24春國家開放大學《離散數(shù)學》大作業(yè)參考答案

離散數(shù)學大作業(yè)姓名：姓名：學號：得分：教師簽名：大作業(yè)時間為第1周到第17周，滿分100分，由兩部分組成。提交作業(yè)方式有以下三種，請務(wù)必與輔導教師溝通后選擇：1.將此次作業(yè)用A4紙打印出來，手工書寫答題，字跡工整，解答題要有解答過程，完成作業(yè)后交給輔導教師批閱。注意選擇此種提交方式時仍然需要在網(wǎng)絡(luò)課提交作業(yè)入口處上傳說明文檔，文檔內(nèi)注明“作業(yè)已由線下提交給輔導老師”。2.在線提交word文檔．3.自備答題紙張，將答題過程手工書寫，并拍照上傳．第一部分一、公式翻譯題（每小題2分，共10分）1.將語句“我會英語，并且會德語．”翻譯成命題公式．解：設(shè)P：我會英語，Q：我會德語則命題公式為：P∧Q．2.將語句“如果今天是周三，則昨天是周二．”翻譯成命題公式．解：設(shè)P：今天是周三，Q：昨天是周二則命題公式為：P→Q．3.將語句“小王是個學生，小李是個職員．”翻譯成命題公式．解：設(shè)P：小王是個學生，Q：小李是個職員．則命題公式為：P∧Q．4.將語句“如果明天下雨，我們就去圖書館.”翻譯成命題公式．解：設(shè)P：明天下雨，Q：我們就去圖書館．則命題公式為：P→Q．5.將語句“當大家都進入教室后，討論會開始進行．”翻譯成命題公式．解：設(shè)P：大家都進入教室后，Q：討論會開始進行則命題公式為：P∧Q二、計算題（每小題10分，共50分）1.設(shè)集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={2,{3}}，試計算（1）AC；（2）A∩B；（3）(A∩B)×C．解：（1）A-C={1,3}（2）A∩B={2,3}（3）(A∩B)×C={2,3}×{2,{3}}={<2,2>,<2,{3}>,<3,2>,<3,{3}>}2.設(shè)G=<V，E>，V={v1,v2,v3,v4,v5}，E={(v1,v3),(v1,v5),(v2,v3),(v3,v4),(v4,v5)}，試（1）給出G的圖形表示；（2）求出每個結(jié)點的度數(shù)；（3）畫出其補圖的圖形．解：（1）G的圖形表示（2）v1，v2，v3，v4，v5結(jié)點的度數(shù)依次為2，1，3，2，2．（3）補圖如下圖3.試畫一棵帶權(quán)為1,2,3,3,4的最優(yōu)二叉樹,并計算該最優(yōu)二叉樹的權(quán)．解：最優(yōu)二叉樹的權(quán)為：1×3+2×3+3×2+3×2=4×2=294.求出如下所示賦權(quán)圖中的最小生成樹（要求寫出求解步驟），并求此最小生成樹的權(quán)．v6v1v2v5v3v416245793152解：W(v2,v6)=1,選(v2,v6)W(v4,v5)=1,選(v4,v5)W(v1,v6)=2,選(v1,v6)W(v3,v5)=2,選(v3,v5)W(v2,v3)=4,選(v2,v3)最小生成樹，如圖生成樹的權(quán)W(T)=1+1+2+2+4=105.求P→(Q∧R)的析取范式與合取范式.解：P→(Q∧R)??P∨(Q∧R)變成合取析取?(?P∨Q)∧(?P∨R)分配律?(?P∨Q∨(?R∧R))∧(?P∨(?Q∧Q)∨R)補項?((?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R))∧(?P∨(?Q∧Q)∨R)分配律2?(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨(?Q∧Q)∨R)結(jié)合律?(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧((?P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨R))分配律2?(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨R)結(jié)合律?(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨R)等冪律得到主合取范式，再檢查遺漏的極大項?M?∧M?∧M??∏(4,5,6)??∏(0,1,2,3,7)?∑(0,1,2,3,7)?m?∨m?∨m?∨m?∨m???(P∨Q∨R)∨?(P∨Q∨?R)∨?(P∨?Q∨R)∨?(P∨?Q∨?R)∨?(?P∨?Q∨?R)德摩根定律?(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)德摩根定律得到主析取范式第二部分從下列選題中選擇一個感興趣的主題，自主查閱文獻資料進行深入的研究和學習，并形成一份至少一千字的總結(jié)報告。