應(yīng)用數(shù)值分析緒論、誤差理論

2023/10/27應(yīng)用數(shù)值分析?數(shù)值分析是科學(xué)與工程計算的基礎(chǔ)，它研究在計算機(jī)上解決數(shù)學(xué)問題的理論和可行的數(shù)值方法。數(shù)值分析又叫計算方法、數(shù)值計算方法，什么是數(shù)值分析?（NumericalAnalysis）2023/10/27數(shù)學(xué)理論和計算機(jī)應(yīng)用的緊密結(jié)合§1.1緒論2023/10/271.可行的數(shù)值方法有可計算性：面向計算機(jī)，根據(jù)計算機(jī)的

特點(diǎn)提供有效的算法有低的計算復(fù)雜性：時間和空間的復(fù)雜性有可靠的理論分析：算法的穩(wěn)定性、

收斂性和誤差分析只有滿足這三個條件的算法，才是可行的！2023/10/271）可計算性符號計算超出了數(shù)值計算的范疇不具有可計算性2023/10/272）低的計算復(fù)雜性可行的算法!2023/10/273）可靠的理論分析穩(wěn)定性收斂性誤差分析理論可靠精度可達(dá)算法收斂數(shù)值穩(wěn)定誤差可析有的方法雖理論上不夠嚴(yán)格,但實際計算、對比分析證實行之有效，也采用。例3計算2023/10/27造成這種情況的原因是：算法不穩(wěn)定(初始數(shù)據(jù)誤差在計算中傳播使計算結(jié)果誤差增長很快！)在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性會是一個非常重要的話題。2023/10/27對給定的數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造一個可行的數(shù)值方法。要求具有三個特點(diǎn)：可計算性低的計算復(fù)雜性可靠的理論分析數(shù)值分析的核心問題2023/10/272.本課程研究的范圍?數(shù)值分析是科學(xué)與工程計算的基礎(chǔ)，它研究在計算機(jī)上解決數(shù)學(xué)問題的理論和可行的數(shù)值方法。?數(shù)值分析要解決的數(shù)學(xué)問題：“高等數(shù)學(xué)”中的微積分計算“線性代數(shù)”中的矩陣計算，例如：線性方程組的求解，矩陣特征值計算，等等數(shù)值分析輸入復(fù)雜問題或運(yùn)算

計算機(jī)近似解數(shù)值分析解決的問題？2023/10/272023/10/27數(shù)值分析數(shù)值逼近數(shù)值代數(shù)插值法最佳逼近數(shù)值積分和數(shù)值微分求解線性方程組非線性方程的求根法代數(shù)特征值問題的數(shù)值解法微分方程數(shù)值解常（偏）微分方程數(shù)值解?

泛函分析：在集合的基礎(chǔ)上，把客觀世界中研究對

象抽象為元素和空間，建立空間到空間的映射。

泛函分析將表面上彼此不相關(guān)的學(xué)科統(tǒng)一在它的普遍規(guī)律和共同框架之下。?空間到空間的映射：算子?空間到數(shù)集的映射：泛函

特別地，數(shù)集到數(shù)集的映射——函數(shù)，

函數(shù)空間到數(shù)集的映射——函數(shù)的函數(shù)什么是泛函分析？（FunctionalAnalysis）

2023/10/27?

