2024屆一輪復(fù)習(xí)命題方向精講系列：32 立體幾何壓軸小題（八大經(jīng)典題型）（原卷附答案）

第第頁獲取更多資料，關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派考向32立體幾何壓軸小題經(jīng)典題型一：球與截面面積問題經(jīng)典題型二：體積、面積、周長、角度、距離定值問題經(jīng)典題型三：體積、面積、周長、距離最值與范圍問題經(jīng)典題型四：立體幾何中的交線問題經(jīng)典題型五：空間線段以及線段之和最值問題經(jīng)典題型六：空間角問題經(jīng)典題型七：立體幾何裝液體問題經(jīng)典題型八：立體幾何中的軌跡問題解決立體幾何壓軸小題常用方法是幾何法和坐標(biāo)法.經(jīng)典題型一：球與截面面積問題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知球O的體積為，高為1的圓錐內(nèi)接于球O，經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，若，則（

）A．2 B． C． D．2．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知同底面的兩個(gè)正三棱錐和均內(nèi)接于球O，且正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，則下列說法正確的是（

）.A．平面QBCB．設(shè)三棱錐和的體積分別為和，則C．平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍D．二面角的正切值為3．（2022·廣東汕頭·三模）如圖，DE是邊長為的正三角形ABC的一條中位線，將△ADE沿DE翻折至，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，四棱錐外接球O的表面積為__________；過EC的中點(diǎn)M作球O的截面，則所得截面圓面積的最小值是__________．4．（2022·湖南·長沙市明德中學(xué)二模）如圖，在三棱錐中，，，分別為棱的中點(diǎn)，為三棱錐外接球的球心，則球的體積為________；平面截球所得截面的周長為________．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)高中的解析幾何知識(shí)，我們知道平面與圓錐面相交時(shí)，根據(jù)相交的角度不同，可以是三角形、圓、橢圓、拋物線、雙曲線．如圖，AB是圓錐底面圓O的直徑，圓錐的母線，，E是其母線PB的中點(diǎn)．若平面過點(diǎn)E，且PB⊥平面，則平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，此時(shí)拋物線的焦點(diǎn)F到底面圓心O的距離為______；截面把圓錐分割成兩部分，在兩部分內(nèi)部，分別在截面的上方作一個(gè)半徑最大的球M，在截面下方作一個(gè)半徑最大的球N，則球M與球N的半徑的比值為______．故答案為：；.經(jīng)典題型二：體積、面積、周長、角度、距離定值問題6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，在翻折到的過程中，下列說法正確的是_________．（將正確說法的序號(hào)都寫上）

①點(diǎn)的軌跡為圓??；②存在某一翻折位置，使得；③棱的中點(diǎn)為，則的長為定值；7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）正方體棱長為3，對(duì)角線上一點(diǎn)P（異于A，兩點(diǎn)）作正方體的截面，且滿足，有下列命題：①截面多邊形只可能是三角形或六邊形；②截面多邊形只可能是正多邊形；③截面多邊形的周長L為定值；④設(shè)，截面多邊形的面積為S，則函數(shù)是常數(shù)函數(shù)．其中所有正確命題的序號(hào)是______．8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，，，分別為，的中點(diǎn)，，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積（

）A．存在最大值，最大值為 B．存在最小值，最小值為C．為定值 D．不確定，與，的位置有關(guān)9．（多選題）（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體中，點(diǎn)P滿足，，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，的最小值為D．當(dāng)時(shí)，存在唯一的點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到的距離等于到的距離10．（多選題）（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)一模）已知正四面體ABCD的棱長為，其外接球的球心為O．點(diǎn)E滿足，，過點(diǎn)E作平面平行于AC和BD，平面分別與該正四面體的棱BC，CD，AD相交于點(diǎn)M，G，H，則（

）A．四邊形EMGH的周長為定值B．當(dāng)時(shí)，平面截球O所得截面的周長為C．四棱錐的體積的最大值為D．當(dāng)時(shí)，將正四面體ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)90°后與原四面體的公共部分體積為11．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐S-ABC的底面是邊長為a的正三角形，SA平面ABC，P為平面ABC內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界）.若SA=，SP與側(cè)面SAB，側(cè)面SAC，側(cè)面SBC所成的角分別為，點(diǎn)P到AB，AC，BC的距離分別為，那么（

）A．為定值 B．為定值C．若成等差數(shù)列，則為定值 D．若成等比數(shù)列，則為定值經(jīng)典題型三：體積、面積、周長、距離最值與范圍問題12．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知球的半徑為，球面上有不共面的四個(gè)點(diǎn)，，，，且，則四面體體積的最大值為______．13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長為的正方體中，若繞旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，三棱錐的體積的取值范圍為______．14．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知菱形中，，，E為邊的中點(diǎn)，將△沿翻折成△（點(diǎn)位于平面上方），連接和，F(xiàn)為的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法正確的是（

