2021年中考數(shù)學核心考點強化突破12份（含解析）

2021年中考數(shù)學核心考點強化突破：方程、不等式的實際應用問題

類型1方程(組)、不等式的應用問題

1.某次籃球聯(lián)賽初賽階段，每隊有10場比賽，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2

分，負一場得1分，積分超過.15分才能獲得參賽資格.

(1)已知甲隊在初賽階段的積分為18分，求甲隊初賽階段勝、負各多少場；

(2)如果乙隊要獲得參加決賽資格，那么乙隊在初賽階段至少要勝多少場？

解：⑴設甲隊勝了x場，則負了(10-x)場，根據(jù)題意可得：2x+10-x=18,解得：x

=8,則10—x=2,答：甲隊勝了8場，負了2場；

(2)設乙隊在初賽階段勝a場，根據(jù)題意可得：2a+(10-a)>15,解得：a>5,「a為

整數(shù)，.??aJH、=6,答：乙隊在初賽階段至少要勝6場.

2.某新建成學校舉行美化綠化校.園活動，九年級計劃購買A,B兩種花木共100棵綠化操

場，其中A花木每棵50元，B花木每棵100元.

(1)若購進A,B.兩種花木剛好用去8000元，則購買了A,B兩種花木各多少棵？

(2)如果購買B花木的數(shù)量不少于A花木的數(shù)量，請設計一種購買方案使所需總費用最

低，并求出該購買方案所需總費用.

x+y=100fx=40

解:(1)設購買A種花木x棵，B種花木y棵，則:,,解得：，

50x+100y=8000|y=60

答：購買A種花木40棵，3種花木60棵；

⑵設購買A種花木a棵，則購買B種花木(100—a)棵，根據(jù)題意，得：100-a2a,解

得：aW50,設購買總費用為W,則W=50a+100(100—a)=-50a+10000,隨a的增大

而減小，...當a=50時，W取得最小值，最小值為7500元,

3.某蔬菜經(jīng)營戶從蔬菜批發(fā)市場批發(fā)蔬菜進行零售，部分蔬菜批發(fā)價格與零售價格如表:

蔬菜品種西紅柿青椒西蘭花豆角

批發(fā)價(元/kg)3.65.484.8

零售價(元/kg)5.48.4147.6

請解答下列問題：

(1)第一天，該經(jīng)營戶批發(fā)西紅柿和西蘭花兩種蔬菜共300kg,用去了1520元錢，這

兩種蔬菜當天全部售完一共能賺多少元錢？

(2)第二天，該經(jīng)營戶用1520元錢仍然批發(fā)西紅柿和西蘭花，要想當天全部售完后所賺

錢數(shù)不少于1050元，則該經(jīng)營戶最多能批發(fā)西紅柿多少kg?

x+y=300,x=200,

解：.(1)設批發(fā)西紅柿xkg,西蘭花ykg.由題意得解得

3.6—520.,y=100.

200X(5.4-3.6)+100X(14-8)=960(元).

答：兩種蔬菜當天全部售完一共能賺960元錢.

1590—36月

(2)設批發(fā)西紅柿akg,由題意得(5.4—3.6)2+(14—8)*旦%±三21050.解得

O

aWlOO.

答：該經(jīng)營戶最多能批發(fā)西紅柿100kg.

類型2方程(組)、不等式與函數(shù)的應用問題

4.某地為了鼓勵居民節(jié)約用水，決定實行兩級收費制，即每月用水量不超過12噸(含12

噸)時，每噸按政府補貼優(yōu)惠價收費；每月超過12噸，超過部分每噸按市場調(diào)節(jié)價收費，小

黃家1月份用水24噸，交水費42元.2月份用水20噸，交水費32元.

(1)求每噸水的政府補貼優(yōu)惠價和市場調(diào)節(jié)價分別是多少元；

(2)設每月用水量為x噸，應交水費為y元，寫出y與x之間的函數(shù)關系式；

(3)小黃家3月份用水26噸，他家應交水費多少元？

解：(1)設每噸水的政府補貼優(yōu)惠價和市場調(diào)節(jié)價分別為a元，b元.依題意得

」2a+l2b=42,[a—1,

■解得

12a+8b=32.Ib=2.5.

