第二章習題答案

習題2-1圖示用于風洞實驗的翼型剖面由拉伸彈簧和扭轉彈簧支承著，剖面重心G到支承點的距離為e，剖面繞重心的轉動慣量為。試建立系統(tǒng)運動微分方程。題2-1圖 解：如右圖所示，系統(tǒng)的動能為：勢能為：代入方程后整頓，得到矩陣形式的運動微分方程2-2圖示雙復擺在平面內微擺動，其中兩個剛體質量分別為和，繞質心和的轉動慣量分別為和。試建立系統(tǒng)運動微分方程。題2-2圖解：如右圖所示，系統(tǒng)的動能為：勢能為：代入方程后整頓，得到矩陣形式的運動微分方程2-3求圖示系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。題2-3圖 解：系統(tǒng)的運動微分方程為：由關系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為： 從而得兩質量塊的振幅比為：系統(tǒng)的固有振型為：2-4圖示電車由兩節(jié)質量均為的車廂構成，中間連接器的剛度為。求電車振動的固有頻率和固有振型。題2-4圖解：系統(tǒng)的運動微分方程為：由關系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為：從而得兩質量塊的振幅比為：系統(tǒng)的固有振型為：2-5求圖示扭轉振動系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。題2-5圖解：系統(tǒng)的運動微分方程為：由關系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為： 從而得兩質量塊的振幅比為：系統(tǒng)的固有振型為：2-6不計剛桿質量，按圖示坐標建立運動微分方程，并求出固有頻率和固有振型。 題2-6圖解：系統(tǒng)的運動微分方程為：寫成矩陣的形式為：由關系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為： 從而得兩質量塊的振幅比為： 系統(tǒng)的固有振型為：2-7已知剛桿質量為m，按圖示坐標建立運動微分方程，并求其固有頻率和固有振型。題2-7圖解：系統(tǒng)的運動微分方程為：寫成矩陣的形式為：由關系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為： 從而得兩質量塊的振幅比為： 系統(tǒng)的固有振型為：2-8圖示剛桿質量不計，。求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。 題2-8圖解：取廣義坐標系統(tǒng)的運動微分方程為：寫成矩陣的形式為：由關系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為： 從而得兩質量塊的振幅比為： 系統(tǒng)的固有振型為：2-9圖示均勻剛桿質量為m，求系統(tǒng)的固有模態(tài)。 題2-9圖 題2-10圖解：取廣義坐標系統(tǒng)的運動微分方程為：寫成矩陣的形式為：由關系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為： 從而得兩質量塊的振幅比為： 系統(tǒng)的固有振型為：2-10建立圖示雙單擺的微振動微分方程，并求其固有頻率和固有振型。解：系統(tǒng)的動能為：勢能為：代入方程后整頓，得到矩陣形式的運動微分方程由關系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為： 從而得兩質量塊的振幅比為： 系統(tǒng)的固有振型為：2-11一質點在重力場中被約束在拋物面內作純滾動，其中是重力方向。試求質點在平衡位置附近的微振動固有頻率及固有振型。解：系統(tǒng)的動能為：勢能為：代入方程后整頓，得到矩陣形式的運動微分方程由關系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為： 從而得兩質量塊的振幅比為： 系統(tǒng)的固有振型為：2-12考察題2-10中的雙單擺系統(tǒng)，若，求其自由擺動。解：由題2-10有：固有振型矩陣系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為：系統(tǒng)的自由振動為其中那么2-13圖示剛桿質量不計，求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。如果將桿向下平移，求忽然釋放后的自由振動。 題2-13圖 題2-14圖解：系統(tǒng)的運動微分方程為：寫成矩陣的形式為：由關系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為：系統(tǒng)的固有振型為：系統(tǒng)的初始條件為系統(tǒng)的自由振動為2-14圖示懸臂梁寬，厚，長，材料彈性模量。梁上安裝有兩個重塊和，梁的質量可無視。求系統(tǒng)的固有頻率；當簡諧力作用于時，不計阻尼，求反共振頻率。解：（1）在上分別作用單位力，可得到柔度系數(shù)柔度矩陣那么剛度矩陣系統(tǒng)的運動微分方程為：解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為： （2）系統(tǒng)的動剛度矩陣為對于原點頻響函數(shù)，反共振頻率方程為反共振頻率2-15雙層建筑構造的簡化模型如圖所示，其中，剪切剛度。求構造的固有頻率和固有振型；若在上作用力產生單位位移，然后無初速度地釋放，求其自由響應；由于地震，基礎產生水平方向運動，求構造的穩(wěn)態(tài)響應。 