2022-2023學(xué)年福建省泉州市現(xiàn)代中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat19頁2022-2023學(xué)年福建省泉州市現(xiàn)代中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．雙曲線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將雙曲線方程化成標準式，即可得到，，從而求出，即可得到焦點坐標；【詳解】解：雙曲線，即，所以，，所以，即，所以焦點坐標為；故選：B2．若點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】因為點在圓的內(nèi)部，所以，即，解得.故選：A3．已知點，到直線的距離相等，則（

）A．或 B． C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)點到直線距離公式列出方程，求出答案.【詳解】由題意得：，化簡得：，解得：或，故選：D.4．在四面體中，，點在棱上，且，為中點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的線性運算可得答案.【詳解】點在線段上，且，為中點，，，．

故選：B．5．長方體中，，，是的中點，是的中點.則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出異面直線所成的角；【詳解】解：依題意，建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成的角為，則故選：B6．直線與圓交于A，B兩點，則線段的垂直平分線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圓的平面幾何性質(zhì)可知，過圓心與垂直的直線即為所求，根據(jù)垂直關(guān)系求出線段的垂直平分線斜率即可求解【詳解】因為直線的斜率為，則線段的垂直平分線的斜率為，又圓即的圓心為，所以線段的垂直平分線方程為，化簡得，故選：C7．已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.8．已知橢圓：的中心為，過焦點的直線與交于，兩點，線段的中點為，若，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，利用中點坐標公式得到，再利用得到、、的方程組即可求解.【詳解】設(shè)，，則，因為，所以，所以，即，解得，，，所以橢圓的方程為.故選：B.二、多選題9．已知直線的一個方向向量為，且經(jīng)過點，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的傾斜角等于 B．在軸上的截距等于C．與直線垂直 D．上的點與原點的距離最小值為【答案】AC【分析】由方向向量求出直線斜率，即可求出直線方程，由傾斜角與斜率的關(guān)系可判斷A；令求出軸上的截距，可判斷B；由斜率與垂直關(guān)系可判斷C；上的點與原點的距離最小值為原點到直線l的距離，求出點線距離即可判斷D【詳解】直線的方向向量為，則斜率，故直線為，即，對A，∵，，故，A對；對B，由得，B錯；對C，直線斜率，由得與直線垂直，C對；對D，上的點與原點的距離最小值為原點到直線l的距離，即，D錯；故選：AC10．已知圓和圓相交于，兩點，下列說法正確的是（

）A．圓與圓有兩條公切線B．圓與圓關(guān)于直線對稱C．線段的長為D．，分別是圓和圓上的點，則的最大值為【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，由圓的方程分析兩圓的圓心和半徑，由此依次分析4個選項，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，圓，其圓心為，半徑，圓，即，其圓心為，半徑，依次分析選項：對于A，由于，，又，所以兩圓相交，故有兩條共切線，A正確，對于B，圓和圓的半徑相等，則線段的垂直平分線為，則圓與圓關(guān)于直線對稱，B正確，對于C，聯(lián)立，化簡可得，即的方程為，到的距離，則，C錯誤；對于D，，則的最大值為，D正確，故選：ABD．11．2022年4月16日9時56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半粗圓組成的“曲圓”．如圖，在平面直角坐標系中半圓的圓心在坐標原點，半圓所在的圓過橢圓的焦點，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與軸交于點．若過原點的直線與上半橢圓交于點，與下半圓交于點，則下列說法正確的有（

）

A．橢圓的長軸長為B．線段長度的取值范圍是C．面積的最小值是4D．的周長為【答案】ABD【分析】結(jié)合圓的半徑長可求得，結(jié)合橢圓焦點坐標可求得，由此可判斷A；根據(jù)，結(jié)合的范圍可判斷B；設(shè)，利用結(jié)合面積公式可求得，取可判斷C；結(jié)合橢圓定義可判斷D.【詳解】對于A，∵半圓所在圓過點，∴半圓的半徑，又橢圓短軸為半圓的直徑，∴，即，又，∴，即，∴橢圓長軸長為，故A正確；對于B，∵，，∴，故B正確；對于C，設(shè)，則，當(dāng)時，，故C錯誤；對于D，由題意知：，則為橢圓的下焦點，由橢圓定義知：，又，∴的周長為，故D正確.故選：ABD.