答：每噸水的政府補貼優(yōu)惠價1元，市場調(diào)節(jié)價2.5元.

(2)當0WxW12時，y=x.當x>12時，y=12+2.5(x-12),.即y=2.5x-18.；.y=

x(0WxW12)

2.5x-18(x>12)

(3)當x=26時，y=2.5X26-18=65—18=47(元).

答：小黃家三月份應交水費47元.

5.某超市計劃購進一批甲、乙兩種玩具，已知5件甲種玩具的進價與3件乙種玩具的進價

的和為231元，2件甲種玩具的進價與3件乙種玩具的進價的和為141元.

(D求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元？

(2)如果購進甲種玩具有優(yōu)惠，優(yōu)惠方法是：購進甲種玩具超過20件，超出部分.可以

享受7折優(yōu)惠，若購進x(x>0)件甲種玩具需要花費y元，請你求出y與x的函數(shù)關系式；

(3)在⑵的條件下，超市決定在甲、乙兩種玩具中選購其中一種，且數(shù)量超過20件，.

請你幫助超市判斷購進哪種玩具省錢.

解：(1)設每件甲種玩具的進價是x元，每件乙種玩具的進價是y.元，由題意得

5x+3y=231,

解得｛x=30,y=27.

2x+3y=141.

答：每件甲種玩具的進價是30元，每件乙種玩具的進價是27元.

(2)S0<x^20ff't,y=30x；Sx>20ff't,y=20X30+(x-20)X30X0.7=21x+180.Ay

130x(0<x^20)

-[21x+180(x>20)

(3)設購進玩具z件(z>20),則乙種玩具消費27z元;當27z=21z+180,則z=30.

所以當購進玩具正好30件，選擇購其中一種即可；當27z>21z+180,則z>30.所以當購

進玩具超過30件,，選擇購甲種玩具省錢；當27zV21z+180,則z<30.所以當購進玩具多

于20件少于30件，選擇購乙種玩具省錢.

6.某工廠有甲種原料130A?0乙種原料144松?.現(xiàn)用這兩種原料生產(chǎn)出A,B兩種產(chǎn)品共

30件.已知生產(chǎn)每件A產(chǎn)品需甲種原料5檢，乙種原料4檢，且每件A產(chǎn)品可獲利700元;

生產(chǎn)每件B產(chǎn)品需甲種原料3A■■乙種原料6且每件B產(chǎn)品可獲利900元.設生產(chǎn)A

產(chǎn)品x件(產(chǎn)品件數(shù)為整數(shù)件)，根據(jù)以上信息解答下列問題：

(1)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品的方案有哪幾種,

(2)設生產(chǎn)這30件產(chǎn)品可獲利y元，寫出y關于x的函數(shù)解析式，寫出(1)中利潤最大

的方案，并求出最大利潤.

l5x+3(30-x)<130

解：(1)根據(jù)題意得：一、一，解得18WxW20,；x是正整數(shù)，..一二

18、19、20,共有三種方案：方案一：A產(chǎn)品18件，B產(chǎn)品12件，方案二：A產(chǎn)品19件，

B產(chǎn)品11件，方案三：A產(chǎn)品20件，B產(chǎn)品10件；(2)根據(jù)題意得：y=700x+900(30-

x)=-200x4-27000,-200<0,，y隨x的增大而減小,，x=18時,y有最大值,y.大

=-200X18+27000=23400元.答：方案一利潤最大，最大利潤為23400元.

2021年中考數(shù)學核心考點強化突破：規(guī)律探索問題

類型1數(shù)字規(guī)律

1.甲、乙、丙三位同學進行報數(shù)游戲，游戲規(guī)則為：甲報1,乙報2,丙報3,再甲報4,

乙報5,丙報6,…依次循環(huán)反復下去，當報出的數(shù)為2020時游戲結(jié)束，若報出的數(shù)是偶數(shù),

則該同學得1分.當報數(shù)結(jié)束時甲同學的得分是一分.

