第41講數(shù)列中的最值的求法

第41講：數(shù)列中的最值的求法【考綱要求】能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題【基礎(chǔ)知識】1、數(shù)列是一個函數(shù)，所以函數(shù)求最值的很多方法同樣適用于它，又由于數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，在求最值時，又表現(xiàn)出它的特殊性。有些特殊的方法要理解并記住。2、數(shù)列求最值常用的方法有函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、基本不等式、導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性等，特殊的方法有夾逼法等。例在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0前n項(xiàng)和，求SKIPIF1<0的最大值。解：由題得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)n=10或n=11時，SKIPIF1<0取到最大值55?！军c(diǎn)評】數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和可以看作是一個關(guān)于n的二次函數(shù)SKIPIF1<0，利用圖像解答。例在等比數(shù)列{an}中，SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，a3與a5的等比中項(xiàng)為2。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)SKIPIF1<0最大時，求n的值。解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最大。（圖像如圖所示）例已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0則在數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)中最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0解：由題得SKIPIF1<0函數(shù)的漸近線為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，如圖所示：所以數(shù)列最小的項(xiàng)為SKIPIF1<0最大的項(xiàng)為SKIPIF1<0所以選C.例已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值。解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0故當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0； 當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最大項(xiàng)為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．⑴、一個各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0滿足:SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和,求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；⑵、在⑴的條件下，是否存在正數(shù)M使下列不等式：SKIPIF1<0對一切SKIPIF1<0成立？若存在，求出SKIPIF1<0的取值范圍；若不存在，請說明理由．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．…………………6分⑵、假設(shè)SKIPIF1<0存在滿足條件，即SKIPIF1<0對一切SKIPIF1<0恒成立．……………８分令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，……………10分故SKIPIF1<0，…………………12分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若函數(shù)SKIPIF1<0求函數(shù)SKIPIF1<0的最小值；（3）設(shè)SKIPIF1<0表示數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，試證明：SKIPIF1<0．方法四基本不等式法使用情景有一正二定三相等的數(shù)學(xué)情景解題步驟先求函數(shù)的表達(dá)式，再利用基本不等式解答。例廣州市某通訊設(shè)備廠為適應(yīng)市場需求，提高效益，特投入98萬元引進(jìn)世界先進(jìn)設(shè)備奔騰6號，并馬上投入生產(chǎn)，第一年需要的各種費(fèi)用是12萬元，從第二年開始，所需費(fèi)用會比上一年增加4萬元，而每年因引進(jìn)該設(shè)備可獲得的年利潤為50萬元。（1）引進(jìn)該設(shè)備多少年后，開始盈利？（2）引進(jìn)該設(shè)備若干年后，有兩種處理方案：第一種：年平均盈利達(dá)到最大值時，以26萬元的價格賣出；第二種：盈利總額達(dá)到最大值時，以8萬元的價格賣出。問哪種方案較為合算？并說明理由。解：（1）SKIPIF1<0所以3年后開始盈利。（2）方案一：SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)n=7時取等，所以方案一最后的利潤為SKIPIF1<0，方案二：SKIPIF1<0時利潤最大，所以方案二的利潤為102+8=110，所以方案一合算。例在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），其中k是常數(shù)，且SKIPIF1<0.（Ⅰ）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列SKIPIF1<0的最小項(xiàng).解（Ⅰ）因?yàn)镾KIPIF1<0（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.以上n-1個式子相加得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.當(dāng)n=1時，上式也成立.所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0.