2024屆一輪復(fù)習(xí)命題方向精講系列：27 數(shù)列求和經(jīng)典題型歸納（十二大經(jīng)典題型）（原卷附答案）

第第④二．幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．（3）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前項和即可用錯位相減法求解．（4）倒序相加法：如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法求解．常見的裂項技巧積累裂項模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項模型4：對數(shù)型積累裂項模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則積累裂項模型6：階乘（1）（2）常見放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．經(jīng)典題型一：通項分析法1．（2022·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））數(shù)列，，，，，，的前項和的值等于_____________2．（2022·湖南·模擬預(yù)測）已知單調(diào)遞減的正項數(shù)列，時滿足．為前n項和．(1)求的通項公式；(2)證明：.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求和．4．數(shù)列9，99，999，的前項和為A． B． C． D．經(jīng)典題型二：公式法5．已知等差數(shù)列中，，．（1）求的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．6．如圖，從點做軸的垂線交曲線于點，曲線在點處的切線與軸交于點，再從做軸的垂線交曲線于點，依次重復(fù)上述過程得到一系列點：，；，；，，記點的坐標為，，2，，．（Ⅰ）試求與的關(guān)系；（Ⅱ）求．經(jīng)典題型三：錯位相減法7．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列為等差數(shù)列，且.(1)求與的通項公式；(2)記，求的前項和為.8．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的前項和為，證明：.9．（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））在①；②；③，三個條件中任選一個，補充到下面問題的橫線處，并解答．已知數(shù)列的前項和為，且，______．(1)；(2)設(shè)求數(shù)列的前項和．注：如果選擇多個條件解答，按第一個解答計分．10．（2022·湖北·應(yīng)城市第一高級中學(xué)高三開學(xué)考試）在數(shù)列中，，其中.(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出證明過程；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求；經(jīng)典題型四：分組求和法11．（2022·河南省杞縣高中高三開學(xué)考試（文））已知數(shù)列滿足，設(shè).(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求.12．（2022·廣東·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項的和.13．（2022·甘肅·高臺縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試（文））已知公差不為0的等差數(shù)列滿足．若，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和14．（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））已知等比數(shù)列的公比大于1，，.(1)求的通項公式；(2)若，求的前項和.15．（2022·河南·高三開學(xué)考試（理））已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，等差數(shù)列的公差為，且，，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．經(jīng)典題型五：裂項相消法16．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：．(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式．(2)若，證明：．17．（2022·黑龍江·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的首項為1，滿足，且，，1成等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)證明：.18．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項和，令，求數(shù)列的前2022項和.19．（2022·云南·昆明一中高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)設(shè)的前項和為，求.20．（2022·安徽·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足且，且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.(1)求；(2)求數(shù)列的前項和.22．（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，是與的等比中項，且.若，則數(shù)列的前項和（

）A． B．C． D．經(jīng)典題型六：倒序相加法23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前n項和_________．24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項和______．25．（2022·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽為數(shù)學(xué)界的王子.在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成;因此，此方法也稱之為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，其中，記，則（

）A． B．C． D．經(jīng)典題型七：并項求和27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，前16項和為540，則__．28．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））在等差數(shù)列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，則數(shù)列{ancosnπ}的前2020項的和為（

）A．1009 B．1010 C．2019 D．202029．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為()，其前項和為，則_______.30．（2022·江蘇·高郵市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前2020項的和為（

）A．0 B．1010 C．2020 D．202431．（2022·河北唐山·一模）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項和為.（1）求的值；（2）求的最大值.經(jīng)典題型八：先放縮后裂項求和32．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，(1)求和(2)求證：．33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列前項和為滿足，.（1）求通項公式；（2）設(shè)，求證：.34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求證:.經(jīng)典題型九：分段數(shù)列求和35．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，令.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前14項和.36．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，(1)令，求，及的通項公式；(2)求數(shù)列的前2n項和.37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項和．38．（2022·重慶·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，且，正項等比數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.經(jīng)典題型十：含絕對值、取整、取小數(shù)等數(shù)列求和39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項數(shù)列滿足（）.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，記的前項和為，求.40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，且，正項等比數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.41．（2022·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知是數(shù)列的前n項和，(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前10項和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，．42．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，且，則的前100項和為（

