2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《探索二次函數(shù)綜合型壓軸題解題技巧》分類訓(xùn)練二：與角的度量有關(guān)的壓軸題（含答案）

2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《探索二次函數(shù)綜合型壓軸題解

題技巧》分類訓(xùn)練二：與角的度量有關(guān)的壓軸題

方法提煉：

1.將角的度量關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的數(shù)量，利用邊的數(shù)量關(guān)系求解問題的答案。

2.利用角的度量關(guān)系，尋找問題中的特殊角，結(jié)合三角函數(shù)求解。

3.利用角的度量關(guān)系，構(gòu)建圖形的全等、相似，利用圖形的全等、相似的性質(zhì)求解

典例引領(lǐng)：

例：如圖，拋物線y=o7+3x+c(a<0)與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B

在原點(diǎn)的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,OB=OC=4.

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式.

(2)如圖1,連接BC,點(diǎn)O是直線BC上方拋物線上的點(diǎn)，連接O。，CD.OD交BC

于點(diǎn)F,當(dāng)S&COF：SACDF=4：3時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

(3)如圖2,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-2),點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，連接E8,PB,PE形成

的APBE中，是否存在點(diǎn)P,使NP8E或NPEB等于2NOBE?若存在，請(qǐng)直接寫出符

合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

1.解：(1)；O8=OC=4,

：.B(4,0),C(0,4),

把B(4,0),C(0,4)代入y=ar2+3x+c,得［16a+12+c=0,解得

Ic=4Ic=4

.?.拋物線的函數(shù)解析式為y=-?+3x+4；

⑵如圖1,設(shè)直線8C解析式為產(chǎn)fcv+6則14k+b=0,解得Jk=-1

Ib=4{b=4

...直線BC解析式為y=-x+4,

令點(diǎn)￡＞、F的橫坐標(biāo)分別為切，XF，

?：S&COF：S&CDF=4：3，

?,.SACOF=￡ACOD，即

設(shè)點(diǎn)。橫坐標(biāo)為，，點(diǎn)F橫坐標(biāo)為4h：點(diǎn)F在直線BC上，

：.F(4/,4-4z),

設(shè)直線。尸解析式為y=%'x,貝U4-4f=4於'，

：.k'=＞恥=上匕

4tt

直線。尸解析式為y=±L,

t

???點(diǎn)。在直線。尸上，

：.D(7r,7-7r),

將。(7b7-7f)代入y=-/+3x+4中，得7-7t=-(7r)2+3X7r+4,解得：白=工,

7

力一3

7

二。的坐標(biāo)為(1,6)或(3,4)；

(3)①當(dāng)NPEB=2NOBE,且點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖2,作BE的垂直平分線交。3

于F,連接EF,

在NBE。內(nèi)部作射線EP交x軸于G,交拋物線于P,使NPEB=NEFO,

過點(diǎn)G作GH1BE于H,則BF=EF,設(shè)BF=EF=m,

：.OF=OB-BF=4-m

在RtZXOEF中，NEOF=90°,，；0片+0產(chǎn)=￡尸

22+(4-m)2=m2,解得：m=—,

2

；.BF=EF=$,。尸=4-5=3,

222

tanZOBE=^-=A,tanZOFE=PL=-^-=A,

OB42OF23

2

\'BF=EF

：.NBEF=NOBE

,/ZOFE=ZBEF+ZOBE

：.ZOFE=2ZOBE

'：ZPEB=2ZOBE

:.NPEB=NOFE

：.tanZPEB=^=tanZOFE^^-,設(shè)GH=4a,則EH=3a,

EH3

?*-BE=VOE2+OB2=V22+42=B"=2代-3a

?.?里=tan//OBE=L

BH2

當(dāng)一=工，解得：a=2/￡,

2件3a211

:.GH=,BH=

1111

?,-BG=VGH2+BH2：=7Y

：.OG=OB-BG=4-迫=_￡

1111

設(shè)直線EG解析式為y=-x+b",貝U--H--k"+b°"=0t解得/k"=-2

b"=~2b"=~2

直線EG解析式為y=A-2,

3

X

v=—Y-2xi=-42^2

聯(lián)立方程組2*',解得:(舍去)，，

y1=-2625

y=-x+3x+4y2^T

??Ik—,7，

24

②當(dāng)NPEB=2/OBE,且點(diǎn)「在工軸下方時(shí)，如圖3,過點(diǎn)E作軸，作點(diǎn)B關(guān)于

直線EF的對(duì)稱點(diǎn)G,連接BG交EF于F,

射線EG交拋物線于點(diǎn)P,

,:E(0,-2),

直線EF為：y=-2

；B(4,0),

：.G(4,-4)

