2024屆一輪復(fù)習(xí)命題方向精講系列：24 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（原卷附答案）

第第頁獲取更多資料，關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派考向24平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1．應(yīng)用平面向量基本定理的關(guān)鍵點（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量．（2）選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來．（3）強調(diào)幾何性質(zhì)在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等．2．用平面向量基本定理解決問題的一般思路（1）先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進行向量的運算．（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用線段中點的向量表達(dá)式．3．向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)系．4．兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的．向量共線（平行）的坐標(biāo)表示1．利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個已知向量共線的向量時，可設(shè)所求向量為（），然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．2．利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若，，則的充要條件是”解題比較方便．3．三點共線問題．A，B，C三點共線等價于與共線．4．利用向量共線的坐標(biāo)運算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒等變換求解．1．平面向量基本定理和性質(zhì)（1）共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．（2）平面向量基本定理如果和是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對實數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內(nèi)的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．推論1：若，則．推論2：若，則．（3）線段定比分點的向量表達(dá)式如圖所示，在中，若點是邊上的點，且（），則向量．在向量線性表示（運算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．DDACB（4）三點共線定理平面內(nèi)三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．A、B、C三點共線存在唯一的實數(shù)，使得；存在唯一的實數(shù)，使得；存在唯一的實數(shù)，使得；存在，使得．（5）中線向量定理如圖所示，在中，若點D是邊BC的中點，則中線向量，反之亦正確．DDACB2．平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運算（1）平面向量的坐標(biāo)表示．在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對叫做向量的坐標(biāo)，記作．（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點為起點的向量是一一對應(yīng)的，即有向量向量點．（3）設(shè)，，則，，即兩個向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．若，為實數(shù)，則，即實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．（4）設(shè)，，則=，即一個向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去始點坐標(biāo)．3．平面向量的直角坐標(biāo)運算①已知點，，則，②已知，，則，，，．，1．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知在中，，，，則（

）A． B． C． D．12．（2022·上海靜安·二模）設(shè)，，且，均為非零向量，則“”是“”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要3．（2022·上海閔行·二模）已知是平面內(nèi)不共線的三點，點滿足為實常數(shù)，現(xiàn)有下述兩個命題：（1）當(dāng)時，滿足條件的點存在且是唯一的；（2）當(dāng)時，滿足條件的點不存在．則說法正確的一項是（

）A．命題（1）和（2）均為真命題B．命題（1）為真命題，命題（2）為假命題C．命題（1）和（2）均為假命題D．命題（1）為假命題，命題（2）為真命題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，設(shè)，，為的中點，與交于，則（

）A． B． C． D．6．（2022·河南·平頂山市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，且，則（

）A． B． C． D．1．（2022·云南師大附中模擬預(yù)測（理））已知向量，，若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2022·江西·上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．3．（2022·山東煙臺·三模）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別是a、b、c，設(shè)向量，若，則角C的大小為（

）A． B． C． D．5．（2022·四川·綿陽中學(xué)實驗學(xué)校模擬預(yù)測（文））已知為坐標(biāo)原點，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．6．（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測）在中，E，F(xiàn)分別為的中點，點D是線段（不含端點）內(nèi)的任意一點，，則（

）A． B． C． D．7．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測（理））互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，但如果平面坐標(biāo)系中兩條坐標(biāo)軸不垂直，則這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．如圖，在斜坐標(biāo)系中，過點P作兩坐標(biāo)軸的平行線，其在x軸和y軸上的截距a，b分別作為點P的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)，記，則在x軸正方向和y軸正方向的夾角為的斜坐標(biāo)系中，下列選項錯誤的是（

）A．當(dāng)時與距離為B．點關(guān)于原點的對稱點為C．向量與平行的充要條件是D．點到直線的距離為8．（2022·河南鄭州·三模（理））在中，是上一點，，是線段上一點，，則（

）A． B． C． D．9．（多選題）（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）在中，為中點，且，則（

）A． B．C．∥ D．10．（多選題）（2022·湖南·長沙一中模擬預(yù)測）已知,,其中，則以下結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則或C．若，則D．若，則11．（多選題）（2022·江蘇·模擬預(yù)測）已知向量，，，，則（

）A．若，則B．若，則C．的最小值為D．若向量與向量的夾角為銳角，則的取值范圍是12．（多選題）（2022·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為7 D．若，則與的夾角為鈍角13．（多選題）（2022·全國·模擬預(yù)測）在邊長為正六邊形中，是線段上一點，，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．若向量在向量上的投影向量是，則C．若為正六邊形內(nèi)一點（包含端點），則的取值范圍是D．若，則的值為14．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））在中，為的中點，為線段上一點（異于端點），，則的最小值為______．15．（2022·湖南·模擬預(yù)測）在三角形ABC中，點D在邊BC上，若，，則______．16．（2022·浙江·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，，E、F是邊，上的點，，，若，則平行四邊形的面積為_________．17．（2022·江西·模擬預(yù)測（理））在中，，，，是的外接圓上的一點，若，則的最小值是________18．（2022·湖南岳陽·三模）設(shè)點P在以A為圓心，半徑為1的圓弧上運動(包含B，C兩個端點)，∠BAC＝，且，x＋y的取值范圍為________．19．（2022·上海徐匯·二模）在中，已知，，，若點是所在平面上一點，且滿足，，則實數(shù)的值為______________．20．（2022·江蘇·阜寧縣東溝中學(xué)模擬預(yù)測）已知，向量，，且，則θ＝______________．1．（2022·全國·高考真題（文））已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2020·全國·高考真題（文））已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（

