2021年新初三數(shù)學(xué)北師大復(fù)習(xí)《因式分解》

2021年新初三數(shù)學(xué)北師大新版專題復(fù)習(xí)《因式分解》

一.選擇題（共10小題）

1.（2021春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）多項(xiàng)式9+6的，+9町2與/y-gx/的公因式是（）

A.x（x+3y）2B.x（x+3y）C.xy（x+3y）D.x（x-3y）

2.（2021春?高州市月考）己知：a=2020x+2019,8=2020r+2020,c=2020x+2021,貝M弋

數(shù)式a1+tr+c1-ab-ac-be的值為（）

A.0B.1C.2D.3

3.（2020秋?梁平區(qū)期末）己知a=2018x+2018,6=2018尤+2019,c=2018x+2020,則?2+/,2+c2

-ab-ac-be的值是（）

A.0B.1C.2D.3

4.（2018秋?浦東新區(qū)期末）下列關(guān)于x的二次三項(xiàng)式中（機(jī)表示實(shí)數(shù)），在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一

定能分解因式的是（）

A.x2-2x+2B.2X2-mx+1C.x2-2x+mD.x2-mx-\

5.（2018秋?海珠區(qū)校級(jí)期中）已知a,h,c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，且（a+〃+c）（a-b）=

0,則4ABC一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.以上均不對(duì)

6.（2021春?西湖區(qū)校級(jí)期中）多項(xiàng)式/+ax+12分解因式為Cx+m）（x+n）,其中a,機(jī)，n

為整數(shù)，則a的取值有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

7.（2020秋?澄海區(qū)期末）已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16a〃，它兩鄰邊長(zhǎng)分別為xcm,ya”，且滿

足（x-y）2-2x+2y+l=0,則該長(zhǎng)方形的面積為（）cm2.

A.皿B.9C.15D.16

42

8.對(duì)任意一個(gè)兩位數(shù)〃，如果”滿足個(gè)位與十位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱

這個(gè)數(shù)為“相異數(shù)”，將一個(gè)“相異數(shù)”的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字互換位置后，得

到一個(gè)新兩位數(shù):把所得的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的商記為產(chǎn)（〃）.例如〃=23.互

換十位與個(gè)位上的數(shù)字得到32,所得的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為23+32=55,554-11

=5,所以尸（23）=5.若s,f都是“相異數(shù)"，其中s=10x+3,f=50+），（1WXW9,1

WyW9.x,y都是正整數(shù)），當(dāng)F（s）+F（t）=15時(shí)，則孽-的最大值為（）

F（t）

A.2B.3C.11D.4

24

9.設(shè)a為實(shí)數(shù),且a3+a2-〃+2=0,則(a+1)20"+(a+l)2012+(4+1)2013=()

A.3B.-3C.1D.-1

10.（2019秋?樂(lè)清市期末）如果x和y是非零實(shí)數(shù)，使得團(tuán)+），=3和國(guó)）+?=0,那么尤+y的

值是（）

A.3B.V13C.IzZHD.4-713

2

二.填空題（共10小題）

11.（2021?常德模擬）在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼.有一種用“因式分解”法

產(chǎn)生的密碼，方便記憶.原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式J/*,因式分解的結(jié)果是（x-y）（x+y）

（f+y2）,若取x=9,y=9時(shí)，則各個(gè)因式的值是：（x-y）=0,（x+y）=18,（/+y2）

=162,于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼，對(duì)于多項(xiàng)式4/-孫2,取》=

11,y=12時(shí)，用上述方法產(chǎn)生的密碼是（寫(xiě)出一個(gè)即可）.

12.（2021春?江北區(qū)校級(jí)期中）已知“+匕=4,ab=-2,則.

13.（2021春?西湖區(qū)校級(jí)期中）已知多項(xiàng)式d+加r+〃能分解為（f+px+q）（/+2x-3）,則

p=，q=?

14.（2018春?成都期末）已知f-2x-3=0,則/-5x+12=.

15.（2018春?成都期中）若a=2009x+2007,8=2009x+2008,c=2009x+2009,貝U/+入2

-ab-be-ca的值為.

16.（2017秋?虎林市期末）多項(xiàng)式Ax2-9xy-10y2可分解因式得（妙+2）,）（3x-5y）,則左

=,m=.

17.（2017春?大邑縣期末）己知f+x=3,則2015+右+/-2/-_?=

3

18.（2015春?青羊區(qū)校級(jí)月考）若/+3/+。=（）,求__o這----=.

63.1

a+6a+1

19.（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）已知/-2x-l=0,則3/-6x=；WlJ2x3-7x2+4x-

2019=.

20.（2019春?嘉興期末）在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解

法，，產(chǎn)生的密碼，方便記憶，原理是對(duì)于多項(xiàng)/-J,因式分解的結(jié)果是（x-y）（x+y）

（7+/），若取無(wú)=9,y=9時(shí)，則各個(gè)因式的值是：（x+y）=18,（x-y）=0,（/+）?）

=162,于是就可以把“180162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼，對(duì)于多項(xiàng)式94-孫2,取工=

10,y=10時(shí)，用上述方法產(chǎn)生的密碼是（寫(xiě)出一個(gè)即可）.

