理學(xué)第九章重積分

計(jì)算二重積分解:

因積分區(qū)域?yàn)閳A域,且關(guān)于x,y及坐標(biāo)原點(diǎn)均對(duì)稱,所以由二重積分性質(zhì)又2x,2y分別為x,y的奇函數(shù),故題組一：二重積分 一.計(jì)算二重積分1.其中解:2.求其中解:3.求其中D是由三點(diǎn)A(1,1),B(-1,1),C(-1,-1)圍成的三角形區(qū)域.解:積分區(qū)域如圖.作輔助線OB將積分區(qū)域分為兩部分.則xyoA(1,1)B(-1,1)C(-1,-1)D1D2其中D是由圍成.解:積分區(qū)域如圖.作輔助線積分區(qū)域被分為兩部分.于是4.求xyo-11D1D25.求其中解:積分區(qū)域如圖.xyo則均勻圓形薄片的形心為圓的面積為利用形心的坐標(biāo)公式有:所以其中解:積分區(qū)域如圖.利用對(duì)稱性有6.求xyo11-1-17.求其中D是由圍成.解:積分區(qū)域如圖.xyo作輔助線積分區(qū)域分為兩部分.D1D2于是8.設(shè)求其中解:積分區(qū)域如圖.xyo11D1D2D3二.二次積分1.將化為直角坐標(biāo)系下的累次積分,其中解:積分區(qū)域如圖.所以或xyo2.將化為極坐標(biāo)系下的累次積分.解:積分區(qū)域如圖.xyo11作輔助線將積分區(qū)域分為兩部分.D1D2則3.交換下列二次積分的順序解:積分區(qū)域如圖.所以xyo-111D2D1(2)解:積分區(qū)域如圖.xyo3(1,1)1(3)解:積分區(qū)域如圖.xyo14.計(jì)算解:積分區(qū)域如圖.交換積分順序得:xyo5.設(shè)計(jì)算解:積分區(qū)域如圖.根據(jù)題意知交換積分順序xyo116.設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),且求解:積分區(qū)域如圖.由二重積分的對(duì)稱性知道于是所以xyo11D1D27.設(shè)f(x)在[0,a](a>0)上連續(xù),證明解:積分區(qū)域如圖.換序x與y互換xyoaaD1D2三.二重積分的應(yīng)用1.利用二重積分證明不等式設(shè)f(x)在[a,b](a>0)上連續(xù),且f(x)>0,則解:積分區(qū)域如圖.xyobaabxyobaab2.求拋物面與球面所圍立體的體積和表面積.解:積分區(qū)域如圖.xyozxyoz3.證明曲面上任一點(diǎn)處的切平面與曲面所圍立體體積為定值.解:設(shè)曲面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0,z0),則過該點(diǎn)的切平面方程為即又知切平面方程為切平面和曲面所圍立體如圖.xyoz消去zxyoz4.已知球A的半徑為a,另求一球B,球心在球A的球面上,問球B的半徑R為多少時(shí),球B位于球A內(nèi)部的表面積為最大,并求出最大表面積.解:根據(jù)題意作圖如右.則xyzoAaBxyzoAaB5.求由兩同心圓所圍在第一象限內(nèi)的四分之一圓環(huán)板的重心,其中面密度ρ為常數(shù).解:根據(jù)題意作圖如右.由對(duì)稱性知板面積所以故重心坐標(biāo)為xyo126.設(shè)有一由,x

軸及x=e所圍成的均勻薄片,密度ρ=1,求此薄片繞x=t

旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(t),并求t的值使I(t)最小.解:根據(jù)題意作圖如右.令得故xyo1t題組二：三重積分1.已知其中Ω由圍成,試將I分別化為三種坐標(biāo)系下的三次積分,并計(jì)算其值.解:積分區(qū)域如圖.直角坐標(biāo)系下采用“先二后一”法.xyoz采用柱坐標(biāo).xyoz采用求坐標(biāo).作輔助線后積分區(qū)域被分為如圖兩部分.于是2.計(jì)算其中解:積分區(qū)域如圖.yxzobca同理故3.計(jì)算其中Ω由圍成.解:積分區(qū)域如圖.xyzo1積分區(qū)域關(guān)于三坐標(biāo)面對(duì)稱,被積函數(shù)關(guān)于z是奇函數(shù),故積分為零.此題也可用“先一后二”法討論.4.計(jì)算其中解:xyzo16.當(dāng)f(x)連續(xù)時(shí),證明:證明:7.設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù),且其中Ω由圍成,求解:利用球坐標(biāo)有8.設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù),其中解:積分區(qū)域如圖.xyzoht利用柱坐標(biāo)有9.已知

yoz

平面內(nèi)一條曲線將其繞z軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)曲面,此曲面與z=2所圍立體在任一點(diǎn)的密度為求該立體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解:根據(jù)題意作圖如右.xyoz2則10.在球心位于原點(diǎn),半徑為a的均勻半球體靠圓形平面一側(cè)接一個(gè)底半