）A． B． C． D．3．（2019·全國·高考真題（文））已知向量，則A． B．2C．5 D．504．（2021·全國·高考真題（理））已知向量．若，則________．5．（2021·全國·高考真題（文））已知向量，若，則_________．6．（2021·全國·高考真題（文））若向量滿足，則_________.7．（2021·全國·高考真題（理））已知向量，若，則__________．8．（2020·江蘇·高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是________．9．（2020·全國·高考真題（理））設(shè)為單位向量，且，則______________.10．（2020·全國·高考真題（文））設(shè)向量，若，則______________.11．（2020·全國·高考真題（理））已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________.12．（2019·北京·高考真題（文））已知向量=（－4，3），=（6，m），且，則m=__________.1．【答案】A【解析】解：因為，所以，因為，所以，又，所以，又，所以，得．故選：A2．【答案】A【解析】若，則，則，滿足充分性；反之，若，則，不能推出，比如，顯然滿足，但無意義，不滿足必要性；故“”是“”的充分非必要條件．故選：A．3．【答案】A【解析】當(dāng)時，，所以，所以，因為不共線，由向量的基本定理得：滿足條件的點存在且是唯一，①正確；當(dāng)時，，即，所以∥，因為，有公共點，所以三點共線，這與題干條件是平面內(nèi)不共線的三點相矛盾，故滿足條件的點不存在，（2）為真命題．故選：A4．【答案】B【解析】因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．5．【答案】B【解析】如下圖所示，連接與交于，則為的中點，因為為的中點，所以為三角形的重心，所以．故選：B．6．【答案】C【解析】解：因為，所以，所以．故選：C．1．【答案】D【解析】因為，又與的夾角為鈍角，當(dāng)與共線時，，所以且與的不共線，即且，所以，故選：D．2．【答案】C【解析】因為向量，，，所以，，所以.故選：C.3．【答案】A【解析】作BC的平行線與圓相交于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，設(shè)，則，∵BC//EF，∴設(shè)，則∴，∴∴故選：A.4．【答案】B【解析】因為，所以，所以，所以，所以.故選：B.5．【答案】C【解析】由得，即，，，，，與同向的單位向量為，反向的單位向量為．故選：C．6．【答案】C【解析】因為點D是線段（不含端點）內(nèi)的任意一點，所以可設(shè)，因為E，F(xiàn)分別為的中點，所以，所以，又，所以，，，，所以A，B，D錯誤，C正確，故選：C.7．【答案】D【解析】設(shè)軸正方向的單位向量為，軸正方向的單位向量為，對于A選項：由已知得，所以.由及斜坐標(biāo)的定義可知，，故A選項正確；對于B選項：根據(jù)“斜坐標(biāo)系”的定義可知：點，則，設(shè)關(guān)于原點的對稱點為，則，由于不共線，所以，故B選項正確；對于C選項：，若是零向量，則成立，同時，所以成立，此時；若是非零向量，則存在非零常數(shù)，使，所以.故C選項正確；對于D選項：設(shè)直線上的動點為,，因為，所以，設(shè)，則點在直線上，所以直線過點，因為，則，，由于，所以.所以，所以，所以點A到直線的距離為，故D選項錯誤.故選：D8．【答案】D【解析】因為，則，所以，，，因為是線段上一點，設(shè)，其中，所以，，解得.故選：D.9．（多選題）【答案】BC【解析】因為，則三點共線，且，又因為為中線，所以點為的重心，連接并延長交于，則為的中點，所以，所以∥故選：BC．10．（多選題）【答案】BCD【解析】對于A，若，則，則，因為，所以，則或或，故A不正確；對于B，若，則，則，因為，所以，所以或，所以或，故B正確；對于C，，則，故C正確；對于D，若，則，則，則，即，所以，故D正確.故選：BCD.11．（多選題）【答案】ABC【解析】對于A，因為，，，所以，解得，所以A正確.對于B，由，得，則解得，故，所以B正確.對于C，因為，所以，則當(dāng)時，取得最小值，為，所以C正確.對于D，因為，，向量與向量的夾角為銳角，所以，解得；當(dāng)向量與向量共線時，，解得，所以的取值范圍是，所以D不正確.故選：ABC.12．（多選題）【答案】AC【解析】解：若，則，解得，故選項A正確；若，則，解得或，故選項B錯誤；由題得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值，故選項C正確；當(dāng)時，，與的夾角不為鈍角，故選項D錯誤．故選：AC．13．（多選題）【答案】AC【解析】對于A，若，則為中點，，A正確；對于B，由正六邊形的性質(zhì)知向量與的夾角為，則向量在上的投影向量為，，B錯誤；對于C，以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，，，C正確；對于D，由題意知：，，，設(shè)，，，，解得：，，，，即，D錯誤.故選：AC.14．【答案】【解析】如圖，結(jié)合題意繪出圖象，因為，為邊的中點，所以，因為三點共線，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，故的最小值為，故答案為：.15．【答案】【解析】由已知，得，所以，因為，所以，，所以．故答案為：16．【答案】【解析】如圖，，，所以，即，解得或（舍去），所以平行四邊形的面積為.故答案為：．17．【答案】【解析】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，易得，設(shè)P的坐標(biāo)為，所以，，，又，所以，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故答案為：18．【答