2024屆一輪復習命題方向精講系列：24 平面向量的基本定理及坐標表示（原卷附答案）

第第頁獲取更多資料，關注微信公眾號：Hi數學派考向24平面向量的基本定理及坐標表示1．應用平面向量基本定理的關鍵點（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量．（2）選定基底后，通過向量的加、減、數乘以及向量平行的充要條件，把相關向量用這一組基底表示出來．（3）強調幾何性質在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質，如平行、相似等．2．用平面向量基本定理解決問題的一般思路（1）先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結論表示成該基底的線性組合，再進行向量的運算．（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用線段中點的向量表達式．3．向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關系．4．兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的．向量共線（平行）的坐標表示1．利用兩向量共線的條件求向量坐標．一般地，在求與一個已知向量共線的向量時，可設所求向量為（），然后結合其他條件列出關于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．2．利用兩向量共線求參數．如果已知兩向量共線，求某些參數的取值時，則利用“若，，則的充要條件是”解題比較方便．3．三點共線問題．A，B，C三點共線等價于與共線．4．利用向量共線的坐標運算求三角函數值：利用向量共線的坐標運算轉化為三角方程，再利用三角恒等變換求解．1．平面向量基本定理和性質（1）共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實數，使．（口訣：數乘即得平行，平行必有數乘）．（2）平面向量基本定理如果和是同一個平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內的任一向量，都存在唯一的一對實數，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內所有向量的一組基底，記為，叫做向量關于基底的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據，也是向量的坐標表示的基礎．推論1：若，則．推論2：若，則．（3）線段定比分點的向量表達式如圖所示，在中，若點是邊上的點，且（），則向量．在向量線性表示（運算）有關的問題中，若能熟練利用此結論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．DDACB（4）三點共線定理平面內三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數，使，其中，為平面內一點．此定理在向量問題中經常用到，應熟練掌握．A、B、C三點共線存在唯一的實數，使得；存在唯一的實數，使得；存在唯一的實數，使得；存在，使得．（5）中線向量定理如圖所示，在中，若點D是邊BC的中點，則中線向量，反之亦正確．DDACB2．平面向量的坐標表示及坐標運算（1）平面向量的坐標表示．在平面直角坐標中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內的一個向量，有且只有一對實數使，我們把有序實數對叫做向量的坐標，記作．（2）向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應的，即有向量向量點．（3）設，，則，，即兩個向量的和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差．若，為實數，則，即實數與向量的積的坐標，等于用該實數乘原來向量的相應坐標．（4）設，，則=，即一個向量的坐標等于該向量的有向線段的終點的坐標減去始點坐標．3．平面向量的直角坐標運算①已知點，，則，②已知，，則，，，．，1．（2022·青?！ず|市第一中學模擬預測（理））已知在中，，，，則（

）A． B． C． D．12．（2022·上海靜安·二模）設，，且，均為非零向量，則“”是“”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要3．（2022·上海閔行·二模）已知是平面內不共線的三點，點滿足為實常數，現有下述兩個命題：（1）當時，滿足條件的點存在且是唯一的；（2）當時，滿足條件的點不存在．則說法正確的一項是（

）A．命題（1）和（2）均為真命題B．命題（1）為真命題，命題（2）為假命題C．命題（1）和（2）均為假命題D．命題（1）為假命題，命題（2）為真命題4．（2022·全國·高三專題練習）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·模擬預測）在平行四邊形中，設，，為的中點，與交于，則（

）A． B． C． D．6．（2022·河南·平頂山市第一高級中學模擬預測（文））如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，且，則（

）A． B． C． D．1．（2022·云南師大附中模擬預測（理））已知向量，，若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2022·江西·上饒市第一中學模擬預測（文））已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．3．（2022·山東煙臺·三模）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．14．（2022·全國·高三專題練習）△ABC的三內角A、B、C所對邊的長分別是a、b、c，設向量，若，則角C的大小為（

