排列組合題型總結(jié)與易錯點提示

.實用文檔.例8.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復(fù)合元共有種方法.再把4個元素(包含一個復(fù)合元素)裝入4個不同的盒內(nèi)有種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有解決排列組合混合問題解決排列組合混合問題,先選后排是最根本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?練習(xí)題：一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長有且只有1人參加,那么不同的選法有192種例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1,５在兩個奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個？解：把１,５,２,４當(dāng)作一個小集團與３排隊共有種排法，再排小集團內(nèi)部共有種排法，由分步計數(shù)原理共有種排法.練習(xí)題：１.方案展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫,排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為2.5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有種例10.有10個運發(fā)動名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？解：因為10個名額沒有差異，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應(yīng)地分給７個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有種分法。將n個相同的元素分成m份〔n，m為正整數(shù)〕,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為將n個相同的元素分成m份〔n，m為正整數(shù)〕,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為練習(xí)題：10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一有多少裝法？2.求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù),所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有,只含有1個偶數(shù)的取法有,和為偶數(shù)的取法共有。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有有些排列組合問題,正面直接考慮比擬復(fù)雜,而它的反面往往比擬簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.有些排列組合問題,正面直接考慮比擬復(fù)雜,而它的反面往往比擬簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.練習(xí)題：我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?例12.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF，假設(shè)第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),那么中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法。平均分成的組平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(為均分的組數(shù))防止重復(fù)計數(shù)。練習(xí)題：1將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊,有多少分法？〔〕名學(xué)生分成3組,其中一組4人,另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的分組方法〔1540〕3.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，那么不同的安排方案種數(shù)為______〔〕十三.合理分類與分步策略例13.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標準進行研究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有種，由分類計數(shù)原理共有種。解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。練習(xí)題：1.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，假設(shè)這4人中必須既有男生又有女生，那么不同的選法共有342.3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人,2號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船,這3人共有多少乘船方法.〔27〕此題還有如下分類標準：*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準都可經(jīng)得到正確結(jié)果例14.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問題當(dāng)作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決練習(xí)題：某排共有10個座位，假設(shè)4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？〔120〕例15.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,有多少投法解：從5個球中取出2個與盒子對號有種還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，那么4,5號球有只有1種裝法，同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法,由分步計數(shù)原理有種3號盒4號盒5號盒對于條件比擬復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結(jié)果對于條件比擬復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結(jié)果練習(xí)題：1.同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，那么四張賀年卡不同的分配方式有多少種？十六.分解與合成策略例16.30030能被多少個不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2×3×5×7×11×13，依題意可知偶因數(shù)必先取2,再從其余5個因數(shù)中任取假設(shè)干個組成乘積，所有的偶因數(shù)為：練習(xí):正方體的8個頂點可連成多少對異面直線解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構(gòu)成四體共有體共,每個四面體有3對異面直線,正方體中的8個頂點可連成對異面直線分解與合成策略是排列組合問題的一種最根本的解題策略,把一個復(fù)雜問題分解成幾個小問題逐一解決,然后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu),用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問題合成,從而得到問題的答案,每個比擬復(fù)雜的問題都要用到這種解題策略分解與合成策略是排列組合問題的一種最根本的解題策略,把一個復(fù)雜問題分解成幾個小問題逐一解決,然后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu),用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問題合成,從而得到問題的答案,每個比擬復(fù)雜的問題都要用到這種解題策略十七.數(shù)字排序問題查字典策略例18．由0，1，2，3，4，5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)的比324105大的數(shù)？解:數(shù)字排序問題可用查字典法,查字典的法應(yīng)從高位向低位查,依次求出其符合要求的個數(shù),根據(jù)分類計數(shù)原理求出其總數(shù)。數(shù)字排序問題可用查字典法,查字典的法應(yīng)從高位向低位查,依次求出其符合要求的個數(shù),根據(jù)分類計數(shù)原理求出其總數(shù)。練習(xí):用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位偶數(shù),將這些數(shù)字從小到大排列起來,第71個數(shù)是3140十八.樹圖策略例19．人相互傳球,由甲開始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過次傳求后,球仍回到甲的手中,那么不同的傳球方式有______對于條件比擬復(fù)雜的排列組合問題，不易用

