第十一講 圖形變換

第十一講圖形變換

1.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：矢量、矩陣及運算2.窗口到視區(qū)的變換3.圖形幾何變換1.變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

矢量矢量和矢量的數(shù)乘矢量的點積性質(zhì)矢量的長度單位矢量矢量的夾角矢量的叉積

矩陣階矩陣n階方陣零矩陣行向量與列向量單位矩陣矩陣的加法矩陣的數(shù)乘矩陣的乘法矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的逆

矩陣的含義矩陣：由m×n個數(shù)按一定位置排列的一個整體，簡稱m×n矩陣。A=其中，aij稱為矩陣A的第i行第j列元素矩陣運算加法設(shè)A，B為兩個具有相同行和列元素的矩陣A+B=數(shù)乘kA=[k*aij]|i=1...m,j=1,..n乘法設(shè)A為3×2矩陣，B為2×3矩陣

C=A·B=C=Cm×p=Am×n·Bn×pcij=∑aik*bkj單位矩陣在一矩陣中，其主對角線各元素aii=1,其余皆為0的矩陣稱為單位矩陣。n階單位矩陣通常記作In。Am×n=Am×n·Ink=1,n逆矩陣若矩陣A存在A·A-1=A-1·A=I，則稱A-1為A的逆矩陣矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A=(aij)m×n的行和列互換而得到的n×m矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT。(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(aA)T=aAT(A·B)T=BT·AT當A為n階矩陣，且A=AT，則

A是對稱矩陣。矩陣運算的基本性質(zhì)交換律與結(jié)合律師A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C數(shù)乘的分配律及結(jié)合律a(A+B)=aA+aB;a(A·B)=(aA)·B=A·(aB)(a+b)A=aA+bAa(bA)=(ab)A矩陣乘法的結(jié)合律及分配律A(B·C)=(A·B)C(A+B)·C=A·C+B·CC·(A+B)=C·A+C·B矩陣的乘法不適合交換律

所謂齊次坐標表示法就是由n+1維向量表示一個n維向量。如n維向量(P1,P2,…,Pn)表示為（hP1,hP2,

hPn,h），其中h稱為啞坐標。1、h可以取不同的值，所以同一點的齊次坐標不是唯一的。如普通坐標系下的點（2,3）變換為齊次坐標可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。2、

普通坐標與齊次坐標的關(guān)系為“一對多”由普通坐標

h→齊次坐標由齊次坐標÷h→普通坐標3、

當h=1時產(chǎn)生的齊次坐標稱為“規(guī)格化坐標”，因為前n個坐標就是普通坐標系下的n維坐標。齊次坐標(x,y)點對應(yīng)的齊次坐標為(x,y)點對應(yīng)的齊次坐標為三維空間的一條直線1.將各種變換用階數(shù)統(tǒng)一的矩陣來表示。提供了用矩陣運算把二維、三維甚至高維空間上的一個點從一個坐標系變換到另一坐標系的有效方法。2.便于表示無窮遠點。例如：（x

h,y

h,h)，令h等于03.齊次坐標變換矩陣形式把直線變換成直線段，平面變換成平面，多邊形變換成多邊形，多面體變換成多面體。(圖形拓撲關(guān)系保持不變）4.變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點便于變換合成便于硬件實現(xiàn)齊次坐標的作用2.窗口視圖變換

用戶域和窗口區(qū)1．用戶域：程序員用來定義草圖的整個自然空間(WD)a

人們所要描述的圖形均在用戶域中定義。b

用戶域是一個實數(shù)域，理論上是連續(xù)無限的。2．窗口區(qū)：用戶指定的任一區(qū)域(W)a窗口區(qū)W小于或等于用戶域WDb小于用戶域的窗口區(qū)W叫做用戶域的子域。c窗口可以有多種類型，矩形窗口、圓形窗口、多邊形窗口等等d窗口可以嵌套，即在第一層窗口中可再定義第二層窗口，在第I層窗口中可再定義第I+1層窗口等等。窗口視圖變換屏幕域和視圖區(qū)1．

屏幕域(DC)：設(shè)備輸出圖形的最大區(qū)域，是有限的整數(shù)域。如圖形顯示器分辨率為1024

768→DC[0..1023]

[0..767]2．

視圖區(qū)：任何小于或等于屏幕域的區(qū)域a

視圖區(qū)用設(shè)備坐標定義在屏幕域中b

窗口區(qū)顯示在視圖區(qū)，需做窗口區(qū)到視圖區(qū)的坐標轉(zhuǎn)換。c

視圖區(qū)可以有多種類型：圓形、矩形、多邊形等。d視圖區(qū)也可以嵌套。窗口區(qū)和視圖區(qū)的坐標變換設(shè)窗口的四條邊界WXL,WXR,WYB,WYT視圖的四條邊界VXL,VXR,VYB,VYT則用戶坐標系下的點（即窗口內(nèi)的一點）(Xw,Yw)對應(yīng)屏幕視圖區(qū)中的點（Xs,Ys），其變換公式為窗口區(qū)和視圖區(qū)的坐標變換簡化為：1)當a

c時，即x方向的變化與y方向的變化不同時，視圖中的圖形會有伸縮變化，圖形變形。2)

