數(shù)值分析習(xí)題(含答案)

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第一章緒論

姓名學(xué)號班級

習(xí)題主要考察點(diǎn)：有效數(shù)字的計(jì)算、計(jì)算方法的比較選擇、誤差和誤差限的計(jì)算。1若誤差限為0.5?10,那么近似數(shù)0.003400有幾位有效數(shù)字？（有效數(shù)字的計(jì)算）

*?2解：x?0.3400?10，x?x?*?511?10?5??10?2?322故具有3位有效數(shù)字。

2??3.14159?具有4位有效數(shù)字的近似值是多少？（有效數(shù)字的計(jì)算）

*解：??0.314159??10，欲使其近似值?具有4位有效數(shù)字，必需

???*?111?101?4，???10?3??*????10?3，即3.14109??*?3.14209222即?。?.14109,3.14209）之間的任意數(shù)，都具有4位有效數(shù)字。

3已知a?1.2031，b?0.978是經(jīng)過四舍五入后得到的近似值，問a?b，a?b有幾位有效數(shù)字？（有效數(shù)字的計(jì)算）

11?10?3，b?b*??10?2，而a?b?2.1811，a?b?1.176622111(a?b)?(a*?b*)?a?a*?b?b*??10?3??10?2??101?2

222故a?b至少具有2位有效數(shù)字。

0.9781.20311(ab)?(a*b*)?ba?a*?a*b?b*??10?3??10?2?0.0065??101?2222故a?b至少具有2位有效數(shù)字。

解：a?a*?4設(shè)x?0，x的相對誤差為?，求lnx的誤差和相對誤差？（誤差的計(jì)算）解：已知

x?x*x*??，則誤差為lnx?lnx*?1lnx*x?x*x*??

則相對誤差為

lnx?lnx*lnx*?x?x*x*??lnx*

**5測得某圓柱體高度h的值為h?20cm，底面半徑r的值為r?5cm，已知

|h?h*|?0.2cm，|r?r*|?0.1cm，求圓柱體體積v??rh的絕對誤差限與相對誤差

限。（誤差限的計(jì)算）解：

2v(h,r)?v(h*,r*)?2?r*h*r?r*??r*2h?h*

絕對誤差限為

v(h,r)?v(20,5)?2???5?20?0.1???52?0.2?25?1

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v(h,r)?v(20,5)相對誤差限為

v(20,5)?25?1??4%2??5?20236設(shè)x的相對誤差為a%,求y?xn的相對誤差。（函數(shù)誤差的計(jì)算）解：

x?x*x*?a%，

y?y*y*?xn?x*nx*n?nx?x*x*?(na)%

7計(jì)算球的體積，為了使體積的相對誤差限為1%，問度量半徑r時(shí)允許的相對誤差限為多大？（函數(shù)誤差的計(jì)算）解：球體積為v(r)?344???r3，v(r*)????r*33欲使

v(r)?v(r*)v(r*)1?4???r*2r?r*4???r*33?3r?r*r*?1%，必需

r?r*r*1?%。38設(shè)In?e?1nxx?edx，求證：0（1）In?1?nIn?1(n?0,1,2?)

（2）利用（1）中的公式正向遞推計(jì)算時(shí)誤差逐步增大；反向遞推計(jì)算時(shí)誤差逐步減小。（計(jì)

算方法的比較選擇）

1解：In?e1?1?xde?e[xe0?1nx?1nx1011n?1x?1n?1xx?edx?1?nIn?10?n?xedx]?1?ne0I0?e?1?edx?e0x(e?1)?1?e?1

*假使初始誤差為?0?I0?I0，若是向前遞推，有

**?n?In?In?(1?nIn?1)?(1?nIn)2n(n?1)?n?2???(?1)nn!?0?1)??n?n?1?(?1可見，初始誤差?0的絕對值被逐步地?cái)U(kuò)大了。假使是向后遞推In?1?11?In，其誤差為nn1111*1(?1)n21?0?(?I1)?(?I1)???1?(?1)?2????n111111?2n!可見，初始誤差?n的絕對值被逐步減少了。

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其次章插值法

姓名學(xué)號班級

習(xí)題主要考察點(diǎn)：拉格朗日插值法的構(gòu)造，均差的計(jì)算，牛頓插值和埃爾米特插值構(gòu)造，插值余項(xiàng)的計(jì)算和應(yīng)用。