直線EG解析式為丫=-工-2,

解方程組

23-?V145

去),

?p(7+V14523-^7145^

-4-'8-

③當(dāng)NPBE=2N0BE,且點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖4,在y軸正半軸上截取0F=0E=2,

作射線BF交拋物線于P,

fOE=OF

在△BOE和ABO尸中，，ZB0E=ZB0F=90°

,OB=OB

：.4BOEmABOF(SAS)

：.ZPBO=ZOBE

：.ZPBE=2ZOBE

易求得直線PF解析式為），=-1+2,

2

1

y=--x+2X[=4X2-^2

聯(lián)立方程組彳2解得I（不符合題意,舍去），,

2丫1=09

ty=-x+3x+4了2力

：.p(-X旦);

24

④當(dāng)NPBE=2NOBE,且點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如圖5,過點(diǎn)E作交直線8P于

F,過F作FG，y軸于G,

由①知：tan/P8E=J^L=匡，BE=2娟

BE3

：.EF=隊(duì)后

3

,/ZEGF=ZBOE=ZBEF=90°

：.ZBEO+ZFEG=ZBEO+OBE=90°

：.ZFEG=ZOBE

:.△EFGS^BEO

?FG-EG-EFFG=EG=4

**0EOBBEJ'_2rT

，F(xiàn)G=&，￡G=^.

33

；.OG=OE+EG=2+旭=2

33

易求得直線BF解析式為尸4-22,

2

13

x

Y=—v-22X[=422

聯(lián)立方程組y2XNN解得I（舍去）,

0丫1=0231

,y=-x"+3x+4y2=—

T，號(hào)

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（3,空）、（口迎近，今也近）、（-1,

24482

旦）、（一烏-型）.

424

如圖3圖1

跟蹤訓(xùn)練:

1.如圖，拋物線y=o7+bx過A(4,0),B(1,3)兩點(diǎn).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸是拋物線上一點(diǎn)，且位于第一象限，當(dāng)aABP的面積為3時(shí)，求出點(diǎn)尸的坐

標(biāo)；

(3)過B作8CJ_0A于C,連接。8,點(diǎn)G是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)/BAG+N08C=ZBAO

時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo).

2.如圖，拋物線丁="2+法+2與x軸交于點(diǎn)A(-5,0),B(1,0),頂點(diǎn)為。，與y軸交

2

于點(diǎn)C

(1)求拋物線的表達(dá)式及。點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)在直線AC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)E,使得/ECA=2/C48,如果存在這樣的

點(diǎn)、E,求出△ACE面積，如果不存在，請(qǐng)說明理由.

3.如圖1,拋物線y=-零x2+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)（0，0）,A（12,0）兩點(diǎn).

（1）求人的值；

（2）如圖2,點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線y=-除*2+云+。上一點(diǎn)，連接P。，若tanN

POA=?,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

2

（3）如圖3,在（2）的條件下，過點(diǎn)尸的直線y=-色氏+機(jī)與x軸交于點(diǎn)F,作CF

5

=0尸，連接OC交拋物線于點(diǎn)。，點(diǎn)8在線段O尸上，連接CP、CB、PB,PB交CF于

點(diǎn)、E,若NP84=2NPCB,NBEF=2NBCF,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

4.如圖，拋物線產(chǎn)-#+%x+c,交x軸于點(diǎn)A、8（4在B左側(cè)），交），軸于點(diǎn)C,直線y

=-x+6經(jīng)過點(diǎn)B、C.

（1）求拋物線解析式;

（2）點(diǎn)尸為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接徹交BC于點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為f,段的

AD

值為d,求d與，的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量，的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E為線段02上一點(diǎn)，連接CE,過點(diǎn)。作CE的垂線交BC

于點(diǎn)G,連接PG并延長交08于點(diǎn)尸，若NOGC=NBGF,F為BE中點(diǎn)，求f的值.

5.拋物線y=a/+c經(jīng)過點(diǎn)(0,-1),交x軸于A(-1,0),B兩點(diǎn)，點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)

拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)如圖1已知直線/的解析式為y=x-2,過點(diǎn)P作直線/的垂線，垂足為當(dāng)PH

=曰>/曲，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖2,當(dāng)N4尸8=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

6.已知拋物線>=》2-蛆-〃?-1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)8的左邊，與y軸交于

點(diǎn)C(0,-3).

