2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第五章　四邊形

2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第五章四邊形

第一節(jié)平行四邊形與多邊形

考點(diǎn)

易錯(cuò)自糾

易錯(cuò)點(diǎn)1將平行四邊形面積公式與三角形面積公式混淆而出錯(cuò)

1.如圖，在△A5C中，/傷=4,隊(duì).q,將△/!回沿直線/切向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到△T8'。',連接8’,則四邊形ACC'A'

的面積為4.

易錯(cuò)點(diǎn)2誤用“一組對(duì)邊平行，一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形”進(jìn)行判定

2.在四邊形/區(qū)⑦中，已知?!〃〃比；則添加下列條件不能判定四邊形加切是平行四邊形的是（C）

A.AB//DCB.AD=BC

C.AB=DCQ.NB+ZC=180°

易錯(cuò)點(diǎn)3題干未給出圖形而忽略分類(lèi)討論

3.在平行四邊形4比9中，/130"應(yīng)A1,則平行四邊形絲在的面積為8次或16次.

方法

0提分特訓(xùn)

1.[2020鄭州適應(yīng)性測(cè)試]如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，。如配的頂點(diǎn)/I在x軸上,心,入仞060°.以點(diǎn)。為圓心、任

意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,分別交創(chuàng),優(yōu)于點(diǎn)4日再分別以點(diǎn)。,￡為圓心、大于夕國(guó)的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧相交于點(diǎn)￡過(guò)點(diǎn)0

作射線OR交BC于點(diǎn)、P.則點(diǎn)戶的坐標(biāo)為（B）

A.（4,275）B.（6,2力）

C.(273,4)D.(2V3.6)

2.[2020山東濰坊]如圖，點(diǎn)E是MBCD的邊4〃上的一點(diǎn)，且器弓,連接的并延長(zhǎng)交徵的延長(zhǎng)線于點(diǎn)卜;若DEW、DF=\、

則州政力的周長(zhǎng)為（C）

A.21B.28C.34D.42

3.如圖，在。4%力中，點(diǎn)￡.是邊比'上一點(diǎn)，且力族龐；力￡戊、的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)￡4佇62°，則N%56°

4.[2019廣西河池]如圖，在△極;中,〃,￡分別是明居的中點(diǎn)，點(diǎn)?任"的延長(zhǎng)線上，連接CF.添加一個(gè)

條件，使四邊形,4%為平行四邊形，則這個(gè)條件可以是（B）

A./B二/F

B.4B=4BCF

C.AC=CF

D.AD=CF

5.[2019遼寧沈陽(yáng)]如圖，在四邊形/出口中，點(diǎn)/:.和點(diǎn)尸是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),AEVFgBE,且DF〃BE/點(diǎn)。作

CGLAB交相的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

⑴求證:四邊形力及刀是平行四邊形；

⑵若tan/"比!，/祝W5°，仇工夜,則知融勿的面積是21.

⑴證明：；AE=CF,

.\AE+EF=C"EFWAF=CE.

:'DF〃BE、，/DFA=NBEC

又二DF二諷工AMP烏△CBE、

?：AD=CB、4DA—BCE、/.AD//CB、nC

?:四邊形/I皮〃是平行四邊形./

⑵24/

解法提示：丁血力6,?：NQ90°.:

：2的W5°,?：△砥;是等腰直角三角形.4r”

???B（X&、???BG=C（；t.

2

又7lan/。仍看,」.修10,.：/火-6,

?：3舒的面積為6X4=24.

6.如圖,在平行四邊形極力中2a60°,AO汽AB=8,E為四上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)力乃重合）/為切上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)Cfi

重合），將平行四邊形4完'〃沿曲折疊，使點(diǎn)X的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'落在平行四邊形力及力的頂點(diǎn)上，則

4,的長(zhǎng)度為4或胃.

7.如圖，在RtZUSC中,NQ90。，及7=MO8,點(diǎn)〃為48上一點(diǎn)，且4M,點(diǎn)后為，。上一動(dòng)點(diǎn)，將△4?￡沿直線應(yīng)折疊,

得到△凡次當(dāng)以點(diǎn)〃￡氏。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),45■的長(zhǎng)為二遍上速3

真題

考法平行四邊形的性質(zhì)與判定（10年9考）

1.|涉及考點(diǎn):平行四邊形的性質(zhì)、尺規(guī)作圖、角平分線的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理

[2015河南,7]如圖，在。力以力中,用直尺和圓規(guī)作/胡〃的平分線AG交8。于點(diǎn)次連接BF.若//戶6,力?=5,則然的長(zhǎng)為

(C)

A.4B.6C.8D.10

2.|涉及考點(diǎn):平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理

[2014河南,7]如圖尸力物的對(duì)角線力。與劭相交于點(diǎn)OABVAC.若482,47=6,則劭的長(zhǎng)是（C）

A.8B.9C.10D.11

3.涉及考點(diǎn):平行四邊形的性質(zhì)、外角的性質(zhì)

[2016河南,10]如圖，在中，密1腦交對(duì)角線〃■于點(diǎn)￡若/1=20°,則N2的度數(shù)為110」.

