2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)實驗學(xué)校高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat12頁2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)實驗學(xué)校高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】先求得，由此求得對應(yīng)的點的坐標(biāo)，進(jìn)而求得對應(yīng)點所在的象限.【詳解】，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第三象限.故選：C.【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)減法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點所在的象限.2．如圖，在長方體中，化簡（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】解：如圖：，故選：A.3．已知是直線，、是兩個不同平面，下列命題中是真命題的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)及面面位置關(guān)系判斷A，由線面平行的性質(zhì)及面面垂直的性質(zhì)判斷B，由線面平行的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的判定定理判斷C，由線面平行的性質(zhì)和面面平行的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A，若，，則或，錯誤；對于B，若，，則或或與相交（含），錯誤；對于C，若且，則存在過的平面，有，于是，所以，正確；對于D，若，，則或，錯誤.故選：C.4．設(shè)，，則的中點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用中點坐標(biāo)公式直接得解.【詳解】，，的中點的坐標(biāo)為故選：C5．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由直線方程求出斜率，再由斜率求出直線的傾斜角【詳解】解：設(shè)直線的傾斜角為，由直線可知其斜率為，所以，因為，所以，故選：B【點睛】此題考查由直線方程求直線的傾斜角，屬于基礎(chǔ)題.6．已知直線經(jīng)過點，且與直線平行，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)直線平行求出斜率，在代入點斜式方程求解即可.【詳解】因為直線與直線平行，所以直線的斜率為，又直線經(jīng)過點，所以直線的方程為，即.故選：D.7．直線與直線間的距離等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接由平行線間的距離公式求解即可.【詳解】直線即為，直線即為，因為兩直線平行，所以距離，故選：B.8．圓：與圓：的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．相交 D．外切【答案】B【分析】根據(jù)兩圓的圓心距與兩圓半徑和差的比較即可判斷兩圓位置關(guān)系.【詳解】因為圓：的圓心，半徑為，圓：的圓心，半徑為，所以兩個圓的圓心距，又兩個圓的半徑差為，所以圓與圓的位置關(guān)系是內(nèi)切.故選：B.9．設(shè)雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得，即可求出、，再根據(jù)，即可求出，從而求出雙曲線方程，最后求出漸近線方程；【詳解】解：依題意，所以，又，所以，所以雙曲線方程為，所以雙曲線的漸近線方程為；故選：C10．已知橢圓：的離心率，短軸的右端點為，為線段的中點，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由點的坐標(biāo)求得，通過離心率求得，即可求解橢圓方程.【詳解】因為為線段的中點，且，所以，又橢圓的離心率，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.

二、填空題11．已知直線：，：，若，則實數(shù)【答案】【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合直線垂直的性質(zhì)列式求解即可.【詳解】因為直線：，：，且，所以，解得.故答案為：.12．點到直線：的距離是【答案】【分析】直接代入點到直線的距離公式求解即可.【詳解】點到直線：的距離是.故答案為：.13．圓上的點到原點距離的最小值等于．【答案】【分析】先求得圓的圓心到原點距離，再減半徑即可.【詳解】圓的圓心到原點距離為：，又圓的半徑為1，所以圓上的點到原點距離的最小值等于，故答案為：14．已知雙曲線C：的漸近線方程為，則C的離心率為.【答案】【分析】由題意可得，然后由可求得結(jié)果.【詳解】因為雙曲線C：的漸近線方程為，所以，所以離心率，故答案為：15．設(shè)分別為橢圓：的左、右焦點，點為橢圓的左頂點，點為橢圓的上頂點，且，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【答案】【分析】根據(jù)題意列出基本量滿足的等式化簡即可.【詳解】因為，故，又，故，，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：三、解答題16．在△ABC中，內(nèi)角A,B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大??；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值【答案】（1）B=60°（2）【詳解】（1)由正弦定理得【考點定位】本題主要考查三角形中的三角函數(shù)，由正余弦定理化簡求值是真理17．已知的三個頂點坐標(biāo)分別為、、(1)求邊所在直線的方程；(2)求邊的垂直平分線所在直線的方程【答案】(1)(2)【分析】（1）利用斜率公式求出直線的斜率，代入點斜式即可求解；（2）利用中點坐標(biāo)公式求出的中點坐標(biāo)，然后利用相互垂直的直線斜率關(guān)系求出斜率，代入點斜式即可求解.【詳解】（1）直線的斜率為，且，所以邊所在直線的方程為，即.（2）因為、，所以的中點為，又直線的斜率為，所以邊的垂直平分線所在直線的斜率為，所以邊的垂直平分線所在直線的方程為，即.18．已知圓：(1)求過點與圓相切的直線方程(2)若直線與圓交于兩點，求弦的長【答案】(1)或(2)【分析】（1）討論切線斜率是否存在設(shè)方程，利用相切時圓心到直線的距離等于半徑列關(guān)系計算即得結(jié)果；（2）計算到直線AB的距離d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦長.【詳解】（1）圓方程可化為，則圓心，半徑為1，由，可得點在圓外，當(dāng)過點的直線斜率存在時，設(shè)切線的方程為，即，則圓心到切線的距離為，解得，所以切線方程為，即，當(dāng)過點的直線斜率不存在時，切線方程為，此時直線與圓相切，所以切線方程為或；（2）直線方程為，則圓心到直線的距離，直線與圓相交，所以.19．如圖，在長方體中，，，點在上，且

(1)求直線與所成角的余弦值(2)求點到平面的距離【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線與直線所成角的余弦值.（2）先求出平面的法向量，然后利用向量法求得點到平面的距離.【詳解】（1）由題意，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

，設(shè)直線與直線所成角為，則.（2）由題意，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，又，所以到平面的距離為.20．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，為的中點(1)求證：(2)求直線與平面所成角的正弦值(3)求平面與平面的夾角的余弦值【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量垂直的坐標(biāo)公式計算得向量垂直，從而證明線線垂直；（2）利用空間向量線面角公式進(jìn)行求解即可；（3）利用面面角的向量求法進(jìn)行求解即可；【詳解】（1）因為底面，且四邊形是矩形，所以，，兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則、、、、、，所以，，所以，所以，得證；（2）設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，又，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）易知平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.21．已知橢圓：的一個頂點為，且離心率為(1)求橢圓的方程(2)已知點坐標(biāo)為，直線與橢圓交于兩點，求的面積(3)若直線：與橢圓交于、兩點，且，求的值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)橢圓的頂點求得，再根據(jù)離心率及求解，由此求出橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式求出弦長，再利用點到直線的