三.解答題（共10小題）

21.（2020秋?泗水縣期末）我們知道某些代數(shù)恒等式可用一些卡片拼成的圖形面積來(lái)解釋,

例如：圖（1）可以用來(lái)解釋cr+lab+b1=（a+b）2,實(shí)際上利用一些卡片拼成的圖形面

積也可以對(duì)某些二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

如圖（2）,將一張長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長(zhǎng)都為，”的大正

方形，兩塊是邊長(zhǎng)都為n的小正方形，五塊是長(zhǎng)為m,寬為〃的全等小長(zhǎng)方形，且m>nX以

上長(zhǎng)度單位：cm）

（1）觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2機(jī)2+5〃〃2+2/可以分解因式為；

（2）若每塊小長(zhǎng)方形的面積為IOC,次,四個(gè)正方形的面積和為58cw?,試求圖中所有裁

剪線（虛線部分）長(zhǎng)之和.

圖（1）

22.（2021春?拱墅區(qū)校級(jí)期中）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱

這個(gè)正整數(shù)為"奇特?cái)?shù)"，例如：8=32-I2,16=52-32,24=72-52；貝（］8、16、24這

三個(gè)數(shù)都是奇特?cái)?shù).

（D填空：32奇特?cái)?shù)，2018奇特?cái)?shù).（填“是”或者“不是”）

（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)是2〃-1和2〃+1（其中”取正整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇

特?cái)?shù)是8的倍數(shù)嗎？為什么？

（3）如圖所示，拼疊的正方形邊長(zhǎng)是從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)…，按此規(guī)律拼疊到正方形

ABCD,其邊長(zhǎng)為99,求陰影部分的面積.

AD

23.（2021春?龍華區(qū)期中）（1）分解因式：-a/+6辦-94.

’2x-l_5x+l4

（2）解不等式組《三廠''A并把其解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

5xT<3（x+l）

24.（2021春?龍泉驛區(qū)期中）綜合與實(shí)踐

下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式（/-4x）（？-4x-10）+25進(jìn)行因式分解的過(guò)程:

解：設(shè)W-4x=y,

原式=y(y-10)+25(第一步)

=）?-10y+25（第二步）

=（y-5）2（第三步）

=（?-4x-5）2（第四步）

回答下列問(wèn)題:

（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了

4.提取公因式

B.平方差公式

C.兩數(shù)差的完全平方公式

D.兩數(shù)和的完全平方公式

（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？（填“徹底”或“不徹底”），若不徹底，

則該因式分解的最終結(jié)果為.

（3）請(qǐng)你模仿上述方法，對(duì)多項(xiàng)式-2x-1）（7-緘+3）+4進(jìn)行因式分解.

25.（2021春?巴南區(qū)期中）在數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們總會(huì)對(duì)其中一些具有某種特性的數(shù)充

滿好奇，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)一種特殊的自然數(shù)--“好數(shù)”.

定義：對(duì)于三位自然數(shù)〃，若各位數(shù)字都不為0,且百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和恰

好能被個(gè)位上的數(shù)字整除，則稱這個(gè)三位自然數(shù)”為“好數(shù)”.

例如：426是“好數(shù)”，因?yàn)?,2,6都不為0,且4+2=6,6能被6整除，所以426是

“好數(shù)”；643不是“好數(shù)3因?yàn)?+4=10,10不能被3整除,所以643不是“好數(shù)”.

(1)判斷134,614是否是“好數(shù)”？并說(shuō)明理由；

(2)求出百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大7的所有“好數(shù)”.

26.(2021春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考)若一個(gè)四位正整數(shù)充滿足，a+6+c+d=20,則稱該數(shù)

為“0萌數(shù)”.

例如：對(duì)于四位數(shù)3890,因?yàn)?+8+9+0=20,所以3890是“0萌數(shù)”；對(duì)于四位數(shù)2983,

因?yàn)?+9+8+3=22W20,所以2983不是“0萌數(shù)”.

(1)最小的“0萌數(shù)”是；

(2)判斷4579是不是“0萌數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(3)若一個(gè)四位“0萌數(shù)”S,滿足S=1010a+100h+305(1W&W9,0W8W6,a、b均

為整數(shù))，請(qǐng)求出所有滿足條件的“0萌數(shù)”亂

27.(2021春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)若一個(gè)正整數(shù)。可以表示為。=(6+1)(8-2),其中6

為大于2的正整數(shù)，則稱“為“十字?jǐn)?shù)”，。為〃的“十字點(diǎn)”.例如28=(6+1)X(6

-2)=7X4.

