理學彎曲應力

教學目的與要求：掌握彎曲變形與平面彎曲等基本概念，熟練掌握用截面法求彎曲內力，能熟練繪制剪力圖和彎矩圖。掌握梁純彎曲時橫截面上正應力計算，理解橫力彎曲正應力計算；掌握矩形、圓形、圓環(huán)形、工字形截面梁切應力計算；熟練強度條件的建立和相應的計算。了解提高彎曲強度的措施。教學重點：平面彎曲的概念；用截面法求剪力和彎矩，列出剪力方程和彎矩方程并繪制剪力圖和彎矩圖。橫力彎曲正應力計算，純彎曲切應力計算，強度條件。教學難點：剪力、彎矩和載荷集度的微分、積分關系，疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。純彎曲梁橫截面上正應力公式的分析推導；彎曲剪應力推導過程；彎曲的強度計算。§4.1彎曲的概念及計算簡圖一、工程實例(Exampleproblem)鏜刀桿車削工件目錄火車輪軸目錄鐵路橋

二、基本概念(Basicconcepts)2.梁(Beam)

以彎曲變形為主的桿件外力（包括力偶）的作用線垂直于桿軸線.（1）受力特征（2）變形特征變形前為直線的軸線,變形后成為曲線.1.彎曲變形(Deflection)3.平面彎曲(Planebending)

作用于梁上的所有外力都在縱向對稱面內,彎曲變形后的軸線是一條在該縱向對稱面內的平面曲線,這種彎曲稱為平面彎曲.AB對稱軸縱向對稱面梁變形后的軸線與外力在同一平面內梁的軸線FBF1F2FA（3）支座的類型4.梁的力學模型的簡化(Representingarealstructurebyanidealizedmodel)（1）梁的簡化通常取梁的軸線來代替梁。（2）載荷類型集中力(concentratedforce)集中力偶(concentratedmoment)分布載荷(distributedload)

可動鉸支座(rollersupport)：1個約束，2個自由度。如：橋梁下的輥軸支座，滾珠軸承等。FAAAAA固定鉸支座(pinsupport)：固定端(clampedsupportorfixedend)：AAAFAyAFAxFyFxM2個約束，1個自由度。如：橋梁下的固定支座，止推滾珠軸承等。3個約束，0個自由度。如：游泳池的跳水板支座、車刀架、木樁下端的支座等。車床主軸示意圖簡化實例向心推力軸承滾珠軸承5.靜定梁的基本形式(Basictypesofstaticallydeterminatebeams)

懸臂梁(cantileverbeam)

外伸梁(overhangingbeam)

簡支梁(simplysupportedbeam)一、內力計算(Calculatinginternalforce)

[舉例]已知如圖，F(xiàn)，a，l.

求距A端x處截面上內力.解:求支座反力

§4-2剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖

(Shear-force&bending-momentequations;shear-force&bending-momentdiagrams)

FAyFAxFBABFBAalFxx求內力——截面法

彎曲構件內力剪力彎矩1.彎矩(Bendingmoment)M

構件受彎時，橫截面上其作用面垂直于截面的內力偶矩.MFAyFAxFBABFmmxFAyQCFFBQCM2.剪力(Shearforce)Q

構件受彎時，橫截面上其作用線平行于截面的內力.QdxmmQ+1.剪力符號(Signconventionforshearforce)

使dx微段有左端向上而右端向下的相對錯動時,橫截面m-m上的剪力為正.或使dx微段有順時針轉動趨勢的剪力為正.二、內力的符號規(guī)定(Signconventionforinternalforce)

使dx微段有左端向下而右端向上的相對錯動時,橫截面m-m上的剪力為負.或使dx微段有逆時針轉動趨勢的剪力為負.dxmmQQ-

當dx微段的彎曲下凸（即該段的下半部受拉）時,橫截面m-m上的彎矩為正；2.彎矩符號(Signconventionforbendingmoment)mm+（受拉）MM

當dx微段的彎曲上凸（即該段的下半部受壓）時,橫截面m-m上的彎矩為負.mm（受壓）MM-解：（1）求梁的支反力FA

和FB例題2圖示梁的計算簡圖.已知F1、F2,且F2>F1,尺寸a、b、c和l亦均為已知.試求梁在E、F點處橫截面處的剪力和彎矩.FBBdEDAabclCFF1F2FA

