其次章 導(dǎo)數(shù)與微分課后答案

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內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的定義f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?x?0?xf(x0?h)?f(x0)f?(x0)?limh?0h函數(shù)的求導(dǎo)法則f?(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)x?x0(1)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則i.[u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x)??ii.[u(x)?v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x)iii.[u(x)u?(x)v(x)?u(x)v?(x)]??(v(x)?0)2v(x)v(x)(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(鏈?zhǔn)椒▌t)dydydu??dxdudx(1)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時,只需將確定隱函數(shù)的方程兩邊同時對自變量x求導(dǎo),凡遇到含有因變量y隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的項時,把y當(dāng)作中間變量對待,再依照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求之,然后從所得等式中解出dydx(2)對數(shù)求導(dǎo)法:對冪指函數(shù)y?u(x)v(x),可以先在函數(shù)兩邊取對數(shù),然后在等式兩邊同時對自變量x求導(dǎo),最終解出所求導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù),即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f?(x)?1,其中x??(y)為y?f(x)的反函數(shù)??(y)(1)直接法:利用基本求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,對函數(shù)逐次地連續(xù)求導(dǎo)(2)間接法:利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式,通過導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算,變量代換等方法,間接求出指定的高階高階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)(3)萊布尼茨公式(uv)(n)kn?kk??Cnuvk?0n

課后習(xí)題全解

習(xí)題2-1

★1.用定義求函數(shù)

y?x3在x?1處的導(dǎo)數(shù).

知識點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義

思路：依照三個步驟：(1)求增量；（2）算比值；（3）求極限解：?y?(1??x)3?13?3?x?3(?x)2?(?x)3

?y?3?3?x?(?x)2?x

?yy?|x?1?lim?lim(3?3?x?(?x)2)?3?x?0?x?x?0★2.已知物體的運(yùn)動規(guī)律s?t2(m),求該物體在t?2(s)時的速度.

知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義

思路：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，依照三個步驟求導(dǎo)

s(2??t)?s(2)(2??t)2?22?t2?4?t?lim?lim?4解:v|t?2?lim?t?0?t?0?t?0?t?t?t3.設(shè)

f?(x0)存在，試?yán)脤?dǎo)數(shù)的定義求以下極限：

知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義

f(x0?h)?f(x0)?f?(x0)求極限

h?0hf(x0??x)?f(x0)★(1)lim

?x?0?xf(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)＝－lim＝－f?(x0)解：lim?x?0?x?0?x－?xf(x0?h)?f(x0?h)★(2)lim

h?0hf(x0?h)?f(x0?h)f(x0?h)?f(x0)?f(x0)?f(x0?h)?lim解：lim

h?0h?0hhf(x0?h)?f(x0)f(x0?h)?f(x0)?lim?lim?f?(x0)?f?(x0)?2f?(x0)h?0h?0h?h思路：利用導(dǎo)數(shù)的定義式limf(x0??x)?f(x0?2?x)

?x?02?xf(x0??x)?f(x0?2?x)f(x0??x)?f(x0)?f(x0)?f(x0?2?x)＝lim解：lim

?x?0?x?02?x2?xf(x0??x)?f(x0)f(x0?2?x)?f(x0)113＝lim?lim＝f?(x0)+f?(x0)＝f?(x0)?x?02?x?0?x?2?x22★★(3)

lim★★4.設(shè)

f(x)在x?2處連續(xù)，且limx?2f(x)?2，求f?(2).x?2知識點(diǎn):導(dǎo)數(shù)和連續(xù)的定義

思路:關(guān)鍵求出f(2),再利用導(dǎo)數(shù)的定義解:

f(x)在x?2處連續(xù)

x?2?f(2)?limf(x)

又limf(x)?lim(x?2)?x?2x?2f(x)f(x)f(x)?lim(x?2)?lim?0?lim?0x?2x?2x?2x?2x?2x?2?f(2)?0?f?(2)?limx?2f(x)?f(2)f(x)?lim?2x?2x?2x?2★5.給定拋物線

y?x2?x?2,求過點(diǎn)(1,2)的切線方程與法線方程.