解析：甲報的數(shù)中第一個數(shù)為1，第2個數(shù)為1+3.=4,第3個數(shù)為1+3X2=7,第4

個數(shù)為1+3X3=10,…，第n個數(shù)為l+3(n—l)=3n-2,3n-2=2020,則n=674,甲

報出了674個數(shù)，一奇一偶，所以偶數(shù)有674+2=337個，得337分.

2.如圖，給正五邊形的頂點依次編號為1,2,3,4,5,若從某一頂點開始，沿五邊形的

邊順時針行走，頂點編號是幾，就走幾個邊長，則稱這種走法為一次“移位”.如：小宇在

編號為3的頂點上時，那么他應走3個邊長，即從3-4-5fl為第一次“移位”，這時他

到達編號為1的頂點；然后從1-2為第二次“移位”.若小宇從編號為2的頂點開始，第

10次“移位”，則他所處頂點的編號為_苣_.

3.計算1+4+9+16+25+…的前29項的和是_.

解析：l2+22+32+42+52+-+292+-+n2

=0X1+1+1X2+2+2X3+3+3X4+4+4X5+5+-(n-l)n+n

=(1+2+3+4+5+…+n)+[0Xl+lX2+2X3+3X4+-,,+(n—1)n]

n(n+1)-|-{1(1X2X3-OX1X2)+1(2X3X4-1X2X3)+1(3X4X5-2X3X4)

2000

+…+<[(n—1)?n?(n+1)—(n-2),(n-1)?n]}=n+^[(n-1)?n?(n+1)]

o4J

n(n+1)(2n+l)

6

29X(29+1)X(2X29+1)

???當n=29時,原式=-------------7-----------=8555.

類型2圖形規(guī)律

4.觀察下列的'‘蜂窩圖"

第1個第2個第3個第4個

則第n個圖案中的“”的個數(shù)是3n+l.（用含有n的代數(shù)式表示）

5.將一些相同的“O”按如圖所示擺放，觀察每個圖形中的“O”的個數(shù)，若第n個圖形

中“O”的個數(shù)是78,則n的值是（B）

O

OOO

OOOOOO

OOOOOOOOOO

第1個圖形第2個圖形第3個圖形第4個圖形

A.11B.12C.13D.14

解：第1個圖形有1個小圓；第2個圖形有1+2=3個小圓：第3個圖形有1+2+3=

（1）

6個小圓;第4個圖形有1+2+3+4=10個小圓；第〃個圖形有l(wèi)+2+3+-+/?=--；t

個小圓；?.?第〃個圖形中“O”的個數(shù)是78,.小二”1）,解得：〃產(chǎn)⑵加=—13（不

合題意舍去）.

6.觀察下列圖形，它是把一個三角形分別連接這個三角形三邊的中點，構(gòu)成4個小三角形,

挖去中間的一個小三角形（如圖1）;對剩下的三個小三角形再分別重復以上做法，…將這種

做法繼續(xù)下去（如圖2,圖3…），則圖6中挖去三角形的個數(shù)為（C）

圖1圖2圖3

A.121B.362C.364D.729

解：圖1挖去中間的1個小三角形，圖2挖去中間的（1+3）個小三角形，圖3挖去中間

的（1+3+3?）個小三角形，…則圖6挖去中間的（1+3+3433+3"+35）個小三角形,即圖6

挖去,中間的364個小三角形，

類型3坐標變化規(guī)律

7.在平面直角坐標系中，對于平面內(nèi)任一點（a,b）,若規(guī)定以下三種變換：①△（a,b）=（一

a,b)；②。(a,b)=(—a,—b)；③Q(a,b)=(a,—b),按照以上變換例如：△(0(1,

2))=(1,-2),則O(Q(3,4))等于(—3,4)

