2024屆一輪復(fù)習(xí)命題方向精講系列：38 二項(xiàng)式定理全歸納（十五大經(jīng)典題型）（原卷附答案）

第第⑤最大值：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)，的二項(xiàng)式系數(shù)，相等且最大．（2）系數(shù)的最大項(xiàng)求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來(lái)．知識(shí)點(diǎn)3、二項(xiàng)式展開式中系數(shù)和有關(guān)問(wèn)題常用賦值舉例：（1）設(shè)，二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式，即對(duì)，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問(wèn)題的需要靈活選取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：．（2）若，則①常數(shù)項(xiàng)：令，得．②各項(xiàng)系數(shù)和：令，得．③奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和（i）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為．（可簡(jiǎn)記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配）（ii）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為．（可簡(jiǎn)記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配）若，同理可得．注意：常見的賦值為令，或，然后通過(guò)加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果．1、求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問(wèn)題,實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)的特點(diǎn),一般需要建立方程求k,再將k的值代回通項(xiàng)求解,注意k的取值范圍（）.（1）第項(xiàng)：：此時(shí)k+1=m,直接代入通項(xiàng).（2）常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變?cè)?令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為0建立方程.（3）有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為整數(shù)建立方程.2、解題技巧：（1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可．（2）對(duì)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．（3）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.經(jīng)典題型一：求二項(xiàng)展開式中的參數(shù)1．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B．-2 C．8 D．-82．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）展開式中的常數(shù)項(xiàng)為－160，則a＝（

）A．－1 B．1 C．±1 D．23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知二項(xiàng)式的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為40，則（

）A．2 B．-2 C．2或-2 D．4經(jīng)典題型二：求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)4．（2022·廣東廣州·高三階段練習(xí)）若的展開式中第2項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B．160 C． D．11205．（2022·福建省漳州第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知（為常數(shù)）的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的和與二項(xiàng)式系數(shù)的和相等，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．90 B．10 C．10 D．906．（2022·山東青島·高三開學(xué)考試）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A．80 B． C．160 D．7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C．15 D．20經(jīng)典題型三：求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)8．（2022·江蘇南通·高三階段練習(xí)）的二項(xiàng)展開式中有理項(xiàng)有（

）A．3項(xiàng) B．4項(xiàng) C．5項(xiàng) D．6項(xiàng)9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若的展開式中有且僅有三個(gè)有理項(xiàng)，則正整數(shù)的取值為（

）A． B．或 C．或 D．10．（2022·重慶市第十一中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知二項(xiàng)式的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式中有理項(xiàng)的系數(shù)之和為（

）A．119 B．168 C．365 D．52011．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在的展開式中，有理項(xiàng)共有（

）A．3項(xiàng) B．4項(xiàng) C．5項(xiàng) D．6項(xiàng)12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若展開式中只有第四項(xiàng)的系數(shù)最大，則展開式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4經(jīng)典題型四：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)13．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）已知二項(xiàng)式的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則該展開式中的系數(shù)為（

）A． B．405 C． D．8114．（2022·黑龍江哈爾濱·高三開學(xué)考試）在的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．715．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在的展開式中，若二項(xiàng)式系數(shù)的和為，則的系數(shù)為（

）A． B． C． D．16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））的展開式中的系數(shù)是（

）A．45 B．84 C．120 D．21017．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若的展開式中，某一項(xiàng)的系數(shù)為7，則展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)是（

）A．7 B．21 C．35 D．21或35經(jīng)典題型五：求三項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A．5 B．-5 C．15 D．-1519．（2022·江西南昌·高三階段練習(xí)）的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B．180 C． D．1152020．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的展開式中，所有不含z的項(xiàng)的系數(shù)之和為（

）A．16 B．32 C．27 D．8121．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．1222．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在的展開式中含和含的項(xiàng)的系數(shù)之和為（