）A．平面平面B．與的夾角為定值C．三棱錐體積最大值為D．點(diǎn)F的軌跡的長度為15．（多選題）（2022·河北·模擬預(yù)測）如圖，在正三棱柱中，，D為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．三棱錐的外接球的最大半徑為B．存在點(diǎn)D，使得平面平面C．A到平面的最大距離為D．面積的最大值為16．（多選題）（2022·福建·高三階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，過的截面與棱、分別交于點(diǎn)、，則下列說法中正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得B．線段長度的取值范圍是C．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四棱錐的體積為D．設(shè)截面、、的面積分別為、、，則的最小值為17．（2022·湖南師大附中高三階段練習(xí)）在中，，點(diǎn)分別在邊上移動(dòng)，且，沿將折起來得到棱錐，則該棱錐的體積的最大值是（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型四：立體幾何中的交線問題18．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體棱長為1，P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．的最小值為B．的最小值為C．當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積不變D．以點(diǎn)B為球心，為半徑的球面與面的交線長為19．（2022·江蘇南京·高三開學(xué)考試）已知一個(gè)正四面體的棱長為2，則其外接球與以其一個(gè)頂點(diǎn)為球心，1為半徑的球面所形成的交線的長度為___________.20．（2022·河南平頂山·模擬預(yù)測（理））如圖，在四面體中，，，兩兩垂直，，以為球心，為半徑作球，則該球的球面與四面體各面交線的長度和為___．21．（2022·山東威?！じ呷谀┰谌忮F中，平面ABC，，．以A為球心，表面積為的球面與側(cè)面PBC的交線長為______．22．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））如圖，在平面四邊形中，為的中點(diǎn)，將沿折起，使得，以為球心，為半徑的球與三棱錐各面交線的長度和為___________.23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正三棱錐中，側(cè)棱，且側(cè)棱兩兩互相垂直，以為球心，為半徑的球面與正三棱錐的表面相交，則交線的長度之和為___________.經(jīng)典題型五：空間線段以及線段之和最值問題24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長均為的正四面體中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，是平面上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______.25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，，是斜邊上一點(diǎn)，以為棱折成二面角，其大小為60°，則折后線段的最小值為___________.26．（2022·河南許昌·一模（理））已知，如圖，正三棱錐中，側(cè)棱長為．底面邊長為，為中點(diǎn)．為中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，是平面上的動(dòng)點(diǎn)，則最小值是_______________________．27．（2022·安徽·高三開學(xué)考試）在側(cè)棱長為，底面邊長為2的正三棱錐P-ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，M，N分別為PE和平面PAF上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________．28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長為1，，分別是棱，的中點(diǎn)，過直線的平面分別與棱，交于點(diǎn)，，設(shè)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①四邊形一定為菱形；②若四邊形的面積為，，則有最大值；③若四棱錐的體積為，，則為單調(diào)函數(shù)；④設(shè)與交于點(diǎn)，連接，在線段上取點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，則的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體的棱長為，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)?在四邊形內(nèi)（包括邊界），點(diǎn)到平面的距離等于它到點(diǎn)的距離，直線平面，則的最小值為___________.30．（多選題）（2022·全國·模擬預(yù)測）已知正三棱錐的底面的面積為，體積為，球，分別是三棱錐的外接球與內(nèi)切球，則下列說法正確的是（

）A．球的表面積為B．二面角的大小為C．若點(diǎn)在棱上，則的最小值為D．在三棱錐中放入一個(gè)球，使其與平面、平面、平面以及球均相切，則球的半徑為31．（2022·貴州貴陽·高三開學(xué)考試（理））在長方體中，，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)在正方形內(nèi)．若直線與所成的角等于直線與所成的角，則的最小值是（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型六：空間角問題32．（2022·全國·高三專題練習(xí)），為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與，都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；②當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；③直線與所成角的最小值為；④直線與所成角的最大值為；其中，正確的是_______.（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）A． B．C． D．33．（2022·浙江省長興中學(xué)高二階段練習(xí)）在四面體中，，，，點(diǎn)P是棱上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為棱的中點(diǎn)，記直線與直線所成的夾角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則有（）A． B． C． D．34．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）正方體中，P是線段(不含端點(diǎn))上的點(diǎn)，記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．35．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在三棱柱中，是棱上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．36．（2022·全國·高二單元測試）正四面體中，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），記異面直線與所成角為，直線與平面所成角為，則（

）A． B． C． D．37．（2022·河南·溫縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））正三棱錐中，，M為棱PA上的動(dòng)點(diǎn)，令為BM與AC所成的角，為BM與底面ABC所成的角，為二面角所成的角，則（

）A． B．C． D．38．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正四棱錐，是線段上的點(diǎn)且，設(shè)與所成的角為，二面角的平面角為，與平面所成的角為，則（

）A． B． C． D．39．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)、、G、分別是正方體中棱、、、的中點(diǎn)，記二面角的平面角為，直線與平面所成角為，直線與直線所成角為，則（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型七：立體幾何裝液體問題40．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））一個(gè)密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長為2，如果任意轉(zhuǎn)動(dòng)該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍為__________．41．（2022·上?！?fù)旦附中高二期中）向體積為的正方體密閉容器內(nèi)注入體積為的液體，旋轉(zhuǎn)容器，若液面恰好經(jīng)過正方體的某條對(duì)角線，則液面邊界周長的最小值為_______________．42．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）向體積為1的正方體密閉容器內(nèi)注入體積為的液體，旋轉(zhuǎn)容器，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，容器被液面分割而成的兩個(gè)幾何體完全相同B．，液面都可以成正三角形形狀C．當(dāng)液面與正方體的某條體對(duì)角線垂直時(shí)，液面面積的最大值為D．當(dāng)液面恰好經(jīng)過正方體的某條體對(duì)角線時(shí)，液面邊界周長的最小值為43．（多選題）（2022·福建·漳州三中高二期末）透明塑料制成的正方體密閉容器的體積為64，注入體積為的液體．如圖，將容器下底面的頂點(diǎn)置于地面上，再將容器傾斜．隨著傾斜度的不同，則下列說法正確的是（