（Ⅱ）為考查數(shù)列SKIPIF1<0的單調(diào)性，注意到SKIPIF1<0，可設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.所以數(shù)列SKIPIF1<0的最小項(xiàng)為SKIPIF1<0.（3）當(dāng)a5=a6，即SKIPIF1<0，即k=30時，SKIPIF1<0.所以數(shù)列SKIPIF1<0的最小項(xiàng)為SKIPIF1<0.（4）當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以數(shù)列SKIPIF1<0的最小項(xiàng)為SKIPIF1<0.（5）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0且k<36，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以數(shù)列SKIPIF1<0的最小項(xiàng)為SKIPIF1<0.綜上所述：當(dāng)k=25時，數(shù)列SKIPIF1<0的最小項(xiàng)為a5=10；當(dāng)SKIPIF1<0時，數(shù)列SKIPIF1<0的最小項(xiàng)為SKIPIF1<0；當(dāng)k=30時，數(shù)列SKIPIF1<0的最小項(xiàng)為a5=a6=11；當(dāng)30<k<36時，數(shù)列SKIPIF1<0的最小項(xiàng)為SKIPIF1<0；當(dāng)k=36時，數(shù)列SKIPIF1<0的最小項(xiàng)為a6=12.abc調(diào)遞減，則數(shù)列不一定在最靠近SKIPIF1<0的地方取得最大值，必須把SKIPIF1<0附近的整數(shù)值代進(jìn)去比較，才可以判斷誰是最大值。所以一般不利用導(dǎo)數(shù)求數(shù)列的最值。abc【變式演練5】求數(shù)列SKIPIF1<0的最大項(xiàng)與最小項(xiàng).方法六夾逼法使用情景二項(xiàng)展開式中研究最值問題。解題步驟利用數(shù)列離散的特點(diǎn)，考察SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，然后判斷數(shù)列SKIPIF1<0的最值情況。例在(3x－2y)20的展開式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)；(3)系數(shù)最大的項(xiàng)．Z|xx|k.Com]化簡得又k為不超過11的正整數(shù)，可得k＝5，即第2×5－1＝9項(xiàng)系數(shù)最大，T9＝Ceq\o\al(8,20)·312·28·x12·y8.【變式演練6】在SKIPIF1<0的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)是第4項(xiàng)系數(shù)的2倍，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)?！靖呖季x傳真】1、(2012高考真題四川理20)(本小題滿分12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對一切正整數(shù)都成立。（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)為何值時，最大？并求出的最大值。[解析]取n=1,得①取n=2,得②又②-①，得③（1）若a2=0,由①知a1=0,(2)若a2,④由①④得：…5分（2）當(dāng)a1>0時,由（I）知，當(dāng),(2+)an-1=S2+Sn-1所以，an=所以令所以，數(shù)列{bn}是以為公差，且單調(diào)遞減的等差數(shù)列.則b1>b2>b3>…>b7=當(dāng)n≥8時，bn≤b8=所以，n=7時，Tn取得最大值，且Tn的最大值為T7=【反饋訓(xùn)練】1、等差數(shù)列SKIPIF1<0通項(xiàng)SKIPIF1<0，那么當(dāng)SKIPIF1<0最小時，求SKIPIF1<0的值。2、已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)。3、已知等比數(shù)列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0求其前3項(xiàng)和SKIPIF1<0的取值范圍。4、已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0，試問數(shù)列SKIPIF1<0有沒有最大項(xiàng)?若有，求最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若無，說明理由。5、已知函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0表達(dá)式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證SKIPIF1<0；(3)設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)的和，當(dāng)SKIPIF1<0最大時，求SKIPIF1<0的值。(1)求SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0，是否存在最小的正整數(shù)SKIPIF1<0，使對任意SKIPIF1<0有SKIPIF1<0成立？若存在，求出SKIPIF1<0的值，若不存在，說明理由。8在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0an(n∈N*)，（Ⅰ）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若對于一切n>1的自然數(shù)，不等式SKIPIF1<0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.12.設(shè)SKIPIF1<0Z，當(dāng)n是什么數(shù)時， SKIPIF1<0取最小值，并說明理由.13.已知函數(shù)SKIPIF1<0，Sn是數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，點(diǎn)（n，Sn）（n∈N*）在曲線SKIPIF1<0上.（Ⅰ）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且Tn是數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和.試問Tn是否存在最大值？若存在，請求出Tn的最大值；若不存在，請說明理由.14.