2013年“迎春杯”數(shù)學(xué)解題能力展示復(fù)賽試卷（小高組）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2013年“迎春杯”數(shù)學(xué)解題能力展示復(fù)賽試卷（小高組）一、填空題（共5小題，每小題8分，滿分40分）1．（8分）計(jì)算：2013÷2.2×（﹣）的計(jì)算結(jié)果是．2．（8分）圖中，兩個(gè)圓心角是90°的扇形蓋在大圓上，小圓蓋在兩個(gè)扇形上，它們的圓心都在同一點(diǎn)．如果小圓、大圓、扇形的半徑比是1：3：4，那么陰影圖形面積占整個(gè)圖形面積的%3．（8分）老師將寫有1～9的9張卡片發(fā)給甲、乙、丙3個(gè)學(xué)生，每人3張．甲說(shuō)：我的三張卡片上的數(shù)字恰好是等差數(shù)列；乙說(shuō)：我的也是；丙說(shuō)：就我的不是等差數(shù)列．如果他們說(shuō)的都是對(duì)的，那么丙手中拿的三張卡片數(shù)字之后最小是．4．（8分）迎春小學(xué)六年級(jí)同學(xué)在某次體育達(dá)標(biāo)測(cè)試中，達(dá)標(biāo)的有900人，參加測(cè)試但未達(dá)標(biāo)的占參加測(cè)試的同學(xué)人數(shù)的25%，因故沒(méi)有參加體育達(dá)標(biāo)測(cè)試的占該年級(jí)全體同學(xué)人數(shù)的4%．沒(méi)有參加體育達(dá)標(biāo)測(cè)試的有人．5．（8分）在如圖的除法豎式中被除數(shù)是．二、填空題（共5小題，每小題10分，滿分50分）6．（10分）算式：+++…+的計(jì)算結(jié)果是．7．（10分）黑板上有1﹣2013共2013個(gè)數(shù)，每次可以擦掉其中兩個(gè)數(shù)，并且寫上這兩數(shù)之和的數(shù)字和，一直最后黑板上剩下四個(gè)數(shù)，其乘積為27，那么這四個(gè)數(shù)的和是．8．（10分）定義：△a＝a+（a+1）+（a+2）+…+（2a﹣2）+（2a﹣1），例如：△5＝5+6+7+8+9，那么，△1+△2+△3+…+△19+△20的計(jì)算結(jié)果是．9．（10分）將1﹣16填入4×4的表格中，要求同一行右面的比左面的大；同一列下面的比上面的大．其中4和13已經(jīng)填好，其余14個(gè)整數(shù)有種不同的填法．10．（10分）n名海盜分金幣．第1名海盜先拿1枚金幣，再拿剩下金幣的1%；然后，第2名海盜先拿2枚，再拿剩下金幣的1%；第3名海盜先拿3枚，再拿剩下金幣的1%；…第n名海盜先拿n枚，再拿剩下金幣的1%．結(jié)果金幣全被分完，且每位海盜拿的金幣都一樣多．那么共有金幣．三、填空題（共4小題，每小題12分，滿分48分）11．（12分）圖中，長(zhǎng)方形ABCD的面積是2013平方厘米．△AOD、△BOC、△ABE、△BCF、△CDG、△ADH都是等邊三角形，M、N、P、Q分別是△ABE、△BCF、△CDG、△ADH的中心．那么陰影部分的面積是平方厘米．12．（12分）甲、乙兩人分別從AB兩地同時(shí)出發(fā)，相向勻速而行，當(dāng)甲、乙在途中C地相遇時(shí)，丙從B地出發(fā)，勻速去A地，當(dāng)甲與丙在D地相遇時(shí)，甲立即調(diào)頭且速度降為原來(lái)的80%，當(dāng)甲、丙同時(shí)從A地時(shí)，乙離A地還有720米，如果CD間的路程是900米，那么AB間的路程是米？13．