2021年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2021年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共有12小題，每小題3分，共36分.每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)將

答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。

1.（3分）（2021?包頭）據(jù)交通運(yùn)輸部報(bào)道，截至2020年底，全國(guó)共有城市新能源公交車

46.61萬(wàn)輛,將46.61萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為4.661X10",則"等于（）

A.6B.5C.4D.3

2.（3分）（2021?包頭）下列運(yùn)算結(jié)果中，絕對(duì)值最大的是（）

A.1+（-4）B.（-1）4C.（-5）1D.V4

3.（3分）（2021?包頭）已知線段AB=4,在直線AB上作線段BC,使得BC=2,則線段

A。的長(zhǎng)為（）

A.1B.3C.1或3D.2或3

4.（3分）（2021?包頭）柜子里有兩雙不同的鞋，如果從中隨機(jī)地取出2只，那么取出的鞋

是同一雙的概率為（）

A.AB.Ac.AD.A

3456

5.（3分）（2021?包頭）如圖，在Rt/XABC中，ZACB=90°'后，BC=2,以點(diǎn)A為圓心，

交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)C,AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面

積為（）

A.8-ITB.4-TCC.2-—D.1--

44

6.（3分）（2021?包頭）若尢=&+1,則代數(shù)式W-2r+2的值為（）

A.7B.4C.3D.3-272

7.（3分）（2021?包頭）定義新運(yùn)算規(guī)定：a?b=a-2b.若關(guān)于x的不等式x頷>3

的解集為x>-\,則機(jī)的值是（）

A.-1B.-2C.1D.2

8.（3分）（2021?包頭）如圖，直線直線/3交于點(diǎn)A,交/2于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)8的直

線/4交八于點(diǎn)C.若N3=50°,Nl+/2+N3=240°,則/4等于（）

C.60°D.50°

9.（3分）（2021?包頭）下列命題正確的是（）

A.在函數(shù)>=-」一中，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小

2x

B.若a<0,則l+a>l-a

C.垂直于半徑的直線是圓的切線

D.各邊相等的圓內(nèi)接四邊形是正方形

10.（3分）（2021?包頭）已知二次函數(shù)了二辦2-bx+cQW0）的圖象經(jīng)過(guò)第一象限的點(diǎn)（1,

-b）,則一次函數(shù)-ac的圖象不經(jīng)過(guò)（）

A.第一象限B.第C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

11.（3分）（2021?包頭）如圖,C中，AB=AC,連接與8C相交于點(diǎn)O,垂

足為C,與AD相交于點(diǎn)E,則20E+AE的值為（

BD

c.5D.反

34

12.（3分）（2021?包頭）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的OA邊在x軸的正半

軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（4,2）,反比例函數(shù)y=2（x>0）,線08交于點(diǎn)E,與AB

交于點(diǎn)F,DE,EF

?sinZDOC=cosZBOC；②OE=BE；③S.D0E=SABEF;?OD：DF=2：3.

其中正確的結(jié)論有（）

二、填空題：本大題共有8小題，每小題3分，共24分.請(qǐng)把答案填在答題卡上對(duì)應(yīng)的橫線

上。

2

13.（3分）（2021?包頭）因式分解：至L_+or+“=

4

14.（3分）（2021?包頭）化簡(jiǎn)：（2m+-A-）4--^-=____.

m2-42-mm+2

15.（3分）（2021?包頭）一個(gè)正數(shù)。的兩個(gè)平方根是26-1和44,則a+b的立方根為.

16.（3分）（2021?包頭）某人5次射擊命中的環(huán)數(shù)分別為5,10,7,x,10.若這組數(shù)據(jù)的

中位數(shù)為8.

17.（3分）（2021?包頭）如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,垂足為B,且B￡>=3,與

AB相交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)用作仰_1_（?8,則MN的長(zhǎng)為.

18.（3分）（2021?包頭）如圖，在nA8C￡>中，>40=12,連接OC.若OC=AB,貝gABCO

的周長(zhǎng)為.