）A．液面始終與地面平行B．時(shí)，液面始終呈平行四邊形C．當(dāng)時(shí)，有液體的部分可呈正三棱錐D．當(dāng)液面與正方體的對(duì)角線垂直時(shí)，液面面積最大值為44．（多選題）（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）向體積為1的正方體密閉容器內(nèi)注入體積為x（）的液體，旋轉(zhuǎn)容器，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，容器被液面分割而成的兩個(gè)幾何體完全相同B．不管注入多少液體，液面都可以成正三角形形狀C．液面可以是正六邊形，其面積為D．當(dāng)液面恰好經(jīng)過正方體的某條體對(duì)角線時(shí)，液面邊界周長的最小值為45．（2022·四川·成都七中高一期末）一個(gè)長方體的盒子內(nèi)裝有部分液體（液體未裝滿盒子），以不同的方向角度傾斜時(shí)液體表面會(huì)呈現(xiàn)出不同的變化，則下列說法中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）①當(dāng)液面是三角形時(shí)，其形狀可能是鈍角三角形②在一定條件下，液面的形狀可能是正五邊形③當(dāng)液面形狀是三角形時(shí)，液體體積與長方體體積之比的范圍是④當(dāng)液面形狀是六邊形時(shí)，液體體積與長方體體積之比的范圍是A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)經(jīng)典題型八：立體幾何中的軌跡問題46．（多選題）（2022·廣東·高三階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為正方形上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．滿足MP//平面的點(diǎn)P的軌跡長度為B．滿足的點(diǎn)P的軌跡長度為C．不存在點(diǎn)P，使得平面AMP經(jīng)過點(diǎn)BD．存在點(diǎn)P滿足47．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）在四邊形中(如圖1)，，將四邊形沿對(duì)角線折成四面體（如圖2所示），使得，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)，連接為平面內(nèi)一點(diǎn)，則（

）A．三棱錐的體積為B．直線與所成的角的余弦值為C．四面體的外接球的表面積為D．若，則Q點(diǎn)的軌跡長度為48．（2022·山西·高三階段練習(xí)）水平放置的等邊三角形邊長為，動(dòng)點(diǎn)位于該平面上方，三棱錐的體積為，且三棱錐的外接球球心到底面的距離為2，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡周長為（

）A． B． C． D．49．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為底面ABCD上一動(dòng)點(diǎn)，且EF與底面ABCD所成的角為．若該正方體外接球的表面積為，則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡長度為（

）．A． B． C． D．50．（2022·浙江溫州·高三開學(xué)考試）如圖，正方體，P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二面角的大小為，直線與平面所成角的大小為.若，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．圓 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線51．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，為長方體，且AB=BC=2，=4，點(diǎn)P為平面上一動(dòng)點(diǎn)，若，則P點(diǎn)的軌跡為（

）A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線 D．圓52．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足．平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分1．（2022·全國·高考真題（文））已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（

）A． B． C． D．2．（2018·全國·高考真題（理））設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B． C． D．3．（2015·浙江·高考真題（理））如圖，已知，是的中點(diǎn)，沿直線將折成，所成二面角的平面角為，則A． B． C． D．4．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高考真題（理））甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．6．（2019·全國·高考真題（理））已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為A． B． C． D．7．（多選題）（2022·全國·高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．8．（2020·全國·高考真題（理））設(shè)有下列四個(gè)命題：p1：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).p2：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號(hào)是__________.①②③④9．（2017·全國·高考真題（理））a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角；②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最大值為60°.其中正確的是________.（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）10．（2017·全國·高考真題（理））如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為______．11．（2020·海南·高考真題）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．12．（2020·全國·高考真題（理））如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.

經(jīng)典題型一：球與截面面積問題1．【答案】C【解析】球O半徑為R，由得，平面截球O所得截面小圓半徑，由得，因此，球心O到平面的距離，而球心O在圓錐的軸上，則圓錐的軸與平面所成的角為，因圓錐的高為1，則球心O到圓錐底面圓的距離為，于是得圓錐底面圓半徑，令平面截圓錐所得截面為等腰，線段AB為圓錐底面圓的弦，點(diǎn)C為弦AB中點(diǎn)，如圖，依題意，，，，弦，所以.故選：C2．【答案】BCD【解析】∵同底面的兩個(gè)正三棱錐和均內(nèi)接于球O，∴PQ為球O的直徑，取AB的中點(diǎn)M，連接PM、QM，則PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB，∴∠PMC為側(cè)面PAB與底面ABC所成二面角的平面角，∠QMC為側(cè)面QAB與底面ABC所成二面角的平面角，又正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，設(shè)底面的中心為N，P到底面的距離為h，球的半徑為R，則PN=h，OP=R，ON=R－h(huán)，MN=h，CN=2h，∴，∴，QN=4h，PN=h，∴P、C、Q、M四點(diǎn)共面，又CN=2MN，QN=4h，PN=h，∴PA與QM不平行，故PA與平面QBC不平行，故A錯(cuò)誤；由QN=4PN，可得，故B正確；∵平面ABC截球O所得的截面面積為，球O表面積為，∴平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍，故C正確；∵，∴，，∴，即二面角的正切值為，故D正確.故選：BCD.3．【答案】

【解析】第一空：設(shè)到平面的距離為，易得，為定值，要使三棱錐的體積最大，即最大，顯然當(dāng)平面平面時(shí)，最大，取中點(diǎn)，連接交于，則為中點(diǎn)，連接，易得，又平面平面，則平面，即最大為，易得，則為四邊形的外心，設(shè)的外心為，過作直線平面，易得，則共面，過作直線垂直于平面交直線于，易得即為外接球球心，連接，即為外接球半徑，易得四邊形為矩形，則，，則，故外接球O的表面積為；第二空：要使截面圓面積最小，顯然當(dāng)垂直于截面圓時(shí)，截面圓半徑最小，面積最小，又都在球面上，M為EC中點(diǎn)，顯然為截面圓的直徑，又，則截面圓的面積最小為.故答案為：；.4．【答案】

【解析】因?yàn)?，將三棱錐補(bǔ)成正方體如圖1，所以三棱錐的外接球就是正方體的外接球，球心是的中點(diǎn).設(shè)外接球的半徑為，則，即，所以.