(1)“十字點(diǎn)”為7的“十字?jǐn)?shù)”為；130的“十字點(diǎn)”為:

(2)若b是。的“十字點(diǎn)”，且。能被(6-1)整除，其中b為大于2的正整數(shù)，求“

的值；

(3)機(jī)的“十字點(diǎn)”為p,〃的“十字點(diǎn)”為q,當(dāng),"-"=18時(shí)，求p+q的值.

28.(2021春?鄲都區(qū)校級(jí)期中)(1)若(f+px-工)(%2-3x+q)的積中不含x項(xiàng)與1項(xiàng)，

3

求解以下問(wèn)題：

①求p,q的值；

②代數(shù)式(-2島)2+(3pq)r+p2012產(chǎn)4的值

(2)若多項(xiàng)式lx4-3x3+a/+7x+%能被7+x-2整除，求

29.(2021春?望城區(qū)校級(jí)月考)若三個(gè)非零實(shí)數(shù)x,y,z中有一個(gè)數(shù)的平方等于另外兩個(gè)數(shù)

的積，則稱三個(gè)實(shí)數(shù)x,y,z三構(gòu)成“星城三元數(shù)”.

(1)實(shí)數(shù)4,6,9可以構(gòu)成“星城三元數(shù)”嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)若Mi(/,yi),Mi(Z-1,”)，M3(r+1,”)三點(diǎn)均在函數(shù)y：上Ck為常數(shù)且k

x

#0)的圖象上且這三點(diǎn)的縱坐標(biāo)yi,”構(gòu)成“星城三元數(shù)”，求實(shí)數(shù)r的值；

(3)設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)XI,X2,總是“星城三元數(shù)”且滿足XI<X3〈X2,其中xi,是關(guān)于x

的一元二次方程〃/+爾+〃=0的兩個(gè)根，工3是二次函數(shù)(其中Q>2A>3C)

與X軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求點(diǎn)p(￡,A)到原點(diǎn)的距離。尸的取值范圍.

aa

30.(2021?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬)一個(gè)正整數(shù)p能寫(xiě)成p=(加+”)(m-n)(機(jī)、〃均為正整

數(shù)，且，則稱p為“平方差數(shù)”，加、〃為p的一個(gè)平方差變形，在P的所有平方

差變形中，若，層+〃2最大，則稱相、〃為p的最佳平方差變形，此時(shí)尸(p)=nr+n2.例

如：24=(7+5)(7-5)=(5+1)(5-1),因?yàn)?2+52>52+12,所以7和5是24的最

佳平方差變形，所以F(24)=74.

(1)F(32)=；

(2)若一個(gè)兩位數(shù)q的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字分別為x,y(lWxWyW7),q為“平方差

數(shù)”且x+y能被7整除，求F(g)的最小值.

2021年新初三數(shù)學(xué)北師大新版專題復(fù)習(xí)《因式分解》

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

I.(2021春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)多項(xiàng)式4+6/)，+9孫2與3廠9盯3的公因式是()

A.x(x+3y)2B.x(x+3y)C.xy(x+3y)D.x(x-3y)

【考點(diǎn)】公因式.

【專題】整式；運(yùn)算能力.

［分析】分別將多項(xiàng)式『+6/)，+知2與多項(xiàng)式。-9城進(jìn)行因式分解，再尋找他們的公

因式.

【解答】解：,.,x3+6，y+9xy2=x(x2+6x>,+9y2)=x(x+3y)2,

-9xyi=xyCx2-9y2)=xy(x+3y)(x-3y),

，多項(xiàng)式xi+6x2y+9xy2與多項(xiàng)式-9x>>3的公因式是x(x+3y).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查公因式的確定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再確

定公共因式.

2.(2021春?高州市月考)已知：a=2020x+2019,b=2020x+2020,c=2020x+2021,貝I」代

數(shù)式a2+/>2+c2-ab-ac-be的值為()

A.0B.1C.2D.3

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【專題】因式分解；運(yùn)算能力.

【分析】由題意：a-b=-\,a-c=-2,h-c=-1,設(shè)S=a~+h2+c2-ab-ac-be,則

2s=2/+2廬+202-2ab-lac-2bc,將式子的右邊進(jìn)行因式分解變形，結(jié)論可得.

【解答】解：：a=2020x+2019,0=2020x+2020,c=2020x+2021,

???〃-b—-1,a-c—~2,b-c--1.

設(shè)S=a2+b2+c2-ah-ac-be,

則2S=2a1+2b1+2c1-2ab-lac-2bc.

V2a2+2/72+2c2-2ab-2ac-2bc

=。2-lab+bi+a2-lac+^+b2,-2bc+c2

=(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2

=(-1)2+(-2)2+(-1)2

=6,

；.S=3.

cr+tr+c1-ab-ac-be—3.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式，利用因式分解法可使運(yùn)算簡(jiǎn)

便.

3.(2020秋?梁平區(qū)期末)已知a=2018x+2018,Z?=2018x+2019,c=2018x+2020,則?2+Z>2+c2

-ab-ac-be的值是()

A.0B.1C.2D.3

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題.