12．如圖，在棱長為的正方體中，點為線段上的動點（含端點），下列四個結(jié)論中，正確的有（

）A．存在點，使得平面B．存在點，使得直線與直線所成的角為C．存在點，使得三棱錐的體積為D．不存在點，使得，其中為二面角的大小，為直線與所成的角【答案】ACD【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷各選項的正誤.【詳解】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系（如圖所示），則、、、、、、、，設(shè)，即點，其中.對于A：假設(shè)存在點，使得平面，因為，，，則，解得，故當(dāng)點為線段的中點時，平面，即選項A正確；對于B：假設(shè)存在點，使得直線與直線所成的角為，，，因為，即，所以不存在點，使得直線與直線所成的角為，即選項B錯誤；對于C：假設(shè)存在點，使得三棱錐的體積為，，且點到平面的距離為，則，解得，所以當(dāng)點為線段的靠近的四等分點時，三棱錐的體積為，即選項C正確；對于D：，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，易知平面的一個法向量為，則，，，，因為，，則，因為、，且余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即不存在點，使得，即選項D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.三、填空題13．若圓與圓的交點為A，B，則．【答案】【分析】根據(jù)題目條件畫出圖象，利用勾股定理得到△AOC是直角三角形，且∠OCA=30°，進一步得出答案.【詳解】由題可知：，，滿足勾股定理：所以△AOC是直角三角形，且∠OCA=30°∴∴.故答案為：.14．函數(shù)的最小值為.【答案】【分析】將函數(shù)最小值轉(zhuǎn)化為軸上一點分別到點距離的和的最小值，畫圖利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】，上式表示軸上一點分別到點距離的和，如圖所示，設(shè)為點關(guān)于軸的對稱點，則當(dāng)點為直線與軸的交點時，點到兩點距離的和最小，最小值為兩點間的距離.，所以函數(shù)的最小值為.故答案為：【點睛】本題主要考查函數(shù)求最值的方法，結(jié)合所給函數(shù)表達式的特點，利用數(shù)形結(jié)合解題是常用的方法.15．已知直線與圓交于兩點，為原點，且，則實數(shù)的值為.【答案】【分析】聯(lián)立直線與圓，再運用韋達定理即可求解．【詳解】聯(lián)立，設(shè)，則，因為，所以有，解得.故答案為：四、雙空題16．已知、分別為（）橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓交于、兩點，若，，則，橢圓的離心率為.【答案】【分析】由給定條件結(jié)合向量的線性運算計算得即可，在、中借助勾股定理建立a，c的關(guān)系即可作答.【詳解】依題意，，于是得，即，所以；令，因，則，由橢圓定義知，，，而在中，，即，解得，顯然，中，橢圓半焦距為c，有，所以橢圓的離心率為.故答案為：；.五、解答題17．已知空間中的三點，，，，．(1)當(dāng)與的夾角為鈍角時，求的范圍；(2)求點到直線的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）兩向量夾角為鈍角時，數(shù)量積小于0且不共線，再利用向量的線性運算、數(shù)量積運算的坐標表示求解.（2）利用點到直線的距離公式進行求解.【詳解】（1）由題意得，，所以，，由，解不等式，得．∵當(dāng)時，兩個向量的夾角為，∴的取值范圍是．（2）設(shè)直線的單位方向向量為，則，∵，∴，，∴點到直線的距離．18．已知圓：，圓：，圓，圓．(1)若動圓與圓內(nèi)切與圓外切.求動圓圓心的軌跡的方程；(2)若動圓與圓、圓都外切.求動圓圓心的軌跡的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由橢圓的定義結(jié)合條件，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由雙曲線的定義結(jié)合條件，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)動圓的半徑為，∵動圓與圓內(nèi)切，與圓外切，∴，且.于是，所以動圓圓心的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓.從而，所以.故動圓圓心的軌跡的方程為．（2）圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因為，則圓與圓外離，設(shè)圓的半徑為，由題意可得，所以，，所以，圓心的軌跡是以點、分別為左右焦點的雙曲線的右支，設(shè)圓心的軌跡方程為，由題意可得，則，，因此，圓心的軌跡方程為.19．已知圓C的圓心為原點，且與直線相切，直線過點．(1)求圓C的標準方程；(2)若直線與圓C相切，求直線的方程．(3)若直線被圓C所截得的弦長為，求直線的方程．【答案】(1)(2)，或(3)或【分析】（1）利用點到直線的距離求出半徑，即可得到圓C的標準方程；（2）分類討論直線斜率不存在與存在的情況，當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線，利用點到直線距離等于半徑求出斜率，即可求解；（3）分類討論直線斜率不存在與存在的情況，利用圓的垂徑定理，列出弦長公式進行求解.【詳解】（1）圓心到直線的距離，所以圓的半徑為，所以；（2）當(dāng)直線斜率不存在時，圓心到直線的距離為，不相切．直線斜率存在，設(shè)直線，由，得所以切線方程為，或．（3）當(dāng)直線斜率不存在時，，直線被圓所截得的弦長為，符合題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線，由，解得：，故的方程是，即，綜上所述，直線的方程為或20．已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，的高線所在直線方程為．(1)求頂點的坐標；(2)求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程，代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，求出點的坐標，再結(jié)合直線的斜截式，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)頂點的坐標為，因為頂點在直線上，所以，由題意知的坐標為，因為中點在直線上，所以，即；聯(lián)立方程組，解得頂點的坐標為.（2）設(shè)頂點的坐標為，因為頂點在直線上，所以，因為為高，所以，所以，解得的坐標為，設(shè)所在的直線方程為，，解得，所以，即.21．如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，，，，，E，F(xiàn)分別為棱，BC的中點，G為線段CF的中點．(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）作圖，由對應(yīng)比例證明，即可證明平面；（2）建立空間直角坐標系，寫出對應(yīng)點的坐標，從而得對應(yīng)平面向量的坐標，求解出法向量，利用向量夾角計算公式代入計算.【詳解】（1）連接，交于點，連接，由題意，四邊形為平行四邊形，所以，因為E為中點，∴，∴，且相似比為，∴，又∵，為，中點，∴，∴，又平面，平面，∴平面.（2）連接，因為，，所以，，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則，設(shè)平面和平面的法向量分別為，則，，所以，因為二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點睛】對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.22．已知橢圓的的焦距為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）若不經(jīng)過點的直線與交于兩點，且直線與直線的斜率之和為0，求的