作業(yè)

基礎(chǔ)分點(diǎn)練健議用時(shí)：40分鐘）

?考點(diǎn)1多邊形及其內(nèi)角和與外角和

1.[2020廣東]若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540。，則該多邊形的邊數(shù)為(B)

A.4B.5C.6D.7

2.[2020江蘇揚(yáng)州]如圖，小明從點(diǎn)A出發(fā)沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)5,向左轉(zhuǎn)45°后又沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)再向

左轉(zhuǎn)15°后沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)1>…“照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)所走的路程為（B）

A.100米B.80米C.60米D.40米

3.[2020江蘇連云港]如圖，正六邊形4A444A內(nèi)部有一個(gè)正五邊形B、艮艮，旦44〃區(qū)及直線1經(jīng)過(guò)區(qū)員則直線

）與44的夾角a=48:

4.[2020江蘇揚(yáng)州]如圖,工人師傅用扳手?jǐn)Q形狀為正六邊形的螺帽，現(xiàn)測(cè)得扳手的開(kāi)口寬度e3cm,則螺帽邊長(zhǎng)

a=_V3cm.

?考點(diǎn)2平行四邊形的判定與性質(zhì)

5.[2020湖南益陽(yáng)]如圖產(chǎn)力及力的對(duì)角線ACBD交于氤Q若,406,劭=8,則4?的長(zhǎng)可能是(D)

A.10B.8C.7D.6

DR

0

（第5題）第6題）

6.[2020浙江溫州]如圖在△板中,N/MO°,力作陽(yáng)點(diǎn)〃在北邊上以紹切為邊作口況況;則N￡的度數(shù)為（D）

A.40°B.50°C.60°D.70°

7.[2020濮陽(yáng)模擬]如圖，在。中，/沖7,/赧7的平分線與口交于點(diǎn)夕直線力月與比的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)片跳。"；貝U

力〃的長(zhǎng)是（B）

A.3B.3.5C.4D.4.5

8.[2019廣東廣州]如圖尸用力中，9對(duì)角線犯如相交于點(diǎn)。且/?/&〃分別是陽(yáng)能屐2,的中點(diǎn)，則下列說(shuō)

法正確的是（B）

A.EH=HG

B.四邊形“7/是平行四邊形

C.ACA.BD

D.△力的的面積是△￡/、〃的面積的2倍

9.如圖，在口被力中，點(diǎn)￡在力〃上，且4?."介2；3,連接陽(yáng)4c交于點(diǎn)￡若△?/郵和四邊形微沙的面積分別記為$￡,

則S：S為（C）

A.4：9B.2：3C.6：11D.6：13

10.[2019鄭州外國(guó)語(yǔ)三模]在中,NO90°,47=6,808,點(diǎn)〃為該平面內(nèi)一點(diǎn).若以4氏為頂點(diǎn)的四邊形是平

行四邊形，則此平行四邊形的周長(zhǎng)為（D）

A.28或32B.28或36

C.32或36D.28,32或36

11.[2019四川達(dá)州]如圖尸屈力的對(duì)角線花物相交于點(diǎn)。，點(diǎn)少是4?的中點(diǎn)，△腕的周長(zhǎng)是8,則△質(zhì)的周長(zhǎng)為

16.

12.在平面直角坐標(biāo)系x片中尸。1%的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,4）,點(diǎn)B在x軸的正半軸上，乙4班的平分線交

于點(diǎn)6,連接BG若加平分/仍C則水的長(zhǎng)為2遍.

13.[2019河北保定二模]如圖，在△力應(yīng)'中,/〃加90。/為力夕邊上一點(diǎn)，連接CD,E為5的中點(diǎn)，連接班'并延長(zhǎng)至點(diǎn)

人使得成"能連接力'交4?于點(diǎn)G,連接CF.

⑴求證:四邊形仍。’是平行四邊形；

（2）若NG30。，&求a?的長(zhǎng).

⑴證明：丁點(diǎn)夕為。9的中點(diǎn)，

?：CE=DE.

又\*EF=BEy

,:四邊形〃a廠是平行四邊形.

（2）丁四邊形〃成尸是平行四邊形，

.：CF//AB.DF//BC、DF=BCA

.9.ZFCG=AA^°,

.：/力切=NIC300,

?：/CGF:/CGD4T.

在RtZk"G中，/'=6,N微;=30°,

.：/吟/二：3百，

.\DG=DF-FG=\.

在RI△DCG中,CD7CG?+DG2

綜合提升練（建議用時(shí)：30分鐘）

1.[2019洛陽(yáng)一模]如圖，點(diǎn)4是直線/外一點(diǎn)，在/的另一側(cè)任取一點(diǎn)A；以點(diǎn)〃為圓心、掰的長(zhǎng)為半徑作弧交直線

1于點(diǎn)/V；再分別以昧V為圓心，以大于匏V的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)P.連接即交直線1于點(diǎn)A.點(diǎn)C是直線1

上一點(diǎn)，點(diǎn)〃，石分別是線段仍吹的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在。的延長(zhǎng)線上,若/物=/用4>8,力廬6,則四邊形力及方的周長(zhǎng)為（I））

A.8B.10C.16D.18

2.[2019山東威海]如圖/是孫8由邊力〃延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BE,CE,BD,BE交切于點(diǎn)K添加以下條件，不能判定四邊

形式即為平行四邊形的是（C）

li

A.ZABD=ZDCEB.DF=CF

C./AEB=/BCDD./AEC=/CBD

3.［2021預(yù)測(cè)］如圖,在平行四邊形ABCD中,NABC4Q°,4?力,及7=2,點(diǎn)￡為射線比■上一動(dòng)點(diǎn)，將△/1必沿直線折疊,

得到△{/%；當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，比.的長(zhǎng)為二

4.［2018南陽(yáng)三模］如圖,四邊形4及力中,4〃〃應(yīng);4ascm,a'=12cm,M是比■上一點(diǎn)，且秘=9cm,點(diǎn)E從點(diǎn)力出發(fā)以1

cm/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)廠從點(diǎn)。出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)夕運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之

停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,則當(dāng)以4機(jī)￡尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),r一泡打.