題2-15圖 題2-16圖解：（1）系統(tǒng)的運動微分方程為解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為系統(tǒng)的固有振型為（2）系統(tǒng)的初始條件為系統(tǒng)的自由振動為（3）系統(tǒng)的運動微分方程為：設穩(wěn)態(tài)解為代入系統(tǒng)微分方程有則可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解。2-16圖示系統(tǒng)中，作用在和上的激振力分別為和，且。求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。解：系統(tǒng)的運動微分方程為設穩(wěn)態(tài)解為代入系統(tǒng)微分方程有其中2-17在題2-6系統(tǒng)的左側質量上作用簡諧力，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。解：系統(tǒng)的運動微分方程為設穩(wěn)態(tài)解為代入系統(tǒng)微分方程有其中2-18 若要使圖示系統(tǒng)中左邊質量塊的穩(wěn)態(tài)振幅取最小值，激振力的頻率應為多少？并求出此時右邊質量塊的穩(wěn)態(tài)響應。 題2-18圖解：系統(tǒng)的運動微分方程為設穩(wěn)態(tài)解為代入系統(tǒng)微分方程有其中要使左邊質量塊的穩(wěn)態(tài)振幅取最小值，則有即激振力的頻率應為此時右邊質量塊的穩(wěn)態(tài)響應為2-19求圖示系統(tǒng)在零初始條件下的脈沖響應。題2-19圖解：系統(tǒng)的運動微分方程為：由關系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為： 從而得兩質量塊的振幅比為： 系統(tǒng)的固有振型為采用主坐標變換代入系統(tǒng)的運動方程為即系統(tǒng)初始條件化為由初始條件可解出零初始條件的脈沖響應為，2-20求圖示擺的柔度系數(shù)。解：在上作用單位力，對點取矩，有在上作用單位力，對點取矩，有在上作用單位力，對點取矩，有2-21求圖示系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣，并求時系統(tǒng)的固有頻率。 題2-20圖 題2-21圖解：系統(tǒng)的動能為：勢能為：代入方程后整頓，得到矩陣形式的運動微分方程系統(tǒng)的剛度矩陣系統(tǒng)的柔度矩陣時系統(tǒng)的運動微分方程為解得系統(tǒng)的固有頻率，2-22建立圖示系統(tǒng)的運動微分方程，并求當時的固有頻率和固有振型。 題2-22圖 題2-23圖解：系統(tǒng)的運動微分方程為：當時系統(tǒng)的運動微分方程為：由關系式解得系統(tǒng)的固有頻率分別為：系統(tǒng)的固有振型為2-23圖示飛機可簡化成帶集中質量的自由梁的，梁的抗彎剛度為EI，質量不計，集中質量的比值為=0.1。求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。解：系統(tǒng)的動能為：勢能為：代入方程后整頓，得到矩陣形式的運動微分方程系統(tǒng)的固有頻率為系統(tǒng)的固有振型為2-24圖示系統(tǒng)中各質量只能沿方向運動，試分析其固有模態(tài)。題2-24圖 題2-25圖解：系統(tǒng)的運動微分方程為：由關系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為：由解出特性向量得系統(tǒng)的固有振型為2-25圖示平面剛架質量不計，抗彎剛度為EI，自由端連一重塊，質量為m。(1)求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型；(2)由于受到沖擊，重塊得到方向的初速度，求系統(tǒng)的自由響應；(3)A點處受剛架平面內的力矩作用，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。解：（1）在集中質量上沿分別施加靜力，鋼架的彎曲變形能為由卡氏定理，可得柔度系數(shù)，即因此系統(tǒng)的自由振動微分方程為即解得系統(tǒng)的固有頻率為系統(tǒng)的固有振型為（2）系統(tǒng)的初始條件為系統(tǒng)的自由振動為將初始條件代入上面兩式可得故系統(tǒng)的自由振動為（3）受力矩作用，系統(tǒng)的受迫振動微分方程為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為2-26圖示系統(tǒng)左端基礎作簡諧振動，試求兩集中質量的穩(wěn)態(tài)位移響應并討論其反共振現(xiàn)象。題2-26圖解：系統(tǒng)的運動微分方程為：寫成矩陣的形式為：系統(tǒng)的動剛度矩陣為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為系統(tǒng)產生反共振現(xiàn)象，則有2-27證明圖2.2.3中鏈式系統(tǒng)的各原點頻響函數(shù)有個反共振頻率，跨點頻響函數(shù)有個反共振頻率。解：系統(tǒng)的動剛度矩陣為系統(tǒng)各原點頻響函數(shù)是有關的次方，共有解，也即有個反共振頻率。系統(tǒng)各跨點頻響函數(shù)是有關的次方，共有解，也即有個反共振頻率。2-28若題2-26中系統(tǒng)初始時靜止，求左端基礎產生階躍位移后系統(tǒng)的響應。解：系統(tǒng)的運動微分方程為：寫成矩陣的形式為：由關系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為：由解出特性向量得系統(tǒng)的固有振型為采用主坐標變換代入系統(tǒng)的運動方程為即