1已知f(?1)?2,f(1)?1,f(2)?1，求f(x)的拉氏插值多項(xiàng)式。（拉格朗日插值）解法一（待定系數(shù)法）：設(shè)L(x)?ax2?bx?c，由插值條件，有

?a?b?c?2??a?b?c?1?4a?2b?c?1?解得：a?1/6,b??1/2,c?4/3。故L(x)?1214x?x?。623解法二（基函數(shù)法）：由插值條件，有

L(x)?(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)?2??1??1

(?1?1)(?1?2)(1?1)((1?2)(2?1)(2?1)111?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1)323114?x2?x?6232已知y?x,x0?4,x1?9，用線性插值求7的近似值。（拉格朗日線性插值）

4?2，y1?9?3，其線性插值函數(shù)為

解：由插值節(jié)點(diǎn)與被插函數(shù)，可知，y0?x?9x?416?2??3?x?4?99?4557613?2.6。7的近似值為L(7)???555L(x)?3若xj(j?0,1,...n)為互異節(jié)點(diǎn)，且有

lj(x)?試證明

(x?x0)(x?x1)?(x?xj?1)(x?xj?1)?(x?xn)(xj?x0)(xj?x1)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)

?xlj?0nkjj（拉格朗日插值基函數(shù)的性質(zhì)）(x)?xk(k?0,1,...n)。

n解：考慮輔助函數(shù)F(x)??xlj?0kjj(x)?xk，其中，0?k?n，x?(??,?)。

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F(x)是次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式，在節(jié)點(diǎn)x?xi（0?i?n）處，有

kkkkkF(xi)??xkjlj(xi)?xi?xili(xi)?xi?xi?xi?0j?0n這說明，F(xiàn)(x)有n+1個(gè)互異實(shí)根。故F(x)?0，從而

?xlj?0nkjj(x)?xk對于任意的0?k?n均成立。

,sin0.34?0.333487,sin0.36?0.3522744已知sin0.32?0.314567，用拋物線插值計(jì)

算sin0.3367的值并估計(jì)截?cái)嗾`差。（拉格朗日二次插值）解：由插值條件，其拋物線插值函數(shù)為

L(x)?(x?0.34)(x?0.36)?0.314567

(0.32?0.34)(0.32?0.36)?(x?0.32)(x?0.36)?0.333487

(0.34?0.32)(0.34?0.36)?(x?0.32)(x?0.34)?0.352274

(0.36?0.32)(0.36?0.34))?0.3304。將x?0.3367代入，計(jì)算可得：L(0.3367其余項(xiàng)為：r(x)??sin?(x?0.32)(x?0.34)(x?0.36)其中，0.32???0.363!r(x)?1(x?0.32)(x?0.34)(x?0.36)61(0.3367?0.32)(0.3367?0.34)(0.3367?0.36)?2.14?10?7。6故誤差的上界為：

r(0.3367)?5用余弦函數(shù)cosx在x0?0，x1?多項(xiàng)式,并近似計(jì)算cos日二次插值）

??，x2?三個(gè)節(jié)點(diǎn)處的值，寫出二次拉格朗日插值42?6及其絕對誤差與相對誤差，且與誤差余項(xiàng)估計(jì)值比較。（拉格朗

解：由插值條件，二次拉格朗日插值多項(xiàng)式為

L(x)?(x??/4)(x??/2)(x?0)(x??/2)1(x?0)(x??/4)?1????0

(0??/4)(0??/2)(?/4?0)(?/4??/2)2(?/2?0)(?/2??/4)4

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?8(x??/4)(x??/2)?2?82x(x??/2)??2

L()?6?8(?/6??/4)(?/6??/2)82?/6(?/6??/2)?2??2?2?42?0.85089絕對誤差為：cos?32?4293?4?82?L()????0.0153662918?L()66L()6cos相對誤差為：

????93?4?824?82?0.0179

余項(xiàng)為：

r(x)?sin?x(x??/4)(x??/2)，其中，0????/23!1x(x??/4)(x??/2)6其余項(xiàng)的上界為：r(x)?1??????3r()?(?)(?)?4?0.023966664626?比較可知，實(shí)際計(jì)算所得的絕對誤差較余項(xiàng)公式所估計(jì)出的值要小一些。

6已知函數(shù)值f(0)?6,f(1)?10,f(3)?46,f(4)?82,f(6)?212，求函數(shù)的四階均差

f[0,1,3,4,6]和二階均差f[4,1,3]。（均差的計(jì)算）

解：采用列表法來計(jì)算各階均差，有

x01346y6104682212一