記E截面處的剪力為QE和彎矩ME，且假設QE和彎矩ME的指向和轉向均為正值.BdEDAabclCFF1F2FAAEcQEFAME解得取右段為研究對象AEcQEFAMEa-cb-cCDl-cBEQEF1F2MEFB解得++

計算F點橫截面處的剪力QF

和彎矩MF.BdEDAabclCFF1F2FAFdBQFMFFB解得：-+三、計算規(guī)律(Simplemethodforcalculatingshear-forceandbending-moment)1.剪力(Shearforce)

梁的任意橫截面的剪力在數(shù)值上等于該截面保留一側所有的豎向外力（包括斜向外力的豎直分量、支座反力）的代數(shù)和；其中與該剪力同方向的外力取負號，反之取正號；亦左側向上的外力引起的剪力為正，右側向下的外力引起的剪力為正。（左上右下為正）AEcQEFAME2.彎矩(Bendingmoment)

梁的任意橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面保留一側（左側或右側）所有的外力（包括外力偶）對該截面形心的力矩的代數(shù)和。其中與該彎矩同方向的外力偶取負號，反之取正號；亦不論是左側還是右側向上的外力引起的彎矩為正。左側力偶順時針引起的彎矩為正，右側力偶逆時針引起的彎矩為正。（左順右逆為正）利用以上結論在計算某截面上的剪力和彎矩非常簡便，此時不需要畫隔離體的受力圖和列平衡方程，只要梁上的外力均已知，梁上的內力可以根據(jù)梁上的外力可逐項直接寫出。下面舉例說明。（稱之為簡便法）AEcQEFAME例題3軸的計例算簡圖如圖所示，已知F1=F2=F=60kN，a=230mm，b=100mm和c=1000mm.求C、D點處橫截面上的剪力和彎矩.F2=FACDBbacF1=FFAFB

解：（1）求支座反力（2）計算C橫截面上的剪力QC和彎矩MC

看左側F2=FACDBbacF1=FFAFB（3）計算D橫截面上的剪力QD和彎矩MD

看左側解:例題4求圖示梁中指定截面上的剪力和彎矩.（1）求支座反力FA=4kNFB=-4kNC12M（2）求1-1截面的內力（3）求2-2截面的內力B1m2.5m10kN·mAC12FAFBQ=Q(x)M=M(x)四、剪力方程和彎矩方程(Shear-force&bending-momentequations)

用函數(shù)關系表示沿梁軸線各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律，分別稱作剪力方程和彎矩方程.1.剪力方程(Shear-forceequation)2.彎矩方程(Bending-momentequation)彎矩圖為正值畫在x

軸上側,負值畫在x軸下側五、剪力圖和彎矩圖(Shear-force&bending-momentdiagrams)

剪力圖為正值畫在x軸上側,負值畫在x軸下側

以平行于梁軸的橫坐標x表示橫截面的位置,以縱坐標表示相應截面上的剪力和彎矩.這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖xQ(x)Q圖的坐標系OM圖的坐標系xOM(x)例題5如圖所示的懸臂梁在自由端受集中荷載F作用,試作此梁的剪力圖和彎矩圖.BAFlx解:列出梁的剪力方程和彎矩方程QxFFlxM例題6圖示的簡支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載用.試作此梁的剪力圖和彎矩圖.解：（1）求支反力lqFAFBABx（2）列剪力方程和彎矩方程.剪力圖為一傾斜直線繪出剪力圖x=0

處，x=l

處,+ql/2ql/2BlqFRAAxFRB彎矩圖為一條二次拋物線lqFAABxFB令得駐點彎矩的極值繪出彎矩圖+l/2

由圖可見，此梁在跨中截面上的彎矩值為最大但此截面上Q=0

兩支座內側橫截面上剪力絕對值為最大lqFAABxFB+ql/2ql/2+l/2解:（1）求梁的支反力例題7圖示的簡支梁在C點處受集中荷載F作用(b>a)試作此梁的剪力圖和彎矩圖.lFABCabFAFB

