2021年中考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)強(qiáng)化突破12份（含解析）

2021年中考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)強(qiáng)化突破：方程、不等式的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

類(lèi)型1方程(組)、不等式的應(yīng)用問(wèn)題

1.某次籃球聯(lián)賽初賽階段，每隊(duì)有10場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝一場(chǎng)得2

分，負(fù)一場(chǎng)得1分，積分超過(guò).15分才能獲得參賽資格.

(1)已知甲隊(duì)在初賽階段的積分為18分，求甲隊(duì)初賽階段勝、負(fù)各多少場(chǎng)；

(2)如果乙隊(duì)要獲得參加決賽資格，那么乙隊(duì)在初賽階段至少要?jiǎng)俣嗌賵?chǎng)？

解：⑴設(shè)甲隊(duì)勝了x場(chǎng)，則負(fù)了(10-x)場(chǎng)，根據(jù)題意可得：2x+10-x=18,解得：x

=8,則10—x=2,答：甲隊(duì)勝了8場(chǎng)，負(fù)了2場(chǎng)；

(2)設(shè)乙隊(duì)在初賽階段勝a場(chǎng)，根據(jù)題意可得：2a+(10-a)>15,解得：a>5,「a為

整數(shù)，.??aJH、=6,答：乙隊(duì)在初賽階段至少要?jiǎng)?場(chǎng).

2.某新建成學(xué)校舉行美化綠化校.園活動(dòng)，九年級(jí)計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A,B兩種花木共100棵綠化操

場(chǎng)，其中A花木每棵50元，B花木每棵100元.

(1)若購(gòu)進(jìn)A,B.兩種花木剛好用去8000元，則購(gòu)買(mǎi)了A,B兩種花木各多少棵？

(2)如果購(gòu)買(mǎi)B花木的數(shù)量不少于A花木的數(shù)量，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種購(gòu)買(mǎi)方案使所需總費(fèi)用最

低，并求出該購(gòu)買(mǎi)方案所需總費(fèi)用.

x+y=100fx=40

解:(1)設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種花木x棵，B種花木y棵，則:,,解得：，

50x+100y=8000|y=60

答：購(gòu)買(mǎi)A種花木40棵，3種花木60棵；

⑵設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種花木a棵，則購(gòu)買(mǎi)B種花木(100—a)棵，根據(jù)題意，得：100-a2a,解

得：aW50,設(shè)購(gòu)買(mǎi)總費(fèi)用為W,則W=50a+100(100—a)=-50a+10000,隨a的增大

而減小，...當(dāng)a=50時(shí)，W取得最小值，最小值為7500元,

3.某蔬菜經(jīng)營(yíng)戶(hù)從蔬菜批發(fā)市場(chǎng)批發(fā)蔬菜進(jìn)行零售，部分蔬菜批發(fā)價(jià)格與零售價(jià)格如表:

蔬菜品種西紅柿青椒西蘭花豆角

批發(fā)價(jià)(元/kg)3.65.484.8

零售價(jià)(元/kg)5.48.4147.6

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

(1)第一天，該經(jīng)營(yíng)戶(hù)批發(fā)西紅柿和西蘭花兩種蔬菜共300kg,用去了1520元錢(qián)，這

兩種蔬菜當(dāng)天全部售完一共能賺多少元錢(qián)？

(2)第二天，該經(jīng)營(yíng)戶(hù)用1520元錢(qián)仍然批發(fā)西紅柿和西蘭花，要想當(dāng)天全部售完后所賺

錢(qián)數(shù)不少于1050元，則該經(jīng)營(yíng)戶(hù)最多能批發(fā)西紅柿多少kg?

x+y=300,x=200,

解：.(1)設(shè)批發(fā)西紅柿xkg,西蘭花ykg.由題意得解得

3.6—520.,y=100.

200X(5.4-3.6)+100X(14-8)=960(元).

答：兩種蔬菜當(dāng)天全部售完一共能賺960元錢(qián).

1590—36月

(2)設(shè)批發(fā)西紅柿akg,由題意得(5.4—3.6)2+(14—8)*旦%±三21050.解得

O

aWlOO.

答：該經(jīng)營(yíng)戶(hù)最多能批發(fā)西紅柿100kg.

類(lèi)型2方程(組)、不等式與函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題

4.某地為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，決定實(shí)行兩級(jí)收費(fèi)制，即每月用水量不超過(guò)12噸(含12

噸)時(shí)，每噸按政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價(jià)收費(fèi)；每月超過(guò)12噸，超過(guò)部分每噸按市場(chǎng)調(diào)節(jié)價(jià)收費(fèi)，小

黃家1月份用水24噸，交水費(fèi)42元.2月份用水20噸，交水費(fèi)32元.

(1)求每噸水的政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價(jià)和市場(chǎng)調(diào)節(jié)價(jià)分別是多少元；

(2)設(shè)每月用水量為x噸，應(yīng)交水費(fèi)為y元，寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)小黃家3月份用水26噸，他家應(yīng)交水費(fèi)多少元？

解：(1)設(shè)每噸水的政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價(jià)和市場(chǎng)調(diào)節(jié)價(jià)分別為a元，b元.依題意得

」2a+l2b=42,[a—1,

■解得

12a+8b=32.Ib=2.5.

答：每噸水的政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價(jià)1元，市場(chǎng)調(diào)節(jié)價(jià)2.5元.