19.（3分）（2021?包頭）如圖，8。是正方形ABC。的一條對(duì)角線，E是8。上一點(diǎn)，連接

CE,EF,EF=EC,則NBAF的度數(shù)為

20.（3分）（2021?包頭）已知拋物線y=7-2%-3與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的

左側(cè)）與y軸交于點(diǎn)C（4,y）在拋物線上，E是該拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，△ACE的

面積為.

三、解答題：本大題共有6小題，共60分。請(qǐng)將必要的文字說(shuō)明、計(jì)算過(guò)程或推理過(guò)程寫(xiě)

在答題卡的對(duì)應(yīng)位置。

21.（8分）（2021?包頭）為了慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，某校開(kāi)展了學(xué)黨史知識(shí)競(jìng)賽.參

加知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生分為甲乙兩組，每組學(xué)生均為20名（如圖），已知競(jìng)賽成績(jī)滿分為100

分，統(tǒng)計(jì)表中“，解答下列問(wèn)題：

甲組20名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表

成績(jī)（分）708090100

人數(shù)3“b5

（1）求統(tǒng)計(jì)表中a,人的值；

（2）小明按以下方法計(jì)算甲組20名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均分是：（70+80+90+100）+4=

85（分）.根據(jù)所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)判斷小明的計(jì)算是否正確，請(qǐng)寫(xiě)出正確的算式并計(jì)算出結(jié)果；

（3）如果依據(jù)平均成績(jī)確定競(jìng)賽結(jié)果，那么競(jìng)賽成績(jī)較好的是哪個(gè)組？請(qǐng)說(shuō)明理由.

乙組20名學(xué)生竟騫成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖

22.（8分）（2021?包頭）某工程隊(duì)準(zhǔn)備從A到B修建一條隧道，測(cè)量員在直線的同一

側(cè)選定C,。兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)2@機(jī)，CD長(zhǎng)為反（物網(wǎng)），8。長(zhǎng)為ZC￡）B=135°

242

（4、B、C、O在同一水平面內(nèi)）.

（1）求A、。兩點(diǎn)之間的距離;

（2）求隧道AB的長(zhǎng)度.

23.Q0分）（202。包頭）小剛家到學(xué)校的距離是1800X.某天早上，小剛到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)

作業(yè)本忘在家中，此時(shí)離上課還有20分鐘，拿到作業(yè)本后騎自行車按原路返回學(xué)校.已

知小剛騎自行車時(shí)間比跑步時(shí)間少用了4.5分鐘，且騎自行車的平均速度是跑步的平均速

度的1.6倍.

（1）求小剛跑步的平均速度；

（2）如果小剛在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分鐘，他能否在上課前趕回學(xué)校？請(qǐng)說(shuō)

明理由.

24.（10分）（2021?包頭）如圖，在銳角三角形ABC中，AO是BC邊上的高，交AC于點(diǎn)F,

過(guò)點(diǎn)F作FGLAB,交標(biāo)于點(diǎn)G,交AO于點(diǎn)M,DE,DF.

（1）求證：ZGA￡>+Z￡DF=180°；

（2）若/ACB=45°,AD=4,tanZABC=2

25.（12分）（2021?包頭）如圖，已知AABC是等邊三角形，P是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，CP.

（1）如圖1,以BC為直徑的半圓。交A8于點(diǎn)Q,交AC于點(diǎn)R正上時(shí)，連接力P,CD

=AP,連接。P；

（2）如圖2,E是BC邊上一點(diǎn)，月.EC=3BE,連接EP并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)尸，若、。，

求證：4EF=3AB；

（3）如圖3,M是AC邊上一點(diǎn)，當(dāng)AM=2MC時(shí)，AB=6mMP=y[^i\,△BCP的面

積為S2,求SI-52的值（用含“的代數(shù)式表示）.