因為AC段和CB段的內力方程不同，所以必須分段列剪力方程和彎矩方程.將坐標原點取在梁的左端

AC段CB段xxlFABCabFAFB

由（1）,（3）兩式可知，AC、CB兩段梁的剪力圖各是一條平行于x

軸的直線.xxlFABCabFAFB

由（2），（4）式可知，AC、CB兩段梁的彎矩圖各是一條斜直線.+xxlFABCabFAFB++

在集中荷載作用處的左,右兩側截面上剪力值(圖)有突變,突變值等于集中荷載F.彎矩圖形成尖角,該處彎矩值最大.Qmax=Fb/lMmax=Fba/l

x=0，AC段

x=a

，x=l，

M=0

x=a,CB段解：求梁的支反力例題8圖示的簡支梁在C點處受矩為M的集中力偶作用.試作此梁的的剪力圖和彎矩圖.將坐標原點取在梁的左端.

因為梁上沒有橫向外力，所以全梁只有一個剪力方程lABCabFAFBM

由(1)式畫出整個梁的剪力圖是一條平行于x

軸的直線.+AC段CB段AC

段和BC段的彎矩方程不同xxlABCabFAFBMAC，CB

兩梁段的彎矩圖各是一條傾斜直線.

x=a

，

x=0，AC段CB段

x=a,x=l，M=0+

梁上集中力偶作用處左、右兩側橫截面上的彎矩值(圖)發(fā)生突變，其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值.此處剪力圖沒有變化.lABCabFAFBM++

3.以集中力、集中力偶作用處、分布荷載開始或結束處,及支座截面處為界點將梁分段.分段寫出剪力方程和彎矩方程,然后繪出剪力圖和彎矩圖。

2.取梁的左端點為坐標原點，x軸向右為正建立坐標。6.梁上的Qmax發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面處;梁上的Mmax發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面,或集中力偶作用處及Q=0的截面處。小結4.梁上集中力作用處左、右兩側橫截面上,剪力（圖）有突變,突變值等于集中力的數(shù)值，在此處彎矩圖則形成一個尖角。

5.梁上集中力偶作用處左、右兩側橫截面上的彎矩（圖）有突變,其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值.但在此處剪力圖沒有變化。

1.通過平衡方程求約束反力。例題9一簡支梁受移動荷載F的作用如圖所示.試求梁的最大彎矩為極大時荷載F的位置.ABFlx解:先設F在距左支座A為x的任意位置.求此情況下梁的最大彎矩為極大.荷載在任意位置時，支反力為當荷載F在距左支座為x的任意位置C時，梁的彎矩為令此結果說明，當移動荷載F在簡支梁的跨中時，梁的最大彎矩為極大.得最大彎矩值代入式將

設梁上作用有任意分布荷載其集度六、彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關系(Differentialrelationshipsbetweenload,shearforce,andbendingmoment)q=q(x)規(guī)定q(x)向上為正.將x軸的坐標原點取在梁的左端.xyq(x)FM1.彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關系的推導xyq(x)FMQ(x)M(x)Q(x)+dQ(x)M(x)+dM(x)

假想地用坐標為x和x+dx的兩橫截面m-m和n-n從梁中取出dx微段.mmnnq(x)C

x+dx截面處則分別為Q(x)+dQ(x)，M(x)+dM(x).由于dx很小，略去q(x)沿dx的變化。m-m截面上內力為Q(x),M(x)nxmmn

dxQ(x)M(x)Q(x)+dQ(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C寫出微段梁的平衡方程得到

略去二階無窮小量即得對上式求導：公式的幾何意義（1）剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處荷載集度的大小;（2）彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的大小;（3）彎矩圖斜率的變化率等于點處荷載集度的大小。（根據(jù)q(x)＞0或q(x)＜0來判斷彎矩圖的凹凸性）.M(x)圖為一向上凸的二次拋物線.Q(x)圖為一向右下方傾斜的直線.xQ(x)O2.q(x)、Q(x)圖、M（x）圖三者間的關系Ⅰ.梁上有向下的均布荷載,即q(x)=const<0xOM(x)Ⅱ.梁上無荷載區(qū)段，q(x)=0剪力圖為一條水平直線.彎矩圖為一斜直線.當Q(x)>0時,向右上方傾斜.當Q(x)<0時,向右下方傾斜.xOM(x)OM(x)xxQ(x)OⅤ.梁上最大剪力可能發(fā)生在集中力所在截面的一側;或分布載荷發(fā)生變化的區(qū)段上.