泛函分析是進(jìn)行數(shù)值算法研究的理論基礎(chǔ)，屬于分析數(shù)學(xué)。對數(shù)值算法而言，運(yùn)用泛函分析的觀點(diǎn)與語言可使數(shù)值算法中很多定理與方法的推導(dǎo)變得簡潔、直觀。?本課程只介紹與數(shù)值算法有密切關(guān)系的泛函分析的基本概念和理論。（范數(shù)、內(nèi)積、不動點(diǎn)理論等等）泛函分析與數(shù)值算法的關(guān)系2023/10/2714構(gòu)造數(shù)值算法的基本思想近似替代離散化遞推化Chapter0Introduction15例416例517例62023/10/274.學(xué)習(xí)本課程的重要性數(shù)值分析是科學(xué)與工程計算的基礎(chǔ)，它研究在計算機(jī)上解決數(shù)學(xué)問題的理論和可行的數(shù)值方法。數(shù)值分析是科學(xué)與工程計算的基礎(chǔ)科學(xué)與工程計算是繼理論分析和實驗后的第三種科學(xué)研究手段科學(xué)與工程計算正在突飛猛進(jìn)的發(fā)展學(xué)習(xí)“計算方法”需注意如下幾點(diǎn)1.掌握算法的原理和思想。2.注意算法的處理技巧及與計算機(jī)結(jié)合,掌握步驟和計算公式。3.重視誤差分析、收斂性及穩(wěn)定性的基本理論。4.做一定的理論分析證明與計算練習(xí)5.上機(jī)實踐2023/10/27§2誤差理論2023/10/272023/10/271.誤差的來源與分類

從實際問題中抽象(簡化)出數(shù)學(xué)模型,模型與實際問題之間存在誤差——模型誤差通常假定模型合理，誤差可忽略不計2023/10/27

模型中有許多物理量，如溫度、長度、電壓、電流等，通過測量得到模型中參數(shù)的值，觀測產(chǎn)生誤差

——觀測誤差觀測誤差是不可避免的，可根據(jù)測量工具的精度估計誤差。2023/10/27

采用數(shù)值方法求模型的近似解，近似解與精確解之間有誤差——方法誤差(或截斷誤差)這是數(shù)值分析中要研究的對象2023/10/27

機(jī)器字長有限,數(shù)據(jù)在計算機(jī)中表示和計算過程產(chǎn)生誤差——舍入誤差2023/10/27大家一起猜？11/e解：將作Taylor展開后再積分S4R4取則稱為截斷誤差|

舍入誤差

|=0.747……由截去部分引起由留下部分引起2023/10/27例7記注：本課程“計算方法(數(shù)值分析)”主要研究截斷誤差和舍入誤差在計算過程中的傳播和對計算結(jié)果的影響，以提高計算的精度。2023/10/272.傳播與積累“蝴蝶效應(yīng)”

一只南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的蝴蝶,偶爾扇動幾下翅膀,可能在兩周后引起美國德克薩斯的一場龍卷風(fēng).

其原因在于：蝴蝶翅膀的運(yùn)動,導(dǎo)致其身邊的空氣系統(tǒng)發(fā)生變化,并引起微弱氣流的產(chǎn)生,而微弱氣流的產(chǎn)生又會引起它四周空氣或其他系統(tǒng)產(chǎn)生相應(yīng)的變化,由此引起連鎖反映,最終導(dǎo)致其他系統(tǒng)的極大變化.

此效應(yīng)說明,事物發(fā)展的結(jié)果,對初始條件具有極為敏感的依賴性,初始條件的極小偏差,將會引起結(jié)果的極大差異。2023/10/27例：計算

公式一：記為則初始誤差2023/10/27迅速積累,誤差呈遞增走勢?？梢姵跏嫉男_動造成這種情況的原因是：算法不穩(wěn)定(初始數(shù)據(jù)誤差在計算中傳播使計算結(jié)果誤差增長很快！)2023/10/27

公式二：注意此公式與公式一在理論上等價?？扇≌`差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法§1.2.2