(2)當(dāng)0WxW12時(shí)，y=x.當(dāng)x>12時(shí)，y=12+2.5(x-12),.即y=2.5x-18.；.y=

x(0WxW12)

2.5x-18(x>12)

(3)當(dāng)x=26時(shí)，y=2.5X26-18=65—18=47(元).

答：小黃家三月份應(yīng)交水費(fèi)47元.

5.某超市計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種玩具，已知5件甲種玩具的進(jìn)價(jià)與3件乙種玩具的進(jìn)價(jià)

的和為231元，2件甲種玩具的進(jìn)價(jià)與3件乙種玩具的進(jìn)價(jià)的和為141元.

(D求每件甲種、乙種玩具的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

(2)如果購(gòu)進(jìn)甲種玩具有優(yōu)惠，優(yōu)惠方法是：購(gòu)進(jìn)甲種玩具超過(guò)20件，超出部分.可以

享受7折優(yōu)惠，若購(gòu)進(jìn)x(x>0)件甲種玩具需要花費(fèi)y元，請(qǐng)你求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在⑵的條件下，超市決定在甲、乙兩種玩具中選購(gòu)其中一種，且數(shù)量超過(guò)20件，.

請(qǐng)你幫助超市判斷購(gòu)進(jìn)哪種玩具省錢(qián).

解：(1)設(shè)每件甲種玩具的進(jìn)價(jià)是x元，每件乙種玩具的進(jìn)價(jià)是y.元，由題意得

5x+3y=231,

解得｛x=30,y=27.

2x+3y=141.

答：每件甲種玩具的進(jìn)價(jià)是30元，每件乙種玩具的進(jìn)價(jià)是27元.

(2)S0<x^20ff't,y=30x；Sx>20ff't,y=20X30+(x-20)X30X0.7=21x+180.Ay

130x(0<x^20)

-[21x+180(x>20)

(3)設(shè)購(gòu)進(jìn)玩具z件(z>20),則乙種玩具消費(fèi)27z元;當(dāng)27z=21z+180,則z=30.

所以當(dāng)購(gòu)進(jìn)玩具正好30件，選擇購(gòu)其中一種即可；當(dāng)27z>21z+180,則z>30.所以當(dāng)購(gòu)

進(jìn)玩具超過(guò)30件,，選擇購(gòu)甲種玩具省錢(qián)；當(dāng)27zV21z+180,則z<30.所以當(dāng)購(gòu)進(jìn)玩具多

于20件少于30件，選擇購(gòu)乙種玩具省錢(qián).

6.某工廠有甲種原料130A?0乙種原料144松?.現(xiàn)用這兩種原料生產(chǎn)出A,B兩種產(chǎn)品共

30件.已知生產(chǎn)每件A產(chǎn)品需甲種原料5檢，乙種原料4檢，且每件A產(chǎn)品可獲利700元;

生產(chǎn)每件B產(chǎn)品需甲種原料3A■■乙種原料6且每件B產(chǎn)品可獲利900元.設(shè)生產(chǎn)A

產(chǎn)品x件(產(chǎn)品件數(shù)為整數(shù)件)，根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題：

(1)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品的方案有哪幾種,

(2)設(shè)生產(chǎn)這30件產(chǎn)品可獲利y元，寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，寫(xiě)出(1)中利潤(rùn)最大

的方案，并求出最大利潤(rùn).

l5x+3(30-x)<130

解：(1)根據(jù)題意得：一、一，解得18WxW20,；x是正整數(shù)，..一二

18、19、20,共有三種方案：方案一：A產(chǎn)品18件，B產(chǎn)品12件，方案二：A產(chǎn)品19件，

B產(chǎn)品11件，方案三：A產(chǎn)品20件，B產(chǎn)品10件；(2)根據(jù)題意得：y=700x+900(30-

x)=-200x4-27000,-200<0,，y隨x的增大而減小,，x=18時(shí),y有最大值,y.大

=-200X18+27000=23400元.答：方案一利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為23400元.

2021年中考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)強(qiáng)化突破：規(guī)律探索問(wèn)題

類(lèi)型1數(shù)字規(guī)律

1.甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行報(bào)數(shù)游戲，游戲規(guī)則為：甲報(bào)1,乙報(bào)2,丙報(bào)3,再甲報(bào)4,

乙報(bào)5,丙報(bào)6,…依次循環(huán)反復(fù)下去，當(dāng)報(bào)出的數(shù)為2020時(shí)游戲結(jié)束，若報(bào)出的數(shù)是偶數(shù),

則該同學(xué)得1分.當(dāng)報(bào)數(shù)結(jié)束時(shí)甲同學(xué)的得分是一分.

解析：甲報(bào)的數(shù)中第一個(gè)數(shù)為1，第2個(gè)數(shù)為1+3.=4,第3個(gè)數(shù)為1+3X2=7,第4

個(gè)數(shù)為1+3X3=10,…，第n個(gè)數(shù)為l+3(n—l)=3n-2,3n-2=2020,則n=674,甲

報(bào)出了674個(gè)數(shù)，一奇一偶，所以偶數(shù)有674+2=337個(gè)，得337分.