）A．67 B．68 C．134 D．16743．（2022·上海中學(xué)高三期中）已知數(shù)列滿足且，則的最小值是___________．44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知表示不超過的最大整數(shù)，例如：，在數(shù)列中，，記為數(shù)列的前項和，則___________.45．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，則數(shù)列的前項和___________.經(jīng)典題型十一：數(shù)列插項求和46．（2022·廣東廣州·高三開學(xué)考試）已知集合，，將A與B中的所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列（若有相同元素，按重復(fù)方式計入排列）為1，3，3，5，7，9，9，11，….,設(shè)數(shù)列的前n項和為.(1)若，求m的值；(2)求的值.47．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，的通項公式分別為，，現(xiàn)從數(shù)列中剔除與的公共項后，將余下的項按照從小到大的順序進行排列，得到新的數(shù)列，則數(shù)列的前150項之和為（

）A．23804 B．23946 C．24100 D．2461248．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“提丟斯數(shù)列”，是由世紀德國數(shù)學(xué)家提丟斯給出，具體如下：，，，，，，，，，容易發(fā)現(xiàn)，從第項開始，每一項是前一項的倍；將每一項加上得到一個數(shù)列：，，，，，，，，；再將每一項除以后得到：“提丟斯數(shù)列”：，，，，，，，，則下列說法中，正確的是（

）A．“提丟斯數(shù)列”是等比數(shù)列 B．“提丟斯數(shù)列”的第項為C．“提丟斯數(shù)列”前項和為 D．“提丟斯數(shù)列”中，不超過的有項經(jīng)典題型十二：數(shù)列奇偶項求和49．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列是公差大于零的等差數(shù)列，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求.50．（2022·廣東佛山·三模）設(shè)各項非零的數(shù)列的前項和記為，記，且滿足．(1)求的值，證明數(shù)列為等差數(shù)列并求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．51．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，且.(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和.52．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前n項和.53．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項和，，則數(shù)列的前7項和為________.

1．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（

）A． B． C． D．2．（2020·江蘇·高考真題）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是_______．3．（2022·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．4．（2021·全國·高考真題（文））設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．5．（2020·天津·高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）記的前項和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項和．6．（2020·全國·高考真題（理））設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項和．7．（2020·全國·高考真題（理））設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．8．（2021·全國·高考真題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______.

經(jīng)典題型一：通項分析法1．【答案】【解析】依題意，易得該數(shù)列的通項公式為：，；故答案為：.2．【解析】（1）由，得，即，由是單調(diào)遞減的正項數(shù)列，得，則，即，故是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，則，即.（2）要證：，只需證：，即證：，即證：，即證：，即證：，即證：，而此不等式顯然成立，所以成立.3．【解析】∵，∴．4．【解析】解數(shù)列通項，．故選：．經(jīng)典題型二：公式法5．【解析】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得解得，，的通項公式為．（2）由得，是首項為，公比的等比數(shù)列．．6．【解析】解：（Ⅰ）設(shè)，，由得點處切線方程為由得．（Ⅱ），，得，經(jīng)典題型三：錯位相減法7．【解析】（1）時，，又，所以是首項是1，公比是的等比數(shù)列，所以；設(shè)的公差為，則由，得.（2）由（1）知，所以，所以.8．【解析】（1）當時，，故.當時，①，②，由①②，得，可得，所以數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，故.（2），則，所以，，上述兩個等式作差可得，所以，.9．【解析】（1）選①，由得，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，，所以．選②，由得，作差得，符合上式，所以．選③，由得作差得，即，即，即，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，，所以．（2），所以．設(shè)，，，，作差得，化簡得，所以．10．【解析】（1）因為，所以，，所以數(shù)列是以1為公差，1為首項的等差數(shù)列；（2）由（1）可得，所以，所以①，②，所以①-②得，所以經(jīng)典題型四：分組求和法11．【解析】（1）證明：當時，，則從而由，得，又，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以12．【解析】（1）當為奇數(shù)時，，所以所有奇數(shù)項構(gòu)成以為首項，公差為－1的等差數(shù)列，所以，當為偶數(shù)時，，所以所有偶數(shù)項構(gòu)成以為首項，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以；（2）.13．【解析】（1）假設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為成等比數(shù)列，所以，所以，即，因為，所以，所以的通項公式為；（2）因為，所以14．【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，解之得或（舍去），由得，，所以的通項公式為.（2）由（1）知，所以的前項和為15．【解析】（1）因為數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，，所以，解得，