公式進行運算，樹圖會收到意想不到的結(jié)果對于條件比擬復(fù)雜的排列組合問題，不易用

公式進行運算，樹圖會收到意想不到的結(jié)果練習(xí):分別編有1，2，3，4，5號碼的人與椅，其中號人不坐號椅〔〕的不同坐法有多少種？十九.復(fù)雜分類問題表格策略例20．有紅、黃、蘭色的球各5只,分別標有A、B、C、D、E五個字母,現(xiàn)從中取5只,要求各字母均有且三色齊備,那么共有多少種不同的取法紅1紅111223黃123121蘭321211取法一些復(fù)雜的分類選取題,要滿足的條件比擬多,無從入手,經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)遺漏的情況,用表格法,那么分類明確,能保證題中須滿足的條件,能到達好的效果.一些復(fù)雜的分類選取題,要滿足的條件比擬多,無從入手,經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)遺漏的情況,用表格法,那么分類明確,能保證題中須滿足的條件,能到達好的效果. 二十：住店法策略解決“允許重復(fù)排列問題〞要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客〞，能重復(fù)的元素看作“店〞，再利用乘法原理直接求解.例21.七名學(xué)生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有.分析：因同一學(xué)生可以同時奪得n項冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7家“店〞，五項冠軍看作5名“客〞，每個“客〞有7種住宿法，由乘法原理得7種.排列組合易錯題正誤解析1沒有理解兩個根本原理出錯排列組合問題基于兩個根本計數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘〞是解決排列組合問題的前提.例1從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺,其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺,那么不同的取法有種.例2在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有〔〕種.〔A〕

〔B〕

〔C〕

〔D〕2判斷不出是排列還是組合出錯在判斷一個問題是排列還是組合問題時，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的是組合.例3有大小形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？3重復(fù)計算出錯在排列組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意防止重復(fù)計數(shù)，產(chǎn)生錯誤。例45本不同的書全局部給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為〔〕〔A〕480

種

〔B〕240種

〔C〕120種

〔D〕96種例5某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有〔〕種.〔A〕5040

〔B〕1260

〔C〕210

〔D〕6304遺漏計算出錯在排列組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，因為遺漏某些情況，而出錯。例6用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有〔〕〔A〕36個

〔B〕48個

〔C〕66個

〔D〕72個5無視題設(shè)條件出錯在解決排列組合問題時一定要注意題目中的每一句話甚至每一個字和符號，不然就可能多解或者漏解.13213254種顏色可供選擇，那么不同的著色方法共有種.〔以數(shù)字作答〕6未考慮特殊情況出錯在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會出錯.例9現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是〔〕(B)1023種 (C)1536種 (D)1535種7題意的理解偏差出錯例10現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有〔〕種.〔A〕

〔B〕

〔C〕

〔D〕8解題策略的選擇不當(dāng)出錯例10高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，那么不同的分配方案有〔〕.〔A〕16種〔B〕18種〔C〕37種〔D〕48種排列與組合習(xí)題1．6個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，那么不同的乘車方法數(shù)為()A．40 B．50C．60 D．702．有6個座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，那么恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有()A．36種 B．48種C．72種 D．96種3．只用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有()A．6個 B．9個C．18個 D．36個4．男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有()A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人5．某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，假設(shè)規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，那么方法有()A．45種 B．36種C．28種 D．25種6．某公司招聘來8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個部門，那么不同的分配方案共有()A．24種 B．36種C．38種 D．108種7．集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標系中點的坐標，那么確定的不同點的個數(shù)為()A．33 B．34C．35 D．369．如果在一周內(nèi)(周一至周日)安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有()A．50種 B．60種C．120種 D．210種10．安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________種．(用數(shù)字作答)11．今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有________種不同的排法．(用數(shù)字作答)12．將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不同場館效勞，不同的分配方案有________種(用數(shù)字作答)．13．要在如下圖的花圃中的5個區(qū)域中種入4種顏色不同的花，要求相鄰區(qū)域不同色，有________種不同的種法(用數(shù)字作答)．14.將標號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中．假設(shè)每個信封放2張，其中標號為1，2的卡片放入同一信封，那么不同的方法共有〔A〕12種〔B〕18種〔C〕36種〔D〕54種15.某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，假設(shè)7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，那么不同的安排方案共有A.504種B.960種C.1008種D.1108種16.由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是〔A〕72〔B〕96〔C〕108〔D〕14417.在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列〔數(shù)字允許重復(fù)〕表示一個信息，不同排列表示不同信息，假設(shè)所用數(shù)字只有0和1，那么與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為A.10B.11C.1218.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戌5名同學(xué)參加上海世博會志愿者效勞活動，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加。甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙丁戌都能勝任四項工作，那么不同安排方案的種數(shù)是A．152B.126C.9019.甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)。假設(shè)從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，那么選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有()〔A〕150種〔B〕180種〔C〕300種(D)345種20.將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個班，那么不同分法的種數(shù)為22.從10名大學(xué)生畢業(yè)生中選3個人擔(dān)任村長助理，那么甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)位A85B56C49D2824.12個籃球隊中有3個強隊，將這12個隊任意分成3個組〔每組4個隊〕，那么3個強隊恰好被分在同一組的概率為〔〕A． B． C． D．25.甲、乙、丙人站到共有級的臺階上，假設(shè)每級臺階最多站人，同一級臺階上的人不區(qū)分站