）A． B． C． D．148523．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型六：求幾個(gè)二（多）項(xiàng)式的和（積）的展開式中條件項(xiàng)系數(shù)24．（2022·浙江邵外高三階段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)是________．（用數(shù)字作答）25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________．26．（2022·全國(guó)·清華附中朝陽(yáng)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)），則_________.27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)和為，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______.28．（2022·河北邢臺(tái)·高三開學(xué)考試）展開式中的項(xiàng)的系數(shù)是______.29．（2022·浙江·杭十四中高三階段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）30．（2022·四川·樹德中學(xué)高三階段練習(xí)（理））展開式中的系數(shù)為______.31．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的值為___________.32．（2022·浙江省淳安中學(xué)高三開學(xué)考試）已知的展開式中常數(shù)項(xiàng)為20，則___________.經(jīng)典題型七：求二項(xiàng)式系數(shù)最值33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在（）的展開式中，若第5項(xiàng)為二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，則n的值不可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．1034．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A． B． C．和 D．和35．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）設(shè)為正整數(shù)，的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為.若，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．836．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的展開式中x的系數(shù)等于其二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，則a的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．經(jīng)典題型八：求項(xiàng)的系數(shù)最值37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則該展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為___________．38．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）的展開式中系數(shù)最小項(xiàng)為第______項(xiàng)．39．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若n展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)和為163，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為_______．經(jīng)典題型九：求二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則_________.（用數(shù)字作答）41．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，若則非零實(shí)數(shù)a的值為（

）A．2 B．0 C．1 D．-142．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．43．（多選題）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則（

）A． B．C． D．經(jīng)典題型十：求奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和44．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知多項(xiàng)式，則_______，________．45．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若的展開式中，所有x的偶數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)和為64，則正實(shí)數(shù)a的值為______．46．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知，若，則_____________.47．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，且，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A．1或 B． C．或3 D．經(jīng)典題型十一：整數(shù)和余數(shù)問(wèn)題48．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)，則除以9所得的余數(shù)為______．49．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）除以7的余數(shù)為_______．50．（2022·福建漳州·三模）711除以6的余數(shù)是___________．51．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）被除的余數(shù)是____________．52．（2022·天津市第七中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知為滿足能被整除的正整數(shù)的最小值，則的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為______．53．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則被8整除的余數(shù)為___________.54．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)a∈Z，且0≤a≤16，若42021+a能被17整除，則a的值為_____.經(jīng)典題型十二：近似計(jì)算問(wèn)題55．（2022·河南南陽(yáng)·高三期末（理））__________（小數(shù)點(diǎn)后保留三位小數(shù)）．56．（2022·山西·應(yīng)縣一中高三開學(xué)考試（理））的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是_________．57．（2022·山東·高三階段練習(xí)）某同學(xué)在一個(gè)物理問(wèn)題計(jì)算過(guò)程中遇到了對(duì)數(shù)據(jù)的處理，經(jīng)過(guò)思考，他決定采用精確到0.01的近似值，則這個(gè)近似值是________.經(jīng)典題型十三：證明組合恒等式58．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）設(shè)、，，求證：；（2）請(qǐng)利用二項(xiàng)式定理證明：.59．（2022·江蘇省天一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知.（1）若，求中含項(xiàng)的系數(shù)；（2）求：.60．（2022·江蘇·泰州中學(xué)高三階段練習(xí)）（1）設(shè)展開式中的系數(shù)是40，求的值；（2）求證：經(jīng)典題型十四：二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和61．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））令為的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（

）A． B．C． D．62．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的第項(xiàng)是展開式中的常數(shù)項(xiàng)，則（

）A． B． C． D．63．（2022·河北保定·二模）若n為等差數(shù)列中的第7項(xiàng)，則二項(xiàng)式展開式的中間項(xiàng)系數(shù)為（

）A．1120 B． C．1792 D．64．（2022·江西新余·二模（理））已知等差數(shù)列的第5項(xiàng)是展開式中的常數(shù)項(xiàng)，則該數(shù)列的前9項(xiàng)的和為（

）A．160 B． C．1440 D．經(jīng)典題型十五：楊輝三角65．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示的楊輝三角中，從第行開始，每一行除兩端的數(shù)字是以外，其他每一個(gè)數(shù)字都是它肩上兩個(gè)數(shù)字之和在此數(shù)陣中，若對(duì)于正整數(shù)，第行中最大的數(shù)為，第行中最大的數(shù)為，且，則的值為______．66．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為：1，1，2，3，5，8，13，…，則第10條斜線上，各數(shù)之和為______.67．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和．若在“楊輝三角”中從第二行右邊的1開始按“鋸齒形”排列的箭頭所指的數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，則在該數(shù)列中，第35項(xiàng)是______．68．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在楊輝三角形中，斜線的上方從1按箭頭所示方向可以構(gòu)成一個(gè)“鋸齒形”的數(shù)列：，記此數(shù)列的前項(xiàng)之和為，則的值為__________.