26.（12分）（2021?包頭）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-7+4x經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，

與x軸正半軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)〃）

（1）如圖1,當(dāng)山>0,n>0,

①求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)8（至，y）在該拋物線上，連接OM,C是線段8M上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)M,B

4

不重合），過(guò)點(diǎn)C作CD〃MO,線段。。與MC是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）如圖2,該拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)K,點(diǎn)E（x,工），當(dāng)〃?>2,〃>0,過(guò)點(diǎn)A

3

作x軸的垂線，交直線EM于點(diǎn)M點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0,工&）,連接GF.若EF+NF=2MF

5

圖1圖2

2021年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共有12小題，每小題3分，共36分.每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)將

答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。

1.（3分）（2021?包頭）據(jù)交通運(yùn)輸部報(bào)道，截至2020年底，全國(guó)共有城市新能源公交車

46.61萬(wàn)輛，將46.61萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為4.661X10",則"等于（）

A.6B.5C.4D.3

【解答】解:因?yàn)?6.61萬(wàn)=466100=4.66IX1（A

所以將46.61萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為7.661X13，則n等于5.

故選:B.

2.（3分）（2021?包頭）下列運(yùn)算結(jié)果中，絕對(duì)值最大的是（）

A.1+（-4）B.（-1）4C.（-5）1D.日

【解答】解：因?yàn)閨1+（-4）|=|-8|=3,|（-1）5|=|1|=1,|（-6）'|=|-^=1,

45

函，

且工<6<2<3,

5

所以絕對(duì)值最大的是選項(xiàng)人

故選：A.

3.（3分）（2021?包頭）已知線段AB=4,在直線48上作線段BC,使得BC=2,則線段

4。的長(zhǎng)為（）

A.1B.3C.1或3D.2或3

【解答】解：根據(jù)題意分兩種情況，

①如圖1,

：AB=4,BC=5,

：.AC=AB-BC=2,

???Q是線段AC的中點(diǎn)，

.-.AD=lAC=lx2=r

②如圖2,

"：AB=4,BC=2,

.\AC=AB+BC=6,

是線段AC的中點(diǎn)，

.,.A￡）=$AC=』X6=3.

25

線段4。的長(zhǎng)為2或3.

故選：C.

|II|

ADBC

圖2

illI

ADCB

圖1

4.（3分）（2021?包頭）柜子里有兩雙不同的鞋，如果從中隨機(jī)地取出2只，那么取出的鞋

是同一雙的概率為（）

A.AB.Ac.AD.A

3456

【解答】解：兩雙不同的鞋用A、a、B、b表示、a表示同一雙鞋，B,

畫(huà)樹(shù)狀圖為：

開(kāi)始

aBbABbAabAaB

共有12種等可能的結(jié)果，其中取出的鞋是同一雙的結(jié)果數(shù)為4,

所以取出的鞋是同一雙的概率=_￡=旦.

123

故選：A.

5.（3分）（2021?包頭）如圖,在RtZ\ABC中，Z4CB=90°丑BC=2,以點(diǎn)A為圓心，

交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)C,4c的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面

積為（）

A.8-TTB.4-TIC.2------D.1~——

44

【解答】解：根據(jù)題意可知AC=Q/_BC2={/蕾-23=1，

設(shè)NB=”°,ZA=m°,

VZACB=90°,

AZB+ZA=90°,即”+，*=90,

.c_czc.c、_1,n兀XZ2m兀XI，（n+m）兀

??5陰影部分一SAABC-（SmEBF+S^DAC）——X9X1------------------“u——

2360360360

=1-A,

4

故選：D

6.（3分）（2021?包頭）若》=&+1,則代數(shù)式/-2x+2的值為（）

A.7B.4C.3D.3-2&

【解答】解：?.”=&+1,

-4=亞，

（x-1）8=2,即/-7x+l=2,

Ax6-2x=l,

-2x+2=8+2=3.

故選：C.

