哈密頓力學(xué)課件

Lagrange力學(xué)不能體現(xiàn)坐標(biāo)、速度在因果律上的獨(dú)立性。在位形空間描述運(yùn)動(dòng)，方程二階，同一點(diǎn)可能代表體系的不同狀態(tài)（速度不同），導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)軌道不同。1835年，Hamilton發(fā)表兩篇著名論文，將Lagrange方程化為更對(duì)稱的一階方程組，創(chuàng)立了Hamilton動(dòng)力學(xué)，為量子力學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理、量子場(chǎng)論奠定理論基礎(chǔ)。正則方程泛函與變分力學(xué)變分原理拉格朗日乘子法泊松括號(hào)正則變換哈密頓－雅可比方程第1頁(yè)/共57頁(yè)§3.1

正則方程找到新的特征函數(shù)，通過(guò)對(duì)q,p的偏導(dǎo)生成力學(xué)方程。

力學(xué)狀態(tài)參量變換第2頁(yè)/共57頁(yè)1．Legendre變換Legendre變換第3頁(yè)/共57頁(yè)2．Hamilton正則方程第4頁(yè)/共57頁(yè)Hamilton函數(shù)Hamilton正則方程以正則變量表示的能量相空間（相宇）由正則變量張成的2s

維空間相點(diǎn)相宇中的點(diǎn)，代表體系的力學(xué)狀態(tài)。相軌道相點(diǎn)在相空間運(yùn)動(dòng)而描出的軌道，反映體系狀態(tài)演化。正則方程決定相點(diǎn)速度（狀態(tài)時(shí)變率）正則變量第5頁(yè)/共57頁(yè)例1一維諧振子第6頁(yè)/共57頁(yè)例2電磁場(chǎng)中的荷電粒子的Hamilton函數(shù)3．守恒定律Hamilton力學(xué)中，體系對(duì)稱性表現(xiàn)為H的變換不變性。第7頁(yè)/共57頁(yè)例3重力場(chǎng)中的自由質(zhì)點(diǎn)柱坐標(biāo)等效為勢(shì)場(chǎng)V'中的二維運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)V'中離心勢(shì)能來(lái)自三維運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)可遺坐標(biāo)的共軛動(dòng)量效應(yīng)第8頁(yè)/共57頁(yè)Hertz力學(xué)幾何化思想：勢(shì)能視為增自由度系統(tǒng)動(dòng)能項(xiàng)中可遺坐標(biāo)的共軛動(dòng)量效應(yīng)，增自由度位形空間的幾何性質(zhì)由勢(shì)能形式與約束方程決定，一般為彎曲空間；體系成為無(wú)勢(shì)系統(tǒng)，在增維空間作慣性運(yùn)動(dòng)（沿短程線運(yùn)動(dòng)）。與廣義相對(duì)論思想異曲同工Hamilton動(dòng)力學(xué)中，與可遺坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的自由度自動(dòng)分離出來(lái)，使待解自由度減少。第9頁(yè)/共57頁(yè)第10頁(yè)/共57頁(yè)4．正則方程的矩陣形式正則方程矩陣形式或辛（sympletic）形式第11頁(yè)/共57頁(yè)§3.2

泛函與變分1．泛函質(zhì)點(diǎn)沿鉛直平面內(nèi)光滑軌道零初速自A滑至B的用時(shí)依賴于函數(shù)關(guān)系泛函依賴于函數(shù)關(guān)系的變量，即函數(shù)之函數(shù)常見(jiàn)泛函形式第12頁(yè)/共57頁(yè)2．變分自變函數(shù)變分：自變函數(shù)發(fā)生無(wú)限小變動(dòng)后的新函數(shù)與原函數(shù)之差自變函數(shù)導(dǎo)函數(shù)變分可微對(duì)任意函數(shù)f第13頁(yè)/共57頁(yè)變分其中一級(jí)變動(dòng)泛函變分第14頁(yè)/共57頁(yè)3．泛函極值問(wèn)題（變分問(wèn)題）求自變函數(shù)，使泛函取極值捷線問(wèn)題（1696，J.Bernoulli）：給定兩端點(diǎn)，求用時(shí)最小的光滑軌道。邊界條件有限差分法等分第15頁(yè)/共57頁(yè)極值條件離散指標(biāo)→連續(xù)參數(shù)數(shù)列→函數(shù)差分→微分求和→積分多元函數(shù)→泛函函數(shù)微分→泛函變分第16頁(yè)/共57頁(yè)泛函駐值條件4．Euler方程任意Euler方程第17頁(yè)/共57頁(yè)例4捷線旋輪線由邊界條件決定第18頁(yè)/共57頁(yè)例5球面短程線（測(cè)地線）第19頁(yè)/共57頁(yè)OAB平面法向單位矢，余緯度與經(jīng)度短程線為OAB平面與球面交線，即大圓。第20頁(yè)/共57頁(yè)5．多元泛函極值問(wèn)題固定邊界條件第21頁(yè)/共57頁(yè)§3.3