2.如圖，給正五邊形的頂點(diǎn)依次編號(hào)為1,2,3,4,5,若從某一頂點(diǎn)開(kāi)始，沿五邊形的

邊順時(shí)針行走，頂點(diǎn)編號(hào)是幾，就走幾個(gè)邊長(zhǎng)，則稱(chēng)這種走法為一次“移位”.如：小宇在

編號(hào)為3的頂點(diǎn)上時(shí)，那么他應(yīng)走3個(gè)邊長(zhǎng)，即從3-4-5fl為第一次“移位”，這時(shí)他

到達(dá)編號(hào)為1的頂點(diǎn)；然后從1-2為第二次“移位”.若小宇從編號(hào)為2的頂點(diǎn)開(kāi)始，第

10次“移位”，則他所處頂點(diǎn)的編號(hào)為_(kāi)苣_.

3.計(jì)算1+4+9+16+25+…的前29項(xiàng)的和是_.

解析：l2+22+32+42+52+-+292+-+n2

=0X1+1+1X2+2+2X3+3+3X4+4+4X5+5+-(n-l)n+n

=(1+2+3+4+5+…+n)+[0Xl+lX2+2X3+3X4+-,,+(n—1)n]

n(n+1)-|-{1(1X2X3-OX1X2)+1(2X3X4-1X2X3)+1(3X4X5-2X3X4)

2000

+…+<[(n—1)?n?(n+1)—(n-2),(n-1)?n]}=n+^[(n-1)?n?(n+1)]

o4J

n(n+1)(2n+l)

6

29X(29+1)X(2X29+1)

???當(dāng)n=29時(shí),原式=-------------7-----------=8555.

類(lèi)型2圖形規(guī)律

4.觀察下列的'‘蜂窩圖"

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)

則第n個(gè)圖案中的“”的個(gè)數(shù)是3n+l.（用含有n的代數(shù)式表示）

5.將一些相同的“O”按如圖所示擺放，觀察每個(gè)圖形中的“O”的個(gè)數(shù)，若第n個(gè)圖形

中“O”的個(gè)數(shù)是78,則n的值是（B）

O

OOO

OOOOOO

OOOOOOOOOO

第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形

A.11B.12C.13D.14

解：第1個(gè)圖形有1個(gè)小圓；第2個(gè)圖形有1+2=3個(gè)小圓：第3個(gè)圖形有1+2+3=

（1）

6個(gè)小圓;第4個(gè)圖形有1+2+3+4=10個(gè)小圓；第〃個(gè)圖形有l(wèi)+2+3+-+/?=--；t

個(gè)小圓；?.?第〃個(gè)圖形中“O”的個(gè)數(shù)是78,.小二”1）,解得：〃產(chǎn)⑵加=—13（不

合題意舍去）.

6.觀察下列圖形，它是把一個(gè)三角形分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，構(gòu)成4個(gè)小三角形,

挖去中間的一個(gè)小三角形（如圖1）;對(duì)剩下的三個(gè)小三角形再分別重復(fù)以上做法，…將這種

做法繼續(xù)下去（如圖2,圖3…），則圖6中挖去三角形的個(gè)數(shù)為（C）

圖1圖2圖3

A.121B.362C.364D.729

解：圖1挖去中間的1個(gè)小三角形，圖2挖去中間的（1+3）個(gè)小三角形，圖3挖去中間

的（1+3+3?）個(gè)小三角形，…則圖6挖去中間的（1+3+3433+3"+35）個(gè)小三角形,即圖6

挖去,中間的364個(gè)小三角形，

類(lèi)型3坐標(biāo)變化規(guī)律

7.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)（a,b）,若規(guī)定以下三種變換：①△（a,b）=（一

a,b)；②。(a,b)=(—a,—b)；③Q(a,b)=(a,—b),按照以上變換例如：△(0(1,

2))=(1,-2),則O(Q(3,4))等于(—3,4)

8.如圖，正△ABO的邊長(zhǎng)為2,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸上，B在第二象限，△ABO沿x軸正

方向作無(wú)滑動(dòng)的翻滾，經(jīng)一次翻滾后得到△AiBQ,則翻滾3次后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是―國(guó)

痘,翻滾2017次后AB中點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（臂?+

896)”

解析:如圖作B3E_Lx軸于E,易知0E=5,BsE=小，，B3（5,木）,觀察圖象可知三次

一個(gè)循環(huán)，一.個(gè)循環(huán)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑為⑵溫黑0，“黑o"=（區(qū)段）”，

?.?2017+3=672…1,...翻滾2017次后AB中點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為672?（當(dāng)士3萬(wàn)+半〃

=（"誓+896）

9.如圖，AB，y軸，垂足為B,將AABO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB。的位置，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)R落在直線丫=-與x上，再將△ABO繞點(diǎn)R逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ABQz的位置，使點(diǎn)6的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)落在直線丫=一叁x上，依次進(jìn)行下去…若點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0,1）,則點(diǎn)0⑵的縱坐標(biāo)

?J

為（一9一9+3^^）,.

解：觀察圖象可知，0。在直線y—-1-x時(shí)，0012=6?002=6(1+73+2)=18+673,

二0”的橫坐標(biāo)=一(18+64)?cos30°=-9-&73,

0M的縱坐標(biāo)=*OW=9+3，5,/.0,2(-9-9^3,9+34).