5.［2019許昌一模］如圖，將。放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知4(-2,0)的2,0)以0,3),反比例函數(shù)吟(“>0)的圖

象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

(2)能否通過(guò)平移切及以使它的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好同時(shí)落在反比例函數(shù)的圖象上？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出平移過(guò)程;若

不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解:(1)「四邊形4及力是平行四邊形,*-2,0),用2,0),

.：CD=ABA

又“0,3),.：點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,3).

將點(diǎn)［4,3)代入理，得AT2,

故反比例函數(shù)的解析式為用.

(2)能.將。，應(yīng)力先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位.(答案不唯一)

6.(2021預(yù)測(cè)］如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，直線.哼廠4與拋物線吟rFx+c交于坐標(biāo)軸上“兩點(diǎn)，拋物線與x軸的

另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.

⑴求拋物線的解析式.

⑵點(diǎn)〃是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)4員。重合），點(diǎn)M是＞軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)AM使得以點(diǎn)8。上材為頂點(diǎn)的四邊

形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)，的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解:⑴對(duì)于丫爭(zhēng)~4,令狀0,得y=-\y

令尸0,得產(chǎn)3,

」。0,心）,43,0）.

把.7（，0）,?0,1）分別代入7爭(zhēng)‘的"，

得￡X32+3b+c=o,解得,=-1,

1c=-4,（c=-4.

故拋物線的解析式為，亨爭(zhēng)7.

（2）存在.

當(dāng)8（、為平行四邊形的一邊時(shí),/火〃以：

.：%-"/可LF,即—/4）YY）N.

當(dāng)“為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),////3“易知yr=~A.

綜上,/%/N.

設(shè)小哈U*I）,則筑1//7；1.

當(dāng)前爭(zhēng)m時(shí)，解得Uh-1^/7,w-1-y/7.

當(dāng)刎爭(zhēng)/T二T時(shí)，解得分"0（不合題意,舍去）

故點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為\S、\夕或2.

全國(guó)視野創(chuàng)新練

操作型[2020浙江金華]如圖，平移圖形用與圖形A.可以拼成一個(gè)平行四邊形廁圖中”的度數(shù)是30

（第2題）

2.新情境2020浙江金華］如圖是小明畫(huà)的卡通圖形,每個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)都相等，相鄰兩正六邊形的邊重合，點(diǎn)AAC

均為正六邊形的頂點(diǎn),月6與地面a'所成的銳角為￡,則tan￡的值是_喘_.

第二節(jié)矩形、菱形和正方形

----------------------------------------、——易錯(cuò)自糾

易錯(cuò)點(diǎn)1不熟悉四邊形或平行四邊形與特殊平行四邊形之間的關(guān)系而致錯(cuò)

1.下列說(shuō)法正確的是(D)

A.一組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形

B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

C.對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是正方形

D.對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形

易錯(cuò)點(diǎn)2因分類(lèi)不全面而出錯(cuò)

2.在矩形ABCD中,懸￡尸在直線/〃上，且四邊形四喏是菱形，則力廣的長(zhǎng)為2或8.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中"1(0,3),點(diǎn)N是直線尸1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以點(diǎn)〃力圈。為頂點(diǎn)的四邊形

是菱形時(shí)，點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為3?入②2注,3-2四或2企.

-------2J--------

X=l

方法

■分特訓(xùn)

1.如圖,在矩形4及力和矩形CEFG中,AB=\、BC=CG2CEA點(diǎn)P在邊G尸上，點(diǎn)。在邊◎1上，且PF=CQ遙接4。和PQ,M、N

分別是.他/婚的中點(diǎn)廁冊(cè)的長(zhǎng)為—苧

A

GM

N

B口C（第2題）

2.[2019貴州安順]如圖，在RtZU%中,NHICWO。，且仍點(diǎn)〃是斜邊比'上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)〃分別作DMVAB

于點(diǎn)必〃歸_/于點(diǎn)A；連接則則線段J邠長(zhǎng)的最小值為—半

3.如圖，在D/M?中,MA.是劭上兩點(diǎn)，陽(yáng)=砒連接制陽(yáng)。匕圾添加一個(gè)條件，使四邊形4幻T是矩形，這個(gè)條件是（A）

A.aif^ACB.MB=MO////

C.BDA.ACD.aAMB=4CND~~-^*C

4.如圖，菱形，始G9的對(duì)角線4,加相交于點(diǎn)是成的中點(diǎn)，點(diǎn)GG在AB上,EF1AB,0G〃EF.

（1）求證:四邊形兩是矩形；

⑵若AD=IO,EF=4,^位■和W的長(zhǎng).

D

⑴證明：:四邊形4?⑶為菱形，

.:點(diǎn)。為物的中點(diǎn)._-^.C

又丁點(diǎn)￡為血?的中點(diǎn)，

.：0￡為的中位線,

.".OE//FG.

又,.?OG//EF,

.：四邊形6?%'為平行四邊形.

又:EF1AB、

.:四邊形頒；為矩形.

⑵丁點(diǎn)￡為的中點(diǎn),4M0,

舄/眇5

又T/EFA由0：EFA

:,四邊形ABO）為菱形,

.：AB=AD=IO,

.:吟仍巧.