8.如圖，正△ABO的邊長為2,0為坐標原點，A在x軸上，B在第二象限，△ABO沿x軸正

方向作無滑動的翻滾，經(jīng)一次翻滾后得到△AiBQ,則翻滾3次后點B的對應點的坐標是―國

痘,翻滾2017次后AB中點M經(jīng)過的路徑長為（臂?+

896)”

解析:如圖作B3E_Lx軸于E,易知0E=5,BsE=小，，B3（5,木）,觀察圖象可知三次

一個循環(huán)，一.個循環(huán)點M的運動路徑為⑵溫黑0，“黑o"=（區(qū)段）”，

?.?2017+3=672…1,...翻滾2017次后AB中點M經(jīng)過的路徑長為672?（當士3萬+半〃

=（"誓+896）

9.如圖，AB，y軸，垂足為B,將AABO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△AB。的位置，使點B的對應

點R落在直線丫=-與x上，再將△ABO繞點R逆時針旋轉(zhuǎn)到△ABQz的位置，使點6的對

應點落在直線丫=一叁x上，依次進行下去…若點B的坐標是（0,1）,則點0⑵的縱坐標

?J

為（一9一9+3^^）,.

解：觀察圖象可知，0。在直線y—-1-x時，0012=6?002=6(1+73+2)=18+673,

二0”的橫坐標=一(18+64)?cos30°=-9-&73,

0M的縱坐標=*OW=9+3，5,/.0,2(-9-9^3,9+34).

10.定義：直線L與L相交于點0,對于平面內(nèi)任意一點M,點M到直線1卜L的距離分別

為P、q,則稱有序?qū)崝?shù)對(p,q)是點M的“距離坐標”，根據(jù)上述定義，“距離坐標”是

(1,2)的點的個數(shù)是(C)

A.2B.3C.4D.5

解析：如圖，?；到直線［的距離是1的點在與直線7,平行且與71的距離是1的兩條平

行線圖、a2上，到直線4的距離為2的點在與宜線人平行且與乙的距離是2的兩條平行線

氏、灰上，"距離坐標”是(1,2)的點是M,成，四，M,一共4個.

11.在平面直角坐標系中，對圖形F給出如下定義：如圖形F上的所有點都在以原點為頂點

的角的內(nèi)部或邊界上，在所有滿足條件的角中，其度數(shù)的最小值稱為圖形的坐標角度.例如,

圖中的矩形ABCD的坐標角度是90°.現(xiàn)將二次函數(shù)y=ax2(lWaW3)的圖象在直線y=l下

方的部分沿直線y=l向上翻折，則所得圖形的坐標.角度a的取值范圍是(B)

A.30°WaW60°B.60°WaW90°

C.90°WaW120°D.120°WaW150°

12.趙爽弦圖是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖

所示，若這四個全等直角三角形的兩條直角邊分別平行于x軸和y軸，大正方形的頂點口,

17

Cl,C2,C3,…，Cn在直線y=—那十,上，頂點Di,D2,Da,???,Dn在x軸上，則第n個陰影

解：設第n個大正方形的邊長為a“，則第n個陰影小正方形的邊長為點a,,,當x=0時,

□

1.77.7亞

y=x+=={,?*xil=32-1--^，32,32

"22?--25,同理可得：a3

99

222.?.a°=q)"Tai=mq)i,.?.第n個陰影小正方形的面積為

=Ta2,ai=-a3,a^=-at,

(害/=［鏟了=(獷7

2021年中考數(shù)學核心考點強化突破：函數(shù)的實際應用問題

類型1方案與最值問題

1.江南農(nóng)場收割小麥，己知1臺大型收割機和3臺小型收割機1小時可以收割小麥』.4公

頃，2臺大型收割機和5臺小型收割機1小時可以收割小麥2.5公頃.

