(ABBAB〕+P〔BAABB〕+P〔BABAB〕+P〔BBAAB〕=0.4×0.4×0.4+3×0.6×0.4×0.4×0.4+6×0.6×0.6×0.4×0.4×0.4=0.064+0.1152+0.13824=0.31744比擬P和P的結果，采取第一種方法，就是三局兩勝制，B校的王選手獲勝的概率要高一些，但是和第二種方法之間的差異不大，都只有不到0.4。這說明王選手取勝的幾率比李選手低一半，其勝率并不是可以通過比賽的賽事制度就可以扭轉(zhuǎn)的，這方面不能夠投機取巧的。同樣也說明了，想要贏得比賽的勝利，就應該努力訓練，提高自身的能力。4概率論在博弈學中的運用博弈學中概率論運用的十分廣泛，同樣也起著十分重要的作用。4.1賭本分配問題例7.甲，乙兩個賭徒在每一局的獲勝的概率都是1/2。兩人約定誰先贏得一定的局數(shù)就能得到全部的賭本，但是賭博在中途因外來因素被打斷了，請問在以下各種情況下，應如何合理分配賭本：〔1〕甲，乙兩個賭徒都各需贏k局才能獲勝；〔2〕甲賭徒還需贏2局才能獲勝，乙賭徒還需贏3局才能獲勝；〔3〕甲賭徒還需贏n局才能獲勝，乙賭徒還需贏m局才能獲勝[7]。解:為了表示賭局的公平性，合理分配的賭注，就要按照甲乙兩人最終獲勝的概率大小來分賭本?！?〕由于在這種情況下，甲乙兩人都需要贏k局才能獲勝，而且每一局甲乙兩人的贏率是一樣的，甲乙兩人所處的地位是對稱的，所以甲乙兩人最終獲勝的概率都是1/2，甲獲得全部賭本的1/2，乙獲得全部賭本的1/2?！?〕甲賭徒還需要再贏2局，乙賭徒還需要再贏3局，那么最多再進行4局就能夠分出勝負，設A表示如果再繼續(xù)賭下去的第i局中為甲獲勝，i=1，2，3，4，那么甲最終獲勝的概率P=P(AA)+P(A A)+P(AA)+P(AA)+P〔AA〕+P〔AA)=〔1/2〕+2×(1/2)+3×(1/2)=11/16所以甲賭徒最終獲勝的概率為11/16，乙賭徒獲勝的概率為5/16，賭本的分配應當為甲分得全部賭本的11/16，乙分得全部賭本的5/16?！?〕甲賭徒還需要贏n局，乙賭徒還需要贏m局，那么最多再賭n+m-1局必分勝負，那么存在有2種可能的情況，如果甲最終獲勝了:那么在這n+m-1局種甲贏了n局，那么乙最多只能贏m-1局，那么共有C+C+……+C種情況，設a+b=2a=C+C+……+Ca+b=2b=C+C+……+C[8]那么甲最終獲勝的概率為P=乙最終獲勝的概率為P=根據(jù)甲乙贏的概率來公平分賭本的話，所以甲得全部賭本的a/2，乙得全部賭本b/2。4.2賭博中的莊家盈利賭博中莊家常常給賭徒制造一種幻覺性心理，讓賭徒覺得自己有很大的贏率，實際上這種心理是不切實際的?？梢酝ㄟ^概率的方法來解釋這一現(xiàn)象的不實際性。例8．新年前夕，人們采辦年貨的時候，總會有一些人擺出小賭攤，這個賭攤的主人準備了一個紅色的袋子，袋子從外面是看不到里面的，賭攤的主人準備了8個黑色的小球和8個白色的小球，將這些球都放入袋子里面，并規(guī)定是這樣的，想要來嘗試的人需要交1元錢，然后從袋子里面摸出5個小球。如果摸到的是5個黑色小球獎勵20元，如果摸到的是4個黑色的小球就獎勵2元，如果摸到的有3個白子那么賭攤的主人會送你一個價值5角的新春“?！弊?，如果摸到的是其他的，主人也會送你一句新春祝福。那么摸到能夠獎勵20元的小球的概率有多少呢？能獲得2元錢的概率有多少呢？如果每天有1000人來到這個賭攤這里摸球，賭攤的主人可以得到多少錢的收益呢？