:?四邊形〃￡7匕為矩形，

；.FG=OE4、

.：BG=AB/fG=103H5=2.

5.[2019河師大附中二模]如圖,在矩形48cp中,40=5/8=8,點(diǎn)￡為射線ZT上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△?!〃￡沿直線折疊,當(dāng)點(diǎn)。

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)廠剛好落在線段48的垂直平分線上時(shí)，則比.的長(zhǎng)為'或10.

6.SCD中,BCa,NB$Q。，將。沿翻折至連接B'D.若以點(diǎn)4，。/'為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，則

的長(zhǎng)為或」次.

7.(2019許昌二模］如圖，菱形｛及⑦的對(duì)角線，伍加相交于點(diǎn)〃，過(guò)點(diǎn)〃作MAB于點(diǎn)4連接以若/麗=20。，則

N4r的度數(shù)是(C)

A.120°B.130°C.140°D.150°

8.［2020黑龍江哈爾濱］如圖,在菱形4%力中,對(duì)角線血相交于點(diǎn)0,點(diǎn)。,在線段加上，連接,4￡若

勿=2能NZM￡=N〃￡4,￡0=1,則線段熊的長(zhǎng)為2&.

9.［2020許昌二模］

如圖,四邊形力靦的兩條對(duì)角線劭交于點(diǎn)O,OA=OC,OB=OD.添加下列條件，仍不能判定四邊形月及第為菱形的是

(C)

A.ACLBDB.AB=BC

C.AC=BDD.NBAC=NDAC

10.如圖，在,％式》中,4見(jiàn)_做//6,/193舊,將4及笫沿施方向移動(dòng)t個(gè)單位長(zhǎng)度，得到連接AB'.C'D.

(1)求證:四邊形zib'C'。是平行四邊形.

⑵磅t=」時(shí),四邊形49'C'4是矩形;

②St=廠兩四邊形也'C'〃是菱形.

⑴證明：：?四邊形,4及⑦是平行四邊形，

；.AD〃BC、AD=BC.

:,將△BCD沿加方向移動(dòng)t個(gè)單位長(zhǎng)度，得到△6'。'〃',

.：B'C'〃BGB'C'=BC、

.'.AD//B'C.At^B'C,

.：四邊形DC'〃是平行四邊形.

⑵④②9

解法提示:①當(dāng)四邊形，仍'C'〃是矩形時(shí),/〃'49=90°.

AD2-AB2-9.

易證△4?'時(shí)△〃超

ABBB'

~DB~AB肥軍..:緲w,

故/=4.

②S四邊形.仿Z'〃是菱形時(shí),,仿'=/以

VABLBD.

?：BB'=BD》

故片9.

11.如圖,在菱形力凡加中，乙4=120°48m+1,點(diǎn)“在邊仍上，命二1,點(diǎn)/、是對(duì)角線劭上一動(dòng)點(diǎn)(不含點(diǎn)反。，將△戚

沿〃折疊，當(dāng)點(diǎn)6的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4’落在菱形力版的邊上時(shí)，筋的長(zhǎng)為1或百.

12.[2019湖北黃石]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的邊/位在x軸上，/〃邊的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)

0,將正方形繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后，點(diǎn)6的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8'的坐標(biāo)是(C

A.(-1,2)B.(1,4)C.(3,2)D.(-1,0)

13.[2020山東濱州]如圖，點(diǎn)〃是正方形/由(力內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P到點(diǎn)的距離分別為2倔e,4,則

正方形力成力的面積為11±1百.

14.已知:如圖,在菱形ABCD中，點(diǎn)E,O,F分別為仍用初的中點(diǎn)，連接CE,CF、OE,OF.

(1)求證:△況回△以次

⑵當(dāng)AB與8c滿足什么關(guān)系時(shí),四邊形力￡8.是正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)證明：：,四邊形為菱形，

:.AB=BC=CD=DA/B=/D.

又點(diǎn)￡/分別是49”〃的中點(diǎn)，

.：BE=DF,，△8。但4DCF.

(2)當(dāng)時(shí),四邊形4￡0'為正方形.

理由如下：

:?點(diǎn)￡"分別是仍何的中點(diǎn),陽(yáng)

又BC"M；.OEHAD般OE//AF.

同理可證OF//AE,

.：四邊形/仇獷為平行四邊形.

由⑴可得/乒"；

.：平行四邊形,4￡〃尸為菱形.

"BCLAB,

.：Z5=90°,

.：N陰廬90",

.：菱形力￡。尸為正方形.

15.如圖,正方形A?5的邊長(zhǎng)為10,點(diǎn)尸是火上的動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，點(diǎn)￡是⑦的中點(diǎn)，連接AE、BE、AF,作4ABF關(guān)

于直線4尸的對(duì)稱(chēng)圖形，點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G；當(dāng)點(diǎn)G,落在△』比.的一邊上時(shí),G￡的長(zhǎng)為V5§￡5V5-

10

真題

考法1矩形的性質(zhì)與判定

1」涉及考點(diǎn):折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)與判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理|

點(diǎn)"落在矩形/耿力的邊上廁a的值為—速苧

2.涉及考點(diǎn):折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)與判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理

[2016河南,15]如圖，已知AD//BC.ABLBQAB^).點(diǎn)A為射線式1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接仍將△力應(yīng)■沿折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)

8'處，過(guò)點(diǎn)6'作4〃的垂線，分別交｛〃典于點(diǎn)MN當(dāng)點(diǎn)6'為線段MV的三等分點(diǎn)時(shí)廨.的長(zhǎng)為手或手.