(1)每臺大型收割機和每臺小型收割機1小時收割小麥各多少公頃？

(2)大型收割機每小時費用為300元，小型收割機每小時費用為200元，兩種型號的收

割機一共有10臺，要求2小時完成8公頃小麥的收割任務，且總費用不超過5400元，有幾

種方案？請指出費用最低的一種方案，并求出相應的費用.

解析：(1)設每臺大型收割機1小時收割小麥x公頃，每臺小型收割機1小時收割小麥

x+3y=1.4x=0.5

y公.頃，根據(jù)題意得:解得：J。.答：略.

2x+5y=2.5y=0n.3

(2)設大型收割機有m臺，總費用為w元，則小型收割機有(10—m)臺，根據(jù)題意得：w

=300X2m+200X2(10-m)=200m+4000.V2小時完成8公頃小麥的收割任務，且總費用

2X0.5m+2X0.3(10-m)N8

不超過5400元，一解得：5WmW7,.?.有三種不同方案.

[200m+4000W5400

=200m+4000中，200>0,；.w值隨m值的增大而增大，.?.當m=5時，總費用取最小值,

最小值為5000元.答：有三種方案，當大型收割機和小型收割機各5臺時，總費用最低,

最低費用為5000元.

2.某農(nóng)場擬建一間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻(墻足夠長)，已知計劃中的建

筑材料可建圍墻的總長為50m.設飼養(yǎng)室長為x(0)，占地面積為y(前.

(1)如圖1,問飼養(yǎng)室長x為多少時，占地面積y最大？

(2)如圖2,現(xiàn)要求在圖中所示位置留2面寬的門，且仍使飼養(yǎng)室的占地面積最大，小

敏說：“只要飼養(yǎng)室長比.(1)中的長多2勿就行了.”請你通過計算，判斷小敏的說法是否

正確.

*，，，/，，，，//////J，，，，，，，，，，，，,

xH-------x------H

圖1圖2

50—xI625

解：(1).；尸工?一萬一=一5(%—25)2+寸，.?.當x=25時，占地面積最大，即飼養(yǎng)室

長x為25nl時，占地面積了最大：

50—(x—2)1

(2)'：y=x-----------------------=-5(*—26尸+338,.?.當x=26時，占地面積最大，即飼

養(yǎng)室長x為26m時，占地面積y最大；..9一25=1#2,.?.小敏的說法不正確.

3.(2017?河南)學?！鞍僮兡Х健鄙鐖F準備購買A,B兩種魔方，已知購買2個A種魔方和

6個B種魔方共需130元，購買3個A種魔方和4個B種魔方所需款數(shù)相同.

(1)求這兩種魔方的單價；

(2)結(jié)合社員們的需求，社團決定購買A,B兩種魔方共100個(其中A種魔方不超過50

個).某商店有兩種優(yōu)惠活動，如圖所示.請根據(jù)以上信息，說明選擇哪種優(yōu)惠活動購買魔

方更實惠.

購買一個A種魔方

?送一個B種魔方歸

解：(1)設A種魔方的單價為x元/個，B種魔方的單價為y元/個，根據(jù)題意得:

2x+6y=130x=20

解得:

3x=4yy=15

答：A種魔方的單價為20元/個，B種魔方的單價為15元/個.

(2)設購進A種魔方m個(0WmW50),總價格為w元，則購進B種魔方(100—m)個，根

據(jù)題意得：Wjjxij=20mX0.8+15(100—m)X0.4=10m+600；w=20m+15(100—m—m)

=-10m+1500.當w話&Vw活動：時，有10m+600<-10m+1500,解得：m<45；當w活動=

w話茍時，解得：m=45；當w附機>w.時，解得：45<mW50.綜上所述：當45<mW50時，

選擇活動一購買魔方更實惠；當m=45時，選擇兩種活動費用相同；當m>45時，選擇活動

二購買魔方更實惠.