梁上最大彎矩Mmax可能發(fā)生在Q(x)=0的截面上;或發(fā)生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用處的一側.

Ⅲ.在集中力作用處剪力圖有突變,其突變值等于集中力的值.彎矩圖有轉折.Ⅳ.在集中力偶作用處彎矩圖有突變，其突變值等于集中力偶的值，但剪力圖無變化.無荷載集中力FC集中力偶MC向下傾斜的直線上凸的二次拋物線在Q=0的截面水平直線一般斜直線或在C處有轉折在剪力突變的截面在緊靠C的某一側截面一段梁上的外力情況剪力圖的特征彎矩圖的特征Mmax所在截面的可能位置表4-1在幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征q<0向下的均布荷載在C處有突變F在C處有突變M在C處無變化C3.分布荷載集度、剪力和彎矩之間的積分關系若在x=x1

和x=x2處兩個橫截面無集中力（即剪力方程為連續(xù)的），則式中，分別為在x=x1

和x=x2處兩個橫截面上的剪力.等號右邊積分的幾何意義是x1,x2兩橫截面間分布荷載圖的面積.若橫截面x=x1，x=x2

間無集中力偶作用（即彎矩方程為連續(xù)的），則得式中M(x1)，M(x2)分別為在x=x1和x=x2處兩個橫截面上的彎矩.等號右邊積分的幾何意義是x1,x2兩個橫截面間剪力圖的面積.例題10一簡支梁受兩個力F作用,如圖所示.已知F=25.3kN,有關尺寸如圖所示.試用本節(jié)所述的微分關系作剪力圖和彎矩圖.解：（1）求梁的支反力

將梁分為AC、CD、DB

三段.每一段均屬無載荷區(qū)段.BACD2001151265FFFAFB231（2）剪力圖每段梁的剪力圖均為水平直線AC段23.61.727+BFBACD2001151265FFFA231DB段最大剪力發(fā)生在DB段中的任一橫截面上CD段AC段4.723.11+BACD2001151265FFFAFB231最大彎矩發(fā)生在

C

截面（3）彎矩圖

每段梁的彎矩圖均為斜直線.且梁上無集中力偶.彎矩圖是連續(xù)的（4）對圖形進行校核

在集中力作用的C,D

兩點剪力圖發(fā)生突變,突變值F=25.3kN.而彎矩圖有尖角.

在AC段剪力為正值，彎矩圖為向上傾斜的直線.BACD2001151265FFFAFB2314.723.11+23.61.727+

在CD和DB段，剪力為負值，彎矩圖為向下傾斜的直線.

最大彎矩發(fā)生在剪力改變正、負號的C截面處.說明剪力圖和彎矩圖是正確的.例題12試用本節(jié)所述的微分關系作梁的內力圖.解：（1）支座反力為3m4mABCDE4m4mFAFBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN

將梁分為AC、CD、

DB、BE

四段.（2）剪力圖AC段向下斜的直線(

)CD段向下斜的直線(

)DB段水平直線(-)EB段水平直線(-)3m4mABCDE4m4mFAFBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kNCD段向下斜的直線(

)F點剪力為零,令其距

A截面的距離為x7kN1kN++3kN3kN2kNx=5mx1=5mAC段向下斜的直線(

)（3）彎矩圖CD段AC段DB段BE段201666+20.53m4mABCDE4m4mFAFBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN3m4mABCDE4m4mFAFBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN7kN1kN++3kN3kN2kNx=5m（4）校核：201666+20.55m解：支座反力為FA=81kNFB=29kNMA=96.5kN·m例題13用簡易法(微積分關系)作組合梁的剪力圖和彎矩圖.10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFAFBMAq=20kN/m將梁分為AE，EC，CD，DK，KB

五段。(1)剪力圖AE段水平直線QA右

=QE左

=FA=81kNED段水平直線DK段向右下方傾斜的直線QK=-FB=-29kNQE右

=FA-F=31kNKB

段水平直線QB左=-FB=-29kN81kN31kN29kN+10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFAFBMAq=20kN/m