4--5--

MD

3」涉及考點(diǎn):折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理

[2013河南,15]如圖,在矩形力比力中，力慶3,以工，點(diǎn)E是比‘邊上一點(diǎn)，連接力￡把N8沿力上折疊，使點(diǎn)斤落在點(diǎn)”'處，連

接B'C.當(dāng)△酸夕為直角三角形時(shí)，龍'的長(zhǎng)為3或1.5

考法2菱形的性質(zhì)與判定

4.涉及考點(diǎn):平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定

[2017河南,7]如圖，在口力靦中,對(duì)角線力C而相交于點(diǎn)。，添加下列條件不熊判定。月頗是菱形的只有(C

A.ACLBDB.AB=BC

C.AC=BDD.Z1-Z2

5.|涉及考點(diǎn):菱形的判定、直角三角形的性質(zhì)、圓的相關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)

[2016河南,網(wǎng)如圖，在山“回中2械=9。。，點(diǎn)V是4C的中點(diǎn)，以四為直徑作O。分別交能即于氤連接DE.

⑴求證:珈三見(jiàn)

⑵填空:百月比6,當(dāng)AD吟"吐DE=2;

(2旌接勿，應(yīng)；當(dāng)Z/I的度數(shù)為60°時(shí),四邊形必仍是菱形.

⑴證明:在RtZVl砥中，點(diǎn)〃是〃’的中點(diǎn),

?:物三媽

.：//二/儂.

丁四邊形1四是圓內(nèi)接四邊形，

"ADE+NABEN8。。.

又/力龐+/血3180°,

同理可證N.世力=/4

,:乙MDE二乙甘ED,

，MD二ME.

⑵位

a°

考法3正方形的性質(zhì)與判定

6涉.及考點(diǎn):正方形的性質(zhì)、中位線定理、勾股定理等

[2020河南,14]如圖，在邊長(zhǎng)為2魚(yú)的正方形力?山中，點(diǎn)分別是邊/應(yīng)比、的中點(diǎn)，連接EC、FD,點(diǎn)、分別是用功的

中點(diǎn)，連接674貝IJ中的長(zhǎng)度為1.

7.涉及考點(diǎn):正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理

[2015河南,15]如圖，正方形/眼力的邊長(zhǎng)是16,點(diǎn)￡'在邊四上，力后3,點(diǎn)尸是邊比上不與點(diǎn)5(重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把

△仍尸沿命折疊，點(diǎn)夕落在"處，連接B'C、B'D.若△鹿’恰為等腰三角形，則△'的長(zhǎng)為16或1/.

AD

運(yùn)

BFC

考法4四邊形的動(dòng)態(tài)綜合題

8.惜及考點(diǎn):平行四邊形、菱形、矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)|

[2012河南,18]如圖,在菱形/區(qū)中中,/1廬2,NZM戶60°,點(diǎn)E是4。邊的中點(diǎn)，點(diǎn)//是/山邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，連

接，監(jiān)并延長(zhǎng),交射線⑦于點(diǎn)八；連接UD,AN.

(1)求證:四邊形川位V是平行四邊形.

(2)填空:⑦當(dāng)4"的值為1時(shí),四邊形4極杵是矩形；

尊41/的值為2時(shí),四邊形和例是菱形.上——D----------C

解:⑴證明：>四邊形應(yīng)四是菱形，.:即〃4也\7\\/

.：/NDE=4MAE、NDNE=NAME.MN/

又二點(diǎn)ZT是布的中點(diǎn)，AMB

.：DE=AE,

.：△」《國(guó)△」〃￡

.\ND=MA、

.：四邊形A'U)N是平行四邊形.

(2卬徵

9」涉及考點(diǎn):菱形的判定、直角三角形的判定與性質(zhì)、三角函循

[2011河南,22]如圖，在RtZUbC中,N於90。，仇°.點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)沿。方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速

度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)￡從點(diǎn)A出發(fā)沿四方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)6勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)

終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)4E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t(t>0)秒.過(guò)點(diǎn)。作加工比于點(diǎn)￡連接DE.EF.

⑴求證/￡=〃￡

(2)四邊形力能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值;如果不能，說(shuō)明理由.

(3)當(dāng)r為何值時(shí)，△頗為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

D

B

⑴證明:在△加C中,NWG90°,ZC=QO°,DC^2t,

?：DF=t.

又VA^t,

.\A￡=DF.

(2)能.

；ABLBQDFLBC、.：AE//DF.

又/彷'=〃￡.：四邊形IE叨為平行四邊形.

「在RtAUC中,/6=30°,

.■.AK=BC-tan3004石,."CN/i5=10.

若使平行四邊形川％。為菱形，則需.4Z"4〃，

即Z=10-2r,.：t=y,

故當(dāng)/考時(shí)，四邊形小叨為菱形.

(3)/為，或4時(shí)，△龐尸為直角三角形.

理由如下：

磁Z.EDF雜。時(shí)，四邊形/方尸"為矩形.

在RtZ\4F〃中,N4應(yīng)'=NO30°,

.：初24￡即10-2f2r,解得若.

翦NDEF劍時(shí)，由(2)知EF//AD,

"ADE=NDEF幫：

：'ZA=90°-ZC=60",

J.A3AE。cos60°,

即10-21/，,解得t=4.