7.（3分）（2021?包頭）定義新運(yùn)算"⑥"，規(guī)定：a?b=a-2b.若關(guān)于x的不等式

的解集為x>-1,則，”的值是（）

A.-1B.-2C.1D.2

【解答】解?：a⑻b=a-2b,

=x-Im.

Ax-2m>3,

.\x>2m+3.

;關(guān)于x的不等式x?m>3的解集為x>-3,

:?2/??+3=-2,

.?.加=-2.

故選：B.

8.（3分）（2021?包頭）如圖，直線八〃/2,直線/3交/1于點(diǎn)A,交/2于點(diǎn)3,過(guò)點(diǎn)8的直

線由交4于點(diǎn)C.若/3=50°,Nl+N2+/3=240°,則N4等于（）

A.80°B.70°C.60°D.50°

【解答】解：如圖，

.*.Z7+Z3=180°,

：Nl+/7+/3=240°,

.,.N2=240°-（Z5+Z3）=60°,

VZ3+Z6+Z5=180°,Z3=50°,

.*.Z7=180°-Z2-Z3=70°,

：/7〃/2,

；./4=/4=70°,

故選:B.

9.（3分）（2021?包頭）下列命題正確的是（）

A.在函數(shù)>=-」一中，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小

2x

B.若a<0,則l+a>l-a

C.垂直于半徑的直線是圓的切線

D.各邊相等的圓內(nèi)接四邊形是正方形

【解答】解：A、在函數(shù)），隨x的增大而增大，不符合題意;

2x2

B、若〃<6,故原命題錯(cuò)誤;

C、垂直于半徑且經(jīng)過(guò)半徑的外端的直線是圓的切線，不符合題意;

。、各邊相等的圓內(nèi)接四邊形是正方形，是真命題，

故選：

10.（3分）（2021?包頭）已知二次函數(shù)ynaf-fer+cCa/。）的圖象經(jīng)過(guò)第一象限的點(diǎn)（1,

-b）,則一次函數(shù)y=/zr-ac的圖象不經(jīng)過(guò)（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：???點(diǎn)（1,-b）在第一象限.

-b>0.

：.h<l.

???二次函數(shù)y=af-6x+c（aWO）的圖象經(jīng)過(guò)第一象限的點(diǎn)（3,-b）.

/?-b=a-6+c.

〃+c=0.

a#0.

ac<6.

；.一次函數(shù)y=6x-ac的圖象經(jīng)過(guò)一、二、四象限.

故選：C.

11.（3分）（2021?包頭）如圖，在AABC中，AB=AC,連接A。，與BC相交于點(diǎn)O,垂

足為C,與A。相交于點(diǎn)E,BC=6,則20E+AE的值為（）

BD

【解答】解：：△O8C和△ABC關(guān)于直線8C對(duì)稱,

：.AC=CD,AB=BD,

"：AB=AC,

：.AC=CD=AB=BD,

二四邊形ABAC是菱形,

：.AD.LBCfAO=DO=4fZACO=ZDCO,

SD=24=9+16=5

,1,VDO+BO^'

VC￡1CD,

/./DC0+NEC0=9Q°^ZCAO+ZACO=ZDCO+ZCAO,

：.ZCAO^ZECO,

AtanZECO=M=CO,

COAO

???E-O=--3,

34

：.EO=^-,

4

：.AE=L,

3

.20E+AE^2X7V_5

BD5~2

方法二，也可以通過(guò)證明△OCES^QOB.

故選：D.

12.（3分）（2021?包頭）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形0ABe的04邊在x軸的正半

軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,2）,反比例函數(shù)y=2（x>0）,與對(duì)角線。8交于點(diǎn)E,與A8

X

交于點(diǎn)F,DE,EF

@sinZ￡）OC=cosZBOC；?OE=BE；③SADOE=S￡、BEF；?0D：DF=2：3.