設距K截面為x的截面上剪力Q

=0.即x=1.4581kN31kN29kN+10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFAFBMAq=20kN/mx=1.4581kN31kN29kN+10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFAFBMAq=20kN/m（2）彎矩圖

AE，EC，CD

梁段均為向上傾斜的直線（2）彎矩圖

AE，EC，CD

梁段均為向上傾斜的直線96.515.53110.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFAFBMAq=20kN/mKB

段向下傾斜的直線DK段向上凸的二次拋物線在Q=0的截面上彎矩有極值:96.53115.5x+5534510.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFAFBMAq=20kN/m

中間鉸鏈傳遞剪力(鉸鏈左,右兩側的剪力相等)；但不傳遞彎矩(鉸鏈處彎矩必為零).++10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFAFBMAq=20kN/m

例題14已知簡支梁的剪力圖,作梁的荷載圖和彎矩圖.已知梁上沒有集中力偶作用.abcd18kN2kN14kN3m3m6m+解:(1)畫荷載圖AB

段沒有分布荷載，在B處有集中力所以F=20kN

方向向下CABDF=20kNBC

段無分布荷載CD段有均布荷載q(

)abcd18kN2kN14kN3m3m6m+q=2kN/mCABDF=20kN(2)彎矩圖AB段向右上傾斜的直線BC段向右下傾斜的直線.abcd18kN2kN14kN3m3m6m+CD段向上凸的二次拋物線.該段內彎矩沒有極值.48dab54c+例題15已知簡支梁的彎矩圖,作出梁的剪力圖和荷載圖.AB段因為M(x)=常量,剪力圖為水平直線,且Q(x)=0.40kN·mabcd2m2m2m+BC段Q(x)=常量,剪力圖為水平直線CD段剪力圖為水平直線且Q(x)=0abcd20kN解：(1)作剪力圖AB段無荷載Me=40kN·m(

)Me在A處有集中力偶(2)作荷載圖40KN·mabcd2m2m2m+abcd20kNBCADF=20kN(

)B處有集中力.集中力BC段無荷載C處有集中力集中力F=20kN(

)CD段無荷載FFkN20－QB=左七、用疊加法作梁的內力圖Ⅰ.疊加原理(Superpositionprinciple)

多個載荷同時作用于結構而引起的內力等于每個載荷單獨作用于結構而引起的內力的代數(shù)和.Ⅱ.適用條件(Applicationcondition)

所求參數(shù)（內力、應力、位移）必然與荷載滿足線性關系.即在彈性限度內滿足胡克定律.剪力圖的作法相對簡單，這里主要介紹彎矩圖的疊加

Ⅲ.步驟(Procedure)

（1）分別作出各項荷載單獨作用下梁的彎矩圖（剪力圖疊加比較簡單）;

（2）將其相應的縱坐標疊加即可（注意：不是圖形的簡單拼湊）例16懸臂梁受集中荷載F和均布荷載q共同作用,試按疊加原理作此梁的彎矩圖xF=ql/3qlxF=ql/3ql解:懸臂梁受集中荷載F=ql/3和均布荷載q共同作用，在距左端為x的任一橫截面上的彎矩為FxqxF

單獨作用q單獨作用F,q

作用該截面上的彎矩等于F,q單獨作用該截面上的彎矩的代數(shù)和FxFqxlqx++-2l/3l/3例題17圖示一外伸梁，a=425mm,F1、F2、F3

分別為685kN,575kN,506kN.試按疊加原理作此梁的彎矩圖,求梁的最大彎矩.BCF2F3aDEF1Aaaa解：將梁上荷載分開F1291acebdF2e122+acbd215acebdF3aaaaBCF2F3aDEF1Aaaa122+acebd291215131acebd291acebd145.5215acebd107.51.平面剛架的內力(Internalforcesforplaneframemembers)