數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0. （I）若SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0； （II）設(shè)SKIPIF1<0的最小值.(2)解法一：SKIPIF1<0=12-2d+(n-1)d=12+(n-3)d令SKIPIF1<0，得：n<3-SKIPIF1<0,由（1）知：SKIPIF1<0<d<-3,所以，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0,故由等差數(shù)列的單調(diào)性可知：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)n>6時，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0最大.解法二：由題意可得：SKIPIF1<0=nSKIPIF1<0+SKIPIF1<0=n(12-2d)+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0顯然dSKIPIF1<00,SKIPIF1<0是關(guān)于自變量n的二次函數(shù)，由（1）知：d<0,二次函數(shù)的圖像拋物線的對稱軸為n=SKIPIF1<0,由（1）知：SKIPIF1<0，所以6<SKIPIF1<0<SKIPIF1<0,又因?yàn)閚SKIPIF1<0,故當(dāng)n=6時，SKIPIF1<0最大，即SKIPIF1<0最大.所以SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=4，因此等差數(shù)列{SKIPIF1<0}的公差大于0.SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0=2.所以SKIPIF1<0=4n-2,則SKIPIF1<0=2n-31.即數(shù)列{SKIPIF1<0}也為等差數(shù)列且公差為2.由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因?yàn)閚SKIPIF1<0，所以n=15,故{SKIPIF1<0}的前15項(xiàng)為負(fù)值，因此SKIPIF1<0最小，可知SKIPIF1<0=-29，d=2,所以數(shù)列{SKIPIF1<0}的前n項(xiàng)和的最小值為SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=-225.【變式演練3詳細(xì)解析】（1）由點(diǎn)PSKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，即SKIPIF1<0，…………2分且SKIPIF1<0，數(shù)列{SKIPIF1<0}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列SKIPIF1<0，（3）SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0……………11分SKIPIF1<0……………12分SKIPIF1<0…………SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0……………14分另解：SKIPIF1<0此式中有SKIPIF1<0個1，有SKIPIF1<0個SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1個SKIPIF1<0。………………12分SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。SKIPIF1<0………………14 SKIPIF1<0【反饋訓(xùn)練詳細(xì)解析】1．【解析】SKIPIF1<02．【解析】將函數(shù)分離，得到函數(shù)的圖像是雙曲線，漸近線為SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別為SKIPIF1<03.【解析】由題設(shè)前3項(xiàng)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<04.【解析】第9項(xiàng)和第10項(xiàng)最大（作商研究數(shù)列的單調(diào)性，發(fā)現(xiàn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以后單調(diào)遞減。）5.【解析】（1）令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0=SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）錯位相減得SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大。6．【解析】（１）SKIPIF1<0--------------------------------1分SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0--------------3分SKIPIF1<0--------------4分SKIPIF1<0SKIPIF1<0--------12分所以當(dāng)SKIPIF1<0時有:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0;當(dāng)SKIPIF1<0時有:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0;SKIPIF1<0------------------13分SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0--------------------14分（Ⅱ）設(shè)SKIPIF1<0(n∈N*)，m由（Ⅰ）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以數(shù)列SKIPIF1<0是單調(diào)遞增數(shù)列.所以當(dāng)SKIPIF1<0時，bn的最小值為SKIPIF1<0.所以要使對于一切n>1的自然數(shù)，不等式SKIPIF1<0恒成立，則需且只需SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0.故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為SKIPIF1<0.10.【解析】:(1)設(shè)SKIPIF1<0為常數(shù)項(xiàng),則有m(12-r)+nr＝0,即m(12-r)-2mr＝0,∴r＝4,它是第5項(xiàng).(2)∵第5項(xiàng)又是系數(shù)最大的項(xiàng),∴有SKIPIF1<0