【解答】解：①矩形0A8C中,

*：B（4,2）,

???0A=8,0C=2,

由勾股定理得：。8=在百，=4遙，

當(dāng)y=2時(shí)，8=2,

x

?,X=1f

：.D(4,2),

：.CD=],

由勾股定理得：0口=、m+、3=娓,

：.sinZDOC=^-=-L=J^-,

ODV35

cosZBOC―—2=2^1.,

2755

sinZDOC=cosZBOC,

故①正確；

②設(shè)08的解析式為：y=kx(攵W0),

把(7,2)代入得：4k=3,

.\k=-f

2

...y="JC,

2

當(dāng)L=2時(shí)，

6x

：.E(2,3),

；.E是。8的中點(diǎn)，

：.OE=BE,

故②正確；

③當(dāng)x=4時(shí)，y=—>

7

：.F(4,A),

6

：.BF=2-A=3.,

42

.'.S^BEF=—X—(4-2)=—,

242

171

SAD0￡=AX2x4-yXix2-yX4X1

=4-4-A

2

-_-7，

2

:.SADOE=SABEF,

故③正確；

④由勾股定理得：DF=42+號(hào)）5=弓^,

，：0D=娓,

.0D：;而

..而一國(guó)

2

即OD：DF=2：3.

故④正確；

其中正確的結(jié)論有①②③④，共4個(gè).

故選：A.

二、填空題：本大題共有8小題，每小題3分，共24分.請(qǐng)把答案填在答題卡上對(duì)應(yīng)的橫線

上。

13.(3分)(2021?包頭)因式分解："_+"+。=a(Xv+1)2

42

【解答】解：原式=a(-kx4+x+l)=a(-kr+1)2,

48

故答案為：a（2r+l）6.

2

14.（3分）（2021?包頭）化簡(jiǎn):,2m1],1=j

2

'm-42-mm+2

【解答】解：原式=2m-（m+2）.（“+2）

（m+7）（m-2）

=1.

故答案為2.

15.（3分）（2021?包頭）一個(gè)正數(shù)〃的兩個(gè)平方根是2b-1和H4,則。+8的立方根為2

【解答】解：:一個(gè)正數(shù)。的兩個(gè)平方根是2b7和6+7,

：.2b-1+/;+2=0,

：.b=-1.

.\b+6=-1+4=4,

??。=9.

a+h=9+(-6)=8,

V8的立方根為4,

：.a+b的立方根為2.

故答案為：2.

16.(3分)(2021?包頭)某人5次射擊命中的環(huán)數(shù)分別為5,10,7,x,10.若這組數(shù)據(jù)的

中位數(shù)為83.6.

【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)據(jù)5,7,x,10的中位數(shù)為8,

則有x=8,

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為工(5+10+7+3+10)=8,

5

則這組數(shù)據(jù)的方差52=當(dāng)(5-4)2+(10-8)7+(7-8)4+(8-8)4+(10-8)2]=

5

3.6,

故答案為：3.5.

17.(3分)(2021?包頭)如圖，在RtZSABC中，/4CB=90°,垂足為B,且80=3,與

48相交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作用N_LC8,則例N的長(zhǎng)為_(kāi)旦_.

【解答】解：VZACB=90°,BDVCB,

：.AC//MN//BD,NCNM=NCBD,

：.ZMAC^ZMBD,NMCA=NMDB=NCMN,

:AMACSAMBD,XCMNSACDB,

.MC_AC2MN_CM

"MD"BD"3"BD"CD'

?CM6

CD5

???M,N二2,

35

；.MN=8.

7

故答案為：旦

5

18.（3分）（2021?包頭）如圖，在oABCD中，AD=12,連接。C.若0C=AB,貝gABCQ

的周長(zhǎng)為24+6、樂(lè).