（12分）有16名學(xué)生，他們做成一個(gè)4×4的方陣，某次考試中他們的得分互不相同，得分公布后，每位同學(xué)都將自己的成績(jī)與相鄰的同學(xué)（相鄰指前、后、左、右，如坐在角上的同學(xué)只有2人與他相鄰）進(jìn)行比較，如果最多只有1名同學(xué)的成績(jī)高于他，那么他會(huì)認(rèn)為自己是“幸福的”．則最多有名同學(xué)會(huì)認(rèn)為自己是“幸福的”．14．（12分）現(xiàn)有一個(gè)立方體ABCD﹣EFGH，將其過(guò)B點(diǎn)的三個(gè)表面的正方形染成紅色，現(xiàn)在剪開其中的若干條棱得到它的平面展開圖，若展開圖中三個(gè)紅色正方形都沒(méi)有公共邊，那么共有種不同的剪法．（剪開的棱相同但剪的順序不同的算作同一種剪法）

2013年“迎春杯”數(shù)學(xué)解題能力展示復(fù)賽試卷（小高組）參考答案與試題解析一、填空題（共5小題，每小題8分，滿分40分）1．（8分）計(jì)算：2013÷2.2×（﹣）的計(jì)算結(jié)果是732．【解答】解：2013÷2.2×（﹣）＝2013÷×＝2013××＝732；故答案為：732．2．（8分）圖中，兩個(gè)圓心角是90°的扇形蓋在大圓上，小圓蓋在兩個(gè)扇形上，它們的圓心都在同一點(diǎn)．如果小圓、大圓、扇形的半徑比是1：3：4，那么陰影圖形面積占整個(gè)圖形面積的32%【解答】解：依題意可知：設(shè)三個(gè)圓的半徑分別為1，3，4．整個(gè)圖形的面積為：π×4×4+π×3×3＝12.5π．陰影部分的面積為：（π×3×3﹣π×1×1）＝4π．所以陰影部分占整個(gè)商標(biāo)的面積的＝32%．故答案為：323．（8分）老師將寫有1～9的9張卡片發(fā)給甲、乙、丙3個(gè)學(xué)生，每人3張．甲說(shuō)：我的三張卡片上的數(shù)字恰好是等差數(shù)列；乙說(shuō)：我的也是；丙說(shuō)：就我的不是等差數(shù)列．如果他們說(shuō)的都是對(duì)的，那么丙手中拿的三張卡片數(shù)字之后最小是9．【解答】解：根據(jù)分析，甲、乙三張都是等差數(shù)列，其和一定是3的倍數(shù)，9張和為1+2+3+…+9＝45，也是3的倍數(shù)，丙的和一定是3的倍數(shù)，丙最小不能取6＝（1+2+3）丙至少為9，經(jīng)試驗(yàn)是可以的，甲、乙分別是：（9，8，7）和（5，4，3），丙為：（1，2，6）丙的卡片數(shù)字之和最小是：1+2+6＝9故答案為：94．（8分）迎春小學(xué)六年級(jí)同學(xué)在某次體育達(dá)標(biāo)測(cè)試中，達(dá)標(biāo)的有900人，參加測(cè)試但未達(dá)標(biāo)的占參加測(cè)試的同學(xué)人數(shù)的25%，因故沒(méi)有參加體育達(dá)標(biāo)測(cè)試的占該年級(jí)全體同學(xué)人數(shù)的4%．沒(méi)有參加體育達(dá)標(biāo)測(cè)試的有50人．【解答】解：900÷（1﹣25%）÷（1﹣4%）×4%＝1200÷96%×4%＝1250×4%＝50（人）答：沒(méi)有參加體育達(dá)標(biāo)測(cè)試的有50人．故答案為：50．5．（8分）在如圖的除法豎式中被除數(shù)是2582．【解答】解：依題意可知：乘積個(gè)位為3的有1×3組合和7×9組合．再根據(jù)已知數(shù)字0和前面的數(shù)字，被減后沒(méi)有余數(shù)那么只能是數(shù)字2滿足條件．再根據(jù)余數(shù)填寫處第二個(gè)乘積的結(jié)果的后兩位數(shù)字是83；如果是×3，只能是61，但是此時(shí)乘積不能得到200多．