【分析】根據(jù)題目中的式子，可以求得。-氏a-c、%-c的值，然后對(duì)所求式子變形，

利用完全平方公式進(jìn)行解答.

【解答】解：?.Z=2018x+2018,〃=2018x+2019,c=2018x+2020,

**.6Z-b=~1,a-c=-2,b-c--1,

cr+b^+c2-ab-ac-be

999

=2a+2b+2c-2ab-2ac-2bc

~2~~

=(a2-2ab+b"+(a2-2ac+c2)+(b2-2bc+c.)

~2~

=(a-b)，+(a-c)、+(b-c)、

2

二(-1)2+(-2)2+(7)2

2

=3,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，應(yīng)用完全平方公式進(jìn)

行解答.

4.(2018秋?浦東新區(qū)期末)下列關(guān)于x的二次三項(xiàng)式中(m表示實(shí)數(shù))，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一

定能分解因式的是()

A.x2-2x+2B.2X2-mx+\C.x2-2x+mD.x2-nvc-}

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【分析】對(duì)每個(gè)選項(xiàng)，令其值為0,得到一元二次方程，計(jì)算判別式的值，即可判斷實(shí)數(shù)

范圍內(nèi)一定能分解因式的二次三項(xiàng)式.

【解答】解：選項(xiàng)A,7-2%+2=0,△=4-4X2=-4<0,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即

2x+2在數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式；

選項(xiàng)8,Zr2-/?ir+l=0,△=優(yōu)2-8的值有可能小于0,即Zr2-在數(shù)范圍內(nèi)不一定

能分解因式；

選項(xiàng)C,JC-2x+m=0,△=4-4m的值有可能小于0,即/-2x+m在數(shù)范圍內(nèi)不一定能

分解因式；

選項(xiàng)￡),x2-nix-1=0,△=/H2+4>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即/-加工-1在數(shù)

范圍內(nèi)一定能分解因式.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解.解題的關(guān)鍵是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一

元二次方程是否有實(shí)數(shù)根的問(wèn)題.

5.(2018秋?海珠區(qū)校級(jí)期中)己知a,b,c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，且(“+8+c)(a-6)=

0,則△ABC一定是()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.以上均不對(duì)

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【專題】因式分解；運(yùn)算能力.

【分析】利用因式分解法得到4+〃+c=0或a-6=0,TfUa+h+c>0,所以a-〃=0,HPa

=b,從而可判斷△ABC一定是等腰三角形.

【解答】解：V(a+b+c)Ca-b)=0,

.'.a+b+c=0或a-h=0,

'：a,b,c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，

a+b+c>0,

.'.a-b=0,即a—b,

...△ABC一定是等腰三角形.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解解決求值問(wèn)題.利用因式分解解決

證明問(wèn)題；利用因式分解簡(jiǎn)化計(jì)算問(wèn)題.

6.(2021春?西湖區(qū)校級(jí)期中)多項(xiàng)式f+ox+12分解因式為(x+m)(x+〃)，其中a,，〃，n

為整數(shù)，則。的取值有()

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【考點(diǎn)】因式分解-十字相乘法等.

【專題】整式；數(shù)感.

【分析】把12分解為兩個(gè)整數(shù)的積的形式，“等于這兩個(gè)整數(shù)的和.

【解答】解：12=1X12!!寸，“=1+12=13；

12=-IX(-12)時(shí)，-1+(-12)=-13；

12=2X6時(shí)，a=2+6=8；

12=-2X(-6)時(shí)，-2+(-6)=-8；

12=3X4時(shí)，“=3+4=7；

12=-3X(-4)時(shí)，-3+(-4)=-7；

：.a的取值有6個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用十字相乘法進(jìn)行因式分解.能夠得出相、〃之積為12,加、〃之和

為。是解題的關(guān)鍵.

7.(2020秋?澄海區(qū)期末)已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16cm它兩鄰邊長(zhǎng)分別為XC771,ycm,且滿

足(%->,)2-2x+2y+}=0,則該長(zhǎng)方形的面積為()cm2.

A.皿B.C.15D.16

42

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【專題】整式；運(yùn)算能力.

【分析】由長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)可以求出x+y=8①，再利用完全平方公式可以得出x-y=l②,

聯(lián)立①②，解方程組即可得出x,y的值，最后求長(zhǎng)方形的面積即可得出結(jié)論.

【解答】解：???長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16cm,

：.2(x+y)=16,

.?.x+y=8①；

(x-y)2-2x+2y+\=0,

???(x-y)2-2(x-y)+1=0,

?*.(x-y-1)2=0,

Ax-y=l②.

聯(lián)立①②，w(x+y=8.

Ix-y=1

，_9

x7

解得：7，

，長(zhǎng)方形的面積5=巧，=旦x[=^(cm2'),

224

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式，解二元一次方程組，考查學(xué)生的計(jì)算能力，本題的關(guān)

鍵是把x-y看作一個(gè)整體，進(jìn)行因式分解.