【解答】解：連接0E,過(guò)點(diǎn)C作CFLA。交于點(diǎn)尸,

EC

；四邊形ABCD為平行四邊形,

：.AB=CD,AD=BC,

：.ZEOD+ZOEC=ISO°,

???。0與2C相切于點(diǎn)E,

0ELBC,

：.N0EC=90°

ZEOD=90°,

VCF1AD,

：.ZCFO=90°,

四邊形OEC尸為矩形，

：.FC=OE,

為直徑，AD=12,

FC=OE=OD=1AD=5,

2

VOC=AB,CF1.AD,

0F=l.0D=5,

2

在RtZiOFC中，由勾股定理得，

0C2=OF2+FC2=32+42=45,

：.AB=OC=3y]~4,

J.^ABCD的周長(zhǎng)為12+12+3泥+6泥泥，

故答案為：24+8A/5-

19.（3分）（2021?包頭）如圖，3。是正方形A8CD的一條對(duì)角線，E是BD上一點(diǎn),連接

CE,EF,EF=EC,則N84尸的度數(shù)為22.5°.

【解答】解：如右圖，連接AE,

:BD為正方形ABCD的對(duì)角線，

AZBDC=45°,

"：DE=DC=AD,

：.NDEC=NOCE=?一遭—=67.5。，

2

VZ￡>CB=90°,

：.ZBCE=900-NDCE=90°-67.30=22.5°,

；EF=EC,

AZF￡C=1800-ZEFC-ZECF=180°-22.5°-22.3°=135°,

VZB￡C=1800-ZDEC=180°-67.5°=112.5°,

；.NBEF=135°-112.70=22.5°,

"：AD=DE,/AOE=45°,

AZA￡D=1800~45°=67.6°,

2

：.ZBEF+ZAED=22.5°+67.5°=90°,

AZAEF=180°-90°=90°,

在△ADE和△EQC中，

'AD=DE

<ZADE=ZEDC>

DE=DC

A/\ADE^/\EDCCSAS),

：.AE=EC,

：.AE=EF,

即AAEF為等腰直角三角形，

：.ZAFE=45°,

:.NAFB=NAFE+NBFE=45°+22.6°=67.5°,

VZABF=90°,

：.ZBAF=90°-ZAFB=90°-67.5°=22.7°,

故答案為：22.5°.

20.（3分）（2021?包頭）已知拋物線y=7-2x-3與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的

左側(cè)）與），軸交于點(diǎn)C（4,y）在拋物線上，E是該拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，AACE的

面積為4.

【解答】解：當(dāng)y=0時(shí)，x2-4x-3=0,解得A?=-1,X2=4,則A（-1,B（3,

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=4,

當(dāng)x=0時(shí)，y=x2-4x-3--3,則C（6,

當(dāng)x=4時(shí)，y=7-3x-3=5,則￡>（2,

連接A。交直線x=l于E,交y軸于尸點(diǎn)，

;BE+DE=EA+DE=AD,

此時(shí)8E+DE的值最小,

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,

-k+b=0fk=l

把A(-1,7),5)代入得

2k+b=5Ib=5

二直線A。的解析式為）'=x+l,

當(dāng)x=l時(shí)，y=x+5=2,2),

當(dāng)x=4時(shí)，y=x+l=l,5),

S&ACE—S^ACF+S^ECF——^8X1+A.

26

三、解答題：本大題共有6小題，共60分。請(qǐng)將必要的文字說(shuō)明、計(jì)算過(guò)程或推理過(guò)程寫(xiě)

在答題卡的對(duì)應(yīng)位置。

21.（8分）（2021?包頭）為了慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，某校開(kāi)展了學(xué)黨史知識(shí)競(jìng)賽.參

加知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生分為甲乙兩組，每組學(xué)生均為20名（如圖），已知競(jìng)賽成績(jī)滿分為100

分，統(tǒng)計(jì)表中m解答下列問(wèn)題：

甲組20名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表

成績(jī)（分）708090100

人數(shù)3ab5

（1）求統(tǒng)計(jì)表中“，匕的值；

（2）小明按以下方法計(jì)算甲組20名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均分是：（70+80+90+100）4-4=

85（分）.根據(jù)所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)判斷小明的計(jì)算是否正確，請(qǐng)寫(xiě)出正確的算式并計(jì)算出結(jié)果；

（3）如果依據(jù)平均成績(jī)確定競(jìng)賽結(jié)果，那么競(jìng)賽成績(jī)較好的是哪個(gè)組？請(qǐng)說(shuō)明理由.