10.定義：直線L與L相交于點(diǎn)0,對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M,點(diǎn)M到直線1卜L的距離分別

為P、q,則稱(chēng)有序?qū)崝?shù)對(duì)(p,q)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”，根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”是

(1,2)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(C)

A.2B.3C.4D.5

解析：如圖，?；到直線［的距離是1的點(diǎn)在與直線7,平行且與71的距離是1的兩條平

行線圖、a2上，到直線4的距離為2的點(diǎn)在與宜線人平行且與乙的距離是2的兩條平行線

氏、灰上，"距離坐標(biāo)”是(1,2)的點(diǎn)是M,成，四，M,一共4個(gè).

11.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)圖形F給出如下定義：如圖形F上的所有點(diǎn)都在以原點(diǎn)為頂點(diǎn)

的角的內(nèi)部或邊界上，在所有滿(mǎn)足條件的角中，其度數(shù)的最小值稱(chēng)為圖形的坐標(biāo)角度.例如,

圖中的矩形ABCD的坐標(biāo)角度是90°.現(xiàn)將二次函數(shù)y=ax2(lWaW3)的圖象在直線y=l下

方的部分沿直線y=l向上翻折，則所得圖形的坐標(biāo).角度a的取值范圍是(B)

A.30°WaW60°B.60°WaW90°

C.90°WaW120°D.120°WaW150°

12.趙爽弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖

所示，若這四個(gè)全等直角三角形的兩條直角邊分別平行于x軸和y軸，大正方形的頂點(diǎn)口,

17

Cl,C2,C3,…，Cn在直線y=—那十,上，頂點(diǎn)Di,D2,Da,???,Dn在x軸上，則第n個(gè)陰影

解：設(shè)第n個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為a“，則第n個(gè)陰影小正方形的邊長(zhǎng)為點(diǎn)a,,,當(dāng)x=0時(shí),

□

1.77.7亞

y=x+=={,?*xil=32-1--^，32,32

"22?--25,同理可得：a3

99

222.?.a°=q)"Tai=mq)i,.?.第n個(gè)陰影小正方形的面積為

=Ta2,ai=-a3,a^=-at,

(害/=［鏟了=(獷7

2021年中考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)強(qiáng)化突破：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

類(lèi)型1方案與最值問(wèn)題

1.江南農(nóng)場(chǎng)收割小麥，己知1臺(tái)大型收割機(jī)和3臺(tái)小型收割機(jī)1小時(shí)可以收割小麥』.4公

頃，2臺(tái)大型收割機(jī)和5臺(tái)小型收割機(jī)1小時(shí)可以收割小麥2.5公頃.

(1)每臺(tái)大型收割機(jī)和每臺(tái)小型收割機(jī)1小時(shí)收割小麥各多少公頃？

(2)大型收割機(jī)每小時(shí)費(fèi)用為300元，小型收割機(jī)每小時(shí)費(fèi)用為200元，兩種型號(hào)的收

割機(jī)一共有10臺(tái)，要求2小時(shí)完成8公頃小麥的收割任務(wù)，且總費(fèi)用不超過(guò)5400元，有幾

種方案？請(qǐng)指出費(fèi)用最低的一種方案，并求出相應(yīng)的費(fèi)用.

解析：(1)設(shè)每臺(tái)大型收割機(jī)1小時(shí)收割小麥x公頃，每臺(tái)小型收割機(jī)1小時(shí)收割小麥

x+3y=1.4x=0.5

y公.頃，根據(jù)題意得:解得：J。.答：略.

2x+5y=2.5y=0n.3

(2)設(shè)大型收割機(jī)有m臺(tái)，總費(fèi)用為w元，則小型收割機(jī)有(10—m)臺(tái)，根據(jù)題意得：w

=300X2m+200X2(10-m)=200m+4000.V2小時(shí)完成8公頃小麥的收割任務(wù)，且總費(fèi)用

2X0.5m+2X0.3(10-m)N8

不超過(guò)5400元，一解得：5WmW7,.?.有三種不同方案.

[200m+4000W5400

=200m+4000中，200>0,；.w值隨m值的增大而增大，.?.當(dāng)m=5時(shí)，總費(fèi)用取最小值,

最小值為5000元.答：有三種方案，當(dāng)大型收割機(jī)和小型收割機(jī)各5臺(tái)時(shí)，總費(fèi)用最低,

最低費(fèi)用為5000元.

2.某農(nóng)場(chǎng)擬建一間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻(墻足夠長(zhǎng))，已知計(jì)劃中的建

筑材料可建圍墻的總長(zhǎng)為50m.設(shè)飼養(yǎng)室長(zhǎng)為x(0)，占地面積為y(前.

(1)如圖1,問(wèn)飼養(yǎng)室長(zhǎng)x為多少時(shí)，占地面積y最大？

(2)如圖2,現(xiàn)要求在圖中所示位置留2面寬的門(mén)，且仍使飼養(yǎng)室的占地面積最大，小

敏說(shuō)：“只要飼養(yǎng)室長(zhǎng)比.(1)中的長(zhǎng)多2勿就行了.”請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，判斷小敏的說(shuō)法是否

正確.

*，，，/，，，，//////J，，，，，，，，，，，，,

xH-------x------H

圖1圖2

50—xI625

解：(1).；尸工?一萬(wàn)一=一5(%—25)2+寸，.?.當(dāng)x=25時(shí)，占地面積最大，即飼養(yǎng)室

長(zhǎng)x為25nl時(shí)，占地面積了最大：

50—(x—2)1

(2)'：y=x-----------------------=-5(*—26尸+338,.?.當(dāng)x=26時(shí)，占地面積最大，即飼

養(yǎng)室長(zhǎng)x為26m時(shí)，占地面積y最大；..9一25=1#2,.?.小敏的說(shuō)法不正確.