(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)。是拋物線上一點(diǎn)，且NACO+/BCO=45°,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)將拋物線向上平移機(jī)個(gè)單位，交線段BC于點(diǎn)M,N,若NMON=45°,求，〃的值.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(-1,0),0(-3,0),C(-4,3),四

邊形ABCD是平行四邊形.現(xiàn)將。A8C。沿x軸方向平移”個(gè)單位，得到。AiBCi",拋

物線M經(jīng)過點(diǎn)4，Ci，D\.

(1)若拋物線例的對(duì)稱軸為直線x=4,求拋物線例的解析式；

(2)拋物線M的頂點(diǎn)為E,若以A,E,。為頂點(diǎn)的三角形的面積等于oABCO的面積

的一半，求〃的值;

(3)在(2)的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得/GB4=/C|E4?若存在，請(qǐng)直

接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中拋物線曠=欠2+版+0交x軸于點(diǎn)4、B,交y軸于點(diǎn)C,4、B

兩點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1和3,C點(diǎn)縱坐標(biāo)為-4.

(1)求拋物線的解析式;

(2)動(dòng)點(diǎn)。在第四象限且在拋物線上，當(dāng)△8CZ)面積最大時(shí)，求。點(diǎn)坐標(biāo)，并求△BCD

面積的最大值；

(3)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得NQBC=45°,如果存在，求出點(diǎn)。的坐

標(biāo)，不存在說明理由.

9.拋物線y=-/+以+c與x軸相交于48兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.直

線y=-2x+6經(jīng)過8、C兩點(diǎn)，連接AC.

(1)求拋物線的解析式：

(2)點(diǎn)P是第一象限拋物線上一點(diǎn)，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為/,連接PC、PB,設(shè)△P8C的面積

為S,求S與，之間的函數(shù)關(guān)系式(直接寫出自變量，的取值范圍)：

(3)在(2)間的條件下，當(dāng)S=3且f<2時(shí)，連接P8,在拋物線上是否存在一點(diǎn)

使NPBQ=NACB?若存在求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/x2+bx+c與％軸交于A、B兩點(diǎn)，與)，軸交

于C點(diǎn)，B點(diǎn)與C點(diǎn)是直線y=x-3與x軸、y軸的交點(diǎn).。為線段AB上一點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式及A點(diǎn)坐標(biāo).

(2)若點(diǎn)。在線段。8上，過。點(diǎn)作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)E,求出點(diǎn)E到直線

BC的距離的最大值.

(3)。為線段A3上一點(diǎn)，連接C￡>,作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)8',連接AB'、B'D

①當(dāng)點(diǎn)8'落坐標(biāo)軸上時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

②在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，2AB,。的內(nèi)角能否等于45°,若能，求此時(shí)點(diǎn)8'的坐標(biāo)；

6

點(diǎn)8,交y軸于點(diǎn)C.直線y=-1+2經(jīng)過于點(diǎn)C、點(diǎn)8,

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)。為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作y軸的平行線交線段BC于點(diǎn)E,交x

軸于點(diǎn)Q,當(dāng)QE=5EQ時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)M為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接DM,DM交線段0C

于點(diǎn)H,點(diǎn)F在線段。8匕連接HF、DF、DC.DB,當(dāng)HF=立，ZCDB=2ZMDF

2

時(shí)，求點(diǎn)用的坐標(biāo).

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖，點(diǎn)Q為線段CP上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作QFLx軸于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)。，

連接C￡>,PD,若SAQDC：SAQDP=2：3,求直線的解析式.

(3)過點(diǎn)B的直線交拋物線于是否存在點(diǎn)例使NABA/=/PC。，若存在，求出點(diǎn)

用的坐標(biāo).若不存在，說明理由.

13.如圖1,拋物線Cj：y=/+(m-2)x-2m(m>0)與x軸交于點(diǎn)A、B(A在B的左

側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,連接AC、BC,SAABC=3.

(1)求機(jī)的值;

(2)如圖2,將射線8C繞點(diǎn)8順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)交拋物線C］第二象限的圖象于點(diǎn)。，連

接。C.當(dāng)x軸恰好三等分AOBC的面積時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)；

(3)將拋物線Ci向右平移，使新拋物線C2經(jīng)過原點(diǎn)，如圖3,C2的對(duì)稱軸/交拋物線

C2于E,交直線y=4于F,直線y=4交C2于點(diǎn)G、”(G在，的左側(cè))，點(diǎn)M、N分別

從點(diǎn)G、”同時(shí)出發(fā)，以1個(gè)單位長度/秒向點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r(秒)，點(diǎn)M、

N到達(dá)F時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，點(diǎn)W在/上，WF=^-,連MW、NE.當(dāng)時(shí)，

4

求，的值.