乙組20名學(xué)生竟賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖

【解答】解：⑴:每組學(xué)生均為20名,

：.a+b=20-3-5=12（名），

'：h=5a,

6?—4?b=8；

（2）小明的計(jì)算不正確，

正確的計(jì)算為：70X5+80*4+9°X8+100X5=87.5（分）；

20

（3）競(jìng)賽成績(jī)較好的是甲組，

理由：乙組20名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均分：100x360-90-90-144+90x9090+70X

360360360

144

360（

80.5<87.7,

競(jìng)賽成績(jī)較好的是甲組.

22.（8分）（2021?包頭）某工程隊(duì)準(zhǔn)備從A到B修建一條隧道，測(cè)量員在直線A8的同一

側(cè)選定C,力兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)2叵m，CD長(zhǎng)為與（亞網(wǎng)），BD長(zhǎng)為3km,ZCDB=135°

242

（A、B、C、。在同一水平面內(nèi)）.

（1）求A、。兩點(diǎn)之間的距離；

（2）求隧道4B的長(zhǎng)度.

AB

【解答】解：（1）過(guò)A作AE_LCO于E,如圖所示:

則N4EC=N4EO=90°,

VZACD=60°,

：.ZCAE=90°-60°=30°,

:.CE=1AC=^-^AE=&3行(km),

244

：.DE=CD-CE=3(后代)-捉,

473

：.AE=DE,

.?.△AOE是等腰直角三角形，

,4。=&4E=我X旦捉=色巨；

42

（2）由（1）得：是等腰直角三角形,

；.4。=&4E=&巨NADE=45°,

2

VZCDB=135",

AZADB=135°-45°=90°,

：.AB=2=3(km),

即隧道A8的長(zhǎng)度為弘m.

23.（10分）（2021?包頭）小剛家到學(xué)校的距離是1800米.某天早上，小剛到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)

作業(yè)本忘在家中，此時(shí)離上課還有20分鐘，拿到作業(yè)本后騎自行車按原路返回學(xué)校.已

知小剛騎自行車時(shí)間比跑步時(shí)間少用了4.5分鐘，且騎自行車的平均速度是跑步的平均速

度的1.6倍.

（1）求小剛跑步的平均速度；

（2）如果小剛在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分鐘，他能否在上課前趕回學(xué)校？請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【解答】解：（1）設(shè)小剛跑步的平均速度為x米/分，則小剛騎自行車的平均速度為1.6x

米/分，

根據(jù)題意，得空%+43=當(dāng)”，

2.6xx

解得：x=150,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=150是所列方程的根，

所以小剛跑步的平均速度為150米/分.

（2）他不能在上課前趕回學(xué)校，理由如下：

由（1）得小剛跑步的平均速度為150米/分，

則小剛跑步所用時(shí)間為18004-150=12（分），

騎自行車所用時(shí)間為12-4.5=7.5（分），

?.?在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分，

???小剛從開(kāi)始跑步回家到趕回學(xué)校需要12+4.5+3=22.7（分）.

又；22.5>20,

所以小剛不能在上課前趕回學(xué)校.

24.（10分）（2021?包頭）如圖，在銳角三角形48c中，是BC邊上的高，交4c于點(diǎn)凡

過(guò)點(diǎn)尸作FGLAB,交踴于點(diǎn)G,交于點(diǎn)M,DE,DF.

(1)求證：NG4D+NED尸=180°；

(2)若/AC3=45°,AD=4,tan/ABC=2

【解答】（1）證明：由題可知NAGF=NAOF（同弧所對(duì)的圓周角相等）,

VGFVAB,A。為圓的直徑，

AZAGF+ZGAE=90°,ZADF+ZFAD=90°,

：.ZGAE=ZFAD,

：.ZGAE+ZDAE=ZFAD+ZDAE,即ZGAD=NEAF,

：四邊形AEQF是圓的內(nèi)接四邊形，

.,.ZEAF+ZEDF=180°,

：.ZGAD+ZEDF=]SO0.

