第04講 空間直線、平面的垂直（原卷版）

第04講空間直線、平面的垂直1．直線與直線垂直(1)定義：若兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于一點，并且交角為直角，則稱這兩條直線互相垂直．(2)若一條直線垂直于一個平面，則它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．2．直線與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．(2)直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a，b?α))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b3．平面與平面垂直(1)定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α一．直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1．如圖，四棱錐中，，為正三角形，，，，．(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離．例2．如圖，三棱柱的所有棱長均為1，且點在底面上的射影是AC的中點D.與交于點E，與交于點F.(1)證明：；(2)求幾何體ABCFE的體積.例3．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M為線段AB的中點．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D﹣ABC，如圖2所示．求證：BC⊥平面ACD．例4．如圖，在三棱錐中，平面分別是的中點．求證：(1)平面；(2)平面．【復習指導】：證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．二．平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例5．如圖，在三棱錐中，為直角三角形，，的邊長為4的等邊三角形，，．求證：平面平面ABC．例6．如圖，在四棱錐中，平面，底面四邊形是正方形，，點為上的點，.(1)求證：平面平面；(2)若，求點到平面的距離.例7．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面底面，.證明：平面平面.例8．如圖（1），點E是直角梯形ABCD底邊CD上的一點，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，將沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，連接CD和BD，如圖（2）．(1)求證：平面平面BCD；(2)在線段BD上確定一點F，使得平面ADE.【復習指導】：(1)面面垂直判定的兩種方法與一個轉(zhuǎn)化①兩種方法：(ⅰ)面面垂直的定義；(ⅱ)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．②一個轉(zhuǎn)化：在已知兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化．在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用①兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”．②兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．三．垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例9．如圖，四邊形ABCD是圓柱底面的內(nèi)接四邊形，AC是圓柱的底面直徑，PC是圓柱的母線，E是AC與BD的交點，.(1)證明.(2)記圓柱的體積為，四棱錐P-ABCD的體積為，求；例10．如圖，四棱錐－中，為正方形，為中點，平面⊥平面，，．(1)證明：//平面；(2)證明：；(3)求三棱錐－的體積．【復習指導】：利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：(1)兩個平面垂直；(2)直線必須在其中一個平面內(nèi)；(3)直線必須垂直于它們的交線.例11．在四棱錐P－ABCD中，△PAD是等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)在AD上是否存在一點M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，請證明；若不存在，請說明理由；(2)若△PCD的面積為8eq\r(7)，求四棱錐P－ABCD的體積．【復習指導】：對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè)．例12．如圖，在四棱錐S－ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD為正三角形．側(cè)面SAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱AD，SB的中點．(1)求證：AF∥平面SEC；(2)求證：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一點M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求eq\f(BM,BS)的值；若不存在，請說明理由．1．下列命題中錯誤的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β2．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若m⊥α，n?β，m⊥n，則α⊥βB．若m∥α，m∥n，則n∥αC．若m∥n，n⊥β，m?α，則α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥β3．若，，，，為空間直線，，為平面，則下列說法錯誤的是（

）A．，，則B．，，，則C．，，，則D．，是異面直線，則，在內(nèi)的射影為兩條相交直線4．設(shè)平面與平面相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，且則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分不必要條件5．在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面6．如圖，正方體中，是的中點，則下列說法正確的是（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線異面，直線平面D．直線與直線相交，直線平面7．如圖，設(shè)分別是長方體棱上的兩個動點，點在點的左邊，且滿足，有下列結(jié)論：①平面；②三棱錐體積為定值；③平面；④平面平面；其中，所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④8．如圖，在棱長為的正方體中，點在線段上運動，則下列命題中錯誤的是（

）A．直線和平面所成的角為定值B．點到平面的距離為定值C．異面直線和所成的角為定值D．直線和平面平行9．如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE10．如圖，已知正四棱臺中，，，，點分別為，的中點，則下列平面中與垂直的平面是（

）A．平面 B．平面DMN C．平面ACNM D．平面11．如圖，在直三棱柱中，，為的中點，為棱的中點，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．//平面C． D．//平面12．如圖所示，AB是⊙O的直徑，VA垂直于⊙O所在的平面，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，M，N分別為VA，VC的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．MNAB B．MN與BC所成的角為45°C．OC平面VAC D．平面VAC平面VBC13．（多選）下圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中（