1．（2022·北京·高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．2．（2020·山東·高考真題）在的二項(xiàng)展開式中，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2020·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）．A． B．5 C． D．104．（2020·全國(guó)·高考真題（理））的展開式中x3y3的系數(shù)為（

）A．5 B．10C．15 D．205．（2022·天津·高考真題）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______.6．（2021·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)是__________．7．（2020·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)是_________．8．（2020·全國(guó)·高考真題（理））的展開式中常數(shù)項(xiàng)是__________（用數(shù)字作答）．9．（2021·浙江·高考真題）已知多項(xiàng)式，則___________，___________.10．（2020·浙江·高考真題）設(shè)，則________；________．經(jīng)典題型一：求二項(xiàng)展開式中的參數(shù)參考答案1．【答案】B【解析】展開式的通項(xiàng)為：，取得到常數(shù)項(xiàng)為，解得.故選：B2．【答案】B【解析】的展開式通項(xiàng)為，∴令，解得，∴的展開式的常數(shù)項(xiàng)為，∴∴故選：B.3．【答案】C【解析】由，令，解得，所以項(xiàng)的系數(shù)為，解得．故選：C經(jīng)典題型二：求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)4．【答案】A【解析】因?yàn)檎归_式中的第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，，解得：，展開式通項(xiàng)公式為：，令，解得：，該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為,故選：A5．【答案】A【解析】因?yàn)椋槌?shù)）的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的和與二項(xiàng)式系數(shù)的和相等，所以，得，所以，則其展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故選：A6．【答案】D【解析】由于互為倒數(shù)，故常數(shù)項(xiàng)為第4項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)為，故選：D7．【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，解得，則展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為：.故選：B.經(jīng)典題型三：求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)8．【答案】B【解析】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，為有理項(xiàng)，共4項(xiàng)，故選：B9．【答案】B【解析】的通項(xiàng)公式是設(shè)其有理項(xiàng)為第項(xiàng)，則的乘方指數(shù)為，依題意為整數(shù)，注意到，對(duì)照選擇項(xiàng)知、、，逐一檢驗(yàn)：時(shí)，，不滿足條件；時(shí)，、、，成立；時(shí)，、5、8，成立故選：B.10．【答案】C【解析】由題意知：，即；則，的展開式的通項(xiàng)公式為：，，1，2，3，4，5，6，展開式中有理項(xiàng)是，2，4，6時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)，故展開式中有理項(xiàng)的系數(shù)之和為：．故選：．11．【答案】C【解析】由題意可得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)根據(jù)題意可得，為整數(shù)時(shí)，展開式的項(xiàng)為有理項(xiàng)，則r＝0，6，12，18，24，共有5項(xiàng)，故選：C.12．【答案】D【解析】展開式中只有第四項(xiàng)的系數(shù)最大，所以，則展開式通項(xiàng)為，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)為有理項(xiàng)，所以有理項(xiàng)共有4項(xiàng)，故選：D.經(jīng)典題型四：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)13．【答案】A【解析】令，可得所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，則，由題意，即，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．故選：A．14．【答案】D【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以，故展開式中的系數(shù)為.故選：D15．【答案】A【解析】二項(xiàng)式系數(shù)的和為，所以，展開式的通項(xiàng)為，令，則，所以的系數(shù)為．故選：A16．【答案】C【解析】的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為，故選：C．17．【答案】B【解析】由題意，展開式的通項(xiàng)為，所以某一項(xiàng)的系數(shù)為7，即，解得n＝7，r＝1或n＝7，r＝6，所以展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)是．故選：B．經(jīng)典題型五：求三項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)18．【答案】B【解析】，表示5個(gè)相乘，展開式中出現(xiàn)有兩種情況，第一種是中選出3個(gè)和2個(gè)1，第二種是中選出4個(gè)和1個(gè)，所以展開式中含有項(xiàng)有和，所以項(xiàng)的系數(shù)為,故答案為：B19．【答案】B【解析】根據(jù)題意，要得到含的項(xiàng)，則中有3項(xiàng)與2項(xiàng)4相乘，或者有4項(xiàng)與1項(xiàng)相乘.故的展開式中含的項(xiàng)為.即的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為180.故選：B20．【答案】D【解析】展開式的通項(xiàng)公式為，若展開式中的項(xiàng)不含z，則，此時(shí)符合條件的項(xiàng)為展開式中的所有項(xiàng)，令，可得所有不含z的項(xiàng)的系數(shù)之和為，故選：D.21．