所以綜上，．（2）由（1）得：

所以

．經(jīng)典題型五：裂項相消法16．【解析】（1）由，故數(shù)列是以2為首項，公差為2的等差數(shù)列，∴，∴，當時，滿足，故對．（2）證明：，故，故17．【解析】（1）由題意得，則，∴數(shù)列為等差數(shù)列．又，∴，即數(shù)列的公差為1，∴，即．（2）由已知得，∴．18．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，由題意可得：解得：∴數(shù)列的通項公式為；（2）由(1)，，設(shè)數(shù)列的前項和為，所以數(shù)列的前2022項和19．【解析】（1），，兩式作差得:，，成等差數(shù)列，又當時，，所以即（2）由（1）知，則，即，故

.20．【解析】（1）因為，所以，兩式相減得，當時，，又，所以，所以，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以；（2）證明：，所以，由，得，所以，綜上，.21．【解析】（1）當時，，∵，∴.當時，由，得，兩式相減得即∴數(shù)列，均為公比為4的等比數(shù)列∴，∴（2）∵∴數(shù)列的前項和22．【答案】A【解析】因為數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，所以數(shù)列的公差.由題意得即解得或（舍去）.所以.所以.所以故選：A.經(jīng)典題型六：倒序相加法23．【答案】【解析】由得，，由，得，故，故，所以，則，兩式相減得：故，故答案為：24．【答案】【解析】由題設(shè)，，所以，即且n≥2，當時，，當時，，所以，故答案為：.25．【答案】B【解析】因為，且，令,又，兩式相加得：，解得，故選：B26．【答案】A【解析】，∴，，∴，故選：A．經(jīng)典題型七：并項求和27．【答案】-2【解析】因為數(shù)列滿足，當為奇數(shù)時，，所以，，，，則，當為偶數(shù)時，，所以，，，，，，，故，，，，，，，因為前16項和為540，所以，所以，解得．故答案為：．28．【答案】D【解析】設(shè)的公差為d，則有，解得，∴，設(shè)，則，，…，∴數(shù)列的前2020項的和．故選：D29．【答案】【解析】，∴.故答案為：30．【答案】C【解析】由，，令，可得，，兩式相加可得，，，兩式相加，進行推論歸納可得，，所以數(shù)列的前2020項的和為．故選：C.31．【解析】（1）由可得當時，

