2021年全國乙卷數學（理）高考真題文檔版（含答案）

絕密★啟用前

2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(乙卷)

理科數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號

涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，

將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設2(z+彳)+3(z—5)=4+6i,則2=()

A.1—2iB.1+2iC.1+iD.1—i

2.已知集合5=卜卜=2〃+1,〃€2},T={t\t=4n+\,neZ},則ScT=()

A.0B.SC.TD.Z

3.已知命題pTxeR,sin尤＜1；命題q:VxeR,e閔21,則下列命題中為真命題的

是()

A.p/\qB.—p/\qC.p/\—qD.—i(pvg)

1—Y

4.設函數/(x)=——，則下列函數中為奇函數的是()

1+X

A.f(%—1)—1B.f(x—1)+1C.f(x+1)—1D.f(x+1)+1

5.在正方體ABC。—4耳02中，P為片。的中點，則直線PB與A。所成的角為()

7i?n一兀一兀

A.-B.-C.-D.一

2346

6.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，

每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有()

A.60種B.120種C.240種D.480種

7.把函數y=/(x)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的1倍，縱坐標不變，再把所得曲線

/

向右平移2個單位長度，得到函數曠=5mx—的圖像，貝ij/(x)=()

3

,.(x7兀、c?(x兀)C.sin(2x—普)D.sin(2x+5

A.sin------B.sin—H---

(212)(212J

7

8.在區(qū)間(0,1)與(1,2)中各隨機取1個數,則兩數之和大于一的概率為()

4

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723c92

A.-B.—C.—D.-

932329

9.魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數學著作，其中第一題是測量海島的高.如

圖，點E,H,G在水平線AC上，OE和尸G是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的

高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱

為“表目距的差”，則海島的高AB=（)

表高x表距上宣

B.表目距的差—表

c?霜蒜1+表距表高x表距生始

D.------------一衣it1

表目距的差

10.設。。0,若X=Q為函數/（工）=。（彳一。）2（無一》）的極大值點，貝IJ（）

A.a<hB.a>bC.ah<a2D.ab>a2

22

廠J

11.設3是橢圓C:=l(a>b>0)的上頂點,若。上的任意一點尸都滿足

-a---b-~T

則。的離心率的取值范圍是（）

12.設a=21nl.01,0=lnl.02,c=VkO4-l.則()

A.a<b<cB.b<c<aC.h<a<cD.c<a<b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

2

13.已知雙曲線C:二一/=1（根>0）的一條漸近線為&x+my=o,則c的焦距為

m

14.已知向量￡=（1,3）,B=（3,4）,若?-則X=.

15.記AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為6，B=60°,a2+c2^3ac,

貝姐=.

16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的

三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

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三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求

作答.

（一,）必考題：共60分.

17.（12分）

某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺

舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：

舊設9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

備

新設10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

備

舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為1和7，樣本方差分別記為父

和.

（1）求尤,；

（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果

y-亍》2）五坐，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則

Vio

不認為有顯著提高）.

18.（12分）

如圖，四棱錐P—ABGD的底面是矩形，PDJ_底面ABCD,PD=DC=\,M為的

中點，且依J.4W.

（1）求8C,

（2）求二面角A——8的正弦值.

19.（12分）

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21

記S,為數列｛%｝的前及項和，/為數列｛S,,｝的前〃項積，已知一+7=2.

(1)證明：數列他,｝是等差數列；

(2)求｛4｝的通項公式.

20.(12分)

設函數/(x)=ln(a-x),已知x=0是函數y=j/(x)的極值點.

(1)求4；

(2)設函數g(x)='+/(a.證明:

V(x)

21.(12分)

已知拋物線。：/=2刀(〃>0)的焦點為凡且尸與圓M:f+(y+4)2=1上點的距離的

最小值為4.

(1)求p；

(2)若點P在“上，PAP3是C的兩條切線，AB是切點，求4248面積的最大值.

(-)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的

第一題計分.

22.［選修4-4：坐標系與參數方程］(10分)

在直角坐標系X。)，中，的圓心為C(2,l),半徑為1.

(1)寫出0C的一個參數方程；

(2)過點E(4,l)作的兩條切線.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系,

求這兩條切線的極坐標方程.

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知函數/'(X)=|x—a|+|x+3|.

(1)當a=l時，求不等式/(￡)26的解集；

(2)若/(x)>-a,求”的取值范圍.

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2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（乙卷）

理科數學參考答案

一、選擇題

l.C2.C3.A4.B5.D6.C7.B8.B9.A10.D11.C12.B

二、填空題

3

13.414.-15.25/216.③④（答案不唯一）

三、解答題

（一）必考題

17.（1）7=10,7=10.3,5；=0.036,s；=0.04：（2）新設備生產產品的該項指標的均值

較舊設備有顯著提高.

18.（1）72；（2）回

212b3

19.（1）由已知丁+二=2得二力不，且。,尸0,取〃=1,得由題意得

S"d2/7,,-12

2瓦2b22h2hb

不七=/，消積得到項的遞推關系2b"11=才，進而證明數列也｝

2瓦—12b2—1

是等差數列;

3,

一,〃=1

2

(2)an=\

20.(1)。=1；

⑵由m知,烈幻=芳黑￡=品6+f其定義域為（7，°）U（0』）.

要證g（x）＜i,即證舟

In(l-x)x

1八X-1X

㈠）當xe（°'D時,二一＜0,即證ln(l—x)＞上■.令

xx-1

y—1一1X

FW=ln（l-x）--,因為砥x）=匚=曰=『＞°’所以內）在區(qū)間

（0,1）內為增函數，所