【答案】B【解析】的通項(xiàng)公式，令，則，所以的系數(shù)為，故選：B22．【答案】A【解析】，則的系數(shù)為1，的系數(shù)為，所以在的展開式中含和含的項(xiàng)的系數(shù)之和為．故選：A．23．【答案】D【解析】可看作5個(gè)因式相乘，所以其展開式中含的項(xiàng)為4個(gè)因式取，2個(gè)因式取，所以展開式中含的系數(shù)為．故選：D．經(jīng)典題型六：求幾個(gè)二（多）項(xiàng)式的和（積）的展開式中條件項(xiàng)系數(shù)24．【答案】【解析】根據(jù)題意,的項(xiàng)在的展開式中有兩項(xiàng)，分別為：和，即和，則的系數(shù)為：.故答案為：.25．【答案】【解析】展開式通項(xiàng)公式為，，，，，所以所求常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：．26．【答案】－20【解析】由，要得，則，所以，故答案為：27．【答案】－120【解析】的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和為，令，，，∴其中的展開式中的項(xiàng)為，即，的展開式中的項(xiàng)為，即，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.28．【答案】30【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令解得；令，解得.所以展開式中的項(xiàng)的系數(shù)是.故答案為：29．【答案】【解析】，其中的展開式通項(xiàng)為，，故時(shí)，得含的項(xiàng)為；的展開式通項(xiàng)為，，故時(shí)，得含的項(xiàng)為.因此，式子的展開式中，含的項(xiàng)為，即系數(shù)為.故答案為：.30．【答案】26【解析】展開式第項(xiàng)，時(shí)，，時(shí)，，∴展開式中系數(shù)26.故答案為：26.31．【答案】【解析】令，由的展開式的通項(xiàng)為，令，得，令，得，所以，所以.故答案為：32．【答案】【解析】由題意可得的展開式的通項(xiàng)公式為，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，故的常數(shù)項(xiàng)為，解得，故答案為：經(jīng)典題型七：求二項(xiàng)式系數(shù)最值33．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，的展開式有8項(xiàng)，的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大，即第四項(xiàng)和第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)時(shí)，的展開式有9項(xiàng)，的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大，即第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)時(shí)，的展開式有10項(xiàng)，的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大，即第五項(xiàng)和第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.當(dāng)時(shí)，的展開式有11項(xiàng)，的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大，即第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.故選：D．34．【答案】C【解析】展開式的通項(xiàng)公式為，因?yàn)檎归_式共有8項(xiàng)，所以第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為和，即為和，故選：C35．【答案】C【解析】的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，故，的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為或，兩者相等，不妨令，則有，解得：.故選：C36．【答案】A【解析】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，令，即時(shí)，x的系數(shù)為，而二項(xiàng)式系數(shù)最大值為，所以，即．故選：A．經(jīng)典題型八：求項(xiàng)的系數(shù)最值37．【答案】【解析】令，則的展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為，則；由的展開式通項(xiàng)公式知二項(xiàng)展開式的系數(shù)最大項(xiàng)在奇數(shù)項(xiàng)，設(shè)二項(xiàng)展開式中第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，化簡(jiǎn)可得：經(jīng)驗(yàn)證可得，則該展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為:.38．【答案】6【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為，其中系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)只有符號(hào)差異，又第5項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，第6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，則第6項(xiàng)系數(shù)最小.故答案為：.39．【答案】5376【解析】展開式的通項(xiàng)公式為，由題意可得，，解得，設(shè)展開式中項(xiàng)的系數(shù)最大，則解得，又∵，∴，故展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為：5376.經(jīng)典題型九：求二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和40．【答案】127【解析】因?yàn)椋云娲畏较禂?shù)為負(fù)，偶次方系數(shù)為正，所以，對(duì)于，令，得，令，得，兩式相減，得，即.故答案為：12741．【答案】A【解析】∵，對(duì)其兩邊求導(dǎo)數(shù)，∴，令，得，①又，②∴，∴，解得，故選：A．42．【答案】B【解析】依題意，，當(dāng)時(shí)，，于是得.故選：B43．【答案】ABD【解析】當(dāng)時(shí)，，故A對(duì)；，B對(duì)；令，則，∴，故C錯(cuò)；對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，即令，則，∴，故D對(duì)，故選：ABD．經(jīng)典題型十：求奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和44．【答案】