知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

思路：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線的斜率

解:y??2x?1?切線的斜率k?y?|x?1?21?1?1

?切線的方程為y?2?1(x?1),即y?x?1

法線方程為y?2?(?1)(x?1),即y??x?3

★6.求曲線

1)處的切線方程和法線方程.y?ex在點(diǎn)(0，知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

思路：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線的斜率解:y??e?切線的斜率k?y?|x?0?e0?1

x?切線的方程為y?1?1(x?0),即y?x?1

法線方程為y?1??(x?0),即y??x?1

11★7.函數(shù)

?x2?1,0?x?1在點(diǎn)x?1處是否可導(dǎo)?為什么?f(x)??1?x?3x?1,知識點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件

思路：利用導(dǎo)數(shù)的定義求左右導(dǎo)數(shù)，然后利用函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件判別解：f??(1)?lim?x?1f(x)?f(1)3x?1?2?lim?3x?1?x?1x?1f(x)?f(1)x2?1?2f??(1)?lim?lim?2

x?1?x?1?x?1x?1

f??(1)?f??(1)?f(x)在x?1處不可導(dǎo).

★8.用導(dǎo)數(shù)的定義求

x?0?x,在x?0處的導(dǎo)數(shù).f(x)??ln(1?x),x?0?知識點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件

思路：利用導(dǎo)數(shù)的定義求左右導(dǎo)數(shù)，然后利用函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件解:f??(0)?lim?f(x)?f(0)ln(1?x)?0?lim?1?x?0x?0x?0x?0f(x)?f(0)x?0f??(0)?lim?lim?1

x?0?x?0?x?0x?0?f??(0)?f??(0)?f?(0)?f??(0?)?f★★9.設(shè)

(?0)

?sinx,x?0,求f?(x).f(x)??x?0?x,知識點(diǎn)：分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

思路：分段函數(shù)在每一段內(nèi)可以直接求導(dǎo)，但是在分段點(diǎn)處要利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)解：當(dāng)x?0時，f?(x)?(sinx)??cosx

當(dāng)x當(dāng)x?0時，f?(x)?x??1?0時，f??(0)?lim?f(x)?f(0)x?lim?1

x?0x?0?xx?0f(x)?f(0)sinx?lim?1f_?(0)?limx?0?x?0?x?0x?f?(0)?1

?cosx,x?0??f(x)??x?0?1,1?2?xsin,x?0★★10.試探討函數(shù)y??在x?0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.x?x?0?0,知識點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)與可導(dǎo)的定義

思路：利用函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)與可導(dǎo)的定義判斷解:limf(x)?limxsinx?0x?021?0?f(0)x?y?f(x)在x?0處連續(xù).

1(?x)2sin?0?y?xlim?lim??x?0?x?x?0?x12?y?xsin在x?0處可導(dǎo).

x★★11.設(shè)

x?0?li?mx[(1)s?in?x]0?(x)在x?a處連續(xù),f(x)?(x2?a2)?(x),求f?(a).

知識點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義思路：利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)解:?(x)在x?a處連續(xù)

?lim?(x)??(a)x?a

f(x)?f(a)(x2?a2)?(x)?0?f?(a)?lim?lim?lim(x?a)?(x)?2a?(a)x?ax?ax?ax?ax?a★★12.設(shè)不恒為零的奇函數(shù)

f(x)在x?0處可導(dǎo),試說明x?0為函數(shù)f(x)x的何種休止點(diǎn).

知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)以及休止點(diǎn)的定義

思路：利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限解:

又

f(x)為奇函數(shù)?f(0)?f(?0)??f(0)?f(0)?0

f(x)?f(0)'f(x)?f(0)lim?f?(0)f(x)在x?0處可導(dǎo)?lim即

x?0x?0x?0xf(x)在x?0處有極限.?xf(x)?x?0為函數(shù)的可去休止點(diǎn).

x★★13.當(dāng)物體的溫度高于周邊介質(zhì)的溫度時,物體就不斷冷卻,若物體的溫度T與時間t的函數(shù)關(guān)系為

T?T(t),應(yīng)怎樣確定該物體在時刻t的冷卻速度?

知識點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的定義

思路:導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)的變化率,在t時刻的冷卻速度即為函數(shù)T?T(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)解:t時刻該物體的溫度為T?T(t),則t??t時刻物體的溫度為T?T(t??t),

?物體在t時刻的冷卻速度