力學(xué)變分原理力學(xué)原理Newton定律直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程D'Alambert原理Hamilton原理變分原理質(zhì)點(diǎn)系實(shí)際運(yùn)動(dòng)t時(shí)刻實(shí)際運(yùn)動(dòng)所達(dá)位形處的虛位移，即由約束限定的位矢等時(shí)變分虛擬運(yùn)動(dòng)變分原理指出實(shí)際運(yùn)動(dòng)與近鄰虛擬運(yùn)動(dòng)相比所具有的極值性。第22頁(yè)/共57頁(yè)1．Hamilton原理有勢(shì)系D'Alambert原理積分形式第23頁(yè)/共57頁(yè)有勢(shì)系D'Alambert原理積分形式固定邊界條件有勢(shì)系Hamilton作用量與始末時(shí)間和位形均相同的虛擬運(yùn)動(dòng)相比，有勢(shì)系實(shí)際運(yùn)動(dòng)使作用量取駐值。Hamilton原理一般體系的Hamilton原理第24頁(yè)/共57頁(yè)Hamilton原理積分變分原理D'Alambert原理微分變分原理2．位形空間與Lagrange方程變分原理特點(diǎn)：(1)不涉及具體坐標(biāo)選取，形式統(tǒng)一；(2)作用量是標(biāo)量，形式簡(jiǎn)單，高度概括；(3)易于推廣至無(wú)限自由度體系（場(chǎng)）和非力學(xué)體系。完整系實(shí)際運(yùn)動(dòng)虛擬運(yùn)動(dòng)固定邊界條件有勢(shì)系第25頁(yè)/共57頁(yè)L的規(guī)范不定性定域規(guī)范（gauge）變換規(guī)范變換下體系運(yùn)動(dòng)規(guī)律不變，此即體系的規(guī)范不變性。L的不定性來(lái)自勢(shì)的規(guī)范不定性推廣經(jīng)典Lagrange關(guān)系第26頁(yè)/共57頁(yè)與坐標(biāo)共軛的動(dòng)量、與時(shí)間共軛的能量均具有不定性，取決于Lagrange函數(shù)的規(guī)范選擇。規(guī)范變換下體系力場(chǎng)不變，故運(yùn)動(dòng)方程不變。第27頁(yè)/共57頁(yè)電磁場(chǎng)規(guī)范變換不同規(guī)范描述同一電磁場(chǎng)，粒子運(yùn)動(dòng)方程不變。例6電磁場(chǎng)的規(guī)范變換荷電粒子第28頁(yè)/共57頁(yè)一般完整系Hamilton原理思考題：由以上原理，導(dǎo)出Lagrange方程。3．相空間與Hamilton方程第29頁(yè)/共57頁(yè)獨(dú)立變分動(dòng)量由坐標(biāo)定義，其變分不獨(dú)立。Hamilton方程一半是動(dòng)量定義，另一半是運(yùn)動(dòng)方程。第30頁(yè)/共57頁(yè)與坐標(biāo)共軛的動(dòng)量具有規(guī)范不定性實(shí)際運(yùn)動(dòng)虛擬運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)與動(dòng)量視為地位平等、完全獨(dú)立的正則變量相空間（2s維）Hamilton原理第31頁(yè)/共57頁(yè)Hamilton原理視為相空間力學(xué)變分原理，Hamilton方程全體均為運(yùn)動(dòng)方程。坐標(biāo)與動(dòng)量在滿足相空間Hamilton原理的前提下可以獨(dú)立變換，擴(kuò)大了變換自由度。4．位形時(shí)空與推廣的Lagrange方程參數(shù)變換第32頁(yè)/共57頁(yè)實(shí)際運(yùn)動(dòng)虛擬運(yùn)動(dòng)以上討論限于位形空間，僅將參數(shù)t通過(guò)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系變換成新參數(shù)

