數(shù)形結(jié)合的思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合的思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

單位圓和單位圓在用量設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用.a版《語(yǔ)文必修課程標(biāo)準(zhǔn)》（必修4）包括三角形函數(shù)、平面向量、三角形恒等變換。教學(xué)材料的內(nèi)容是為了加強(qiáng)幾何的直覺，并利用數(shù)學(xué)問題的思維方式進(jìn)行討論。此外，幾何直觀對(duì)于理解三角形函數(shù)、向量和其他概念也發(fā)揮了重要作用?！叭呛瘮?shù)”一章,特別強(qiáng)調(diào)了單位圓的直觀作用.“三角恒等變換”一章,也是利用單位圓讓學(xué)生“經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程,進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用”;而且在習(xí)題中也有意安排了相關(guān)的問題,目的在于充分發(fā)揮單位圓的直觀作用,逐漸培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想方法討論數(shù)學(xué)問題的意識(shí)和習(xí)慣,提高分析問題和解決問題的能力.文獻(xiàn)論述了單位圓在三角函數(shù)中的作用,如利用單位圓定義三角函數(shù)、推導(dǎo)同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式等.目前類似于這方面的研究很多,盡管研究者從不同的觀點(diǎn)和層面去討論單位圓和向量方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的合理應(yīng)用問題,但其共同的觀點(diǎn)是:在教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地“適度”挖掘教材中的相關(guān)素材,為學(xué)生更好地體會(huì)向量方法的作用提供平臺(tái).本文將例談向量方法、單位圓在中學(xué)數(shù)學(xué)的三角恒等變換中的巧用,僅供同行商榷.1角差的后弦和角二的斜角以及后弦的公共公式的導(dǎo)出1.1數(shù)形結(jié)合的思想方法兩角差的余弦公式的探索和證明是“三角恒等變換”這一章節(jié)的重點(diǎn),也是難點(diǎn).因此,教材用較多篇幅,比較詳盡而完備地?cái)⑹隽斯紺(α-β)的探索和證明過程.這里我們介紹一種利用向量和單位元的新方法,以探討數(shù)形結(jié)合的思想方法和向量方法的作用.如圖1所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),作單位圓O,以O(shè)x軸為始邊作角α、β及α-β,它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別記為A、B及C,點(diǎn)D為單位圓O與Ox軸的交點(diǎn).則由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,有但∠AOB=∠COD,所以cos∠AOB=cos∠COD.故對(duì)于任意角α,β有【注1】上述方法相比教材中推介的傳統(tǒng)方法,過程簡(jiǎn)捷(直接針對(duì)角α-β、α、β論事),更具幾何直觀性;又若利用關(guān)系|AB|=|CD|和兩點(diǎn)間距離公式,則可得到另一種公式推導(dǎo)方法.借助于此方法,學(xué)生就能很容易解決教材137頁(yè)的習(xí)題3.1B組4題及推導(dǎo)兩角和的余弦公式.1.2數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)數(shù)學(xué)模型通常情況下基于兩角和的正弦和余弦公式推得二倍角的正弦、余弦公式較為容易,甚至沒有更多的方法和技巧上的啟示.如果在教學(xué)中能有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生用向量方法去探索這個(gè)問題,則使學(xué)生受益匪淺.這并非是簡(jiǎn)單問題的復(fù)雜化,而是起到啟發(fā)學(xué)生思維,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的作用,以下面推導(dǎo)過程為例加以說明.如圖2所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),作單位圓O,以O(shè)x軸為始邊作角α、2α,它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)C為單位圓O與Ox軸的交點(diǎn),連接BC交OA于H,則OA為∠BOC的平分線,則有,所以,由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則,有,所以對(duì)于任意角α,β有【注2】上述方法將用到平面向量的加法及數(shù)乘等線性運(yùn)算法則,這也使學(xué)生能進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)學(xué)問題中向量方法的重要作用.2角和單位圓的關(guān)系人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》(必修4)中有意安排了一道利用單位圓探究三角函數(shù)和差化積公式的問題,這里作為一個(gè)補(bǔ)充,給出一例巧用單位圓推導(dǎo)三角函數(shù)積化和差公式的新方法.如圖3所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),作單位圓O,以O(shè)x軸為始邊作角α、-β、α+β及α-β,它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A、B、C及D,連接CD交OA于H,則易知OA是∠COD的平分線,且所以,由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則,有所以對(duì)于任意角α,β有【注3】上述方法恰好地利用了角α+β與α-β的終邊關(guān)于角α的終邊對(duì)稱的幾何特征.借助于此類方法,學(xué)生就能比較容易地解決教材143頁(yè)習(xí)題3.2B組4題及推導(dǎo)和差化積公式.向量作為溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具,有著廣泛的應(yīng)用,在教學(xué)中應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生多經(jīng)歷相關(guān)問題的探究過程.下面通過介紹兩個(gè)典型例子來進(jìn)一步探究用向量和單位圓求解與三角函數(shù)有關(guān)問題方法和技巧.解如圖4所示,設(shè)角α、β的終邊與單位圓O分別相交于點(diǎn)A、B,則設(shè)AB的中點(diǎn)為C,連接OC,則又易知OC為終邊的角為,所以由三角函數(shù)的定義得例2已知,求tanβ的值(人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》(必修4)中146頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組8題).解如圖5所示,設(shè)角β的終邊與單位圓O的交點(diǎn)為A,點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為B,則連接AB分別交直線y=x、x軸于C、E,過點(diǎn)A引x軸的垂線段AD,D為垂足.則C為AB的中點(diǎn),即3注重“適度”的革新方法培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)習(xí)慣在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題的過程中,教師要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生善于運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)方法,從不同的角度去分析問題和解決問題,把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,逐步培養(yǎng)良好的討論數(shù)學(xué)問題的意識(shí)和習(xí)慣,以提高其分析問題和解決問題的能力.為此,在中學(xué)數(shù)