【解析】安徽省六安市舒城中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題

舒城中學(xué)2019—2020學(xué)年度第二學(xué)期第一次統(tǒng)考高二理數(shù)注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號填寫在答題卡相應(yīng)的位置.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義得解.【詳解】解：，由復(fù)數(shù)的幾何意義知在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為，該點位于第四象限.故選：．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的幾何意義.復(fù)數(shù)除法運算關(guān)鍵是分母“實數(shù)化”，其一般步驟如下：(1)分子、分母同時乘分母的共軛復(fù)數(shù)；(2)對分子、分母分別進行乘法運算；(3)整理、化簡成實部、虛部分開的標(biāo)準(zhǔn)形式．名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號為，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取名學(xué)生進行體質(zhì)測驗，若號學(xué)生被抽到，則下面名學(xué)生中被抽到的是（）A.號學(xué)生 B.號學(xué)生 C.號學(xué)生 D.號學(xué)生【答案】D【解析】【分析】按系統(tǒng)抽樣的概念，編號就成等差數(shù)列，即間隔相等．【詳解】1000人抽100人，每10人抽一人，因此45號被抽到，其他的號碼個位數(shù)都應(yīng)是5，只有D符合．故選：D.【點睛】本題考查系統(tǒng)抽樣，掌握系統(tǒng)抽樣的概念是解題基礎(chǔ)．3.用反證法證明命題“設(shè)實數(shù)、、滿足，則、、中至少有一個數(shù)不小于”時假設(shè)的內(nèi)容是（）A.、、都不小于 B.、、都小于C.、、至多有一個小于 D.、、至多有兩個小于【答案】B【解析】【分析】否定原命題的結(jié)論可得解.【詳解】反證法證明命題時，要假設(shè)結(jié)論不成立．故用反證法證明命題“設(shè)實數(shù)、、滿足，則、、中至少有一個數(shù)不小于”時的假設(shè)是“、、都小于”．故選：B．【點睛】本題考查了反證法的概念，屬基礎(chǔ)題．4.如圖，4片花瓣由曲線與曲線圍成，則每片花瓣的面積為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題得，兩曲線在第一象限的函數(shù)解析式分別為，聯(lián)立可得，或，所以每片葉子的面積為，解定積分即可得到本題答案.【詳解】如圖1所示，由解得或可得每片葉子的面積為.故選:C【點睛】本題主要考查利用微積分基本定理求曲邊圖形的面積，屬基礎(chǔ)題.5.第七屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在中國武漢舉行，中國隊以133金64銀42銅位居金牌榜和獎牌榜的首位.運動會期間有甲、乙等五名志愿者被分配到射擊、田徑、籃球、游泳四個運動場地提供服務(wù)，要求每個人都要被派出去提供服務(wù)，且每個場地都要有志愿者服務(wù)，則甲和乙恰好在同一組的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，五人分成四組，先求出兩人組成一組的所有可能的分組種數(shù)，再將甲乙組成一組的情況，即可求出概率.【詳解】五人分成四組，先選出兩人組成一組，剩下的人各自成一組，所有可能的分組共有種，甲和乙分在同一組，則其余三人各自成一組，只有一種分法，與場地?zé)o關(guān)，故甲和乙恰好在同一組的概率是.故選：A.【點睛】本題考查組合的應(yīng)用和概率的計算，屬于基礎(chǔ)題.6.如圖是某工廠對一批新產(chǎn)品長度(單位:)檢測結(jié)果的頻率分布直方圖.估計這批產(chǎn)品的平均數(shù)與中位數(shù)分別為()A.22.520 B.22.5 C.22.7522.5 D.22.7525【答案】C【解析】由題意，這批產(chǎn)品的平均數(shù)為，其中位數(shù)為.故選C.7.若“”是“”的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將的解集記為，的解集記為,由題意可知是的真子集，由子集的定義求解即可.【詳解】將的解集記為，的解集記為.由題意是的必要不充分條件可知是的真子集.，解得或,,則,（1）當(dāng)時，或,則（等號不能同時成立），解得.（2）當(dāng)時，或,則（等號不能同時成立），解得.由（1）（2）可得或.故選：.【點睛】將兩個不等式之間的必要不充分性轉(zhuǎn)化為其解集之間的包含關(guān)系是本題解題的關(guān)鍵，解題過程中注意分類討論思想的運用.圖象上一個動點作函數(shù)的切線，則切線傾斜角的范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的值域得到切線傾斜角正切值的范圍，則傾斜角的范圍可求．