。第33頁(yè)/共57頁(yè)實(shí)際運(yùn)動(dòng)虛擬運(yùn)動(dòng)位形時(shí)空：

為參數(shù)，t視為變量位形時(shí)空（s+1

維）Hamilton原理第34頁(yè)/共57頁(yè)5．其他形式的力學(xué)變分原理不附加邊界條件，為得到Lagrange方程，力學(xué)變分原理一般為或若實(shí)際運(yùn)動(dòng)與虛擬運(yùn)動(dòng)同時(shí)同位形出發(fā)且同時(shí)同位形到達(dá)：位形時(shí)空（s+1

維）Hamilton原理位形空間（s維）Hamilton原理第35頁(yè)/共57頁(yè)可比較具有相同能量、相同始末位形的實(shí)際運(yùn)動(dòng)與虛擬運(yùn)動(dòng)，變分為等能變分。等能條件限制了位形軌道每一點(diǎn)的速度，使實(shí)際運(yùn)動(dòng)與虛擬運(yùn)動(dòng)不能同時(shí)出發(fā)與到達(dá)。若實(shí)際運(yùn)動(dòng)與虛擬運(yùn)動(dòng)同位形出發(fā)且同位形到達(dá)，但出發(fā)、到達(dá)時(shí)間不同：若體系時(shí)間平移對(duì)稱Lagrange作用量位形時(shí)空Lagrange原理注意：第36頁(yè)/共57頁(yè)位形空間，消去參數(shù)位形空間Lagrange原理位形空間與位形時(shí)空參數(shù)不同，變分規(guī)則不同，故引入全變分（非等時(shí)變分）記號(hào)

，以示區(qū)別。位形時(shí)空位形空間最后一步略去高級(jí)小量第37頁(yè)/共57頁(yè)位形時(shí)空等

變分對(duì)應(yīng)位形空間非等t

變分對(duì)任意函數(shù)第38頁(yè)/共57頁(yè)例由位形空間Lagrange原理導(dǎo)出Lagrange方程第39頁(yè)/共57頁(yè)第40頁(yè)/共57頁(yè)Lagrange原理的Maupertuis形式若定義位形空間的線元（單質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)空間線元的推廣）體系位形代表點(diǎn)沿位形軌道運(yùn)動(dòng)的速度，沿軌道切向注意：第41頁(yè)/共57頁(yè)Lagrange原理的Jacobi形式此原理不涉及時(shí)間，由此可從各虛擬軌道中選出實(shí)際軌道。幾何光學(xué)中有類似形式的Fermat原理類比啟示：?jiǎn)钨|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡相當(dāng)于折射率連續(xù)變化介質(zhì)中的光線。既然幾何光學(xué)是波動(dòng)光學(xué)的短波長(zhǎng)極限，經(jīng)典力學(xué)完全有可能是某種波動(dòng)力學(xué)（即后來(lái)建立的量子力學(xué)）的短波長(zhǎng)極限。R.Feynman發(fā)展了路徑積分量子化理論，在短波長(zhǎng)極限下，物質(zhì)波沿各可能路徑的傳播疊加得到由Hamilton原理決定的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)軌道。第42頁(yè)/共57頁(yè)§3.4

拉格朗日乘子法對(duì)完整約束系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)方程不含約束力：對(duì)不需求解約束力的問(wèn)題，可直接求解運(yùn)動(dòng)；如何求解約束力？約束條件多元函數(shù)多元函數(shù)在約束條件下的極值問(wèn)題1．Lagrange乘子法方法一：利用約束條件消去不獨(dú)立變量，將函數(shù)用獨(dú)立變量表示后求極值。第43頁(yè)/共57頁(yè)方法二：引入不定乘子Lagrange乘子法第44頁(yè)/共57頁(yè)2．Lagrange乘子法求全部約束力理想完整有勢(shì)體系第45頁(yè)/共57頁(yè)第j約束施于第i質(zhì)點(diǎn)的力方向決定于大小正比于約束力勢(shì)第46頁(yè)/共57頁(yè)一般理想完整體系第47頁(yè)/共57頁(yè)3．Lagrange乘子法求部分約束力求l個(gè)約束的約束力除去約束中的前l(fā)個(gè)，根據(jù)后k

l個(gè)選擇廣義坐標(biāo)。第48頁(yè)/共57頁(yè)第j約束力的第

個(gè)廣義力分量約束力勢(shì)第49頁(yè)/共57頁(yè)根據(jù)全部約束選擇廣義坐標(biāo)，回到原Lagrange方程：第50頁(yè)/共57頁(yè)例7質(zhì)點(diǎn)m從半徑R

的光滑半球面頂端零初速滑下。求脫離球面時(shí)的位置。未解時(shí)的約束約束力可解約束解除條件除去約束，廣義坐標(biāo)第51頁(yè)/共57頁(yè)