8.對(duì)任意一個(gè)兩位數(shù)人如果〃滿足個(gè)位與十位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱

這個(gè)數(shù)為“相異數(shù)”，將一個(gè)“相異數(shù)”的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字互換位置后，得

到一個(gè)新兩位數(shù):把所得的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的商記為F（"）.例如"=23.互

換十位與個(gè)位上的數(shù)字得到32,所得的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為23+32=55,554-11

=5,所以/（23）=5.若s,f都是“相異數(shù)"，其中s=10x+3,/=50+y（1WXW9,1

WyW9.x,y都是正整數(shù)），當(dāng)尸（s）+F（力=15時(shí)，則E他的最大值為（）

F（t）

A.2B.3C.HD.4

24

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【專題】新定義；運(yùn)算能力.

【分析】先用含x的式子表示出F（s）,再用含y的式子表示出F（力，然后根據(jù)x和y

的取值求出最大值即可.

【解答】解：將s的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字互換位置后的數(shù)記為乩

’..尸10x+3.

???s'=30+x

：.F（s）=s+s'/3+llx

1111s+x

將f的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字互換位置后的數(shù)記為

?>=50+y.

r'=10y+5.

：.F⑺=t+t，=55+lly

1111y

,:F(s)+FG)=15.

；.3+x+5+y=15.

，x+y=7-

.,.y=l-x.

?F(s)3+x3+x_3+x

F(t)5+y5+7-x12-x

y都是正整數(shù).

最大為6.

.3+6_9_3

"12-6

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的處理能力和計(jì)算能力，關(guān)鍵在于將尸(5)和F(r)用含X

和y的式子表示出來(lái).

201201220|3

9.設(shè)a為實(shí)數(shù)，且_。+2=0,則(a+D'+(?+1)+(a+1)=()

A.3B.-3C.1D.-1

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；分類討論；因式分解；實(shí)數(shù)；數(shù)感；符號(hào)意識(shí)；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】由已知等式用分組分解法，提取公因式法，整式乘法，方程等知識(shí)恒等變形，

求出符合條件的a+1的值為-1,再將-1代入式子中進(jìn)行運(yùn)算求出值為-1,即答案為D

【解答】解：?.?/+〃2-。+2=0,

(a3+l)+(a2-?+1)=0,

(a+1)(J-a+i)+(J-a+i)=o

(a2-a+\)(a+1+1)=0,

(a2-a+1)(a+2)=0,

.'.a+2—0,或/-4+[=0,

(1)若/-4+1=0時(shí)，

△=/-4ac—(-1)2-4X1X1=-3<0,

；。為實(shí)數(shù)，

...此一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解；

(2)若a+2=0時(shí)，

變形得：。+1=-1…①

將①代入下列代數(shù)式得：

220,22013

(?+1)°"+(?+1)+(?+1)

=(_1)20"+(_])2012+(_])2013

=-1+1+(-1)

=-1

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了因式分解中分組分解法，提取公因式法，多項(xiàng)式乘法法則，一

元二次方程的解法，乘方運(yùn)算等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)掌握因式分解的運(yùn)用，難點(diǎn)是分組分

解法因式分解，判定一元二次方程的根的存在性.

10.(2019秋?樂(lè)清市期末)如果x和y是非零實(shí)數(shù)，使得|x|+y=3和|川)，+4=0,那么x+y的

值是()

A.3B.^/13C.1-后D.4-A/13

2

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；分類討論；運(yùn)算能力.

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合2個(gè)式子可得|x|(3-1x1)+?=0,分x>0與x<0兩種情況討

論，求出x的值，由y=3-k|,求出y的值，相加即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，|x|+y=3則y=3-|x|,

又由|x|y+x3=0,則有％(3-|x|)+/=由

分2種情況討論：

①當(dāng)x>0時(shí)，由|x|(3-|x|)+;?=0得至lj：x(3-x)+x3=0,

變形可得：x2-x+3=0,無(wú)解；

②當(dāng)x<0時(shí)，由|x|(3-|x|)+/=0得到(-x)[3-(-x)]+『=0,

變形可得：/-x-3=0,

解可得：”=上乂亙或x=上位，(舍)

22

綜合可得：x=-l:1。，則y=3-|x|=3+x,

2

x+y=3+2x=4-V13；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的應(yīng)用，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)計(jì)算，注意分類討論團(tuán)的值.

二.填空題(共10小題)

II.(2021?常德模擬)在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼.有一種用“因式分解”法

產(chǎn)生的密碼，方便記憶.原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式)3因式分解的結(jié)果是(x-y)(x+y)

(/+『)，若取x=9,y=9時(shí)，則各個(gè)因式的值是：(x-y)=0,(x+y)=18,(f+f)

=162,于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼，對(duì)于多項(xiàng)式4尸一孫2,取》=

11,y=12時(shí)，用上述方法產(chǎn)生的密碼是113410(寫(xiě)出一個(gè)即可).

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【專題】因式分解；運(yùn)算能力.