【詳解】由函數(shù)，得f′（x）=x22x，設(shè)函數(shù)圖象上任一點P（x0，y0），且過該點的切線的傾斜角為α（0≤α＜π），則f′（x0）=x022x0=（x?01）21≥1，∴tanα≥1，∴0≤α＜或≤α＜π．∴過函數(shù)圖象上一個動點作函數(shù)的切線，切線傾斜角的范圍為．故選B．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查直線傾斜角和斜率的關(guān)系，關(guān)鍵是熟練掌握正切函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在恒成立，再轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值．【詳解】，由題意在恒成立，即在恒成立，時，，，所以，所以．故選：D.【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，不等式恒成立又可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值．本題對學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力有一定的要求．的左焦點為，直線與橢圓相交于，兩點，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可解得點、坐標(biāo)，由，得，把代入該式整理后兩邊同除以，得的方程，解出即可，注意的取值范圍【詳解】解：由，消可得得，解得，分別代入，，，，，，，，，，，把代入式并整理得，兩邊同除以并整理得，解得，故選：．【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運算能力，屬中檔題．11.如圖，矩形的邊，平面，，當(dāng)在邊上存在點，使時，則實數(shù)的范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】可證，從而在平面中，在以為直徑的圓上，從而可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為平面，平面，所以，又，，從而平面.因為平面，故.故在平面中，在以為直徑的圓上，所以即.故選：A.【點睛】本題考查線線垂直的證明、線面垂直的判定與性質(zhì)，注意空間中垂直關(guān)系的合理轉(zhuǎn)化，本題屬于中檔題.x的方程存在三個不等實根，則實數(shù)a的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】若關(guān)于的方程等價于，令，的兩根一正一負(fù)，由在上遞增，在上遞減，且時，結(jié)合的圖象可知，要使關(guān)于的方程存在三個不等實根，只需令的正根滿足，即可，解得，故選C.【方法點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓相切的條件，利用橢圓的定義求軌跡方程．【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，，動圓圓心為，半徑為，圓在圓內(nèi)部，故由題意，即，∴P點軌跡是橢圓，，，，所以點軌跡方程．故答案為：．【點睛】本題考查橢圓的定義，考查用橢圓定義求軌跡方程．解題時還必須掌握兩圓相切關(guān)系的充要條件．的展開式中所有二項式系數(shù)的之和為，則展開式中的常數(shù)項是______【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和為32，解得，再根據(jù)二項式通項公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意得二項式系數(shù)和為，解得，所以的通項公式為，令，解得，所以常數(shù)項的系數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查二項式展開式中特定項的系數(shù)問題，考查計算化簡的能力，屬基礎(chǔ)題.的底面是邊長為2的正方形，，平面平面，是的中點，是的中點，則直線與平面所成角的正弦值是__________.【答案】【解析】【詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)因此,設(shè)平面一個法向量為，取因此直線與平面所成角的正弦值是，若正實數(shù)滿足，則的最小值是__________．【答案】【解析】因為，所以函數(shù)為單調(diào)遞增奇函數(shù)，因此由，得因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.方程表示雙曲線；方程表示焦點在軸上的橢圓，若為真命題，為假命題，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】試題分析：先根據(jù)方程為雙曲線以及橢圓條件得為真命題時實數(shù)為真命題，為假命題，得與—真一假，最后根據(jù)補集求命題為假時實數(shù)的取值范圍，再解對應(yīng)不等式組得實數(shù)的取值范圍.試題解析：為真命題時，，為真命題時，，或，∵為真命題，為假命題，∴與—真一假，當(dāng)真，假時，，當(dāng)假，真時，或，∴.的前項和為，，.