剪力(shearforce);彎矩(bendingmoment);軸力(axialforce).ABC

Ⅰ.平面剛架是由在同一平面內,不同取向的桿件,通過桿端相互剛性連結(剛節(jié)點)而組成的結構。一、平面剛架的內力圖八、平面剛架和曲桿的內力圖彎矩圖(bendingmomentdiagram)畫在各桿的受壓側,不注明正、負號.剪力圖及軸力圖(shearforceandaxialforcediagrams)可畫在剛架軸線的任一側(通常正值畫在剛架的外側).注明正,負號，符號規(guī)定與前相同。2、內力圖符號的規(guī)定(Signconventionforinternalforcediagrams)例題18圖示為下端固定的剛架.在其軸線平面內受集中力F1和F2作用，作此剛架的內力圖。alF1F2ABC解：將剛架分為CB，AB

兩段CB段，以C點為坐標原點，x向左為正N(x)=0M(x)=F1x(0

x

a)Q(x)=F1(+)(0<x

<a)M(x)N(x)Q(x)CxF1xalF1F2ABCQ(x)CBaF1F2N(x)M(x)xBA

段N(x)=-F1(0

x

l)M(x)=F1a+F2

x

(0

x

l)Q(x)=F2(+)(0<x<l)CB段N(x)=0

BA段N(x)=-F1N圖F1|CalF1F2ABCB段BA段Q(x)=F2(+)Q(x)=F1(+)Q圖F1+F2+作N

圖作Q圖CalF1F2ABM圖F1aF1aF1a+F2lCB段M(x)=F1x(0

xa)BA段M(x)=F1a+F2x(0

xl)作M

圖Ⅱ、平面曲桿軸力引起拉伸的軸力為正；彎矩使曲桿的曲率增加（即外側受拉）的彎矩為正，仍畫在受壓側。剪力對所考慮的一端曲桿內一點取矩產生順時針轉動趨勢的剪力為正;1、平面曲桿(Planecurvedbars)軸線為一平面曲線的桿件.內力情況及繪制方法與平面剛架相同.2、內力符號的確定(Signconventionforinternalforce)FOR

+MFRFtnC

NQ

OM例19如圖所示的半圓環(huán)半徑為R,在自由端收到載荷F的作用.試繪制N圖、Q圖和M圖.解：建立極坐標系,O為極點,OB極軸,q

表示截面m-m的位置.qmmxOFRABFOQNMqxqF2F1O+Q圖ABOM圖2FRON圖FF–+xOFRqmmABmmQMⅠ、彎曲構件橫截面上的應力

當梁上有橫向外力作用時，一般情況下，梁的橫截面上既又彎矩M，又有剪力Q.§4-3梁橫截面上的正應力mmQ

mmM

只有與正應力有關的法向內力元素

dFN=dA

才能合成彎矩.彎矩M

正應力σ剪力Q

切應力τ內力

只有與切應力有關的切向內力元素dQ=dA

才能合成剪力；

所以，在梁的橫截面上一般既有正應力，又有切應力.Ⅱ、分析方法平面彎曲時橫截面純彎曲梁的正應力(橫截面上只有M而無Q的情況)平面彎曲時橫截面橫力彎曲正應力(橫截面上既有Q又有M的情況)ss

t

簡支梁CD段任一橫截面上，剪力等于零，而彎矩為常量，所以該段梁的彎曲就是純彎曲.

若梁在某段內各橫截面的彎矩為常量，剪力為零，則該段梁的彎曲就稱為純彎曲.Ⅲ、純彎曲++FF+FaFFaaCDABdeformationgeometricrelationship

Examinethedeformation，thenproposethehypothesis

DistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformula變形幾何關系物理關系靜力關系

觀察變形，提出假設變形的分布規(guī)律應力的分布規(guī)律建立公式physicalrelationshipstaticrelationship一、純彎曲時的正應力Ⅰ、實驗（Experiment）1.變形現(xiàn)象（Deformationphenomenon)縱向線且靠近頂端的縱向線縮短，靠近底端的縱向線段伸長.相對轉過了一個角度，仍與變形后的縱向弧線垂直.各橫向線仍保持為直線，各縱向線段彎成弧線，橫向線2.提出假設(Assumptions）（a）平面假設：變形前為平面的橫截面變形后仍保持為平面且垂直于變形后的梁軸線；（b）單向受力假設：縱向纖維不相互擠壓，只受單向拉壓.推論：必有一層變形前后長度不變的纖維—中性層中性軸橫截面對稱軸中性軸橫截面對稱軸⊥中性層dx圖（b）yzxO應變分布規(guī)律：直梁純彎曲時縱向纖維的應變與它到中性層的距離成正比.圖（a）dxⅡ、變形幾何關系（Deformationgeometricrelation）圖（c）yρzyxO’O’b’b’ybbOOⅢ、物理關系(Physicalrelationship)所以胡克定律：MyzOx