）A． B． C． D．14．（多選）如圖，棱長為2的正方體的內(nèi)切球球心為，分別是棱的中點，在棱上移動，則（

）A．對于任意點，平面B．存在點，使平面C．直線的被球截得的弦長為D．過直線的平面截球所得截面圓面積的最小值為15．（多選）如圖，平面四邊形中，是等邊三角形，且是的中點．沿將翻折，折成三棱錐，翻折過程中下列結(jié)論正確的是（

）A．存在某個位置，使得與所成角為銳角B．棱上總恰有一點，使得平面C．當三棱錐的體積最大時，D．當二面角為直角時，三棱錐的外接球的表面積是16．（多選）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”．如圖在塹堵中，，且．下列說法正確的是（

）A．四棱錐為“陽馬”B．四面體為“鱉臑”C．四棱錐體積最大為D．過點分別作于點，于點，則17．已知平面α，β和直線m，給出以下條件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m?α；(4)α⊥β；(5)α∥β，當條件________成立時，有m∥β；當條件________成立時，有m⊥β(填所選條件的序號)18．如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面四邊形ABCD為矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分別是線段BS，AD的中點，點R在線段SD上．若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，則AR＝________.19．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為正確的條件即可)20．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，將△ABD沿對角線BD折起，設(shè)折起后點A的位置為A′，并且平面A′BD⊥平面BCD.則給出下面四個命題，正確的是____________．(把正確結(jié)論的序號都填上)①A′D⊥BC；②三棱錐A′－BCD的體積為eq\f(\r(2),2)；③BA′⊥CA′；④平面A′BC⊥平面A′DC.21．如圖，四邊形為正方形，分別為的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.證明：平面平面.22．如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.證明：BE⊥平面EB1C1。23．如圖，已知四棱雉中，，是面積為的等邊三角形，且，.(1)證明：直線；(2)求點到平面的距離.24．如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，EF是圓柱的母線，P是線段AD的中點，已知AB=4，BC=6．證明：平面平面．25．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點，作交于點.(1)證明平面；(2)證明平面.26．如圖，四棱錐S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1．證明：SD⊥平面SAB．27．如圖所示，圓錐的高，底面圓的半徑為1，延長直徑到點，使得，分別過點作底面圓的切線，兩切線相交于點，點是切線與圓的切點.(1)證明：平面平面；(2)點到平面的距離為，求的值.28．如圖，已知四棱錐的底面為菱形，，，，為的中點，為的中點，平面過、、三點且與面交于直線，交于點.(1)求證：面面；(2)求證：.29．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱長均為2，且B1C=，，D是棱BB1的中點.(1)證明：平面ABC⊥平面ABB1A1；(2)求點B到平面ACD的距離.30．如圖，圓柱的軸截面是邊長為6的正方形，下底面圓的一條弦交于點，其中．證明：平面平面．31．如圖，四棱錐中，底面.底面為等腰梯形，.求證：平面平面.32．圖1是由矩形，和菱形組成的一個平面圖形，其中，，，將其沿，折起使得與重合，連接，如圖2.證明：圖2中的，，，四點共面，且平面平面.33．在四棱錐中，底面為梯形，，，側(cè)棱底面，E為側(cè)棱上一點，．求證：平面平面.34．如圖，四棱錐中，平面，，，，為棱上一點.若，證明：平面.35．如圖，在三棱錐中，，D為中點，M為中點，且是正三角形，.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.36．如圖，在以P，A，B，C，D為頂點的五面體中，平面ABCD為等腰梯形，，平面PAD⊥平面PAB，.求證：△PAD為直角三角形.37．如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，側(cè)面是菱形，，，.若為的中點，求證：.38．如圖，在梯形中，為直角，，，將三角形沿折起至.若平面平面，求證：.39．如圖，矩形ABCD中，，，將沿AC折起，使得點D到達點P的位置，.證明：平面平面ABC.40．如圖，四邊形是菱形，且，P是平面外一點，為正三角形，平面平面.(1)若G為邊的中點，求證：平面；(2)若E為邊BC的中點，能否在邊PC上找出一點F，使平面平面？41．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，且邊長為2，側(cè)面為菱形，，平面⊥平面.(1)求證：平面⊥平面；(2)求點A到平面的距離.42．如圖在四棱錐中，底面為菱形，為正三角形，平面平面分別是的中點.（1）證明：；（2）若M是棱上一點，三棱錐與三棱錐的體積相等，求M點的位置.43．如圖所示，已知是邊長為6的等邊三角形，點M、N分別在，上，，O是線段的中點，將沿直線進行翻折，A翻折到點P，使得平面平面，如圖所示.(1)求證：；(2)若，求點M到平面的距離.44．如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底