如果是×9，構(gòu)成后兩位是83，那么a＝8滿足條件．但是87的倍數(shù)不能得到200多點(diǎn)．如果是×7，構(gòu)成后兩位是83的，那么a＝6，且69的3倍是207滿足條件．即69×37+29＝2582．故答案為：2582．二、填空題（共5小題，每小題10分，滿分50分）6．（10分）算式：+++…+的計(jì)算結(jié)果是108．【解答】解：+++…+＝+++…+＝2×2+2×3+2×4+…+2×10＝2×（2+3+4+…+10）＝2×（2+10）×9÷2＝2×12×9÷2＝108答：+++…+的計(jì)算結(jié)果是108．故答案為：108．7．（10分）黑板上有1﹣2013共2013個(gè)數(shù)，每次可以擦掉其中兩個(gè)數(shù)，并且寫上這兩數(shù)之和的數(shù)字和，一直最后黑板上剩下四個(gè)數(shù)，其乘積為27，那么這四個(gè)數(shù)的和是30．【解答】解：根據(jù)分析，一個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)等于這個(gè)數(shù)各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)，每次操作將數(shù)的和變?yōu)閿?shù)字和，不改變除以9的余數(shù)，1+2+3+…+2013＝2014×2013÷2＝1007×2013，則剩下的這四個(gè)數(shù)的和除以9也余3，將27拆成四個(gè)數(shù)的乘積，27＝3×3×3×1＝3×9×1×1＝27×1×1×1，和分別為10，14，30，只有30除以9余3，所以這個(gè)數(shù)的和為30．故答案為：30．8．（10分）定義：△a＝a+（a+1）+（a+2）+…+（2a﹣2）+（2a﹣1），例如：△5＝5+6+7+8+9，那么，△1+△2+△3+…+△19+△20的計(jì)算結(jié)果是4200．【解答】解：根據(jù)分析，將所有這些數(shù)填入一個(gè)表中，便于觀察，如圖：第1行代表△1，第2行代表△2，第3行代表△3，第20行代表△20，為方便觀察，將此表順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°，如圖2，此時(shí)每行的平均數(shù)均為20，表中共有1+2+…+20＝210個(gè)數(shù)，所以和為210×20＝42009．（10分）將1﹣16填入4×4的表格中，要求同一行右面的比左面的大；同一列下面的比上面的大．其中4和13已經(jīng)填好，其余14個(gè)整數(shù)有1120種不同的填法．【解答】解：左上角四個(gè)格和右下角的四個(gè)格各有兩種填法，剩下的左下角和右上角四個(gè)格四個(gè)格，還有8個(gè)數(shù)未填，此時(shí)可以任選4個(gè)，填在其中的四個(gè)格中，每四個(gè)數(shù)都有2種填法，所以共有2×2××2×2＝1120種填法．故答案為1120．10．（10分）n名海盜分金幣．第1名海盜先拿1枚金幣，再拿剩下金幣的1%；然后，第2名海盜先拿2枚，再拿剩下金幣的1%；第3名海盜先拿3枚，再拿剩下金幣的1%；…第n名海盜先拿n枚，再拿剩下金幣的1%．結(jié)果金幣全被分完，且每位海盜拿的金幣都一樣多．那么共有金幣9801．【解答】解：依題意可知：第n名海盜先拿走n枚，再那剩下的1%，結(jié)果金幣倍全部拿完．說(shuō)明剩下的金幣為0．第n名海盜拿走的實(shí)際就是n枚．