直梁純彎曲時橫截面上任意一點的正應力，與它到中性軸的距離成正比.應力分布規(guī)律：?待解決問題中性軸的位置中性層的曲率半徑ρ??yzxOMdAzyσdAⅣ、靜力關系(Staticrelationship）

橫截面上內力系為垂直于橫截面的空間平行力系，這一力系簡化得到三個內力分量.FNMzMy內力與外力相平衡可得（1）（2）（3）將應力表達式代入（1）式，得將應力表達式代入（2）式，得中性軸通過橫截面形心自然滿足yzxOMdAzyσdAMzMy將代入得到純彎曲時橫截面上正應力的計算公式:M為梁橫截面上的彎矩；y為梁橫截面上任意一點到中性軸的距離；Iz為梁橫截面對中性軸的慣性矩.將應力表達式代入(3)式，得討論

（1）應用公式時，一般將M、y以絕對值代入.根據(jù)梁變形的情況直接判斷

的正負號.以中性軸為界，梁變形后凸出邊的應力為拉應力(

為正號).凹入邊的應力為壓應力（

為負號）；（2）最大正應力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠的點處.則公式改寫為引用記號—彎曲截面系數(shù)Iz和W的求法：圓截面矩形截面空心圓截面空心矩形截面（a）對于中性軸是對稱軸的橫截面

其橫截面最大拉壓應力相等，發(fā)生在離中性軸最遠處，截面的IZ

和WZ由下列公式計算zyM應分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠的距離和直接代入公式（b）對于中性軸不是對稱軸的橫截面

當梁上有橫向力作用時，橫截面上既又彎矩又有剪力.梁在此種情況下的彎曲稱為橫力彎曲.二、橫力彎曲時的正應力

橫力彎曲時，梁的橫截面上既有正應力又有切應力.切應力使橫截面發(fā)生翹曲，橫向力引起與中性層平行的縱截面的擠壓應力，純彎曲時所作的平面假設和單向受力假設都不成立.Ⅰ、橫力彎曲(Nonuniformbending)等直梁橫力彎曲時橫截面上的正應力公式為雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但進一步的分析表明，工程中常用的細長梁（l/h>5），純彎曲時的正應力計算公式，可以精確的計算橫力彎曲時橫截面上的正應力Ⅱ、公式的應用范圍1.在彈性范圍內(Allstressesinthebeamarebelowtheproportionallimit)3.平面彎曲（Planebending）4.直梁（Straightbeams）2.具有切應力的梁（Thebeamwiththeshearstress）Ⅲ、強度條件1.數(shù)學表達式（Mathematicalformula)梁內的最大工作應力不超過材料的許用應力.2.強度條件的應用(Applicationofstrengthcondition)（2）設計截面（3）確定許可載荷（1）強度校核

對于鑄鐵等脆性材料制成的梁，由于材料的且梁橫截面的中性軸一般也不是對稱軸，所以梁的（兩者有時并不發(fā)生在同一橫截面上）

要求分別不超過材料的許用拉應力和許用壓應力例題

矩形截面簡支梁承受均布載荷作用。已知：矩形的寬度b=20mm，高度h＝30mm；均布載荷集度q＝10kN/m；梁的長度l＝450mm。求：梁最大彎矩截面上1、2兩點處的正應力。

l/2l/2l/2l/2

解：

1.確定彎矩最大截面以及最大彎矩數(shù)值

根據(jù)靜力學平衡方程

MA＝0和

MB＝0，可以求得支座A和B處的約束力分別為

FRAFRB1.確定彎矩最大截面以及最大彎矩數(shù)值梁的中點處橫截面上彎矩最大，數(shù)值為

l/2l/2FRAFRB

2.計算慣性矩

根據(jù)矩形截面慣性矩的公式,本例題中，矩形截面對z軸的慣性矩為

l/2l/2FRAFRB3．求彎矩最大截面上1、2兩點的正應力

均布載荷作用在縱向對稱面內，因此橫截面的水平對稱軸(x)就是中性軸。根據(jù)彎矩最大截面上彎矩的方向，可以判斷：1點受拉應力，2點受壓應力。1、2兩點到中性軸的距離分別為