類型2建立函數(shù)模型問題

4.小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭(如圖1),完全開啟后，水流路線呈拋物線，

把手端點A,出水口B和落水點C恰好在同一直線上，點A至出水管BD的距離為12cm

洗手盆及水龍頭的相關數(shù)據(jù)如圖2所示，現(xiàn)用高10.2c0的圓柱型水杯去接水，若水流所在

拋物線經(jīng)過點D和杯子上底面中心E,則點E到洗手盆內(nèi)側(cè)的距離EH為24—8、歷cm.

圖1圖2

解：建立如圖的直角坐標系，過/作于G,交切于0,過必作"L/G于只由

題可得，四=12,圖=必=6,故4—6,46=36,.,.&△/〃，/中，,，冊—8,故園=8=%,

...園=12—8=4,由偌〃CC可得，XABQ^XACG,

???%=整，即白，=告，，?=12,比三12+8=20,."(20,0),又\?水流所在拋物線

CGAGCG36

經(jīng)過點〃(0,24)和8(12,24),.,.可設拋物線為y=a*+6x+24,把以20,0),8(12,24)

3Q

代入拋物線，可得拋物線為尸一萬/+/+24,又?.?點2的縱坐標為10.2,.?.令尸10.2,

ZU□

3QLL

則10.2=一藥"/+24,解得汨=6+8噂，用=6—8位(舍去)，.?.點￡的橫坐標為6+

8乖,又30,.?.9=30—(6+8/)=24—84.

5.湖州素有魚米之鄉(xiāng)之稱，某水產(chǎn)養(yǎng)殖大戶為了更好地發(fā)揮技術優(yōu)勢，一次性收購了

2000。松淡水魚,計劃養(yǎng)殖一段時間后再出售.已知每天放養(yǎng)的費用相同，放養(yǎng)10天的總

成本為30.4萬元；放養(yǎng)20天的總成本為30.8萬元(總成本=放養(yǎng)總費用+收購成本).

(1)設每天的放養(yǎng)費用是a萬元，收購成本為b萬元，求a和b的值；

(2)設這批淡水魚放養(yǎng)t天后的質(zhì)量為m(例)，銷售單價為y元/kg.根據(jù)以往經(jīng)驗可知:

20000(0WtW50)

m與t的函數(shù)關系為m=?”,MM一A。；y與t的函數(shù)關系如圖所示.

100t+15000(50<t^l00)

①分別求出當0WtW50和50<t^l00時，y與t一的函數(shù)關系式；

②設將這批淡水魚放養(yǎng)t天后一次性出售所得利潤為W元，求當t為何值時，W最大?

并求出最大值.(利潤=銷售總額一總成本)

10a+b=30.4a=0.04

解：(1)由題意，得:

20a+b=30.8'

(2)①當0Wt<50時，設y與t的函數(shù)解析式為丫=1<七+山，將(0,15)、(50,25)代

入，可求得y與t的函數(shù)解析式為：y=1t+.15；當50VtW100時，設y與t的函數(shù)解析

式為y=kzt+n2,將點(50,25)、(100,20)代入，可求得y與t的函數(shù)解析式為：丫=一2

t+30；②由題意，當0WtW50時，W-20000(1t+15)-(4001+300000)=36001,V3600

>0,.,.當t=50時，W/人=180000(元)；當50ctW100時，W=(100t+15000)(-^t+30)

一(400t+300000)=-10(t-55)2+180250,—.*.當t=55時，W簸大180250(兀).

綜上所述，放養(yǎng)55天時，W最大，最大值為180250元.

2021年中考數(shù)學核心考點強化突破：函數(shù)圖像與性質(zhì)的選、填

問題

類型1二次函數(shù)圖像與字母的關系

1.如圖，拋物線y=ax2+bx+c(aW0)的對稱軸為直線x=-l,給出下列結(jié)論：

\/IOx

①b?=4ac；②abc>0；(3)a>c；④4a—2b+c>0,其中正確的個數(shù)有(C)

41個82個￡3個4個

解：①???拋物線與x軸有2個交點，???△=b2-4ac>0,①錯誤;@Va>0,對稱軸在

y軸的左側(cè)，；.a、b同號,Ab>0,Vc>0,Aabc>0,②正確；③??、=—1時，y<0?