）A． B． C． D．5．（2022·四川·綿陽中學實驗學校模擬預測（文））已知為坐標原點，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．6．（2022·浙江省江山中學模擬預測）在中，E，F分別為的中點，點D是線段（不含端點）內的任意一點，，則（

）A． B． C． D．7．（2022·吉林長春·模擬預測（理））互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，但如果平面坐標系中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．如圖，在斜坐標系中，過點P作兩坐標軸的平行線，其在x軸和y軸上的截距a，b分別作為點P的x坐標和y坐標，記，則在x軸正方向和y軸正方向的夾角為的斜坐標系中，下列選項錯誤的是（

）A．當時與距離為B．點關于原點的對稱點為C．向量與平行的充要條件是D．點到直線的距離為8．（2022·河南鄭州·三模（理））在中，是上一點，，是線段上一點，，則（

）A． B． C． D．9．（多選題）（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學模擬預測）在中，為中點，且，則（

）A． B．C．∥ D．10．（多選題）（2022·湖南·長沙一中模擬預測）已知,,其中，則以下結論正確的是（

）A．若，則B．若，則或C．若，則D．若，則11．（多選題）（2022·江蘇·模擬預測）已知向量，，，，則（

）A．若，則B．若，則C．的最小值為D．若向量與向量的夾角為銳角，則的取值范圍是12．（多選題）（2022·全國·模擬預測）已知向量，，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為7 D．若，則與的夾角為鈍角13．（多選題）（2022·全國·模擬預測）在邊長為正六邊形中，是線段上一點，，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．若向量在向量上的投影向量是，則C．若為正六邊形內一點（包含端點），則的取值范圍是D．若，則的值為14．（2022·全國·模擬預測（文））在中，為的中點，為線段上一點（異于端點），，則的最小值為______．15．（2022·湖南·模擬預測）在三角形ABC中，點D在邊BC上，若，，則______．16．（2022·浙江·模擬預測）在平行四邊形中，，E、F是邊，上的點，，，若，則平行四邊形的面積為_________．17．（2022·江西·模擬預測（理））在中，，，，是的外接圓上的一點，若，則的最小值是________18．（2022·湖南岳陽·三模）設點P在以A為圓心，半徑為1的圓弧上運動(包含B，C兩個端點)，∠BAC＝，且，x＋y的取值范圍為________．19．（2022·上海徐匯·二模）在中，已知，，，若點是所在平面上一點，且滿足，，則實數的值為______________．20．（2022·江蘇·阜寧縣東溝中學模擬預測）已知，向量，，且，則θ＝______________．1．（2022·全國·高考真題（文））已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2020·全國·高考真題（文））已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（