【分析】先因式分解，再代值計(jì)算.

【解答】解：4x3-xy2=x(4x2-y2)

=x(2x+y)⑵-y).

當(dāng)x=ll,y=12時(shí)，各因式的值為：JC=11,2x+y=22+12=34.

2x-y=22-12=10.

產(chǎn)生的密碼為：113410.

故答案為：113410.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的應(yīng)用，正確因式分解是求解本題的關(guān)鍵.

12.(2021春?江北區(qū)校級(jí)期中)已知〃+b=4,ab=-2,則浸6-2/廬+江3=一48?

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【專題】因式分解；運(yùn)算能力.

【分析】因式分解后整體代換求值

【解答】解：'：a3b-2a2b2+ab3=abCa2-2ab+b2)

=ab(a-b)2

=ab[(a+b)2-4ab]

=-2X(16+8)

=-48.

故答案為-48.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解，提公因式再分解求值是求解本題的關(guān)鍵.

13.(2021春?西湖區(qū)校級(jí)期中)已知多項(xiàng)式/+松+〃能分解為(J+px+g)(X2+2X-3),則

p=-2,4=7?

【考點(diǎn)】因式分解-十字相乘法等.

【專題】方程思想；因式分解：運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】把(f+px+g)(f+2x-3)展開(kāi)，找到所有％3和7的項(xiàng)的系數(shù)，令它們的系數(shù)

分別為0,列式求解即可.

【解答】解：：(W+px+q)(X2+2X-3)—x^+pjc'+qx2'+2^'+2px1+2qx-3x2-3px-3q

—x4+(p+2)9+(q+2P-3)x2+(2q-3p)x-3q

=x4+nvc+n.

展開(kāi)式乘積中不含r5、/項(xiàng)，

.JP+2=0,解得：fp=-2

Iq+2p-3=0Iq=7

故答案為：-2,7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式乘法的運(yùn)算、整式乘法和因式分解的關(guān)系，將結(jié)果式子運(yùn)用整

式乘法展開(kāi)后，抓住“若某項(xiàng)不存在，即其前面的系數(shù)為0”列出式子求解即可.

14.(2018春?成都期末)己知/-2x-3=0,則，-/-5x+12=15.

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【專題】因式分解；數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】由7-2%-3=0,貝1」/=2%+3,原式=x(2x+3)-x2-5x+12=2?+3x-?-5x+12

=7-2x+12,即可求解.

【解答】解：???X2-2X-3=0,

.'.X2—2X+3,

.?.原式=》(2x+3)-X2-5X+12=2/+3X-，-5X+12=X2-2X+12=3+12=15,

故答案為15.

【點(diǎn)評(píng)】主要考查了分解因式的實(shí)際運(yùn)用，解此類題目的關(guān)鍵是將分解的因式與條件比

對(duì)，將條件代入后再繼續(xù)分解.

15.(2018春?成都期中)若a=2009x+2007,6=2009x+2008,c=2009x+2009,貝U辦廬恪

-ab-be-ca的值為3.

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)已知條件可得a-匕=-1,b-c--I,c-a—2,SWcr+fr+c2--ab-be

-ca變形為』Ca-b)2+(…)2+&._a)州然后代入計(jì)算即可.

2

【解答】解：Va=2009x+2007,%=2009x+2008,c=2009x+2009,

??o,~h—^一1,h-c~~—1,c一〃=2,

cr+br+c1-ab-be-ca

=A(2?2+2i>2+2c2-2cib-2bc-2ca)

2

=—[(a-b)2+Cb-c)2+Cc-a)2]

2

=A(1+1+4)

2

=3.

故答案為3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用以及代數(shù)式求值，掌握完全平方公式以及整體代入

思想是解題的關(guān)鍵.

16.(2017秋?虎林市期末)多項(xiàng)式自2-9xy-10y2可分解因式得()式+2y)(3x-5y),則Z

=9,m=3.

【考點(diǎn)】因式分解-十字相乘法等.

【分析】直接利用多項(xiàng)式乘法將原式化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出關(guān)于〃?，攵的等式求出答案即可.

【解答】解：Vfcr2-9xy-10)?=(，〃x+2y)(3x-5y),

AAx2-9xy-10y2=3/nx2-5twcy+6xy-lOy2,

.(3m=k

I-5m+6=-9

解得：。=9,

Im=3

故答案為：9,3.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了十字相乘法的應(yīng)用，正確利用多項(xiàng)式乘法是解題關(guān)鍵.

17.(2017春?大邑縣期末)已知7+x=3,則2015+Zx+x2-2/-2012.

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想.

【分析】把代數(shù)式2015+2%+/-2?-/整理成含(W+x)的形式，進(jìn)一步整體代入求得

數(shù)值即可.

【解答】解：?；X2+X=3,

2015+2X+X2-2x^-x4

=-x2(x2+x)-x3+(W+x)+x+2015

=-3?-/+3+/2015

--x(x2+x)-2X2+3+X+2015

=-3x-2/+3+x+2015

=-2(/+x)+2018

--6+2018

=2012.