方法一：設(shè)，因?yàn)槠矫?，，所以平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，過作，垂足為，如圖2，則平面，且是截面的圓心.設(shè)，如圖3，在矩形中，所以，過作，垂足為，則，在中，，，，則，所以，設(shè)截面圓的半徑為，則，故截面的周長為.方法二：以分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，所以平面的一個(gè)法向量.設(shè)直線與平面所成的角為，球心到平面的距離為所以，且.設(shè)截面的半徑，則，所以截面的周長為.5．【答案】

【解析】如圖示：因?yàn)閳A錐的母線，，所以，所以PB⊥PA.連結(jié)OE.因?yàn)镻B⊥平面，所以PB⊥OE.所以.在中，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)E為中位線，所以.設(shè)平面交底面圓于CD,則.以E為原點(diǎn)，EO為x軸建立坐標(biāo)系如圖示，則.可設(shè)拋物線，把帶入拋物線方程可得：，所以拋物線為：，焦點(diǎn),所以,即拋物線的焦點(diǎn)F到底面圓心O的距離為.作出直截面如圖所示，則球M的半徑即為圓M的半徑，球N的半徑即為圓N的半徑.因?yàn)榍騇為截面的上方的最大的球，所以圓M與PA相切，切點(diǎn)為Q,則.又，所以.同理：.所以Q、M、R三點(diǎn)共線，為直徑.由四邊形PQRE為矩形，可得：,所以球M的半徑.在等腰三角形OBE中，,.圓N為三角形OBE的內(nèi)切圓.設(shè)圓N的半徑為，由等面積法可得：，即，解得：.所以球M與球N的半徑的比值為.故答案為：；.經(jīng)典題型二：體積、面積、周長、角度、距離定值問題6．【答案】①③【解析】設(shè)正方形邊長為a,①在正方形中，過點(diǎn)D作于H，則在翻折到的過程中，，均不變，則點(diǎn)的軌跡為以H為圓心，以為半徑的圓弧.判斷正確；②假設(shè)存在某一翻折位置，使得.在△PAM內(nèi)，過點(diǎn)P作于N，連接BN，由，，，可得平面PBN又平面PBN，則，則又在正方形中，.二者互相矛盾，故假設(shè)不成立，即不存在某一翻折位置，使得.判斷錯(cuò)誤；③棱的中點(diǎn)為.取PA中點(diǎn)K，連接EK，CE，MK，則則有，，則，則四邊形為平行四邊形，則，又，則，即的長為定值.判斷正確.故答案為：①③7．【答案】①【解析】連接，由在上的射影分別為，又，即，，所以面，同理面，即截面可能為面、面，此時(shí)截面為正三角形；而當(dāng)在與面、面的交點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)正方體的性質(zhì)知：截面為六邊形，但不一定是正六邊形，即截面交相關(guān)棱于中點(diǎn)時(shí)才是正六邊形(如上圖示)，而當(dāng)在與面交點(diǎn)左下方、面交點(diǎn)右上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，截面為正三角形，所以①正確，②錯(cuò)誤；顯然在與面交點(diǎn)左下方，截面周長小于截面的周長，故③錯(cuò)誤；由題設(shè)，當(dāng)時(shí)截面為正三角形且邊長為，所以，故不是常數(shù)函數(shù)，④錯(cuò)誤.故答案為：①.8．【答案】C【解析】如下圖，連接，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，可得，，所以當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到平面的距離為定值，當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到的距離為定值，所以為定值，則三棱錐的體積為定值.平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，.故選：C.9．【答案】ABD【解析】當(dāng)時(shí)，的軌跡為線段，連接，則，又平面，，∴平面，，同理可得，故平面，平面，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為線段（為的中點(diǎn)），直線平面，故三棱錐的體積為定值，故B正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)軌跡為線段，將三角形旋轉(zhuǎn)至平面內(nèi)，可知，由余弦定理可得，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)軌跡為以為為圓心，1為半徑的四分之一圓弧，由點(diǎn)P到的距離等于到的距離，即點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于到的距離，則點(diǎn)軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線上，故存在唯一的點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到的距離等于到的距離，故D正確.故選：ABD．10．【答案】ACD【解析】如圖1，由平面，平面，平面平面，得，同理，所以，同理，所以是平行四邊形，，則，，正四面體ABCD的棱長為，則，，所以的周長為，為定值，A正確；圖1如圖2，把正四面體放置在一個(gè)正方體中，正四面體的棱是正方體的面對(duì)角線，如圖，正方體的外接球就是正四面體的外接球，由正四面體棱長為得正方體的棱長為2，正方體的對(duì)角線是外接球的直徑，所以外接球半徑為，由于平面與平行，因此易得平面與正方體的上下底面平行，時(shí)，，平面到正方體上底面的距離為正方體棱長的，而外接球球心到正方體上底面的距離為正方體棱長的，所以到平面的距離為，平面截球O所得截面圓半徑為，截面圓周長為，B錯(cuò)；圖2如圖3，取中點(diǎn)，連接，則，又，平面，所以平面，而平面，所以，所以，所以，由圖2知點(diǎn)到平面的距離為，所以，設(shè)（），則，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，時(shí)，取得最大值，所以的最大值為，C正確；圖3如圖4，還是如圖2一樣把正四面體放置在一個(gè)正方體中，時(shí)，是正方體前后兩個(gè)面的中心（對(duì)角線交點(diǎn)），由正方體性質(zhì)，正四面體繞旋轉(zhuǎn)90°后得下四面體，是正方體的另外四個(gè)頂點(diǎn)，這兩個(gè)正四面體的公共部分正好是一個(gè)正八面體，正八面體的六個(gè)頂點(diǎn)是正方體六個(gè)面的中心，，正八面體的體積為，D正確．圖4故選：ACD．11．【答案】BCD【解析】如圖，作，由題意，根據(jù)等面積法可得，即，得，所以為定值，B正確；因?yàn)镾A平面ABC，所以，又因?yàn)?，，所以平面，平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法可知，，即，得，因?yàn)?