解:一共有16個小球，從這16個小球中間摸出5個小球的會出現(xiàn)的情況有C種?！?〕其中摸出的球中5個均是白球的可能情況數(shù)為C，由此可以得出任意摸出的5個小球為白球的概率為C/C0.0128，也就是說贏得20元的概率不到2%?！?〕其中摸出5個球中有4個白球和1個黑球的可能性為CC種。那么任意摸出的5個小球中有4個白球1個黑球的概率為CC/C0.1282，也就是說，贏得2元的概率為12.82%[9]?！?〕任意摸出的5個小球中有3個白球，2個黑球的可能性為CC，那么可以換到新春“?！弊值母怕蕿镃C/C0.3590。如果每天有1000次參與這個賭博，那么大約有13個人可以獲得20元，有128個人可以獲得2元，有359可以獲得“?！弊?，也就是價值5角，也就是說賭攤的主人要支付的錢為695.5元。但是這1000個人用于嘗試的錢為1000元，那么主人可以凈賺300多元，可見，根據(jù)概率的方法計算，賭博中的莊家是一定會贏利的，這也說明了賭博是一種欺詐的行為。5概率論在密碼學中的運用隨著電腦的普及，電子文件所占的比重越來越大，在廣泛使用的同時，怎樣保證其平安性和可靠性呢？這就出現(xiàn)了常見的加密文件。加密文件中密碼的存在極大的加強了文件的平安性，采用加密措施的文件，其被破譯出來的可能性很小。這一點可以通過概率計算的方法加以驗證。例9：某加密文件的密鑰長度為10，其中每一位的密鑰可能為26個英文字母中的任意一個，且區(qū)分大小些，也可能為[0，9]區(qū)間內(nèi)的任意整數(shù)。假設采取窮舉攻擊的方法破譯密碼，設嘗試一個組合的時間為0.1秒，當破譯時間超過7天那么該文件破譯所花費的帶價將高于文件本身的價值，破譯者將選擇放棄破譯。那么這個加密文件是否有破譯的價值呢？假設是破譯者密鑰的前5位為同一個英語字母，而后5位為數(shù)字，那么這份文件是否存在破譯的價值？解：26個英語字母區(qū)分大小寫，共有52種可能性[10]。加上十個數(shù)字，那么任意一位有62種可能性。這個加密文件的密鑰長度為10，那么密碼組合的可能性為C×C×……×C=62=52036560683837093888≈5.2×1010個一天為24個小時，為86400秒，由此可得破譯出這個密碼大約需要6×10天。這說明破譯出這個密碼是一個小概率事件，其花費的代價遠遠大于文件本身的價值，所以破譯者會放棄破譯，文件的平安性得到了保障。假設是破譯者密鑰的前5位為英語字母，而后5位為數(shù)字，那么其組合的可能性為C×C×C×……×C=5.2×10所以破譯這個密碼需要6天，那么這個5個文件是可以嘗試去破譯的。6概率論在保險中的運用保險是一項使投保人和保險公司能夠同時取得利益的活動，投保人繳納一定數(shù)額的保險金，如果遇到投保范圍內(nèi)的問題時，保險公司將支付投保人數(shù)倍甚至更多的金額，能夠在一定程度上幫助投保人解決問題。假設是投保人沒有出現(xiàn)問題時，其繳納的保險金是不予以退還的。一般情況下，投保人遇到問題的概率是相對穩(wěn)定的，那么保險公司就需要確定合理的賠率來保證公司的盈利，這就涉及到了概率的應用。例10:有10000名條件背景根本相同的人參加了某保險公司的一項人壽保險，該公司的規(guī)定是，每一位投保人在年初的時候需要交納200元的保險金，假設是在這一年的時間范圍內(nèi)不幸死亡，那么其收益人將從保險公司獲得100000的賠償金。，這類型的投保人的死亡率為0.001.那么該保