參考答案

1.解：(1)將點(diǎn)A、8的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得:

a=-1,6=4,

故拋物線的表達(dá)式為：y=-，+4x…①；

(2)過點(diǎn)P作直線山交x軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)P作PHLAB于點(diǎn)H,過點(diǎn)A作4AU直線m,

在AB下方作直線n距離直線AB的長度為PH,

△ABP的面積S=1>XABXPH=2_X3&XPH=3,解得：PH=J2=AN,

22

直線48的傾斜角為45°,故直線相、”所在直線的左值為：-1,

則4加=揚(yáng)，=2,故點(diǎn)M（6,0）,

則直線m的表達(dá)式為：y—-x+6…②，

同理直線n的表達(dá)式為：y=-x+2…③，

聯(lián)立②①并解得：x=2或3,

聯(lián)立③①并解得：x=-5±（舍去史國.）；

22

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（3,3）或（2,4）或（5-717,-1W17）;

22

（3）'：BC=AC=3,故NBAO=45°=NBAG+NOBC,

①當(dāng)點(diǎn)G在A8上方時(shí)，如圖2（左側(cè)圖），

圖2

設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M,連接BM,

OC=OM=\,故NCBM=N08C,

則NCAB=45°=ZCBM+ZMBA^ZOBC+ZABM,而45°=NBAG+/OBC,

故NA8M=NGA8,則4G〃8M,

直線8M表達(dá)式中的％值為：3,

故直線AG的表達(dá)式為：y=-3x+6,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：

直線AG的表達(dá)式為：y=-3x+12…④；

聯(lián)立①④并解得：x=3或4（舍去4）；

②當(dāng)點(diǎn)G在AB下方時(shí)，如圖2（右側(cè)圖），

ZBAG+ZOBC=ZBAO=45°,而NBAG+/GAC=45°,

：.NOBC=NGAC,而tan/。屁=里=工=tanNGAC,

BO3

則直線4G的表達(dá)式為：y=-kx+b',將點(diǎn)4坐標(biāo)代入上式并解得：

3

直線AG的表達(dá)式為：產(chǎn)-12+生..⑤，

33

聯(lián)立⑤①并解得:或4（舍去4）.

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：（3,3）或（工，11）.

39

2.解：（1）?.,拋物線丫=依2+笈+§與X軸交于點(diǎn)A（-5,0）,B（1,0）,

5

0=a+bq

1

b=-2

拋物線的表達(dá)式為：y=-lr2-2x+S,

-22

頂點(diǎn)。(-2,9)

2

(2)如圖，過點(diǎn)C作CM〃AB,過點(diǎn)E作EFLCM,

設(shè)點(diǎn)E(/n,-LJ-2m+—)

22

y=~—x'-2x+$交y軸交于點(diǎn)C,

22

.?.點(diǎn)c(0,5),

2

.?.0C=5,

2

VCM//AB,

：.ZMCA=ZCAB,

,/ZECA=2ZCAB^ZECF+ZMCA,

：.ZECF=ZCAB,且N4OC=NEFC=90°,

.?.△CEFS/XAC。,

?EFFC

""oc"AO：

120

_±_______=-m

2

.\m=0(不合題意)，機(jī)=-3,

.?.點(diǎn)E(-3,4),

???SAAEC=LX(5+4)X3+工X4X2-工義5'§=里

-222222

3.解：(1)?.?拋物線丫=-宇x2+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)(0，0),A(12,0)兩點(diǎn).