，若成等差?shù)列，即，所以為定值，C正確；若成等比數(shù)列，即，所以為定值，D正確；故選：BCD經(jīng)典題型三：體積、面積、周長、距離最值與范圍問題12．【答案】【解析】如圖，取的中點(diǎn)為，則，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，、兩點(diǎn)到平面的距離分別為、，則，，所以，令，則，所以當(dāng)時(shí)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且平面時(shí)取等號(hào)，即四面體體積的最大值為.故答案為：13．【答案】【解析】如圖，連接，，由正方體的性質(zhì)可知為正四面體，設(shè)O為中點(diǎn)，E為中點(diǎn)，則，又，平面，平面，∴平面，平面，所以平面平面，由題可知點(diǎn)A在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．在繞旋轉(zhuǎn)過程中，若點(diǎn)A，O，E共線，且A在點(diǎn)O，E之間時(shí)，三棱錐的體積最??；O在點(diǎn)A，E之間時(shí)，體積最大．因?yàn)檎襟w的棱長為，所以，在中，OB＝2，，則，，設(shè)點(diǎn)，到平面的距離分別為，．，，∵，∴三棱錐體積的最小值為；最大值為．∴三棱錐的體積的取值范圍為．故答案為：．14．【答案】ABD【解析】A：由，，E為邊的中點(diǎn)知：且，易知，，而，故面，又面，所以面面，正確；B：若是的中點(diǎn)，又F為的中點(diǎn)，則且，而且，所以且，即為平行四邊形，故，所以與的夾角為或其補(bǔ)角，若為中點(diǎn)，即，由A分析易知：，故與的夾角為，正確；C：由上分析知：翻折過程中當(dāng)面時(shí)，最大，此時(shí)，錯(cuò)誤；D：由B分析知：且，故F的軌跡與到的軌跡相同，由A知：到的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，而為中點(diǎn)，故到的軌跡為以中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓，所以F的軌跡長度為，正確.故選：ABD.15．【答案】BCD【解析】當(dāng)D與重合時(shí)，三棱錐的外接球的半徑R最大，如圖，找到球心O及球心O在底面ABC上的投影，則，設(shè)三角形ABC的外接圓半徑為r，由正弦定理得：，解得：，故，A錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)D為中點(diǎn)時(shí)，平面平面，理由如下：連接與相交于點(diǎn)E，連接DE，AD，，則根據(jù)勾股定理：，其中E為與的中點(diǎn)，所以由三線合一得：DE⊥，DE⊥，因?yàn)?，所以DE⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，B正確；取中點(diǎn)M，AB中點(diǎn)N，連接，則兩兩垂直，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，則設(shè)平面的法向量為，由，令得：，故，設(shè)A到平面的距離為，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，為，C正確；，設(shè)點(diǎn)D到直線的距離為，則因?yàn)?，所以?dāng)或0時(shí)，取得最大值，最大值為，此時(shí)，面積為，D正確.故選：BCD16．【答案】BC【解析】因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、設(shè)點(diǎn)、，其中，.對(duì)于A選項(xiàng)，若存在點(diǎn)，使得，且，，，解得，不合乎題意，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，其中、，即，即，可得，，則，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，則，此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn)，如下圖所示：在直三棱柱中，四邊形為矩形，則且，、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，且，同理且，且，所以，，故幾何體為三棱臺(tái)，，，，，因此，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，，則點(diǎn)到直線的距離為，，則點(diǎn)到直線的距離為，所以，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，D錯(cuò).故選：BC.17．【答案】C【解析】由得，由余弦定理得，則是直角三角形，為直角，對(duì)的任何位置，當(dāng)面面時(shí)，此時(shí)的點(diǎn)到底面的距離最大，此時(shí)即為與底面所成的角，設(shè)，在中，，點(diǎn)到底面的距離，則，，令，解得，可得下表：極大值故當(dāng)時(shí)，該棱錐的體積最大，為.故選：C.經(jīng)典題型四：立體幾何中的交線問題18．【答案】BCD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，BP最小，由于到直線的距離，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將平面翻折到平面上，如圖，連接AC，與的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，此時(shí)取最小值A(chǔ)C，在三角形ADC中，,，故B正確；對(duì)于C，由正方體的性質(zhì)可得，平面，平面，到平面的距離為定值，又為定值，則為定值，即三棱錐的體積不變，故正確；對(duì)于D，由于平面，設(shè)與平面交于點(diǎn)，，設(shè)以為球心，為半徑的球與面交線上任一點(diǎn)為，，，在以為圓心，為半徑的圓上，由于為正三角形，邊長為，其內(nèi)切圓半徑為，故此圓恰好為的內(nèi)切圓，完全落在面內(nèi)，交線長為，故正確．故選：BCD.19．【答案】【解析】設(shè)外接球半徑為，外接球球心到底面的距離為，則，所以，兩球相交形成形成的圖形為圓，如圖，在中，，，在中，，所以交線所在圓的半徑為，所以交線長度為.故答案為：20．【答案】【解析】因?yàn)椋允沁呴L為的等邊三角形，所以邊長為的等邊三角形的高為：，所以，設(shè)到平面的距離為，，所以，所以，解得，則，所以以為球心，為半徑的球與平面，平面，平面的交線為個(gè)半徑為的圓的弧線，與面的交線為一個(gè)圓，且圓的半徑為，所以交線總長度為：.故答案為：.21．【答案】【解析】設(shè)以A為球心的球的半徑為，則，解得如圖，取中點(diǎn)，由，又平面ABC，平面ABC，又，，所以平面PAC，又平面PAC，，又，平面PBC，又，，又，作，則，，所以球面與側(cè)面PBC的交線為以為圓心，半徑為1的半圓弧，故所求長為故答案為：22．