故答案是：2012.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法分解因式，整理成已知條件的形式，利用整體代入求解

是解題的關(guān)鍵.

3

18.（2015春?青羊區(qū)校級(jí)月考）若〃3+3/+a=0,求_2a——=-上或。.

6,z.3,.---A-----

a+6a+10

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題.

【分析】用提公因式法對(duì)方程/+3/+4=0的左邊因式分解得。（〃2+3a+i）=0則

或J+3a+l=0,當(dāng)a=0時(shí)上式的值為零，當(dāng)/+3〃+1=0時(shí)，可將每一項(xiàng)都除以“，得

到a+』=-3,上式分子分母中每一項(xiàng)都除以“3,分子為常數(shù)2,分母為。3+3+±,再

3

&aa

用立方和公式進(jìn)行計(jì)算.

【解答】解：?.,。3+3。2+。=0,:.a（a2+3?+l）=0

.\a=0或J+3〃+l=0

n.3

當(dāng)a=0時(shí)------?-------的值為0.

6.u3.-1

a+6a+1

當(dāng)“2+34+1=0時(shí)，每項(xiàng)都除以a得"+[=-3,將上式的分子分母同時(shí)除以/,分子為

a

常數(shù)2,分母為

?3+6+-^,

3

a

2

又?.*/+_1_=("+工)(/_1+_1,)=(什工)[(a+A)-3J=-3[9-3J=-18,

a3aa2aa

?2a3=2=_1

a‘+6a?+l-126

故6《的值為￡或

【點(diǎn)評(píng)】用因式分解法將多項(xiàng)式分解，使多項(xiàng)式化簡(jiǎn)，靈活運(yùn)用立方和公式.

19.(2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考)已知7-2%-1=0,則3/-6x=3；則2?-77+4x-

2019=?

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；整體思想；運(yùn)算能力.

【分析】根據(jù)因式分解的提公因式法分解因式，利用整體代入的方法即可求得第一個(gè)空

的解；

分解第二個(gè)因式后把-7x寫(xiě)成-4x-3x再重新組合，進(jìn)行提公因式，最后整體代入即可

求得第二個(gè)空的解.

【解答】解：1=0,

.'.x1-2x=1,Zr2-4x=2,

：.3X2-6X=3(x2-2x)=3.

2?-7?+4x-2019=x(2x2-7x)+4x-2019

=x(2?-4x-3%)+4x-2019

=x(2-3x)+4x-2019

=2x-3x2+4x-2019

=-3f+6x-2019

=-3(7-2x)-2019

=-3X1-2019

=-2022.

故答案為：3,-2022.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是整體思想的運(yùn)用.

20.(2019春?嘉興期末)在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解

法”產(chǎn)生的密碼，方便記憶，原理是對(duì)于多項(xiàng)/-J,因式分解的結(jié)果是(x-y)(x+y)

(f+y2),若取x=9,y=9時(shí)，則各個(gè)因式的值是：(x+y)=18,(x-y)=0,(x2+y2)

=162,于是就可以把“180162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼，對(duì)于多項(xiàng)式9/-個(gè)2,取》=

10,y=10時(shí)，用上述方法產(chǎn)生的密碼是104020(答案不唯?)(寫(xiě)出一個(gè)即可).

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【專題】整式；數(shù)據(jù)分析觀念.

32

【分析】9X-xy—x(9/-y2)—x(3x+y)(3x-y),當(dāng)x=10,y=10時(shí)，密碼可以是

10、40、20的任意組合即可.

【解答】解：9x3-xy2-x(9x2-y2)—x(3x+y)(3x-y),

當(dāng)x=10,y=10時(shí)，密碼可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是因式分解，分解后，將變量賦值，按照因式組合即可.

三.解答題(共10小題)

21.(2020秋?泗水縣期末)我們知道某些代數(shù)恒等式可用一些卡片拼成的圖形面積來(lái)解釋,

例如：圖(1)可以用來(lái)解釋M+2岫+必=Ca+b)2,實(shí)際上利用一些卡片拼成的圖形面

積也可以對(duì)某些二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

如圖(2),將一張長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長(zhǎng)都為，"的大正

方形，兩塊是邊長(zhǎng)都為n的小正方形，五塊是長(zhǎng)為m,寬為n的全等小長(zhǎng)方形，且/?>?.(以

上長(zhǎng)度單位：ent)

(1)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2根2+5,”〃+2”2可以分解因式為(2〃?+”)；

(2)若每塊小長(zhǎng)方形的面積為IO。小,四個(gè)正方形的面積和為58a"2,試求圖中所有裁

剪線(虛線部分)長(zhǎng)之和.

圖(1)

【考點(diǎn)】代數(shù)式；完全平方公式的幾何背景；因式分解的應(yīng)用；全等圖形.

【專題】閱讀型；數(shù)形結(jié)合；符號(hào)意識(shí).