.?.c=0,0=-返X144+126+c

2

（2）如圖2,過點(diǎn)P作PELOA于點(diǎn)E,

圖2

..,3\/3

.c=0n,b=v0,

2

拋物線解析式為：y=-返」+幽

8x2

???點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線y=-&+旭上一點(diǎn),

82

工設(shè)點(diǎn)P（/7b-qI7/+三義!■/〃），（7H>0）

82

tanZPOA=工1=罵^,

20E

m2

??.m=8,

:.點(diǎn)P(8,4日)；

（3）連接OP,

直線y=-色巨r(nóng)+機(jī)過點(diǎn)尸（8,4,

5

?m=8/

5

...直線解析式為）=-里多什絲返，

55

當(dāng)y=0,x=2L,

2

.,?點(diǎn)/（21,o）,

2

?：NBEF=NBCF+NPBC,且NBEF=2NBCF,

:?/PBC=/BCF,

■:NPBA=24PCB,NBEF=2/BCF,

：.ZEFB=lS0°-2ZPCB-2ZPBC,

??OF=CF,

：.ZCOF=NPCB+/PBC=ZOCF,

VZCPB=180°-ZBCP-ZPBC,

???NCP8+NC。/=180°,

???點(diǎn)。，點(diǎn)8,點(diǎn)P,點(diǎn)C四點(diǎn)共圓,

:./PBA=/OCP,ZOCB=ZOPB,/BCP=/BOP,

?：4PBA=2/PCB,ZPBA=ZOCP=ZOCB+ZBCP,

：./OCB=NBCP,

：./BPO=ZPOB,

.?.OB=PB,

設(shè)點(diǎn)B（m0）

???OB=BP=a,

??,"=J（8-a）2+4g

；.a=7

...點(diǎn)B（7,0）

設(shè)過點(diǎn)O,點(diǎn)2,點(diǎn)尸，點(diǎn)C四點(diǎn)的圓的圓心M（工，y）,

2

"：MO=MP,

：.（工）2+，=（8-工）2+（4?-y）2,

22

.、=7如

??y—■>

3

（工,）叵,

23

設(shè)點(diǎn)C（a,n）

'：M0=MC,OF=CF,

：.（a-工）2+（6-哂）2=（工）2+（I叵2①,

2323

(三“(少2②,

，由①②組成方程組可求〃=

設(shè)直線OC解析式為：y=kx,且過點(diǎn)C（a,b）

??b=ka9

:，k=>=^

a

二直線OC解析式為：y=Fr,

2

二\^=-^-x+^^x

8X2

.?.xi=0（不合題意舍去），洶=4,

點(diǎn)。（4,4我）

4.解：（1）直線y=-"6經(jīng)過點(diǎn)8、C,則點(diǎn)8、C的坐標(biāo)分別為：（6,0）、（0,6）,則c

=6,

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：b=2,

故拋物線的表達(dá)式為：y=-12+2r+6…①；

2

（2）點(diǎn)P"-1?+2什6）,

2

將點(diǎn)P、A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：），=履+6并解得:

直線AP的表達(dá)式為：y=-A(r-6)x+(6-f),

2

將上式與直線BC的表達(dá)式聯(lián)立并解得：》=_①，

8-2t

故點(diǎn)。（上2+6）,

8-2tt-8

則迫=①，則］=里=生-1=--LAa（o<r<6）；

APypADyD168

（3）設(shè)OE=a,則點(diǎn)E（a,0）,設(shè)。G交CE于點(diǎn)4,

VZECO+ZCO//=90°,ZCOH+ZHOE=90°,ZHOE^ZOCH,

tanZOCH=^-=A=tanZHOE,則直線?？诘谋磉_(dá)式為：>=與…②,

CO6-6

聯(lián)立①②并解得：》=也，故點(diǎn)G（理&-）,

a+6a+6a+6

則BG=&X&_=6我a,貝|jCG=BC-BG=3sM,

a-^6a+6a+6

?：OB=OC=6,故NOCB=NO8C=45°,而NOGC=N8GR

3啦

則△CGOSABGF,即：型皿，即：冬=/6,

BFBGBF6a

a+6

解得：BF=a,尸為BE中點(diǎn)，貝ijOE=EF=F8,

故4=2,故點(diǎn)尸（4,0）,點(diǎn)G（旦，1）；

22

將點(diǎn)F、G的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得:

直線FG的表達(dá)式為：y=3x-12…③,

聯(lián)立①③并解得:X=-1±V37（舍去負(fù)值）,

故尸-1+V37-

5.解：（1）?.?拋物線y=“/+c經(jīng)過點(diǎn)（0,-1）,A（-1,0）,

.fa+c=0

Ic=-l

"a=l,

Ic=~l

.??拋物線的解析式的解析式為y=，-1；

（2）過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線/于點(diǎn)例，

???直線/的解析式為y=x-2,

.?.直線與），軸的夾角為45°,

???NPMH=45

:PH上MH,PH=

:.PM=7,

設(shè)尸（mA2-1）,則M（小。-2）,

：.PM=a-1-a+2=7,

=3,〃2=-2（舍去）,

：.P（3,8）；

（3）如圖2,在y軸上取點(diǎn)。（0,1）,則△A8O為等腰直角三角形,

*：AO=BO=\,NADB=900,

AD=y]_2+]2=&,

以點(diǎn)。為圓心、AO長為半徑畫圓，則點(diǎn)尸在優(yōu)弧A8上時(shí)總有/APB=45°,

連結(jié)PD,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（如w2-1）,

roNm2+（m2-2）2=&，

：.m+（m2-2）2=2,

解得：IU|=,\[2,以2=-\/^（舍去）‘加3=1（舍去），"[4=7（舍去），

:.p（&,1）.