3.(2017?河南)學(xué)校“百變魔方”社團(tuán)準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)A,B兩種魔方，已知購(gòu)買(mǎi)2個(gè)A種魔方和

6個(gè)B種魔方共需130元，購(gòu)買(mǎi)3個(gè)A種魔方和4個(gè)B種魔方所需款數(shù)相同.

(1)求這兩種魔方的單價(jià)；

(2)結(jié)合社員們的需求，社團(tuán)決定購(gòu)買(mǎi)A,B兩種魔方共100個(gè)(其中A種魔方不超過(guò)50

個(gè)).某商店有兩種優(yōu)惠活動(dòng)，如圖所示.請(qǐng)根據(jù)以上信息，說(shuō)明選擇哪種優(yōu)惠活動(dòng)購(gòu)買(mǎi)魔

方更實(shí)惠.

購(gòu)買(mǎi)一個(gè)A種魔方

?送一個(gè)B種魔方歸

解：(1)設(shè)A種魔方的單價(jià)為x元/個(gè)，B種魔方的單價(jià)為y元/個(gè)，根據(jù)題意得:

2x+6y=130x=20

解得:

3x=4yy=15

答：A種魔方的單價(jià)為20元/個(gè)，B種魔方的單價(jià)為15元/個(gè).

(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)A種魔方m個(gè)(0WmW50),總價(jià)格為w元，則購(gòu)進(jìn)B種魔方(100—m)個(gè)，根

據(jù)題意得：Wjjxij=20mX0.8+15(100—m)X0.4=10m+600；w=20m+15(100—m—m)

=-10m+1500.當(dāng)w話&Vw活動(dòng)：時(shí)，有10m+600<-10m+1500,解得：m<45；當(dāng)w活動(dòng)=

w話茍時(shí)，解得：m=45；當(dāng)w附機(jī)>w.時(shí)，解得：45<mW50.綜上所述：當(dāng)45<mW50時(shí)，

選擇活動(dòng)一購(gòu)買(mǎi)魔方更實(shí)惠；當(dāng)m=45時(shí)，選擇兩種活動(dòng)費(fèi)用相同；當(dāng)m>45時(shí)，選擇活動(dòng)

二購(gòu)買(mǎi)魔方更實(shí)惠.

類(lèi)型2建立函數(shù)模型問(wèn)題

4.小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭(如圖1),完全開(kāi)啟后，水流路線呈拋物線，

把手端點(diǎn)A,出水口B和落水點(diǎn)C恰好在同一直線上，點(diǎn)A至出水管BD的距離為12cm

洗手盆及水龍頭的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2所示，現(xiàn)用高10.2c0的圓柱型水杯去接水，若水流所在

拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D和杯子上底面中心E,則點(diǎn)E到洗手盆內(nèi)側(cè)的距離EH為24—8、歷cm.

圖1圖2

解：建立如圖的直角坐標(biāo)系，過(guò)/作于G,交切于0,過(guò)必作"L/G于只由

題可得，四=12,圖=必=6,故4—6,46=36,.,.&△/〃，/中，,，冊(cè)—8,故園=8=%,

...園=12—8=4,由偌〃CC可得，XABQ^XACG,

???%=整，即白，=告，，?=12,比三12+8=20,."(20,0),又\?水流所在拋物線

CGAGCG36

經(jīng)過(guò)點(diǎn)〃(0,24)和8(12,24),.,.可設(shè)拋物線為y=a*+6x+24,把以20,0),8(12,24)

3Q

代入拋物線，可得拋物線為尸一萬(wàn)/+/+24,又?.?點(diǎn)2的縱坐標(biāo)為10.2,.?.令尸10.2,

ZU□

3QLL

則10.2=一藥"/+24,解得汨=6+8噂，用=6—8位(舍去)，.?.點(diǎn)￡的橫坐標(biāo)為6+

8乖,又30,.?.9=30—(6+8/)=24—84.

5.湖州素有魚(yú)米之鄉(xiāng)之稱(chēng)，某水產(chǎn)養(yǎng)殖大戶(hù)為了更好地發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢(shì)，一次性收購(gòu)了

2000。松淡水魚(yú),計(jì)劃養(yǎng)殖一段時(shí)間后再出售.已知每天放養(yǎng)的費(fèi)用相同，放養(yǎng)10天的總

成本為30.4萬(wàn)元；放養(yǎng)20天的總成本為30.8萬(wàn)元(總成本=放養(yǎng)總費(fèi)用+收購(gòu)成本).

(1)設(shè)每天的放養(yǎng)費(fèi)用是a萬(wàn)元，收購(gòu)成本為b萬(wàn)元，求a和b的值；

(2)設(shè)這批淡水魚(yú)放養(yǎng)t天后的質(zhì)量為m(例)，銷(xiāo)售單價(jià)為y元/kg.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知:

20000(0WtW50)

m與t的函數(shù)關(guān)系為m=?”,MM一A。；y與t的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

100t+15000(50<t^l00)

①分別求出當(dāng)0WtW50和50<t^l00時(shí)，y與t一的函數(shù)關(guān)系式；

②設(shè)將這批淡水魚(yú)放養(yǎng)t天后一次性出售所得利潤(rùn)為W元，求當(dāng)t為何值時(shí)，W最大?