【答案】【解析】翻折后形成的幾何體如圖所示，由題意知，所以，所以平面ACD，由E為AC的中點(diǎn)得，，，所以面BDE，所以面面ABC，所以球D與面BDC，面BAD，面ADC的交線分別為圓弧，圓弧，圓弧，過D作于F，所以，故以D為球心，以DE為半徑的球與平面ABC也相交,其交線是以F為圓心，以為半徑的圓，所以球與三棱錐各面交線的長度和為故答案為：.23．【答案】【解析】設(shè)以頂點(diǎn)為球心，為半徑作一個(gè)球，球面與正三棱錐的表面相交得到一條封閉的曲線是，如圖所示．則，在直角三角形中，，，，同理；在直角三角形中，，，，在等邊三角形中，，，．則這條封閉曲線的長度為．故答案為：．經(jīng)典題型五：空間線段以及線段之和最值問題24．【答案】【解析】由題可知，棱長均為的正四面體中，則和是邊長為的等邊三角形，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則，且，平面，故平面，而平面，故平面平面，而平面平面，過作，則平面，連接，則為在平面上的射影，要使最小，則，沿把平面展開，得到平面，使得平面與平面重合，此時(shí)三點(diǎn)共線，且，則的最小值為到的距離，即為，由于，，則，，又因?yàn)?，則，又，則在中，，所以的最小值是.故答案為：.25．【答案】【解析】如圖①，過，作的垂線，垂足分別為，，故，，所以，以為棱折疊后，則有，故，，因?yàn)橐詾槔庹鄢啥娼?，所以與的夾角為，令，則，在中，，，在中，，，故，所以，故當(dāng)時(shí)，有最小值28，故線段最小值為．故答案為：．26．【答案】【解析】取中點(diǎn)，連接，三棱錐為正三棱錐，，，又為中點(diǎn)，，，平面，，平面，分別為中點(diǎn)，，平面，當(dāng)最小時(shí)，平面，則點(diǎn)在線段上；，，，又為中點(diǎn)，，，又，，將沿翻折到平面上，如下圖所示：則當(dāng)，垂足為，交于時(shí)，取得最小值，，，即的最小值為.故答案為：.27．【答案】【解析】取中點(diǎn),連接交于點(diǎn),,易證得面,要求的最小,即求最小,可得平面，又可證明∥,再把平面繞旋轉(zhuǎn),與面共面,又可證得.因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以,所以，即，所以,所以,可得，.故答案為：.28．【答案】①④【解析】①平面∥平面，平面平面＝EN，平面平面＝MF，．同理可證．四邊形為平行四邊形.連接MN、AC、BD、：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵⊥平面ABCD，∴⊥AC，∵BD＝B，∴AC⊥平面，∵M(jìn)N平面，∴AC⊥MN.∵EA與FC平行且相等，∴ACFE是平行四邊形，∴AC∥EF，∴EF垂直MN，∴MEFN是菱形.故①正確．②四邊形面積，EF為定值，當(dāng)為B或時(shí)，即x＝0或x＝1時(shí)，最長，此時(shí)面積最大，但0＜x＜1，即M不能取線段的端點(diǎn)，∴四邊形MENF面積無最大值．故②錯(cuò)誤．③連結(jié)、、，則四棱錐被分割成兩個(gè)小的三棱錐，它們是都以為底，以、分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)三棱錐．△的面積是一個(gè)定值.同②中證明AC⊥平面，也可證明BD⊥平面，則B到平面AEF的距離即為.∵B∥A，∴B∥平面AEF，∴M到平面AEF的距離即為B到平面AEF的距離，同理N到平面AEF的距離也為，∴、到平面的距離之和是定值BD，∴四棱錐的體積為常數(shù)．故③錯(cuò)誤．④如圖，將Rt沿著翻轉(zhuǎn)到與矩形在同一平面，過作于Q，交于，則此時(shí)最短.過作于，則四邊形是直角梯形，由題可知是中點(diǎn)，是梯形的中位線，∴設(shè)，設(shè)在中，，，，∴在中，∴.故④正確.故答案為：①④.29．【答案】【解析】如圖所以，設(shè)由點(diǎn)到平面的距離等于它到點(diǎn)的距離，即點(diǎn)到的距離等于它到點(diǎn)的距離在平面中，直線方程為所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，令，所以所以，由直線平面所以所以點(diǎn)的軌跡為的導(dǎo)函數(shù)為所以，所以同平行的直線與相切的切點(diǎn)為，所以點(diǎn)到直線的距離為所以的最小值為故答案為：30．【答案】ACD【解析】依題意，，解得，設(shè)三棱錐的高為，則三棱錐的體積，解得．設(shè)點(diǎn)在底面內(nèi)的投影為，為球的半徑，連接，則，即，解得，則球的表面積，故A正確（對(duì)應(yīng)下方右圖）．取棱的中點(diǎn)，連接，由正三棱錐的性質(zhì)，易知，于是即為二面角的平面角，，且，則，故B錯(cuò)誤．將側(cè)面平面展開，使得四點(diǎn)共面，顯然的連線就是有最小值．，故在中，，則，故，故C正確（對(duì)應(yīng)下方左圖）．三棱錐S－ABC的表面積為，根據(jù)內(nèi)切球半徑和棱錐體積，棱錐表面積為，易知，設(shè)為球的半徑，為球的半徑，則，解得，原三棱錐的高，作一平面平行于底面，去截原三棱錐，得到一個(gè)的棱臺(tái)，那么剩余部分棱錐的高是原棱錐的，根據(jù)相似關(guān)系，剩余棱錐的底面積為，，表面積為，體積為，于是，解得，故D正確．故選：ACD．31．【答案】A【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，∴，，∴，∴，故點(diǎn)的軌跡是在平面上以為圓心，以為半徑的圓在正方形內(nèi)的部分圓，由圓的性質(zhì)可得.故選：A.經(jīng)典題型六：空間角問題32．【答案】②③【解析】由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，故，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，直線的方向單位向量，1，，，直線的方向單位向量，0，，，設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的坐標(biāo)，，，其中為與的夾角，，，在運(yùn)動(dòng)過程中的向量，，，，，設(shè)與所成夾角為，，則,，，，即直線與所成角的最小值為，最大值為，③正確，④錯(cuò)誤；設(shè)與所成夾角為，，，當(dāng)與角為時(shí)，即，，，，,，，此時(shí)與的夾角為，②正確，①錯(cuò)誤．故答案為：②③12．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）在正方體中，是棱上的點(diǎn)且，是棱上的點(diǎn)，記與所成的角為，與底面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】作于，則，，從而，而平面，因此有平面，過作交于，過作于，則，,由正方體性質(zhì)易知為二面角的平面角，即，，平面，則，同理，，平面，所以平面，又平面，所以，所以是矩形，，由平面知，，由，得，即，均為銳角，所以，與重合時(shí)，三角相等．