6.解：（1）-m-1=-3,解得：m=2,

故拋物線的表達(dá)式為：y=/-2%-3…①，

令y=0,解得：x=3或-1,

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（-1,0）、（3,0）；

（2）①當(dāng)點(diǎn)。在BC下方時(shí)，

VZACO+ZBCD=45°,則AC_LCD,

則直線CO的表達(dá)式為：y=L-3…②，

3

聯(lián)立①②并解得：x=0或1?,

故點(diǎn)。（工，-20,）；

39

②當(dāng)點(diǎn)。（》）在BC上方時(shí)，

過點(diǎn)。作。ELBC交BC于點(diǎn)H,交CD'于點(diǎn)E,

直線8c的表達(dá)式為：y=x-3-（3）

則ED的表達(dá)式為：y=-x+!…④，

9

聯(lián)立③④并解得：尸工魚，故點(diǎn)”（工魚，-23）,點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（工，-2）,

99993

則直線CE的表達(dá)式為：y=3x-3…⑤，

聯(lián)立①⑤并解得：x=O或5（舍去0）,

故點(diǎn)D（￡）'）的坐標(biāo)為：（5,12）,

綜上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為：（工，-致）或（5,12）；

39

（3）如圖2,拋物線平移后的圖象為虛線部分,

則拋物線的表達(dá)式為：y—x1-2x-3+mCm>0),

設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為：(用，力)、(M、丫2)，

貝!!XI+X2=3,xiX2~m,X2=.3R9一如,

2

'：ZMON=45°=NOCM,ZONM=ZONM,

：.4NOMs叢NCO,

：.NO2^MN-CN,

22

而NC)2=(X2+>'2)>MN=0,(X2-XI),CN=42(2>

即(X22+>>22)=2.r2(X2-X|),

即2X\X2=X2~yi，而丁2=工2-3,

故3內(nèi)品=3+4

223

解得：m=l(-I+V2)(不合題意的值已舍去).

7.解：(1)四邊形ABCD是平行四邊形，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為:-2,3),

即點(diǎn)8在AO的中垂線上，

過點(diǎn)A、。的二次函數(shù)表達(dá)式為：y=a(x+l)(x+3)—a2+4x+3),

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式并解得：。=1,

則過A、C、。的拋物線為：y=，+4x+3=(x+2)2-1,

拋物線M的對(duì)稱軸為直線x=4,相當(dāng)于將上述拋物線向右平移了6個(gè)單位,

故拋物線M的表達(dá)式為：y=(x-4)2-1；

(2)將口ABC。沿x軸方向平移〃個(gè)單位，則點(diǎn)Ci、E的坐標(biāo)分別為：(〃-4,3)、(〃

-2>-1),點(diǎn)A(-1?0),

連接GE交x軸于點(diǎn)M,

將點(diǎn)Cl、E的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=fcv+/7并解得：

直線Ci、E的表達(dá)式為：y=-2x+(2n-5),

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(型殳，0),

2

S^AEC\=—XAMX=—Xa-5+])X4=-ksn/tBCD=_Lx2X3=3,

22222

解得：〃=3；

(3)存在，理由：

由(2)知點(diǎn)C(-1,3),點(diǎn)A(-1,0),貝ijAC_Lx軸，

故點(diǎn)4、G、E作圓Q,則點(diǎn)。在ACI的中垂線上，設(shè)點(diǎn)Q(m,3),

2

則此時(shí)，ZCiM=ZC|￡A,

22

由QG=QE得：(w+1)+(3-旦)2=(w-1)+(1+3)2,解得：“『I,

22

則點(diǎn)Q(1,3),設(shè)點(diǎn)P(0,/),

2

由QP=QE得：1+(旦-力2=(2)2,解得：f二3±V^I,

222

故點(diǎn)p的坐標(biāo)為：(o,3±

2

8.解：(1)拋物線的表達(dá)式為：y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3),

故-3a=-4,解得：a=9,

3

故拋物線的表達(dá)式為：)，=&2_當(dāng)-4;