（40分）離散數(shù)學在各學科領(lǐng)域的應(yīng)用；集合論的發(fā)展歷史和應(yīng)用；函數(shù)概念的發(fā)展歷史和應(yīng)用；圖論的發(fā)展歷史和應(yīng)用；數(shù)理邏輯的發(fā)展歷史和應(yīng)用；最小生成樹的兩種算法比較分析；任意自選主題，注意選擇前需經(jīng)過輔導老師認可。參考答案：離散數(shù)學在各學科領(lǐng)域的應(yīng)用離散數(shù)學是數(shù)學的一個重要分支，主要研究離散對象和結(jié)構(gòu)以及它們之間的關(guān)系和規(guī)律。在現(xiàn)代科技的推動下，離散數(shù)學已經(jīng)滲透到各個學科領(lǐng)域，成為眾多學科不可或缺的理論基礎(chǔ)。本文將從多個方面探討離散數(shù)學在各學科領(lǐng)域的應(yīng)用。（一）計算機科學基礎(chǔ)計算機科學的核心概念，如邏輯運算、集合論、圖論等，都是離散數(shù)學的重要組成部分。邏輯運算是計算機內(nèi)部信息處理的基礎(chǔ)，而集合論和圖論則在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法分析和系統(tǒng)設(shè)計等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。（二）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法離散數(shù)學為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法的設(shè)計提供了理論基礎(chǔ)。圖論中的樹、圖等概念是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的關(guān)鍵要素，如二叉樹、堆、圖等。同時，離散數(shù)學中的組合數(shù)學、優(yōu)化理論等為算法設(shè)計提供了有效工具，如動態(tài)規(guī)劃、貪心算法等。（三）網(wǎng)絡(luò)與通信網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點和鏈路可以抽象為離散數(shù)學中的圖和邊的概念。圖論在網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)、路由算法、流量控制等方面有著廣泛應(yīng)用。此外，離散數(shù)學在編碼理論、錯誤檢測與糾正等方面也為通信技術(shù)提供了重要支持。（四）數(shù)據(jù)庫理論數(shù)據(jù)庫的設(shè)計和管理離不開離散數(shù)學的理論支持。關(guān)系數(shù)據(jù)庫中的關(guān)系、屬性、元組等概念與集合論、關(guān)系代數(shù)緊密相關(guān)。同時，離散數(shù)學中的圖論和數(shù)理邏輯也為數(shù)據(jù)庫查詢優(yōu)化、事務(wù)處理等提供了理論依據(jù)。（五）人工智能與機器學習人工智能和機器學習領(lǐng)域的許多問題都可以轉(zhuǎn)化為離散數(shù)學問題。例如，搜索算法、知識表示和推理、模式識別等都與離散數(shù)學密切相關(guān)。圖論、組合優(yōu)化等離散數(shù)學理論在機器學習中也有著廣泛的應(yīng)用，如決策樹、關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘等。（六）密碼學與信息安全密碼學是信息安全的核心，而離散數(shù)學在密碼學中扮演著舉足輕重的角色。數(shù)論、群論、有限域等離散數(shù)學理論為加密算法的設(shè)計提供了堅實的數(shù)學基礎(chǔ)。同時，離散數(shù)學也在信息隱藏、數(shù)字簽名、身份認證等方面發(fā)揮著重要作用。（七）電子商務(wù)與信息系統(tǒng)電子商務(wù)和信息系統(tǒng)的設(shè)計和優(yōu)化也離不開離散數(shù)學的理論支持。離散數(shù)學在數(shù)據(jù)建模、信息檢索、數(shù)據(jù)挖掘等方面提供了有效的工具和方法。同時，離散數(shù)學在電子商務(wù)的安全性和隱私保護方面也發(fā)揮著重要作用。（八）社會科學與決策分析離散數(shù)學在社會科學和決策分析領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用。例如，圖論和網(wǎng)絡(luò)分析可以用于社交網(wǎng)絡(luò)分析、輿論傳播等；數(shù)理邏輯和集合論可以用于決策支持系統(tǒng)、知