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習(xí)題2-1圖示用于風(fēng)洞實驗的翼型剖面由拉伸彈簧和扭轉(zhuǎn)彈簧支承著,剖面重心G到支承點的距離為e,剖面繞重心的轉(zhuǎn)動慣量為。試建立系統(tǒng)運動微分方程。題2-1圖 解:如右圖所示,系統(tǒng)的動能為:勢能為:代入方程后整頓,得到矩陣形式的運動微分方程2-2圖示雙復(fù)擺在平面內(nèi)微擺動,其中兩個剛體質(zhì)量分別為和,繞質(zhì)心和的轉(zhuǎn)動慣量分別為和。試建立系統(tǒng)運動微分方程。題2-2圖解:如右圖所示,系統(tǒng)的動能為:勢能為:代入方程后整頓,得到矩陣形式的運動微分方程2-3求圖示系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。題2-3圖 解:系統(tǒng)的運動微分方程為:由關(guān)系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為: 從而得兩質(zhì)量塊的振幅比為:系統(tǒng)的固有振型為:2-4圖示電車由兩節(jié)質(zhì)量均為的車廂構(gòu)成,中間連接器的剛度為。求電車振動的固有頻率和固有振型。題2-4圖解:系統(tǒng)的運動微分方程為:由關(guān)系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為:從而得兩質(zhì)量塊的振幅比為:系統(tǒng)的固有振型為:2-5求圖示扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。題2-5圖解:系統(tǒng)的運動微分方程為:由關(guān)系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為: 從而得兩質(zhì)量塊的振幅比為:系統(tǒng)的固有振型為:2-6不計剛桿質(zhì)量,按圖示坐標(biāo)建立運動微分方程,并求出固有頻率和固有振型。 題2-6圖解:系統(tǒng)的運動微分方程為:寫成矩陣的形式為:由關(guān)系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為: 從而得兩質(zhì)量塊的振幅比為: 系統(tǒng)的固有振型為:2-7已知剛桿質(zhì)量為m,按圖示坐標(biāo)建立運動微分方程,并求其固有頻率和固有振型。題2-7圖解:系統(tǒng)的運動微分方程為:寫成矩陣的形式為:由關(guān)系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為: 從而得兩質(zhì)量塊的振幅比為: 系統(tǒng)的固有振型為:2-8圖示剛桿質(zhì)量不計,。求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。 題2-8圖解:取廣義坐標(biāo)系統(tǒng)的運動微分方程為:寫成矩陣的形式為:由關(guān)系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為: 從而得兩質(zhì)量塊的振幅比為: 系統(tǒng)的固有振型為:2-9圖示均勻剛桿質(zhì)量為m,求系統(tǒng)的固有模態(tài)。 題2-9圖 題2-10圖解:取廣義坐標(biāo)系統(tǒng)的運動微分方程為:寫成矩陣的形式為:由關(guān)系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為: 從而得兩質(zhì)量塊的振幅比為: 系統(tǒng)的固有振型為:2-10建立圖示雙單擺的微振動微分方程,并求其固有頻率和固有振型。解:系統(tǒng)的動能為:勢能為:代入方程后整頓,得到矩陣形式的運動微分方程由關(guān)系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為: 從而得兩質(zhì)量塊的振幅比為: 系統(tǒng)的固有振型為:2-11一質(zhì)點在重力場中被約束在拋物面內(nèi)作純滾動,其中是重力方向。試求質(zhì)點在平衡位置附近的微振動固有頻率及固有振型。解:系統(tǒng)的動能為:勢能為:代入方程后整頓,得到矩陣形式的運動微分方程由關(guān)系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為: 從而得兩質(zhì)量塊的振幅比為: 系統(tǒng)的固有振型為:2-12考察題2-10中的雙單擺系統(tǒng),若,求其自由擺動。解:由題2-10有:固有振型矩陣系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為:系統(tǒng)的自由振動為其中那么2-13圖示剛桿質(zhì)量不計,求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。如果將桿向下平移,求忽然釋放后的自由振動。 題2-13圖 題2-14圖解:系統(tǒng)的運動微分方程為:寫成矩陣的形式為:由關(guān)系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為:系統(tǒng)的固有振型為:系統(tǒng)的初始條件為系統(tǒng)的自由振動為2-14圖示懸臂梁寬,厚,長,材料彈性模量。梁上安裝有兩個重塊和,梁的質(zhì)量可無視。求系統(tǒng)的固有頻率;當(dāng)簡諧力作用于時,不計阻尼,求反共振頻率。解:(1)在上分別作用單位力,可得到柔度系數(shù)柔度矩陣那么剛度矩陣系統(tǒng)的運動微分方程為:解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為: (2)系統(tǒng)的動剛度矩陣為對于原點頻響函數(shù),反共振頻率方程為反共振頻率2-15雙層建筑構(gòu)造的簡化模型如圖所示,其中,剪切剛度。求構(gòu)造的固有頻率和固有振型;若在上作用力產(chǎn)生單位位移,然后無初速度地釋放,求其自由響應(yīng);由于地震,基礎(chǔ)產(chǎn)生水平方向運動,求構(gòu)造的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 題2-15圖 題2-16圖解:(1)系統(tǒng)的運動微分方程為解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為系統(tǒng)的固有振型為(2)系統(tǒng)的初始條件為系統(tǒng)的自由振動為(3)系統(tǒng)的運動微分方程為:設(shè)穩(wěn)態(tài)解為代入系統(tǒng)微分方程有則可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解。