■33

(2)過點(diǎn)。作)，軸的平行線交BC于點(diǎn)N,

由8、C的坐標(biāo)可得直線BC的表達(dá)式為：y=&-4,

3

設(shè)點(diǎn)。(x,Ar?-2r-4),點(diǎn)N(x,Mt-4),

334

SABCD=—XOBXND=LX3X(&-4-當(dāng)2+當(dāng)+4)=-2r2+6x,

22333

V-2<0,故S有最大值旦,

2

此時(shí)，x=3,點(diǎn)￡>(&,-5)；

22

（3）存在，理由：

直線BC的表達(dá)式為：y=&-4,拋物線的對(duì)稱軸為：x=l,故點(diǎn)“（1,-圖■）,

33

過點(diǎn)。作QM_LBC于點(diǎn)M,tan/0CB=3=tana,ZQBC=45Q,

4

設(shè)QM=3x,則HM=4x,MB=3x,

BH—HM+MB=1X—\A.（3-\2=-12-,解得：X=也>,

丫4+%）321

QH=5X=T，

貝I」改=卅+既=-—>

217

故點(diǎn)。（1,工）.

7

9.解：（1）直線y=-2x+6經(jīng)過8、C兩點(diǎn)，則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)為：（3,0）,（0,6）,

將點(diǎn)8、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：b=\,c=6,

故拋物線的表達(dá)式為：y=-，+x+6…①；

（2）過點(diǎn)P作），軸的平行線交BC于點(diǎn)”，設(shè)點(diǎn)P（f,-P+/+6）,則點(diǎn)“_2t+6）,

S=JLXP〃X0B=3(-Z2+f+6+2r-6)=-2?+與(0<r<3)；

2222

(3)S=3,即：-3?+2=3,解得：『=i或2(舍去2),故點(diǎn)P(1,6),而點(diǎn)B(0,

22

3),

則直線PB的表達(dá)式為：)，=-1+9,則點(diǎn)M(0,9),tanZBMO=A,

33

過點(diǎn)A作8c于點(diǎn)心，

SAABC=工。CXAB=LX8CX4L,即3X5=LxALX3灰，解得：AL=^

222V5

sin/ACB=&=返，則NACB=45°=NMBQ,

CA2

設(shè)8。交y軸于點(diǎn)H,過點(diǎn)H作HNLMB于點(diǎn)N,

NM8Q=45°,

設(shè)：HN=x,則BN=x,MN=3x,

MB=4X=A/9+81，解得：x=jVTo.,

4

”"傷則。"2=842,。"2=旦，

24

則點(diǎn)”（0,3）,

2

則BH的函數(shù)表達(dá)式為：y=-1+3…②，

22

聯(lián)立①②并解得：x=鬢（不合題意值已舍去），

則點(diǎn)。（-3,曳）.

24

10.解：（1）點(diǎn)與C點(diǎn)是直線y=x-3與x軸、y軸的交點(diǎn).

：.B（3,0）,C（0,-3）,

（1

.《X9+3b+c=0

??jN,

c=-3

解得：｛D2.

c=-3

拋物線的解析式為y卷x2X-3，

令‘=°’yx2-yx-3=0,

解得x\=-2,洶=3,

（-2,0）,

（2）設(shè)E點(diǎn)到直線8C的距離為d,E點(diǎn)橫坐標(biāo)為根，尸（加，m-3）,

'：B(3,0),C(0,-3),

；.NOBC=45°,

如圖1，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H,

則為等腰直角三角形，

???EH=d岑?EF,

EFff-3-弓

=-1--(/IR---3-).2+9J

228

當(dāng)?shù)么?，箱的最大值為看?/p>

."=應(yīng)尸=亞義旦=述.

22816

即E到BC的最大距離為3亞.

16

(3)①點(diǎn)3'在以C為圓心，CB為半徑的圓C上;

(I)當(dāng)B'點(diǎn)落在x軸上時(shí)，D\(0,0)；

(II)當(dāng)"點(diǎn)落在y軸上時(shí)，如圖2,CB'=CB=3近,

；NOB'。=45°

：.OD=OB'=3?-3,

A

D2(3V2-3,0)；

②分別畫出圖形進(jìn)行討論求解：

(I)NB'04=45°時(shí)，如圖2,OB'=3々%-3,B'(0,3&-3)

(II)如圖3,連接CB',NB'DA=ZCBD=45°,

：.DB'//BC,可得四邊形。夕CB是菱形,

B'(-3A/2,-3).