）A． B． C． D．3．（2019·全國·高考真題（文））已知向量，則A． B．2C．5 D．504．（2021·全國·高考真題（理））已知向量．若，則________．5．（2021·全國·高考真題（文））已知向量，若，則_________．6．（2021·全國·高考真題（文））若向量滿足，則_________.7．（2021·全國·高考真題（理））已知向量，若，則__________．8．（2020·江蘇·高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數），則CD的長度是________．9．（2020·全國·高考真題（理））設為單位向量，且，則______________.10．（2020·全國·高考真題（文））設向量，若，則______________.11．（2020·全國·高考真題（理））已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________.12．（2019·北京·高考真題（文））已知向量=（－4，3），=（6，m），且，則m=__________.1．【答案】A【解析】解：因為，所以，因為，所以，又，所以，又，所以，得．故選：A2．【答案】A【解析】若，則，則，滿足充分性；反之，若，則，不能推出，比如，顯然滿足，但無意義，不滿足必要性；故“”是“”的充分非必要條件．故選：A．3．【答案】A【解析】當時，，所以，所以，因為不共線，由向量的基本定理得：滿足條件的點存在且是唯一，①正確；當時，，即，所以∥，因為，有公共點，所以三點共線，這與題干條件是平面內不共線的三點相矛盾，故滿足條件的點不存在，（2）為真命題．故選：A4．【答案】B【解析】因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．5．【答案】B【解析】如下圖所示，連接與交于，則為的中點，因為為的中點，所以為三角形的重心，所以．故選：B．6．【答案】C【解析】解：因為，所以，所以．故選：C．1．【答案】D【解析】因為，又與的夾角為鈍角，當與共線時，，所以且與的不共線，即且，所以，故選：D．2．【答案】C【解析】因為向量，，，所以，，所以.故選：C.3．【答案】A【解析】作BC的平行線與圓相交于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，設，則，∵BC//EF，∴設，則∴，∴∴故選：A.4．【答案】B【解析】因為，所以，所以，所以，所以.故選：B.5．【答案】C【解析】由得，即，，，，，與同向的單位向量為，反向的單位向量為．故選：C．6．【答案】C【解析】因為點D是線段（不含端點）內的任意一點，所以可設，因為E，F分別為的中點，所以，所以，又，所以，，，，所以A，B，D錯誤，C正確，故選：C.7．【答案】D【解析】設軸正方向的單位向量為，軸正方向的單位向量為，對于A選項：由已知得，所以.由及斜坐標的定義可知，，故A選項正確；對于B選項：根據“斜坐標系”的定義可知：點，則，設關于原點的對稱點為，則，由于不共線，所以，故B選項正確；對于C選項：，若是零向量，則成立，同時，所以成立，此時；若是非零向量，則存在非零常數，使，所以.故C選項正確；對于D選項：設直線上的動點為,，因為，所以，設，則點在直線上，所以直線過點，因為，則，，由于，所以.所以，所以，所以點A到直線的距離為，故D選項錯誤.故選：D8．【答案】D【解析】因為，則，所以，，，因為是線段上一點，設，其中，所以，，解得.故選：D.9．（多選題）【答案】BC【解析】因為，則三點共線，且，又因為為中線，所以點為的重心，連接并延長交于，則為的中點，所以，所以∥故選：BC．10．（多選題）【答案】BCD【解析】對于A，若，則，則，因為，所以，則或或，故A不正確；對于B，若，則，則，因為，所以，所以或，所以或，故B正確；對于C，，則，故C正確；對于D，若，則，則，則，即，所以，故D正確.故選：BCD.11．（多選題）【答案】ABC【解析】對于A，因為，，，所以，解得，所以A正確.對于B，由，得，則解得，故，所以B正確.對于C，因為，所以，則當時，取得最小值，為，所以C正確.對于D，因為，，向量與向量的夾角為銳角，所以，解得；當向量與向量共線時，，解得，所以的取值范圍是，所以D不正確.故選：ABC.12．（多選題）【答案】AC【解析】解：若，則，解得，故選項A正確；若，則，解得或，故選項B錯誤；由題得，故，當且僅當時取得最小值，故選項C正確；當時，，與的夾角不為鈍角，故選項D錯誤．故選：AC．13．（多選題）【答案】AC【解析】對于A，若，則為中點，，A正確；對于B，由正六邊形的性質知向量與的夾角為，則向量在上的投影向量為，，B錯誤；對于C，以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示平面直角坐標系，則，，設，，，，C正確；對于D，由題意知：，，，設，，，，解得：，，，，即，D錯誤.故選：AC.14．【答案】【解析】如圖，結合題意繪出圖象，因為，為邊的中點，所以，因為三點共線，所以，則，當且僅當，即、時取等號，故的最小值為，故答案為：.15．【答案】【解析】由已知，得，所以，因為，所以，，所以．故答案為：16．【答案】【解析】如圖，，，所以，即，解得或（舍去），所以平行四邊形的面積為.故答案為：．17．【答案】【解析】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，易得，設P的坐標為，所以，，，又，所以，所以，，所以，當且僅當時，等號成立．故答案為：18．【答