當a=c=1，b=d=0則Xs=Xw,Ys=Yw,圖形完全相同。圖形變換是計算機圖形學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容之一。幾何變換，投影變換，視窗變換作用：把用戶坐標系與設(shè)備坐標系聯(lián)系起來；可由簡單圖形生成復(fù)雜圖形；可用二維圖形表示三維形體；動態(tài)顯示。3圖形變換二維圖形的顯示流程圖從應(yīng)用程序得到圖形的用戶坐標對窗口區(qū)進行裁剪窗口區(qū)到視圖區(qū)的規(guī)格化變換視圖區(qū)從規(guī)格化坐標系到設(shè)備坐標系的變換WCWCNDCDC在圖形設(shè)備上輸出圖形的幾何變換幾何變換：對圖形進行平移、旋轉(zhuǎn)、放縮、錯切等單一或復(fù)合的變換。圖形變換的兩種形式：1.圖形不變，坐標系改變；2.圖形改變，坐標系不變。簡單說明齊次坐標的作用x*=x+Txy*=y+Ty二維圖形的幾何變換

設(shè)二維圖形變換前坐標為(x,y,1),變換后為(x*,y*,1)

1．

二維變換矩陣注意：T2D可看作三個行向量，其中[100]：表示x軸上的無窮遠點[010]：表示y軸上的無窮遠點[001]：表示原點

二維圖形的幾何變換從變換功能上可把T2D分為四個子矩陣二維基本變換-平移變換

平移變換平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀稱為平移變換矩陣.二維基本變換-旋轉(zhuǎn)變換注意；θ是逆時針旋轉(zhuǎn)角度。

αθρ(x,y)(x′,y′)二維基本變換-比例變換以坐標原點為放縮參照點當Sx=Sy=1時：恒等比例變換當Sx=Sy>1時：沿x,y方向等比例放大。當Sx=Sy<1時：沿x,y方向等比例縮小當Sx

Sy時：沿x,y方向作非均勻的比例變換，圖形變形。二維基本變換-對稱變換

當Sx=-1,Sy=1時，(x*y*1)=(-x

y1)：與y軸對稱的反射變換。當Sx=1,Sy=-1時，(x*y*1)=(x-y1)：與x軸對稱的反射變換。當Sx=-1,Sy=-1時，(x*y*1)=(-x-y1)：與原點對稱的反射變換。二維基本變換-錯切變換1)

當d=0時，(x*y*1)=(x+by

y1)：圖形的y坐標不變；當b>0：圖形沿+x方向作錯切位移。ABCD→A1B1C1D1當b<0：圖形沿-x方向作錯切位移。ABCD→A2B2C2D2二維基本變換-錯切變換2)當b=0時，(x*y*1)=(x

dx+y1)圖形的x坐標不變；當d>0：圖形沿+y方向作錯切位移。ABCD→A1B1C1D1當d<0：圖形沿-y方向作錯切位移。ABCD→A2B2C2D2二維基本變換-錯切變換3)

當b

0且d

0時，(x*y*1)=(x+by

dx+y1)：圖形沿x,y兩個方向作錯切位移?！噱e切變換引起圖形角度關(guān)系的改變，甚至導(dǎo)致圖形發(fā)生變形。復(fù)合變換

復(fù)合變換又稱級聯(lián)變換，指對圖形做一次以上的幾何變換。注意：任何一個線性變換都可以分解為上述幾類變換。

例1：復(fù)合平移求點P(x,y)經(jīng)第一次平移變換（Tx1,Ty1），第二次平移變換（Tx2,Ty2）后的坐標P*（x*,y*）解：設(shè)點P(x,y,1)經(jīng)第一次平移變換后的坐標為P

(x

y

1)，則經(jīng)第二次平移變換后的坐標為P*(x*y*1)∴變換矩陣為Tt=Tt1?Tt2例2：多種復(fù)合組合例:對一線段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。

解:設(shè)點(x,y)為線段上的任意一點,點(x′,y′)為點(x,y)放大后的坐標,點(x′′,y′′)為點(x′,y′)平移后的坐標,則:

[x′,y′,1]=[x,y,1]S2(2,2)

[x′′,y′′,1]=[x′,y′,1]T2(10,0) [x′′,y′′,1]=[x′,y′,1]T2(10,0)=[x,y,1]S2(2,2)T2(10,0)令：M=S2(2,2)T2(10,0)，則M即為組合變換

yx(x,y)yx(x′,y′)yx(x′′,y′′)Tx例3：旋轉(zhuǎn)變換對參考點F(xf,yf)做旋轉(zhuǎn)變換。解：1、把旋轉(zhuǎn)中心F(xf,yf)平移至坐標原點，即坐標系