并求出最大值.(利潤(rùn)=銷(xiāo)售總額一總成本)

10a+b=30.4a=0.04

解：(1)由題意，得:

20a+b=30.8'

(2)①當(dāng)0Wt<50時(shí)，設(shè)y與t的函數(shù)解析式為丫=1<七+山，將(0,15)、(50,25)代

入，可求得y與t的函數(shù)解析式為：y=1t+.15；當(dāng)50VtW100時(shí)，設(shè)y與t的函數(shù)解析

式為y=kzt+n2,將點(diǎn)(50,25)、(100,20)代入，可求得y與t的函數(shù)解析式為：丫=一2

t+30；②由題意，當(dāng)0WtW50時(shí)，W-20000(1t+15)-(4001+300000)=36001,V3600

>0,.,.當(dāng)t=50時(shí)，W/人=180000(元)；當(dāng)50ctW100時(shí)，W=(100t+15000)(-^t+30)

一(400t+300000)=-10(t-55)2+180250,—.*.當(dāng)t=55時(shí)，W簸大180250(兀).

綜上所述，放養(yǎng)55天時(shí)，W最大，最大值為180250元.

2021年中考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)強(qiáng)化突破：函數(shù)圖像與性質(zhì)的選、填

問(wèn)題

類(lèi)型1二次函數(shù)圖像與字母的關(guān)系

1.如圖，拋物線y=ax2+bx+c(aW0)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-l,給出下列結(jié)論：

\/IOx

①b?=4ac；②abc>0；(3)a>c；④4a—2b+c>0,其中正確的個(gè)數(shù)有(C)

41個(gè)82個(gè)￡3個(gè)4個(gè)

解：①???拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，???△=b2-4ac>0,①錯(cuò)誤;@Va>0,對(duì)稱(chēng)軸在

y軸的左側(cè)，；.a、b同號(hào),Ab>0,Vc>0,Aabc>0,②正確；③??、=—1時(shí)，y<0?

即a—b+cVO,:對(duì)稱(chēng)軸x=—1,，一上=—1,.*.b=2a,/.a—2a+c<0,即a>c,.③

正確；④???對(duì)稱(chēng)軸為x=-L,.?.x=-2和x=0時(shí)的函數(shù)值相等，即x=-2時(shí)，y>0,A4a

-2b+c>0,所以④正確.故選C

2.如圖，拋物線yi=/x+l)2+l與y?=a(x—4尸一3交于點(diǎn)A(l,3),過(guò)點(diǎn)A作x軸的平

2

行線，分別交兩條拋物線于B、C兩點(diǎn)，且1)、E分別為頂點(diǎn).則下列結(jié)論：①a=g；②AC

=AE；③4ABD是等腰直角三角形；④當(dāng)x>l時(shí)，yi>yz.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(B)

41個(gè)A2個(gè)C.3個(gè)44個(gè)

2

解析：?.?兩拋物線交于點(diǎn)A(l,3),.?.3=a(l—4)2—3,a.=§,故①正確；：E是拋物

線的頂點(diǎn)，...AE=EC,...無(wú)法得出AC=AE,故②錯(cuò)誤；當(dāng)y=3時(shí)，3=1(x+l)2+l,解得:

x.=l,X2=-3,則AB=4,AD=BD=2*,...AD,+BDZMAB、.?.③AABD是等腰直角三角形,

19

正確；?.?5(x+l)2+l=W(x—4/一3時(shí)，xi=l,X2=37,???當(dāng)37>x>l時(shí)，yi>y2,故④錯(cuò)

誤.

3.拋物線y=3x?—3向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線的表達(dá)式為(A)

A.y=3(x—3)2—3B,y=3x‘

C.y=3(x+3)2—3D.y=3x2—6

4.若函數(shù)y=x?—2x+b的圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍是(A)

A.b<l且bWOB.b>l

a0<tb<lD.b<l

[△=(-2)2-4b>0

解：：函數(shù)y=x2-2x+b的圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，???，),解得

[bWO

bVl且bWO.

5.如圖是二次函數(shù)y=ax"+bx+c(aWO)圖象的一部分，對(duì)稱(chēng)軸為x=g,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),

有下列說(shuō)法：①abcVO；②a+b=O；(3)4a+2b+c<0；④若(0,y),(1,丫2)是拋物線上的

兩點(diǎn)，則w=y2.上述說(shuō)法正確的是(A)

A.④B.③④

C.@@④D.①②

6.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)的圖象如圖所示，若卜1=@+1>,—c,N=4a—2b+c,P=2a

7.下圖是二次函數(shù)丫=2/十6*+。的圖象的一部分，對(duì)稱(chēng)軸是直線x=l：①b?>4ac；②4a

—2b+c<0；③不等式ax'+bx+c>。的解集是x》3.5；④若(-2,y),(5,y2)是拋物線

上的兩點(diǎn)，則yi<y?.上述4個(gè)判斷中，正確的是(B)

A.@@B.①④

C.0@④D.②③④

8.下列關(guān)于函數(shù)y=x2-6x+10的四個(gè)命題：①當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值10；②n為任意實(shí)