的90。時(shí)，此種情況不存在.

綜上所述，當(dāng)琦或4時(shí)，△游為直角三角形.

作業(yè)

基礎(chǔ)分點(diǎn)練(建議用時(shí)：70分鐘)

?考點(diǎn)1矩形的性質(zhì)與判定

1.(2020江蘇連云港］如圖，將矩形紙片ABCD沿虛折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角線加上的4'處，若N的。24。，則N/1'以等

于

A.66°B.60°

C.57°D.48°

2.已知3紀(jì)9,下列條件中，不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形的是

A.ZA=ZBB.NA=NC

C.AC=BD\),ABVBC

3.［2019信陽(yáng)二模］如圖，在矩形/切口中,仍2%在⑦上取一點(diǎn)￡使川耳區(qū)則的度數(shù)為(C)

A.30°B.45°

C.15°D.不能確定n一

4/2019許昌一模］如圖,,4。是矩形月氏第的一條對(duì)角線3是力。中點(diǎn)，連接儆再分別以點(diǎn)4〃為圓心、大于品〃的長(zhǎng)

為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)￡連接EF交49于點(diǎn)G.若四3/04,則四邊形力a力的周長(zhǎng)為

A.8B.8.5C.9D.9.5

7?(第4題)(第5題)

5.［2018貴州遵義］如圖，點(diǎn)P是矩形力靦的對(duì)角線然上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)〃作仔77%分別交做⑦于￡1；連接PB、PD.若

力￡、之,/不用，則圖中陰影部分的面積為

A.10B.12C.16D.18

6.［2020廣東廣州］

6.如圖，矩形/威力的對(duì)角線A&BO交于點(diǎn)、QAB&BC4,過(guò)點(diǎn)、。作位1區(qū)交力〃于點(diǎn)￡過(guò)點(diǎn)￡作ERLBD,垂定為7?；則

應(yīng)力%的值為

7.［2020焦作二模］

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形被⑦的邊外在x軸上,頂點(diǎn)力(M,6)44,0),連接轉(zhuǎn)按下列方法作圖:⑴以點(diǎn)。為圓

心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交以切于點(diǎn)￡￡⑵分別以點(diǎn)為圓心，大于^緒的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)G⑶作射

線CG交力〃于點(diǎn)H.則點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為(D)

A.6B.4C.3D.1

8.[2020廣東廣州]如圖，矩形力仇》中，點(diǎn)G,萬(wàn)分別在邊8Q%＞上，連接/屹￡%4￡將4,4跖和△￡(%分別沿4G,￡C折疊，使

點(diǎn)瓦。恰好落在A?上的同一點(diǎn),記為點(diǎn)F.若困,8=4則sinZDAE=_^_.

9.[2020四川遂寧]如圖，在△4%、中,/俗4,點(diǎn)〃,￡分別是線段比的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)/I作歡,的平行線交班'的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)￡連接CF.

(1)求證:△應(yīng)性△目￡

⑵求證:四邊形ADCF為矩形.

證明:⑴：'AF//AFE=ADBE.

:,點(diǎn)？是49的中點(diǎn),."￡=加

又/AEF=/DEB'；.4BD曜4FAE.

(2);ABD昭4FAE、；.AF=BD.

丁點(diǎn)。是用的中點(diǎn),46=陽(yáng)

.：BD=CD,AD1.BC,.\AF=CD.

又."7/a,：四邊形4戊7」是平行四邊形.

又乙MC90°,.：四邊形4皮方為矩形.

10.[2019黑龍江大慶]如圖,在矩形/眼⑦中，心=3,小4即，在對(duì)角線47上，且4佐制￡尸分別是做8。的中點(diǎn).

⑴求證:儂△勿北

⑵點(diǎn)。是對(duì)角線北上的點(diǎn),NEC490。，求4G的長(zhǎng).

⑴證明：:四邊形/I及力是矩形，

:.AB"CD、AB=CD'

；.ZMAB=/NCD.

在△/a/和中，

(AB=CD,

\0MAB=QNCD,

[AM=CN,

.'△AB34CDN.

⑵連接鈦交4,于點(diǎn)0.

:,四邊形力及切為矩形，

.,.AD//BC,AD-!iC:"y/AB2+BC2=5,

；.NEAO=/FCO、AE=CF.

又ZEOA=NFCO,

.：￡(AN),AO=CO.

:NEGF郎。、OG中1喝Q

.?.AG=OA-GO=\或AG=OA^GO=\,

."C的長(zhǎng)為1或4.

?考點(diǎn)2菱形的性質(zhì)與判定

11.（2018湖北十堰］菱形不具備的性質(zhì)是(B)

A.四條邊都相等B.對(duì)角線一定相等

C.是軸對(duì)稱(chēng)圖形I）.是中心對(duì)稱(chēng)圖形

12.[2019河北]如圖，菱形械力中,N〃=150。，則Nl=(D)

A.30°B.25°C.20°D,15°

13.［2019貴州畢節(jié)中考改編］在平行四邊形1閱9中"匕劭是兩條對(duì)角線，現(xiàn)從以下四個(gè)關(guān)

系:勤8=比：勃。物:③4cL初勘AL%中隨機(jī)取出一個(gè)作為條件，可推出平行四邊形4ra是菱形的是（B）

A.&2）B.C.??D.③④

14.［2020遼寧撫順］

如圖,四邊形力及力是菱形，對(duì)角線/優(yōu);物相交于點(diǎn)點(diǎn)￡是由上一點(diǎn)，連接陽(yáng)若龐工圖則的長(zhǎng)是（B）

A.2B.1C.3D.4

15.（2019廣東深圳］如圖，菱形4及力的邊長(zhǎng)為4,N班〃=120°.點(diǎn)￡/?'分別為邊AB,AD上的點(diǎn),BE=AF.〃、與環(huán)交于點(diǎn)G,

連接EC.CK有下列結(jié)論：

①4BC跆4ACP、

②少為等邊三角形；

③NAGE=NBEC,

理"=1,則跖=3月C.