第n﹣1名海盜先拿走n﹣1枚，再拿走剩下的1%，由于每個(gè)海盜拿的一樣多，所以剩下的金幣的1%是1枚，那么剩下的99%就是99枚．故n＝99，每個(gè)人拿走99枚，共有99個(gè)人．99×99＝9801．故答案為：9801．三、填空題（共4小題，每小題12分，滿分48分）11．（12分）圖中，長(zhǎng)方形ABCD的面積是2013平方厘米．△AOD、△BOC、△ABE、△BCF、△CDG、△ADH都是等邊三角形，M、N、P、Q分別是△ABE、△BCF、△CDG、△ADH的中心．那么陰影部分的面積是2684平方厘米．【解答】解：如圖，連接AM、OM、OQ，OQ交AD于點(diǎn)K，∵Q為等邊△ADH的中心，△AOD與△ADH完全一樣，∴QK＝OK∴OQ＝OK，△OQM的高為OQ，底為OM，△AOD的高為OK，底為AD，由于OM＝AD，∴S△OQM＝；又，，∴＝2684（平方厘米）．故答案是：2684．12．（12分）甲、乙兩人分別從AB兩地同時(shí)出發(fā)，相向勻速而行，當(dāng)甲、乙在途中C地相遇時(shí)，丙從B地出發(fā)，勻速去A地，當(dāng)甲與丙在D地相遇時(shí)，甲立即調(diào)頭且速度降為原來(lái)的80%，當(dāng)甲、丙同時(shí)從A地時(shí)，乙離A地還有720米，如果CD間的路程是900米，那么AB間的路程是5265米？【解答】解：甲速度降為原來(lái)的80%，與丙同時(shí)到達(dá)A地，則甲丙速度比為：5：4，因此甲從C到D走900米，則丙從B到D走：900×＝72（0米）甲從A回到A走了兩個(gè)（全程﹣720米），同樣時(shí)間內(nèi)乙走了一個(gè)（全程﹣720米），甲走的第二個(gè)是用80%的速度走的，是用相當(dāng)于用原速走了個(gè)（全程﹣720米），所以甲乙的速度比為：9：4，甲乙相遇時(shí)乙從B到C走了：900+720＝1620米，所以全程為：1620×＝5265（米）答：那么AB間的路程是5265米．故答案為：5265．13．（12分）有16名學(xué)生，他們做成一個(gè)4×4的方陣，某次考試中他們的得分互不相同，得分公布后，每位同學(xué)都將自己的成績(jī)與相鄰的同學(xué)（相鄰指前、后、左、右，如坐在角上的同學(xué)只有2人與他相鄰）進(jìn)行比較，如果最多只有1名同學(xué)的成績(jī)高于他，那么他會(huì)認(rèn)為自己是“幸福的”．則最多有12名同學(xué)會(huì)認(rèn)為自己是“幸福的”．【解答】解：每個(gè)2×2的方格中最多有3個(gè)人“幸?！?，所以16個(gè)人中，最多有16×＝12個(gè)人“幸福”，構(gòu)造如下圖．其中16到5號(hào)共12個(gè)人是“幸福的”．故答案為12．14．（12分）現(xiàn)有一個(gè)立方體ABCD﹣EFGH，將其過(guò)B點(diǎn)的三個(gè)表面的正方形染成紅色，現(xiàn)在剪開其中的若干條棱得到它的平面展開圖，若展開圖中三個(gè)紅色正方形都沒(méi)有公共邊，那么共有54種不同的剪法．（剪開的棱相同但剪的順序不同的算作同一種剪法）【解答】解：根據(jù)分析，將一個(gè)立方體沿棱剪開得到平面展開圖需要剪開7條棱，因?yàn)榧糸_后，三個(gè)紅色正方形沒(méi)有公共邊，那么需要把BA、BF、BC剪開，下面對(duì)HD、HE、HG三條棱是否剪開進(jìn)行分類：①HD、HE、HG中剪開1條棱，有3種情況；不妨設(shè)剪開HD，還需要剪開DA、DC、EA、EF、GH、GC中的3條棱．其中DA、DC兩條棱中選擇一條剪開，有2中情況；EA、EF兩