(Ill)ZB'">=45°,如圖4,連接C8',過點(diǎn)8'分別作坐標(biāo)軸的垂線，垂足為E、

設(shè)線段FB'的長為根，B'E=AE=2-m,可得CF=5-

在直角三角形CFB，中，m+(5-m)2=(3&)

解得〃i=5-JTi,

2

故B，(Vii-5VTi-1),

22

(IV)如圖5,ZAB'0=45°,連接C9,過點(diǎn)B'作)，軸的垂線，垂足為點(diǎn)F,

由軸對(duì)稱性質(zhì)可得，ZCB'O=NCB￡>=45°,所以當(dāng)NA8'0=45°時(shí)，點(diǎn)A在線段

CB'上，

.B?FA02

,FC而而'

設(shè)線段F8'的長為2加，F(xiàn)C=3m,(2m)2+(3m)2=(3&)2,

解得：機(jī)=昌運(yùn)，"(-遂■，曳定⑷，

131313)

綜合以上可得B'坐標(biāo)為(0,加-3)或(-3\歷，-3)或(然主，嗎T)或(-

6倔9席）

13'13'

11.解：（1）針對(duì)于直線y=-L+2,令尤=0,則y=2,

：.C(0,2),

令y=0,則0=--kr+2,

Ax=4,

：.B(4,0),

將點(diǎn)8,C坐標(biāo)代入拋物線y=o?+4+c中，得|16'+飛~X4+c=°

6門

5

c=2

.?.拋物線的解析式為＞=-王儲(chǔ)+口+2；

66

(2)如圖1,由(1)知，拋物線的解析式為了=-且？+4+2,

66

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(陽,-旦團(tuán)2+工工〃計(jì)2),

66

???DE_Lx軸交8C于E,直線BC的解析式為y=-L+2,

2

:?D(〃力-AV?Z+2),

2

.*?DE=--(-工〃+2)=-DQ=-Am+2,

662632

?:DE=5EQ,

:.-至加+理m=5(-L%+2),

632

.??機(jī)=3或機(jī)=4（點(diǎn)8的橫坐標(biāo)，舍去）,

：.D(3,3)；

(3)如圖2,

由(2)知，D(3,3),

由(1)知，8(4,0),C(0,2),

.,.￡)8=715，DC=yfw，BC=2遙，

：.DC=DB,DB2+DC2=BC1,

:ZDC是等腰直角三角形，

AZBDC=90°,

?；BDC=2NFDM=90°,

：.ZFDM=45°,

過點(diǎn)。作。P_Ly軸于P,則￡>Q=OP,。尸=3,

：.CP=1=BQ,

：./\DPC^/\DQB(SAS),

在CP的延長線取一點(diǎn)G,使PG=QF=〃,

：.OF=3-n,OG=3+n,

：.ADPG^/\DQF(SAS),

：.DG=DF,NPDG=/QDF,

：.ZFDG=ZPDG+ZPDF=ZQDF+ZPDG=ZPDQ=90Q

：.ZGDM=90Q-/FDM=45°=NGDM,

?：DH=DH,

：./\GDH^/\FDH(SAS),

：.GH=FH=^-,

2

：.OH=OG-GH=3+n-至?=〃+1,

22

在RtZV/OF中，根據(jù)勾股定理得，(〃+工)2+(3-n)?=2且，

24

."=1或"=3(此時(shí)，0〃="+工=2,所以點(diǎn)〃與點(diǎn)C重合，舍去),

22

：.H(0,3),

2

VC(3,3),

直線CH的解析式為y=￡r+_|①，

?.?拋物線的解析式為y=-至，+衛(wèi)什2②，

66

(1

x=^7"(_

聯(lián)立①②解得，［7或［A,(由于點(diǎn)M在第二象限，所以舍去),

ly=-i

I5

：.M(-X工).

55

⑵解：(1);拋物線丫=以2+笈-3過點(diǎn)A(-1,0),P(5,12)兩點(diǎn),

.(a-b-3=0

*l25a+5b-3=12，

解得：卜=1,

lb=-2

:?拋物線的解析式為y=/-Zr-3；

(2)如圖1,過點(diǎn)P作PNLy軸，軸,

":S^QDC：S〉QDP=2：3,

???—CQ——2，

PQ3

?.C?Q一二2,

CP5

：PN_Ly軸，QM_Ly軸,

J.QM//PN,

:.叢CQMs叢CPN,

??.Q-M~--C-