其中正確的結(jié)論有(D)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

16.［2020廣東］如圖，在菱形械》中,N4-30°,取大于物的長(zhǎng)為半徑，分別以點(diǎn)48為圓心作弧相交于兩點(diǎn),過(guò)此兩

點(diǎn)的直線交成邊于點(diǎn)鳳作圖痕跡如圖所示），連接BE、BD.則NE必的度數(shù)為6」.

17.［2019廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)］如圖，在菱形/仿切中,對(duì)角線〃；物交于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)d作/1〃_1及;于點(diǎn)〃已知BO=4,SSK

.故?產(chǎn)24則AH=-y

18.［2020江蘇揚(yáng)州］如圖尸力朋的對(duì)角線力C初相交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)。作正1的分別交明〃。于點(diǎn)"；連接AF,CE.

⑴若嗚，求)的長(zhǎng)

(2)判斷四邊形/傷夕'的形狀,并說(shuō)明理由.

解:(1)丁四邊形力施力是平行四邊形，

?：AB//CDQA=OC,,：ZEAO=Z.FCO.ZOEA=/OFC.

.：△力〃3△《小

.\FO=EO.

又丁。弓，

；.曄2%尢義3衿

(2)四邊形/或＞是菱形.

SS：?.,EFLAC,OE=OF,OA=OC.

.：四邊形/故，是菱形.

?考點(diǎn)3正方形的性質(zhì)與判定

19.［2019湖南長(zhǎng)沙地區(qū)模擬］下列說(shuō)法中不正確的是(D)

A.兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形

B.兩條對(duì)角線相等的菱形是正方形

C.兩條對(duì)角線垂直且相等的平行四邊形是正方形

D.兩條對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形

20.［2020許昌二模］如圖,正方形4及力的邊長(zhǎng)為3,4。與劭交于點(diǎn)Q,點(diǎn)￡在邊5c上，且BECEC連接交物于點(diǎn)F,

則"的長(zhǎng)為(C)

A.iV13B.1V13

C.|A/13D.1V13

21.(2020廣東］如圖，在正方形4M中,4戶3,點(diǎn)劭'分別在邊AB,CD上,NEFD4Q°.若將四邊形EBCF論分'折疊，點(diǎn)B

恰好落在49邊上，則班.的長(zhǎng)度為(D)

A.1B.V2C.V3D.2

22.如圖,正方形CWW.的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)4c分別在x軸、y軸上，將正方形OABC繞息。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。，得到正方形

以'2'。',8'。'與4/相交于點(diǎn)/：則點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(D'.

A.(y,l)B.(l凈?卜K

C.(f.l)D.喈)0%'

23.如圖,正方形四切的對(duì)角線交于點(diǎn)Q點(diǎn)￡/分別在做比上(AEVB0且NEOFWO。，OE,DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)虬ORAB

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)八；連接MN.

⑴求證:。聆加

(2)若正方形4瓦〃的邊長(zhǎng)為4,為如的中點(diǎn)，求拗.的長(zhǎng)

⑴證明：:四邊形，仍成是正方形，

?：OA=OBZDAOa50,N倒N5:ACLBD,

」N614人/如W135°/AOB戈Q°.

又7/EOF挈°,

???/AOM二/BON、

?：△如慮△飯M

,\OM=ON.

⑵過(guò)點(diǎn)。作0〃_L4。于點(diǎn)〃

則OH〃AB、OH二DH二A吟由它.

又：苫為期的中點(diǎn)，二物力步2

?：//I/-1,Z如R22+42-2V5,

Z.I/\V20I/-2V10.

24.[2020開(kāi)封二模]如圖,4?是?！ǖ闹睆?，過(guò)點(diǎn)力作。。的切線AP點(diǎn)，是射線北上的動(dòng)點(diǎn)，連接CO交。。于點(diǎn)￡過(guò)

點(diǎn)“作BD//CO,交O。于點(diǎn)〃，連接DEMCD.

⑴求證：。=6P.

(2)填空：

①^乙怙。的度數(shù)為3()時(shí),四邊形EOBD是菱形;

②?應(yīng)勺〃，則當(dāng)47二鳧_(用含〃/的式子表

示)時(shí),四邊形“W是正方形.

⑴證明：丁BD〃C。、?：/OBD「/AOE、/ODB「/EOD.

;OB=OD、?*?/OBD=/ODB,?，?/AOE=4EOD,

(AO=DO,

在和中JCIAOC=口OOC,

(co=co,

,ROC旭△OCD、?：CA=CD.

⑵刎。若m

解法提示:①丁四邊形必必是菱形,,：如.又丁如;如「AM9是等邊三角形,,：//%=/如〃W0°.7"是。。的切

線,.：N6MCR0°,,：//0＞考0°.