故選：B．33．【答案】D【解析】由題可知：，，所以，，,所以,平面所以平面，又平面，所以平面將該四面體補(bǔ)全為一個(gè)正方體，如圖當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，為的中點(diǎn)，可知//，//，所以平面，所以，，則，故排除C當(dāng)為點(diǎn)時(shí)，，所以，故排除A、B故選：D34．【答案】A【解析】不妨取點(diǎn)為的中點(diǎn)，其在面上的投影為點(diǎn)，如圖所示，分別取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)椤危?，所以，因?yàn)槠矫妫?，所以，因?yàn)?，所以，所以故選：A35．【答案】D【解析】設(shè)三棱柱是棱長為的正三棱柱，是棱的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，在平面中，過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，直線與直線所成的角為，,直線與平面所成的角為，平面的法向量，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，二面角的平面角為，，，故選：D36．【答案】C【解析】由題意，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作底面，垂足為，所以異面直線與所成角，即為角，即，因?yàn)榈酌妫傻脼橹本€與平面所成的角，即，（1）當(dāng)不過點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)作，連接，如圖所示，因?yàn)榈酌?，底面，可得，又由，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，在直角中，可得，在直角中，可得在直角，中可得，所以，因?yàn)榍以趨^(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以；（2）當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，由，可得，綜上可得：.故選：C.37．【答案】B【解析】設(shè)正三棱錐的底面邊長為6，高為，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，不妨令為的中點(diǎn)，則，，，，，，，，，，所以，過作交于點(diǎn)，所以，即為BM與底面ABC所成的角，所以，所以，所以顯然面的法向量可為，設(shè)面的法向量為，所以令，則，，即，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故CD不成立；故選：B38．【答案】B【解析】如圖,作平面于,取中點(diǎn),在上取使得,為中點(diǎn).連接各點(diǎn)如圖所示.易得,故與所成的角,二面角的平面角,與平面所成的角.又,故,所以.又,,故,.綜上有.又.故故選：B39．【答案】D【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體的棱長為，則，，，，，，，，顯然面的法向量為，設(shè)面的法向量為，則，即，令則、，所以所以，，所以，因?yàn)?，即，所以故選：D經(jīng)典題型七：立體幾何裝液體問題40．【答案】【解析】如圖，正方體ABCD-EFGH，若要使液面形狀不可能為三角形，則液面必須高于平面EHD，且低于平面AFC．而當(dāng)平面EHD平行水平面放置時(shí)，若滿足上述條件，則任意轉(zhuǎn)到正方體，液面形狀都不可能為三角形．設(shè)液體的體積為，則，而，，所以液體的體積的范圍為．41．【答案】【解析】當(dāng)液面過時(shí)，截面為四邊形，將繞旋轉(zhuǎn)，此時(shí)如圖所示：則，當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，故周長最小值為.故答案為：.42．【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí)，題目等價(jià)于過正方體中心的平面截正方體為兩部分，根據(jù)對(duì)稱性知兩部分完全相同，A正確；取，此時(shí)液面過正方體中心，截面不可能為三角形，故B錯(cuò)誤；當(dāng)液面與正方體的體對(duì)角線垂直時(shí)，液面為如圖所示正六邊形時(shí)面積最大，其中正六邊形的頂點(diǎn)均為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，，C正確；當(dāng)液面過時(shí)，截面為四邊形，將繞旋轉(zhuǎn)，如圖所示：則，當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，故周長最小值為，故D正確.故選：ACD.43．【答案】ACD【解析】液面始終是水平面，與地面平行，所以A正確當(dāng)時(shí)，體積是正方體的一半，液面正好經(jīng)過的中點(diǎn)，此時(shí)液面是正六邊形，不是平行四邊形，故B錯(cuò)誤正方體邊長為4，液面經(jīng)過的中點(diǎn)時(shí)，有液體部分是正三棱錐，此時(shí)，，所以C正確當(dāng)液面與正方體的對(duì)角線垂直時(shí)，液面面積最大時(shí)就是選項(xiàng)B中所列舉的正六邊形面積，面積為，所以D正確故選：ACD44．【答案】AC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，題目等價(jià)于過正方體中心的平面截正方體為兩部分，根據(jù)對(duì)稱性知兩部分完全相同，所以A正確；對(duì)于B，取，此時(shí)液面過正方體中心，截面不可能為三角形，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)液面與正方體的體對(duì)角線垂直時(shí)，液面為如圖所示正六邊形時(shí)面積最大，其中正六邊形的頂點(diǎn)均為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，所以液面面積的最大值為，C正確；對(duì)于D，當(dāng)液面過時(shí)，截面為，將繞旋轉(zhuǎn)，如圖所示；則，當(dāng)D、N、三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以液面周長最小值為，D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)晴】本題考查了正方體的截面問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.45．