【解析】因?yàn)?，令可得①；令可得②，兩式相減，整理可得．對(duì)兩邊求導(dǎo)可得，，令，可得．故答案為：；．45．【答案】【解析】設(shè).令，得①；令，得②.②＋①得．又因?yàn)椋?，解得．故答案為?6．【答案】8【解析】，所以，所以，所以，即，解得：故答案為：847．【答案】A【解析】在中，令可得，即，令，可得，∵，∴，∴，整理得，解得，或．故選：A經(jīng)典題型十一：整數(shù)和余數(shù)問(wèn)題48．【答案】8【解析】因?yàn)?，所以，，所以除?所得的余數(shù)為8．故答案為：849．【答案】1【解析】其中所以除以7的余數(shù)為；故答案為：50．【答案】1【解析】∵根據(jù)二項(xiàng)展開式不妨設(shè)：顯然可被6整除且711除以6的余數(shù)是故答案為：1．51．【答案】【解析】，所以被除的余數(shù)是故答案為：52．【答案】【解析】能被整除，則能被整除，因?yàn)?，則正整數(shù)的最小值為，即，展開式的通項(xiàng)為，因?yàn)椋谥?，由可得，在中，由可得，在中?所以，展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.53．【答案】5【解析】在已知等式中，取得，取得，兩式相減得，即，因?yàn)橐驗(yàn)槟鼙?整除，所以被8整除的余數(shù)為5，即被8整除的余數(shù)為5，故答案為：5.54．【答案】13【解析】a∈Z，且0≤a≤16，若42021+a＝4×161010+a＝4×（17﹣1）1010+a＝4×（×171010﹣×171009+×171008﹣×171007+…+×（﹣17）+1）+a，故它除以17的余數(shù)為4×1+a，由于它能被能被17整除，則a＝13，故答案為：13.經(jīng)典題型十二：近似計(jì)算問(wèn)題55．【答案】1.172【解析】，由二項(xiàng)展開式的性質(zhì)易知，遠(yuǎn)小于，依次類推，故.故答案為：1.172.56．【答案】1.34【解析】故答案為：57．【答案】【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可得：,故答案為：經(jīng)典題型十三：證明組合恒等式58．【解析】證：（1）；（2）當(dāng)，時(shí)，,所以結(jié)論成立.59．【解析】（1）中項(xiàng)的系數(shù)為；（2）設(shè)

①則函數(shù)中含項(xiàng)的系數(shù)為由錯(cuò)位相減法得：②，中含項(xiàng)的系數(shù)，即是等式左邊含項(xiàng)的系數(shù)，等式右邊含項(xiàng)的系數(shù)為所以60．【解析】（1）由題可知，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的表達(dá)式為：，故，解得（負(fù)值舍去）；（2）由，兩邊求導(dǎo)得：兩邊同乘-1可得：，再令可得：，所以經(jīng)典題型十四：二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和61．【答案】D【解析】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：，令，所以，，因此