2004年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(三)試卷答案和評分參考

2004年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（三）試卷答案和評分參考一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填寫在題中橫線上.）（1）若，則1，-4.（2）函數(shù)由關(guān)系式確定，其中函數(shù)可微，且，則.（3）設(shè)則.（4）二次型的秩為2.（5）設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則.（6）設(shè)總體服從正態(tài)分布，總體從正態(tài)分布，和分別是來自總體和的簡單隨機樣本，則=.二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后面的括號內(nèi).）（7）函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界.(A).(B).(C).(D).【A】（8）設(shè)在內(nèi)有定義，且，則(A)必是的第一類間斷點.（B）必是的第二類間斷點.（C）必是的連續(xù)點.（D）在點處的連續(xù)性與的取值有關(guān).【D】（9）設(shè)則(A)是的極值點，但不是曲線的拐點.(B)不是的極值點，但是曲線的拐點.(C)是的極值點，且是曲線的拐點.(D)不是的極值點，也不是曲線的拐點.【C】（10）設(shè)有以下命題：=1\*GB3①若收斂，則收斂.=2\*GB3②若收斂，則收斂.=3\*GB3③若收斂，則發(fā)散.=4\*GB3④若收斂，則都收斂.【B】（11）設(shè)在上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯誤的是(A)至少存在一點，使得.(B)至少存在一點，使得.(C)至少存在一點，使得.(D)至少存在一點，使得【D】（12）設(shè)階矩陣與等價，則必有(A)當時，.(B)當時，.(C)當時，.(D)當時，.【D】(13)設(shè)階矩陣的伴隨矩陣，若是非齊次線性方程組的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程的基礎(chǔ)解系(A)不存在.(B)僅含一個非零解向量.(C)含有兩個線性無關(guān)的解向量.(D)含有三個線性無關(guān)的解向量.【B】(14)設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布,對給定的,數(shù)滿足.若,則等于（A）.（B）.（C）.（D）【C】三、解答題（本題共9小題，滿分94分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）(15)(本題滿分8分)求解……2分……4分……6分……8分(16)(本題滿分8分)求，其中是由圓和所圍成的平面區(qū)域（如圖）.解法1……2分（根據(jù)對稱性）=……4分，……7分所以……8分解法2由積分區(qū)域?qū)ΨQ性和被積函數(shù)的奇偶性……1分原式……2分……5分……8分[注]：定限1分，計算1分.定限1分，計算1分.（17）（本題滿分8分）設(shè)在上連續(xù)，且滿足,證明：證令由題設(shè)知……2分從而……4分由于，故有……6分即.因此……8分（18）（本題滿分9分）設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中價格，為需求量.（I）求需求量對價格的彈性（II）推導（其中為收益），并用彈性說明價格在何范圍內(nèi)變化時，降低價格反而使收益增加.解(I).……2分（II）由得.……4分又由，得.……5分當時，，于是.……7分故當時，降低價格反而使收益增加.……9分（19）（本題滿分9分）設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為.求：（I）所滿足的一階微分方程；（II）的表達式.解（I）易見……1分……2分……4分因此是初值問題的解.……4分（II）方程的通解為,……7分由初始條件，求的.……8分故，因此和函數(shù)……9分（20）（本題滿分13分）設(shè).試討論當為何值時，（I）不能夠由線性表示；（II）可由惟一線性表示，并求出表示式；（III）可由惟一線性表示，但表示式不惟一，并求出表達式.解設(shè)有數(shù)，使得（*）……1分記.對矩陣施以初等行變換，有……3分（I）當為任意常數(shù)時，有可知，故方程組（*）無解，不能由線性表示.……5分（II）當且時，，故方程組（*）有惟一解，則可由惟一地線性表示，其表示式為……7分（III）當時，對施以初等行變換，有.……9分可知，故方程組（*）有無窮多解，其全部解為，其中為任意常數(shù).可由線性表示，但表示式不惟一，其表示式為……11分.……13分（21）（本題滿分13分）設(shè)階矩陣（I）求的特征值和特征向量；（II）求可逆矩陣，使得為對角矩陣.解（I）當時，……3分故的特征值為對于，設(shè)的屬于特征值的一個特征向量為，則解得，所以全部特征向量為（為任意非零常數(shù)）……5分對于，解齊次線性方程組，由，解得基礎(chǔ)解系故全部特征向量為（是不全為零的常數(shù)）.……7分當時，特征，任意非零列向量均為特征向量.……9分（II）當時，有個線性無關(guān)的特征向量，令，則……11分當時，，對任意可逆矩陣，均有……13分[注]:也可由求解齊次線性方程組得出.（22）（本題滿分13分）設(shè)為兩個隨機事件，且，令求：（I）二維隨機變量的概率分布；（II）與的相關(guān)系數(shù)；（III）的概率分布.解（I）……2分則，（或），……6分即的概率分布為0101（II）方法1則……9分方法2的概率分布分別為01，01.則故……9分（III）的可能取值為……13分即的概率分布為012.（23）（本題滿分13分）設(shè)總體的分布函數(shù)為其中參數(shù)設(shè)為來自總體的簡單隨機樣本.（I）當時，求未知參數(shù)的矩估計量；（II）當時，求未知參數(shù)的最大似然估計量；（III）當時，求未知參數(shù)的最大似然估計量.解當時，的概率密度為……1分（I）由于……2分令，解得，所以參數(shù)的矩估計量為…