【答案】C【解析】對(duì)于①，當(dāng)液面是三角形時(shí)，則液體所在平面必和長方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面相交，和另外三個(gè)平面不相交，設(shè)相交形成的三角形為如圖所示，則兩兩垂直，設(shè)，則有，由余弦定理得，則為銳角，同理可得為銳角，則當(dāng)液面是三角形時(shí)，該三角形必是銳角三角形，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)液面是五邊形時(shí)，液面只與長方體的五個(gè)面只有交線，而一個(gè)平面與長方體的五個(gè)平面相交，必有兩組相對(duì)面，又長方體的每一組相對(duì)面平行，由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)知，截面五邊形必有兩組平行的邊，因正五邊形的任意兩邊都不平行，則一平面截長方體所得截面不可能是正五邊形，即液面的形狀不可能是正五邊形，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)液面形狀是三角形時(shí)，液面只與長方體的三個(gè)面相交，最大液面是長方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面對(duì)角線圍成的三角形，如圖中，液面三角形頂點(diǎn)在棱上任意移動(dòng)（除點(diǎn)外），長方體體積，，則當(dāng)三棱錐盛滿液體時(shí)，液體體積與長方體體積之比的范圍是，當(dāng)長方體去掉三棱錐余下部分盛滿液體時(shí)，液體體積與長方體體積之比的范圍是，所以液體體積與長方體體積之比的范圍是，③正確；對(duì)于④，作長方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面對(duì)角線圍成的三角形，如圖中和，易得平面∥，在長方體棱上任取一點(diǎn)（除外），過點(diǎn)作出與平面平行的平面截長方體可得六邊形，長方體體積，三棱錐體積，令三棱錐部分有液體，當(dāng)液面形狀是六邊形時(shí)，液面六邊形必在平面和平面之間，即液面漫過所在平面但不能到所在平面，則液體體積滿足；當(dāng)液面六邊形在兩個(gè)平行平面與平面之間任意變換，不管與平面平行還是相交均滿足，即液體體積與長方體體積之比的范圍是，④錯(cuò)誤.則錯(cuò)誤個(gè)數(shù)有3個(gè).故選：C.經(jīng)典題型八：立體幾何中的軌跡問題46．【答案】ACD【解析】如圖1，取的中點(diǎn)F，取的中點(diǎn)E，連接EF，F(xiàn)M，EM，因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以，，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得：平面，因?yàn)槠矫鍱FM，所以平面平面，因?yàn)辄c(diǎn)P為正方形上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)P在線段EF上時(shí)，MP//平面，故滿足MP//平面的點(diǎn)P的軌跡長度為的長，為，A正確；如圖2，過點(diǎn)M作MQ⊥AM，交于點(diǎn)Q，可得：，因?yàn)檎襟w的棱長為2，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，所以，故，即，解得：，過點(diǎn)Q作，交于點(diǎn)S，交于點(diǎn)T，則平面，因?yàn)槠矫?，所以，?dāng)點(diǎn)P位于線段ST上時(shí)，滿足，即滿足的點(diǎn)P的軌跡長度為線段ST的長度，又因?yàn)椋訠選項(xiàng)錯(cuò)誤；如圖3，連接BM，取中點(diǎn)H，連接AH，HM，則可知平面截正方體所得的截面為ABMH，與正方形沒有交點(diǎn)，所以不存在點(diǎn)P，使得平面AMP經(jīng)過點(diǎn)B故C正確；如圖4，延長到點(diǎn)O，使得，則點(diǎn)M關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為O，連接AO交正方形于點(diǎn)P，則此時(shí)使得取得最小值，最小值為，當(dāng)點(diǎn)P與重合時(shí)，此時(shí)，故存在點(diǎn)P滿足D正確；故選：ACD47．【答案】ABD【解析】對(duì)于A，如圖，取中點(diǎn)，連接，易得，又，平面，則平面，易得，則，則，，則，A正確；對(duì)于B，，則，則，，則，，又，則，即直線與所成的角的余弦值為，B正確；對(duì)于C，易得，，則，取的中點(diǎn)，連接，易得，則四面體的外接球的半徑為，則外接球表面積為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，作交延長線于，由A選項(xiàng)知，，又，平面，則平面，又平面，則，又，則，又，則，即Q點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，則Q點(diǎn)的軌跡長度為，D正確.故選：ABD.48．【答案】C【解析】設(shè)三棱錐的高為，因?yàn)槿忮F的體積為，所以，解得，設(shè)的外接圓的半徑為，則，因?yàn)槿忮F的外接球球心到底面的距離為2，所以外接球的半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)到面的距離為4，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)截面圓的圓周，且球心到該截面的距離為，所以截面圓的半徑為，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為.故選：C.49．【答案】A【解析】如圖1，取AD的中點(diǎn)H，連接EH，則.在正方體中，底面ABCD，所以底面ABCD.所以為EF與底面ABCD所成的角，則．設(shè)正方體的棱長為a，因?yàn)樵撜襟w外接球的表面積為，所以，解得，所以，從而，所以F的軌跡為以H為圓心，為半徑的圓在正方形ABCD區(qū)域內(nèi)的部分，如圖2．在圖2中，，所以，則，根據(jù)對(duì)稱性可知，所以，故動(dòng)點(diǎn)F的軌跡周長為．故選：A50．【答案】D【解析】連接AC交BD于O，取中點(diǎn),連接以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)A、OB、所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：令正方體邊長為2，則，面的一個(gè)法向量為，面的一個(gè)法向量為則，故二面角的大小為又二面角的大小，則或由，，可得又整理得 即，是雙曲線.故選：D51．【答案】B【解析】如圖，建立直角坐標(biāo)系，則,.設(shè),則向量，向量,，∴，即,,,這方程表示的軌跡是平面上的橢圓，故選：B.52．【答案】B【解析】建立如圖所示的空間