絕對誤差與相對誤差1、絕對誤差、絕對誤差限2023/10/27用一把有毫米的刻度的米尺,來測量桌子的長度,讀出的長度x*=1235mm2023/10/272023/10/27有兩根卷尺，X卷尺測量一根10ｍ長的圓鋼時發(fā)生了0.5cm的誤差，Ｙ卷尺測量10cm長的圓鋼時發(fā)生了0.5cm的誤差，絕對誤差都是0.5cm，哪一個更精確？Ｘ卷尺更精確！決定一個量近似值的優(yōu)劣，除了要考慮絕對誤差的大小外，還應(yīng)考慮準(zhǔn)確值本身的大?。?023/10/27定義1.2.22、相對誤差、相對誤差限2023/10/27相對誤差比絕對誤差更能反映準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)的差異。絕對誤差限和相對誤差限均無窮多，自然越小越好。誤差估計的任務(wù)是提供好的誤差限，誤差限越小，數(shù)據(jù)越準(zhǔn)確可靠。某一數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確值為

x*,其近似值為

x，x的相對誤差:x的絕對誤差:

e(x)=x*-x如果存在一個適當(dāng)小的正數(shù)

,，使得

分別稱

,

為絕對誤差限和相對誤差限。

數(shù)的浮點(diǎn)表示一臺微機(jī)價格:￥4999.00,

浮點(diǎn)數(shù)表示:0.4999×104地球半徑:6378137m,(6.378137e+006)

浮點(diǎn)數(shù)表示:0.6378137×107光速:2.99792458e+008

浮點(diǎn)數(shù)表示:0.299792458×109尾數(shù)部階碼部取

的有限位數(shù)如下(

≈3.1415926)取

x1=3，誤差限不超過0.5;取

x2=3.14,誤差限不超過0.005;若近似值x

的絕對誤差限是某一位上的半個單位，該位到x

的第一位非零數(shù)字一共有n

位，則稱近似值x

有n

位有效數(shù)字.

取

x3=3.1416,誤差限不超過0.00005;有效數(shù)字的概念注：0.2300有4位有效數(shù)字，而00023只有2位有效數(shù)字。12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字。

數(shù)字末尾的0不可隨意省去！39

相對誤差限

有效數(shù)字

有效數(shù)字位數(shù)越多，相對誤差限也就越??！定理1.2.2一個有n位有效數(shù)字的數(shù)絕對誤差限滿足：相對誤差限滿足：解:a1=5,利用不等式

所以,浮點(diǎn)數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)至少應(yīng)取3位。例已知的十進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)第一位是5，要使近似值的相對誤差限不大于0.1%，問浮點(diǎn)數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)至少應(yīng)該為多少？取n≥3,有

|er(x)|≤10-3其中,正負(fù)號占1位,尾數(shù)占52位,階碼占11位.尾數(shù)階碼雙精度機(jī)器數(shù)占用64個二進(jìn)制位單精度機(jī)器數(shù)占用32位二進(jìn)制位其中,正負(fù)號占1位,尾數(shù)占23位,階碼占8位.例.圓面積計算的誤差估計圓面積計算公式:全微分近似:取

R=50cm,如果

cm≈2×1%=2%≈157cm2,1.一元函數(shù)

y=f(x)誤差分析(準(zhǔn)確值

y*=f(x*))

由Taylor公式同理:所以誤差對函數(shù)計算的影響2.多元函數(shù)

z=f(x1,x2,···,xn)誤差分析(1)(3)(2)數(shù)據(jù)誤差對算術(shù)運(yùn)算影響例.二次方程

x2–16x+1=0,取求

使具有4位有效數(shù)解:直接計算

x1≈8–7.937=0.063修改算法4位有效數(shù)計算出的x1

具有兩位有效數(shù)條件數(shù)很大的矩陣求逆求多項式值的秦九韶(Horner)算法

輸入

x；a0，a1，…，an

S←a0；u←1k

從

1到n循環(huán)u←x×uS←S+ak×u輸出數(shù)據(jù)S

；結(jié)束輸入

x；a0，a1，…，an

S←ank

從

n

到1

循環(huán)S←ak－1+x×S輸出數(shù)據(jù)S

；結(jié)束秦九韶算法P(x)=a0+a1x+a2x2+······+anxn

數(shù)值分析的特點(diǎn)：構(gòu)造性近似性數(shù)值化結(jié)果泛