數(shù)，x=3+n時(shí)的函數(shù)值大于x=3—n時(shí)的函數(shù)值；③若n>3,且n是整數(shù)，當(dāng)nWxWn+

1時(shí)，.y的整數(shù)值有(2n—4)個(gè)；④若函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(a,y。)和(b,yo+1),其中a>0,b>0,

則a<b.其中真命題的序號(hào)是(C)

4①8.②C③D.@

解析：y有最小值1,故①錯(cuò)誤；x=3+"和x=3—〃時(shí)的函數(shù)值相等，故②錯(cuò)誤；：

拋物線尸V—6x+10的對(duì)稱(chēng)軸為x=3,a=l>0,.,.當(dāng)x>3時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)

x=〃+l時(shí)，y=(P+1)—6(n+l)+10,當(dāng)時(shí)，y=〃‘一6〃+10,(/?+1)2—6(/?+1)+

10-[/72-6/7+10]=2/?-5,：力是整數(shù)，.，的整數(shù)值有2〃-5+1=2〃一4個(gè)，故③正確；

???拋物線—6x+10的對(duì)稱(chēng)軸為x=3,1>0,...當(dāng)x>3時(shí)，y隨x的增大而增大，x<

3時(shí)，y隨x的增大而減小，'：y0+l>y0,.?.當(dāng)0C3V3,0<6<3時(shí)，a>b；當(dāng)a>3,b>

3時(shí)，a〈b；當(dāng)0<a<3,6>3時(shí)，a<b,故④錯(cuò)誤；故選C.

9.如圖，二次函數(shù)丫=2乂2+6*+。3>0）的圖象的頂點(diǎn)為D,其圖象與x軸的交點(diǎn)A,B的

橫坐標(biāo)分別為一1,3,與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,在下面五個(gè)結(jié)論中：①2a—b=0；②a+b+

c>0;③c=-3a；④只有當(dāng)a=；時(shí)，AABD是等腰直角三角形；⑤使AACB為等腰三角形

的a值可以有四個(gè).其中正確的結(jié)論是③④.（只填序號(hào)）

類(lèi)型2三種函數(shù)的綜合運(yùn)用

10.一次函數(shù)丫=@*+1）和反比例函數(shù)y=￡在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則二

次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象可能是（A）

解析：觀察函數(shù)圖象可知：a<0,b>0,cVO,???二次函數(shù)y=ax」+bx+c的圖象開(kāi)口

向下，對(duì)稱(chēng)軸x=—《>0,與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸.

2a

11.若abVO,則正比例函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)y=g在同一坐標(biāo)系的大致圖象可能是（B）

ABCD

12.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=—：與y=ax-+l（a#0）的圖象可能是（B）

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kix+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,

k1

與反比例函數(shù)y=12在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B,連接B0,若%詆=1,ta/?ZBOC=-,則

k2的值是（D）

14.如圖，函數(shù)y=-x的圖象是二、四象限的角平分線，將y=-x的圖象以點(diǎn)O為中心旋

轉(zhuǎn)90°與函數(shù)y=:圖象交于點(diǎn)A,再將y=-x的圖象向右平移至點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)B,

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）.

15.如圖，一次函數(shù)yi=kix+b（kir。）的圖象與反比例函數(shù)丫2=§（1<2甘0）的圖象交于A、B

兩點(diǎn)，觀察圖象，當(dāng)yi>yz時(shí)，x的取值范圍是x>2或一l<x<0.

16.如圖，將二次函數(shù)y=x,一m（其中m>0）的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的

其余部分保持不變，形成新的圖象記為y”另有一次函數(shù)y=x+b的圖象記為yz,則以下說(shuō)

法：①當(dāng)m=l,且力與yz恰好有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)b有唯一值為1；②當(dāng)b=2,且yi與y?恰有兩

7

個(gè)交點(diǎn)時(shí)，n>4或③當(dāng)m=—b時(shí)，1與y?一定有交點(diǎn)；④當(dāng)m=b時(shí)，yi與y?

至少有2個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)為（0,m）.其中正確說(shuō)法的序號(hào)為②④.

當(dāng)直線y=x+b與拋物線相切時(shí)，也有三個(gè)交點(diǎn).但bWl,故①錯(cuò)

誤.

fy=x+2

②如圖2中，觀察圖象知m>4時(shí)，外與yz恰有兩個(gè)交點(diǎn).由『2,,消去y得到

ly=-x+m

77

xJ+x+2—m=0,當(dāng)△=()時(shí)，1—8+4m=0,.*.111=-,觀察圖象知當(dāng)時(shí)，yi與y?

恰有兩個(gè)交點(diǎn).故②正確.③如圖3中，當(dāng)b=-4時(shí)，觀察圖象可知，yi與y?沒(méi)有交點(diǎn),

故③錯(cuò)誤.

④如圖4中，當(dāng)b=4時(shí)，觀察圖象可知，b>0,外與y?至少有2個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)

為(0,b),故④正確.故答案為②④.

2021年中考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)強(qiáng)化突破：函數(shù)與幾何綜合運(yùn)用

類(lèi)型1存在性問(wèn)題

存在性問(wèn)題一般有以下題型：是否存在垂直、平行一一位置關(guān)系；等腰、直角三角形、

(特殊)平行四邊形一一形狀關(guān)系；最大、最小值一一數(shù)量關(guān)系等.