【分析】(1)通過(guò)圖形即可求得到；

(2)由題意可得〃?”=10,2〃？+2〃2=58,利用完全平方公式求出機(jī)+〃的值，即可求解.

【解答】解：(1)由圖形可知，2層+5,〃〃+2〃2表示所有部分面積之和，整體來(lái)看面積為:

(2;Tt+n)(m+2n),

2nr+5mn+2n2=(2〃?+〃)(,

故答案為:(2/〃+〃)(m+2n)；

(2)由題意可知加〃=10,2"?2+2〃2=58,所有裁剪線(虛線部分)長(zhǎng)之和為：6("+〃),

(，"+〃)2=nr+rr+2mn—29+20=49,

，所有裁剪線(虛線部分)長(zhǎng)之和為：6(m+n)=42(cm).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的應(yīng)用；理解題意，從題目中獲取信息，列出正確的代數(shù)式,

再由圖形的特點(diǎn)求解是解題的關(guān)鍵.

22.(2021春?拱墅區(qū)校級(jí)期中)如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱

這個(gè)正整數(shù)為“奇特?cái)?shù)”，例如:8=32-I2,16=52-32,24=72-52；則8、16、24這

三個(gè)數(shù)都是奇特?cái)?shù).

(1)填空：32是奇特?cái)?shù),2018不是奇特?cái)?shù).(填“是”或者“不是”)

(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)是2〃-1和2〃+1(其中〃取正整數(shù))，由這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇

特?cái)?shù)是8的倍數(shù)嗎？為什么？

(3)如圖所示，拼疊的正方形邊長(zhǎng)是從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)…，按此規(guī)律拼疊到正方形

ABCD,其邊長(zhǎng)為99,求陰影部分的面積.

【考點(diǎn)】平方差公式的幾何背景；因式分解的應(yīng)用.

【專題】整式：運(yùn)算能力.

【分析】(1)根據(jù)32=92-72,以及8、16、24這三個(gè)數(shù)都是奇特?cái)?shù)，他們都是8的倍

數(shù)，而2018=2X1009,不是8的整數(shù)倍，進(jìn)行判斷.

(2)利用平方差公式計(jì)算(2"+1)2-(2?-1)2=(2/J+1+2/?-1)(2/7+1-2?+1)=4〃

?2=8”，得到兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇特?cái)?shù)是8的倍數(shù)；

(3)利用陰影部分面積為：S陰影瞰=992_972+952-932+912-892+-+72-52+32-I2,

進(jìn)而求出即可.

【解答】解：⑴V8=32-l2,16=52-32,24=72-52；則8、16、24這三個(gè)數(shù)都是

奇特?cái)?shù)，

...奇特?cái)?shù)是8的整數(shù)倍，即8"("是正整數(shù))，

：32=8X4=92-72,

二32是奇特?cái)?shù)，

V2018=2X1009,不是8的整數(shù)倍，

...2018不是奇特?cái)?shù)，

故答案為：是，不是；

(2)由這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇特?cái)?shù)是8的倍數(shù)，

理由：,/(2n+l)2-(2〃-1)2=(2n+l+2n-1)(2n+l-2n+l)=4〃?2=8〃，

由這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇特?cái)?shù)是8的倍數(shù).

(3)Siw部分=992-972+952-932+912-892+-+72-52+32-I2

=(99+97)(99-97)+(95+93)(95-93)+(91+89)(91-89)+???+(7+5)(7-5)

+(3+1)(3-1)

=(99+97+95+…+3+1)X2

=(1+99)X50^2

2

=5000.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形面積、新概念應(yīng)用、平方差公式￡-序=(?+*)(a-b)應(yīng)

用，利用圖形正確表示出陰影部分是解題關(guān)鍵.

23.(2021春?龍華區(qū)期中)(1)分解因式：-o?+6辦-9a.

’2x-l_5x+l4

(2)解不等式組-§并把其解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

5x-l<C3(x+l)

【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用；在數(shù)軸上表示不等式的解集；解一元一次不

等式組.

【專題】整式；運(yùn)算能力.

【分析】(1)先提公因式-a,再用完全平方公式即可；

（2）分別解出兩個(gè)不等式的解集，表示在數(shù)軸上，公共部分即為不等式組的解集.

【解答】解：（1）原式=-a（x2-6x+9）

=-a（x-3）2；

’2x-l5x+l不

（2）h-一廠41①，

,5x-l〈3（x+l）②

解不等式①得：Xe-1，

解不等式②得：X<2,

把不等式的解集表示在數(shù)軸上如圖所示,

...原不等式組的解集為：-

—1-----j------------------------------->

^2O012V

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解，解一元一次不等式組，考核學(xué)生的計(jì)算能力，解不等式

時(shí)，不等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.

24.（2021春?龍泉驛區(qū)期中）綜合與實(shí)踐

下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式（/-4x）（？-4x-10）+25進(jìn)行因式分解的過(guò)程：