l/2l/2FRAFRB3．求彎矩最大截面上1、2兩點的正應力

FRAFRB于是，在彎矩最大截面上，1、2兩點的正應力分別為

例題

螺栓壓板夾緊裝置如圖所示（B截面有一直徑為14mm的圓孔）.已知板長3a＝150mm，壓板材料的彎曲許用應力[σ]＝140MPa.試計算壓板傳給工件的最大允許壓緊力F.ACBFa2a2030φ14FRAFRB+Fa解：（1）作出彎矩圖,得梁的最大彎矩為Fa；（2）求慣性矩，彎曲截面系數(shù)ACBFa2a2030φ14FRAFRB+Fa（3）求許可載荷80y1y22020120z例題T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示.鑄鐵的抗拉許用應力為[

t]=30MPa，抗壓許用應力為[

c]=160MPa.已知截面對形心軸z的慣性矩為Iz=763cm4，y1=52mm，校核梁的強度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1mFRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kNm2.5kNm解：最大正彎矩在截面C上最大負彎矩在截面B上

B截面C截面80y1y22020120z一、梁橫截面上的切應力（Shearstressesinbeams）1.矩形截面梁(Beamofrectangularcrosssection)

§4-3彎曲切應力（1）兩個假設(Twoassumptions)（a）切應力與剪力平行；（b）切應力沿截面寬度均勻分布（距中性軸等距離處切應力相等）.q(x)F1F2（2）分析方法(Analysismethod)（a）用橫截面m-m,n-n從梁中截取dx一段.兩橫截面上的彎矩不等.所以兩截面同一y處的正應力也不等；（b）假想地從梁段上截出體積元素mB1，在兩端面mA1，nB1上兩個法向內力不等.q(x)F1F2mmnnxdxmnnmxyzObdxm’m’hyABA1B1ABB1A1mnxzyym?FN2FN1mnnmxyzOyABA1B1bdxm’m’hnττ’（c）在縱截面上必有沿x

方向的切向內力dQ′.故在此面上就有切應力τ.

根據(jù)假設，橫截面上距中性軸等遠的各點處切應力大小相等.各點的切應力方向均與截面?zhèn)冗吰叫?取分離體的平衡即可求出.ABB1A1mnxzyyFN1FN2dQ’m?ABB1A1mnxzyym’FN1FN2dQ’（3）公式推導(Derivationoftheformula)

假設m-m，n-n上的彎矩為M和M+dM，兩截面上距中性軸y1

處的正應力為

1

和

2.A1為距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積.式中：為面積A1對中性軸的靜矩.A1化簡后得由平衡方程A1ABB1A1mnxzyym’FN1FN2dQ’b矩型截面上y點的寬度.yz整個橫截面對中性軸的慣性矩.距中性軸為y的橫線以外部分橫截面面積對中性軸的靜矩.（4）切應力沿截面高度的變化規(guī)律(Theshear-stressistributionontherectangularcrosssection)

沿截面高度的變化由靜矩與y之間的關系確定.1.矩形截面梁y1nBmAxyzOyA1B1m1可見，切應力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化.zτmaxy=±h/2（即在橫截面上距中性軸最遠處）τ=0y=0（即在中性軸上各點處），切應力達到最大值式中，A=bh為矩形截面的面積.截面靜矩的計算方法A1為距離中性軸為y以下截面面積為A1截面的形心坐標2.工字形截面梁（工-sectionbeam)假設求應力的點到中性軸的距離為y.研究方法與矩形截面同，腹板上切應力的計算公式亦為HoyBxbzhzA1b—腹板的厚度Ozydxy—距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積A對中性軸的靜矩.（a）腹板上的切應力沿腹板高度按二次拋物線規(guī)律變化；（b）最大切應力也在中性軸上.這也是