（2）解：如圖，

是圓的直徑，且4。是△ABC的高，

AZAED=ZADB=ZAHM=ZAFD=W0,

XAHMsXADB,

???,AH--A--D-,

HMBD

■anN48C=35_=2,

BD

?AH=9

HM

VZACB=45°,

NDAC=NAOF=/AFO=45°,

ZAOF=90°,

,在Rt^A/ZM與Rt△尸OM中：NAMH=NFMO（對(duì)頂角），

XAHMsAFOM,

.FO=AH=5

??贏而一

"."AD=4,

；.OF=OA=2,

...四=5,AM=OA-OM=\,

ON

設(shè)“M=x,則4，=2x,

在Rt^AHM中有：AH&+HM2=AM2,

即（7x）?+/=8,解得汨=義與，jQ=-YE（舍去），

_54

6

"：OF=OA=2,

:.AF=2瓜

在RtZ\AHF中，有：AH2+HF2=AFli,

2

即（2正）2+加=（5A/2）>

3_

解得〃尸=盟5,或HF=-置5,

55

故HF的長(zhǎng)為竺反.

5

25.（12分）（2021?包頭）如圖，已知△ABC是等邊三角形，P是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，CP.

（1）如圖1,以BC為直徑的半圓。交A8于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)R演上時(shí)，連接AP,CD

=AP,連接。P;

（2）如圖2,E是BC邊上一點(diǎn)，且EC=3BE,連接EP并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)尸，若

求證：4EF=3A8；

（3）如圖3,M是AC邊上一點(diǎn)，當(dāng)AM=2MC時(shí)，AB=6a,MP=^i\,△BCP的面

積為S2,求S1-S2的值（用含。的代數(shù)式表示）.

o,R

圖1圖2圖3

【解答】解：（1）如圖1,連接8D,

,/△ABC是等邊三角形,

J.AB^BC,ZABC=60°,

在△84P和△8C￡>中，

'AB=BC

"ZBAP=ZBCD-

AP=CD

:.△BAPqABCD(SAS),

:.BP=BD,NABP=NCBD,

,：ZABP+ZPBC=60°,

；.NCBD+NPBC=60°,

即NPB￡)=60°,

.?.△BOP是等邊三角形，

：.NBPD=60°,

是。。的直徑,

/?ZBPC=90°,

:.NCPD=NBPC-NBPD=90°-60°=30°；

(2)如圖2,連接4P交8c于。，

「△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC^BC,N4BC=/AC8=60°,

,:BP=CP,

C.ADLBC,BD=CD=3_LAB,

26

AAD=AB'sinZABC=AB'sin60°=J^AB,

2

'：yf^AB=4BP,

:.BP=^1AB,

2__________________

?..PC={BP2_BD2=J呼⑻2_(1_起)2=多8,

:.PD=1AD,

2

；EC=3BE,

：.BE=^BC,

6

?：BD=1.BC,

2

：.BE=^-BD,

2

...EP是△AB。的中位線，

：.EF//AB,

:ACEFSMCBA,

.EF=CE=3BE_3

,,ABCB6BET

：.6EF=3AB；

(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)A作AOLBC于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)F,

由(2)得：AD=J^AB=3匹,BC=AC=AB^6a,

2

*.'NCMP=150°,

：.ZPMF=\S00-ZCMP=180°-150°=30°,

,：ZCHP=()0o,

.,.PH=PM,sinNPMF=V^?sin30°=^“'

MH=PM.cosNPMF=4^a?cos30°=2，

2

\'EF1BC,

/.ZCEF=90°,

AZCFE=90°-ZACB=90Q-60°=30°,

:.NCFE=NPMF,

：.PF=PM=-/^i,

：.FH=PF-cosZPFH=-/ja-cos