（?。┧裕?，…，，因此.（2）當時，

（ⅱ），（?。┦綔p去（ⅱ）式得，又，于是，可得；當時，；又，則時，；又，時，；因此時，取得最大值，且.經(jīng)典題型八：先放縮后裂項求和32．【解析】（1）時，，時，，所以，所以數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列．所以，即，當時，，當時，，不滿足上式，所以，（2）當時，，原式成立．當時，所以．33．【解析】（1）由，得，兩式相減，得.由，，得，所以，，即數(shù)列是以2為首項，公比為3的等比數(shù)列，從而有.（2）證明：由（1）知，從而，所以，當時，，從而有；當時，不等式顯然成立.綜上有成立.34．【解析】，經(jīng)典題型九：分段數(shù)列求和35．【解析】(1)當時，，又，得，由①得②，①②兩式相除可得，則，且，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故.(2)當n為奇數(shù)時，；當n為偶數(shù)時，，.所以數(shù)列的前14項和為.36．【解析】(1)由題意得，，，，，，，，當時，，又，所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.(2)由（1）知，所以，所以.37．【解析】解：（1）當時，當n為奇數(shù)，且時，，顯然滿足；當n為偶數(shù)時，所以（2）．38．【解析】(1)當時，，由，得，即，當時，，當時，，所以；設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，則，所以，解得或(舍)，所以.(2)，所以當時,，當時，，即經(jīng)典題型十：含絕對值、取整、取小數(shù)等數(shù)列求和39．【解析】(1)，或，為正項數(shù)列，；(2)，是周期為12的周期數(shù)列，，，，，，，，，，，，.40．【解析】(1)當時，，由，得，即，當時，，當時，，所以；設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，則，所以，解得或(舍)，所以.(2)，所以當時,，當時，，即41．【解析】（1）∵；∵，∴兩式相減可得，又，∴.（2）由（1）知：，所以當時，，此時；當時，，此時；當時，，此時；當時，，此時，所以數(shù)列的前10項和為．42．【答案】B【解析】因為，所以，因為，所以數(shù)列的項依次為2，1，1，0，1，1，0，…，所以從第2項起，3項一個循環(huán)，所以的前100項的和為，故選：B．43．【答案】【解析】由得：，，，…，，，，累加得，，，，當為奇數(shù)時，為奇數(shù)；為偶數(shù)時，為偶數(shù)；則為偶數(shù)，當時，取得最小值．當數(shù)列滿足，（且為偶數(shù)），（且為奇數(shù)）時，符合條件.故答案為：44．【答案】4956【解析】當時，，當時，，當時，，當時，，.故答案為：45．【答案】【解析】設(shè)數(shù)列的前項和為，當，，解得：，當時，，當，當時，，當時，，所以.故答案為：經(jīng)典題型十一：數(shù)列插項求和46．【解析】（1）因為，所以數(shù)列中前項中含有A中的元素為1，3，5，7，9，…，27，共有14項，數(shù)列中前項中含有B中的元素為3，9，27，共有3項，排列后為1，3,3,，5，7，9，9，…，27，27，29，…，所以或17.（2）因為，，，所以數(shù)列中前50項中含有B中的元素為3，9，27，81共有4項，它們都是正奇數(shù)，均屬于A，所以數(shù)列中前50項中含有A中的元素為1，3，5，7，9，…，27，29，…，79，81，83，…，，共有46項，所以.47．【答案】D【解析】因為，，，故數(shù)列的前項中包含的前項，故數(shù)列的前150項包含的前項排除與公共的8項.記數(shù)列，的前項和分別為，，故選：D.48．【答案】C【解析】記“提丟斯數(shù)列”為數(shù)列，則當時，，解得當時，，符合該式；當時，，A選項：“提丟斯數(shù)列”不是等比數(shù)列，A故錯誤；B選項：“提丟斯數(shù)列”的第項為，故B錯誤；C選項：“提丟斯數(shù)列”前項和為：，故C正確；D選項：由，得，成立；時，，即，解得，“提丟斯數(shù)列”中，不超過的有項，故D錯誤．故選：C經(jīng)典題型十二：數(shù)列奇偶項求和49．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，又，解得或，，，.（2）當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，故是以2為周期的周期數(shù)列，且，.50．【解析】(1)由題意可知，，且，解得：或（舍去）又當時，，所以有化簡得：，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列所以(2)由(1)可知當時，當時，則，①當是奇數(shù)時，②當是偶數(shù)時，綜上所述：51．【解析】（1）因為，所以，又，所以，所以是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.故，即.（2）由（1）得，則，①當時，②當時，，綜上所述，52．【解析】（1）證明：因為，，所以，所以數(shù)列是首項為4，公比為4的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，即，則.當n為偶數(shù)時，，則，當n為奇數(shù)時，則，綜上所述，.53．【答案】【解析】∵，∴時，，即，，由已知，當時，(*)，(*)式中為偶數(shù)時，，，此時為奇數(shù)，∴為奇數(shù)時即時，；(*)式中為奇數(shù)時，，，即，此時為偶數(shù)，∴為偶數(shù)即時，，∴，由，得為奇數(shù)時，，為偶數(shù)時，，∴數(shù)列的前7項和為．故答案為：．1．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，．由，即根據(jù)累加法可得，，當且僅當時取等號，，由累乘法可得，當且僅當時取等號，由裂項求和法得：所以，即．故選：A．2．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項和公式為，等比數(shù)列的前項和公式為，依題意，即，通過對比系數(shù)可知，故.故答案為：3．【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；（2）∴4．【解析】（1）因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和，，．設(shè)，

⑧則．

⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：構(gòu)造裂項法由（Ⅰ）知，令，且，即，通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得，所以．則，下同方法二．[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法設(shè)，由于，則．又，所以，下同方法二．【整體點評】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進而證得結(jié)論；方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點，分別利用公式法和錯位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達式，這是錯位相減法的一種替代方法，方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.5．【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項公式為.(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(Ⅲ)當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，對任意的正整數(shù)n，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：.因此，.所以，數(shù)列的前2n項和為.6．【解析】（1）設(shè)的公比為，為的