（1）求，，的值；（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【答案】（1），，；（2）猜想，，證明見解析【解析】【分析】（1）時，由，代入表達(dá)式，求出，再由計算即可；（2）猜想，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，當(dāng)時，利用整理得出結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，整理得，因為，所以，，；（2）猜想，，當(dāng)時，，顯然成立，假設(shè)當(dāng)時成立，即，當(dāng)時，由（1）知，，所以，所以當(dāng)時猜想仍然成立，所以對任意的，成立.【點睛】本題主要考查數(shù)列前項和的應(yīng)用和數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.19.如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，交于點，為的中點，．（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。敬鸢浮浚?）見解析（2）【解析】【分析】（1）連結(jié)，可證，從而得到要求證的平面.（2）以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量后可求二面角的大小.【詳解】（1）證明：連結(jié)，交于點，為的中點，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，∴平面．（2）以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，又平面的法向量，，而，，∴二面角的平面角為．

【點睛】線面平行的證明的關(guān)鍵是在面中找到一條與已知直線平行的直線，找線的方法是平行投影或中心投影，我們也可以通過面面平行證線面平行，這個方法的關(guān)鍵是構(gòu)造過已知直線的平面，證明該平面與已知平面平行.空間中的角的計算，可以建立空間直角坐標(biāo)系把角的計算歸結(jié)為向量的夾角的計算，也可以構(gòu)建空間角，把角的計算歸結(jié)平面圖形中的角的計算.C：的離心率為，且過點．Ⅰ

求橢圓C的方程；Ⅱ

若是橢圓C上的兩個動點，且使的角平分線總垂直于x軸，試判斷直線PQ的斜率是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由.【答案】Ⅰ；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）由離心率可得關(guān)系，再將點坐標(biāo)代入，可得間關(guān)系，又，解方程可得的值；（II）由的角平分線總垂直于軸，可判斷直線的斜率互為相反數(shù)，由兩直線都過點，由點斜式可寫出直線方程．一一與橢圓方程聯(lián)立，消去或的值，可得一元二次方程，又點滿足條件，可求得點的坐標(biāo)，用表示．再由斜率公式可得直線的斜率為定值．【詳解】(Ⅰ)因為橢圓的離心率為,且過點,所以,.因為,解得,,所以橢圓的方程為.(Ⅱ)法1：因為的角平分線總垂直于軸,所以與所在直線關(guān)于直線對稱.設(shè)直線的斜率為,則直線的斜率為.所以直線的方程為,直線的方程為.設(shè)點,,由消去,得.①因為點在橢圓上,所以是方程①的一個根,則,所以.同理.所以.又.所以直線的斜率為.所以直線的斜率為定值，該值為.法2：設(shè)點，則直線的斜率,直線的斜率.因為的角平分線總垂直于軸,所以與所在直線關(guān)于直線對稱.所以,即,①因為點在橢圓上,所以，②.③由②得得,④同理由③得,⑤由①④⑤得,化簡得,⑥由①得⑦⑥⑦得.②③得,得.所以直線的斜率為為定值.法3：設(shè)直線的方程為，點，則,直線的斜率,直線的斜率.因為的角平分線總垂直于軸,所以與所在直線關(guān)于直線對稱.所以,即,化簡得.把代入上式,并化簡得.(*)由消去得,(**)則,代入(*)得,整理得,所以或.若,可得方程(**)的一個根為，不合題意.若時,合題意.所以直線的斜率為定值，該值為.21.如圖，有一塊半徑為20米，圓心角的扇形展示臺，展示臺分成了四個區(qū)域：三角形，弓形，扇形和扇形（其中）.某次菊花展依次在這四個區(qū)域擺放：泥金香、紫龍臥雪、朱砂紅霜、朱砂紅霜.預(yù)計這三種菊花展示帶來的日效益分別是：泥金香50元/米，紫龍臥雪30元/米，朱砂紅霜40元/米.（1）設(shè)，試建立日效益總量關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）試探求為何值時，日效益總量達(dá)到最大值.【答案】（1），其中，.（2）當(dāng)時，日效益總量可取得最大值.【解析】【分析】（1）利用扇形面積公式可求出四個區(qū)域的面積，從而可計算出日收益．（2）利用導(dǎo)數(shù)可求得日收益的最大值．【詳解】（1）依題意得，，則，其中，.（2），令，得，當(dāng)，，當(dāng)時，，所以，是函數(shù)的極大值點，且唯一；從而當(dāng)時，日效益總量可取得最大值.【點睛】本題考查三角函數(shù)模型的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是根據(jù)題意列式，求出函數(shù)