2-16圖示系統(tǒng)中,作用在和上的激振力分別為和,且。求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解:系統(tǒng)的運動微分方程為設(shè)穩(wěn)態(tài)解為代入系統(tǒng)微分方程有其中2-17在題2-6系統(tǒng)的左側(cè)質(zhì)量上作用簡諧力,求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解:系統(tǒng)的運動微分方程為設(shè)穩(wěn)態(tài)解為代入系統(tǒng)微分方程有其中2-18 若要使圖示系統(tǒng)中左邊質(zhì)量塊的穩(wěn)態(tài)振幅取最小值,激振力的頻率應(yīng)為多少?并求出此時右邊質(zhì)量塊的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 題2-18圖解:系統(tǒng)的運動微分方程為設(shè)穩(wěn)態(tài)解為代入系統(tǒng)微分方程有其中要使左邊質(zhì)量塊的穩(wěn)態(tài)振幅取最小值,則有即激振力的頻率應(yīng)為此時右邊質(zhì)量塊的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為2-19求圖示系統(tǒng)在零初始條件下的脈沖響應(yīng)。題2-19圖解:系統(tǒng)的運動微分方程為:由關(guān)系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為: 從而得兩質(zhì)量塊的振幅比為: 系統(tǒng)的固有振型為采用主坐標(biāo)變換代入系統(tǒng)的運動方程為即系統(tǒng)初始條件化為由初始條件可解出零初始條件的脈沖響應(yīng)為,2-20求圖示擺的柔度系數(shù)。解:在上作用單位力,對點取矩,有在上作用單位力,對點取矩,有在上作用單位力,對點取矩,有2-21求圖示系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣,并求時系統(tǒng)的固有頻率。 題2-20圖 題2-21圖解:系統(tǒng)的動能為:勢能為:代入方程后整頓,得到矩陣形式的運動微分方程系統(tǒng)的剛度矩陣系統(tǒng)的柔度矩陣時系統(tǒng)的運動微分方程為解得系統(tǒng)的固有頻率,2-22建立圖示系統(tǒng)的運動微分方程,并求當(dāng)時的固有頻率和固有振型。 題2-22圖 題2-23圖解:系統(tǒng)的運動微分方程為:當(dāng)時系統(tǒng)的運動微分方程為:由關(guān)系式解得系統(tǒng)的固有頻率分別為:系統(tǒng)的固有振型為2-23圖示飛機可簡化成帶集中質(zhì)量的自由梁的,梁的抗彎剛度為EI,質(zhì)量不計,集中質(zhì)量的比值為=0.1。求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。解:系統(tǒng)的動能為:勢能為:代入方程后整頓,得到矩陣形式的運動微分方程系統(tǒng)的固有頻率為系統(tǒng)的固有振型為2-24圖示系統(tǒng)中各質(zhì)量只能沿方向運動,試分析其固有模態(tài)。題2-24圖 題2-25圖解:系統(tǒng)的運動微分方程為:由關(guān)系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為:由解出特性向量得系統(tǒng)的固有振型為2-25圖示平面剛架質(zhì)量不計,抗彎剛度為EI,自由端連一重塊,質(zhì)量為m。(1)求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型;(2)由于受到?jīng)_擊,重塊得到方向的初速度,求系統(tǒng)的自由響應(yīng);(3)A點處受剛架平面內(nèi)的力矩作用,求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解:(1)在集中質(zhì)量上沿分別施加靜力,鋼架的彎曲變形能為由卡氏定理,可得柔度系數(shù),即因此系統(tǒng)的自由振動微分方程為即解得系統(tǒng)的固有頻率為系統(tǒng)的固有振型為(2)系統(tǒng)的初始條件為系統(tǒng)的自由振動為將初始條件代入上面兩式可得故系統(tǒng)的自由振動為(3)受力矩作用,系統(tǒng)的受迫振動微分方程為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為2-26圖示系統(tǒng)左端基礎(chǔ)作簡諧振動,試求兩集中質(zhì)量的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)并討論其反共振現(xiàn)象。題2-26圖解:系統(tǒng)的運動微分方程為:寫成矩陣的形式為:系統(tǒng)的動剛度矩陣為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為系統(tǒng)產(chǎn)生反共振現(xiàn)象,則有2-27證明圖2.2.3中鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的各原點頻響函數(shù)有個反共振頻率,跨點頻響函數(shù)有個反共振頻率。解:系統(tǒng)的動剛度矩陣為系統(tǒng)各原點頻響函數(shù)是有關(guān)的次方,共有解,也即有個反共振頻率。系統(tǒng)各跨點頻響函數(shù)是有關(guān)的次方,共有解,也即有個反共振頻率。2-28若題2-26中系統(tǒng)初始時靜止,求左端基礎(chǔ)產(chǎn)生階躍位移后系統(tǒng)的響應(yīng)。解:系統(tǒng)的運動微分方程為:寫成矩陣的形式為:由關(guān)系式解得系統(tǒng)的兩個固有頻率分別為:由解出特性向量得系統(tǒng)的固有振型為采用主坐標(biāo)變換代入系統(tǒng)的運動方程為即
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