13

1.如圖，已知二次函數(shù)yL—x'+7x+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(4,0),與y軸的

交點(diǎn)為B,過(guò)A、B的直線為yz=kx+b.

(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

⑵由圖象寫(xiě)出滿(mǎn)足外＜%的自變量X的取值范圍；

(3)在兩坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得aABP是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求

出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，說(shuō)明理由.

解：⑴將A(4,0)代入yi=-x^+^x+c,得-42+~^X4+C=0,解得c=3.所求二

44

13

次函數(shù)的解析式為y1=—x?+才x+3..當(dāng)x=0時(shí)，yi=3,...點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3).

(2)滿(mǎn)足y】Vy2的自變量x的取值范圍是：xVO或x>4.

⑶存在，理由如下:作線段AB的中垂線1,垂足為C,交x軸于點(diǎn)R,交j軸于點(diǎn)P2.?；A(4,

____5

0),B(0,3),.,.0A=4,OB=3./.^y?fAAOBAB=V°^+OB2=5-V^AACPi

5

APiACAPi225

與燈2X013有公共/OAB,.../AACPy應(yīng)&\0民即解得AP尸匚而OPi

xiijuaD~Eo

2577

=0A-APl=4-y=-,???點(diǎn)B的坐標(biāo)為(10).又???欣4P2cB與應(yīng)ZXAOB有公共NOBA,

5

PBBCP田225257

.,./N△P2CBS〃〃\A0B.即解得PZB=Y?.而0P2=P2B-0B=7-3=>.?.

ABBO536o6

點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(0,一3).所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為4，0)或(0,-1).

2.如圖，拋物線y.nax'+bx—3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-3),與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)

C,且0C=30B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)D在y軸上，且/BDO=/BAC,求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在以點(diǎn)A,B,M,N為頂點(diǎn)的四

邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：⑴由y=ax'+bx—3得C(0.-3),/.0C=3,V0C=30B,，OB=1,0),

[4a+2b—3=—3fa=l

把A(2,—3),B(—1,0)代入y=ax~+bx—3得，，，拋物線的

a—b—3=0b=-2

解析式為y=x>—2x—3；

⑵設(shè)連接AC,作BF,AC交AC的延長(zhǎng)線于F,：A(2,-3),C(0,一3),；.AF〃x軸,

.\F(-1,-3),；.BF=3,AF=3,；.NBAC=45°,設(shè)D(0,m),則0D=|m,VZBDO=ZBAC,

.,.ZBD0=45°,；.0D=0B=l,A\m\.=l,，m=±l,AD.CO,1),D2(0,-1)；

O~/Ex

(3)設(shè)M(a,a?—2a—3),N(l,n),①以AB為邊，則AB〃MN,AB=MN,如圖2,過(guò)M

作ME_L對(duì)稱(chēng)軸于E,AFJ_x軸于F,則aABF絲ZiNME,；.NE=AF=3,ME=BF=3,A|a-l

=3,；.a=4或a=-2,AM(4,5)或(一2,5)；②以AB為對(duì)角線,BN=AM,BN/7AM,如

圖3,則N在x軸上，M與C重合，，網(wǎng)。，-3),綜上所述，存在以點(diǎn)A,B,M,N為頂點(diǎn)

的四邊形是平行四邊形，M(4,5)或(一2,5)或(0,-3).

類(lèi)型2幾何最值、定值問(wèn)題

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，將此平行四邊形繞點(diǎn)0順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90°得到平行四邊形A'B'0C'.拋物線y=-x?+2x+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C、A'三點(diǎn).

(1)求A、A'、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求平行四邊形ABOC和平行四邊形A'B'0C'重疊部分的面積：

(3)點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)M在何處時(shí)，△AMA'的面積最大？最大

面積是多少？并寫(xiě)出此時(shí)M的坐標(biāo).

2

解：(1)當(dāng)y=0時(shí)，-X+2X+3=0,解得XI=3,X2=-L.,.€(-1,0),A'(3,0).當(dāng)

x=0時(shí)，y=3,3).

(2)設(shè)A'C與OB相交于點(diǎn)D.(—1,0),ACO,3),，B(L3).：.0B=yj32+l2=

1Q

〈lb..?.S,A=5><1><3=5.又???平行四邊形ABOC旋轉(zhuǎn)90°得到平行四邊形A'B'0C'，

AZAC0=Z0C,D.XVZAC0=ZAB0,AZAB0=Z0CzD.又「NC'0D=ZA0B,

人，ASACoo/0C'、2/1、23

AACOD^ABOA.---=(-7=)'.ASAC'OD=-

1△BOAUD\l10NU

(3)設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,—m2+2m+3),連接0M.SAA^'=S△M<)A'+SAW—SA.WA=gx3X(—

113933.273

in2+2m+3)+5X3X111—/X3義3=—亍/+即=—不加一寸+g.(0VmV3)當(dāng)m=押,SAAMA-

取到最大值,，.Fl(|,牛).

4.如圖，已知拋物線y=ax2—2#ax—9a與坐標(biāo)軸交于A,B,C三點(diǎn)，其中C(0,3),ZBAC

的平分線AE交y軸于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D的直線1與射線AC,AB分別交于點(diǎn)M,N.

(1)直“接寫(xiě)出a的值.、點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；

(2)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，若aPAD為等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)證明：當(dāng)直線1