2：?四邊形”刀〃是正方形△〃例是等腰直角三角形,.：(加-〃〃當(dāng)例耳佝火號(hào)公

綜合提升練(建議用時(shí)：50分鐘)

1.[2020浙江紹興]如圖，點(diǎn)。為矩形1比》的對(duì)稱(chēng)中心，點(diǎn)￡從點(diǎn)A出發(fā)沿4?向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)4停止，延長(zhǎng)E0交

切于點(diǎn)￡則四邊形刈%＞形狀的變化依次為(B)

A.平行四邊形一正方形一平行四邊形~矩形

B.平行四邊形一菱形一平行四邊形~矩形

C.平行四邊形一正方形一菱形一矩形

D.平行四邊形一菱形一正方形一矩形

2.[2020湖北恩施州]如圖,正方形力及刀的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E在47上且防N產(chǎn)為對(duì)角線4。上一動(dòng)點(diǎn)，則△毋7?周長(zhǎng)的

最小值為(B)

A.5B.6C.7D.8

3.[2020陜西]如圖,在菱形｛及笫中走60。，點(diǎn)后在邊4。上，且AE=2.若直線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)￡將該菱形的面積平分,

4.[2019平頂山三模]如圖,在菱形40中,4?2,/胡如120。，點(diǎn)￡戶分別是邊44加上的動(dòng)點(diǎn)，將△應(yīng)獷沿直線EF折

疊，使點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8’始終落在邊切上，則4萬(wàn)兩點(diǎn)之間的最大距離為2^/3.

5.[2020南陽(yáng)宛城區(qū)一模]在矩形紙片胸中”仿當(dāng)，比N5,沿著過(guò)該矩形紙片頂點(diǎn)的一條直線將N3折疊，當(dāng)點(diǎn)6的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)6'恰好落在矩形的邊力。上時(shí)，折痕的長(zhǎng)為9&或5-/10

6.如圖，在正方形力及力中,4明3,點(diǎn)片在4〃邊上，且4￡=2.點(diǎn)尸是射線比1上一動(dòng)點(diǎn)，連接/叫啊過(guò)點(diǎn)P作PFLBE于羔

人.當(dāng)△必F與相似時(shí),游的長(zhǎng)為2或停.

---------4---

7.[2020開(kāi)封一模]如圖，矩形4及力的兩個(gè)頂點(diǎn)分別在y軸和x軸上,對(duì)角線A&BD交于息￡過(guò)點(diǎn)(■作優(yōu)Lx軸于

點(diǎn)F.已知反比例函數(shù)y§(xX))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)￡與CF交于點(diǎn)G,點(diǎn)4//的坐標(biāo)分別為(0,3),(2,0),(8,0).

⑴求反比例函數(shù)的解析式.

⑵在x軸上是否存在點(diǎn)已使得加V。的值最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解:⑴丁00軸，?：/加仁90'-Z.AOB.

:4(0,3),及2,0),外8,0),,：如-3,08-2,0)，

；?BF鼻嗓鼻.

???/ABO+/CBF4SCF+/CBF*Q；

,4ABO二Z.BCF、??，AAO吐ABFC,

?喘喘"臉」"小：儂).f°

丁四邊形仍成為矩形,?：點(diǎn)￡為NC的中點(diǎn).

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得乂與工力專(zhuān)白竭).

把尺嗎)代入廣3得R居M,4F

.:反比例函數(shù)的解析式為.

x

(2)存在.

對(duì)于「司14令「8,則『*7.W8彳7).

作點(diǎn)(；關(guān)于*軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仁則點(diǎn)。'的坐標(biāo)為(8,5

連接僅'，則冊(cè)'與八軸的交點(diǎn)即為〃處672的值最小時(shí)點(diǎn)/)的位置，如圖所示.

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得等工學(xué)!

解得用可,乂也?：火6,7).

設(shè)直線%’的解析式為y=ax+b.

7

把體,7),/(8,i)分別代入?.,―/，，

35

6a+b=7,a----

8

得7解得

8a+b=—?,133

4,b=—-

.：直線加"的解析式為L(zhǎng)輸苧.

84

a工35133A八mi38.“38八、

8455

8.[2019駐馬店地區(qū)模擬]如圖,在矩形ABCD中,AE平分NBAC交附于點(diǎn)E、CF平■臉4ACD交/M于點(diǎn)￡連接能交AC

于點(diǎn)。，點(diǎn)“為反'的中點(diǎn)，點(diǎn)A,'為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)4?重合)4加6

⑴求證:次

(2)填空:儂砥=」百—時(shí)，四邊形4即■,為菱形；

②SQ的條件下，當(dāng)創(chuàng)三二V5_時(shí),四邊形公加'為平行四邊形.

⑴證明：：?四邊形/以要是矩形,

；.AB=CD、AB〃CD/B=/DW°、

BMC

，/BAC=/ACD.

TNBAEfZBAC,ZDC吟ZACD,

；./BAE=/FCD.

在△，跖和△口/中，

Z.BAE=Z.DCF,

AB-CD,

Z.B=Z.D,

.：△/?儂△亦

⑵(2W3

9.規(guī)定:有一角重合，且角的兩邊疊合在一起的兩個(gè)相似四邊形叫做“嵌套四邊形”，如圖,四邊形4閱9和和火V就是

嵌套四邊形.

⑴問(wèn)題猾想:如圖⑴，嵌套四邊形4及6,4網(wǎng)；都是正方形，現(xiàn)把正方形4"丫順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°得到正方形4，。%,連

接交于點(diǎn)。，則BM'與ZW'的數(shù)量關(guān)系為BM'小.