即a—b+cVO,:對稱軸x=—1,，一上=—1,.*.b=2a,/.a—2a+c<0,即a>c,.③

正確；④???對稱軸為x=-L,.?.x=-2和x=0時的函數(shù)值相等，即x=-2時，y>0,A4a

-2b+c>0,所以④正確.故選C

2.如圖，拋物線yi=/x+l)2+l與y?=a(x—4尸一3交于點A(l,3),過點A作x軸的平

2

行線，分別交兩條拋物線于B、C兩點，且1)、E分別為頂點.則下列結(jié)論：①a=g；②AC

=AE；③4ABD是等腰直角三角形；④當x>l時，yi>yz.其中正確結(jié)論的個數(shù)是(B)

41個A2個C.3個44個

2

解析：?.?兩拋物線交于點A(l,3),.?.3=a(l—4)2—3,a.=§,故①正確；：E是拋物

線的頂點，...AE=EC,...無法得出AC=AE,故②錯誤；當y=3時，3=1(x+l)2+l,解得:

x.=l,X2=-3,則AB=4,AD=BD=2*,...AD,+BDZMAB、.?.③AABD是等腰直角三角形,

19

正確；?.?5(x+l)2+l=W(x—4/一3時，xi=l,X2=37,???當37>x>l時，yi>y2,故④錯

誤.

3.拋物線y=3x?—3向右平移3個單位長度，得到新拋物線的表達式為(A)

A.y=3(x—3)2—3B,y=3x‘

C.y=3(x+3)2—3D.y=3x2—6

4.若函數(shù)y=x?—2x+b的圖象與坐標軸有三個交點，則b的取值范圍是(A)

A.b<l且bWOB.b>l

a0<tb<lD.b<l

[△=(-2)2-4b>0

解：：函數(shù)y=x2-2x+b的圖象與坐標軸有三個交點，???，),解得

[bWO

bVl且bWO.

5.如圖是二次函數(shù)y=ax"+bx+c(aWO)圖象的一部分，對稱軸為x=g,且經(jīng)過點(2,0),

有下列說法：①abcVO；②a+b=O；(3)4a+2b+c<0；④若(0,y),(1,丫2)是拋物線上的

兩點，則w=y2.上述說法正確的是(A)

A.④B.③④

C.@@④D.①②

6.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)的圖象如圖所示，若卜1=@+1>,—c,N=4a—2b+c,P=2a

7.下圖是二次函數(shù)丫=2/十6*+。的圖象的一部分，對稱軸是直線x=l：①b?>4ac；②4a

—2b+c<0；③不等式ax'+bx+c>。的解集是x》3.5；④若(-2,y),(5,y2)是拋物線

上的兩點，則yi<y?.上述4個判斷中，正確的是(B)

A.@@B.①④

C.0@④D.②③④

8.下列關于函數(shù)y=x2-6x+10的四個命題：①當x=0時，y有最小值10；②n為任意實

數(shù)，x=3+n時的函數(shù)值大于x=3—n時的函數(shù)值；③若n>3,且n是整數(shù)，當nWxWn+

1時，.y的整數(shù)值有(2n—4)個；④若函數(shù)圖象過點(a,y。)和(b,yo+1),其中a>0,b>0,

則a<b.其中真命題的序號是(C)

4①8.②C③D.@

解析：y有最小值1,故①錯誤；x=3+"和x=3—〃時的函數(shù)值相等，故②錯誤；：

拋物線尸V—6x+10的對稱軸為x=3,a=l>0,.,.當x>3時，y隨x的增大而增大，當

x=〃+l時，y=(P+1)—6(n+l)+10,當時，y=〃‘一6〃+10,(/?+1)2—6(/?+1)+

10-[/72-6/7+10]=2/?-5,：力是整數(shù)，.，的整數(shù)值有2〃-5+1=2〃一4個，故③正確；

???拋物線—6x+10的對稱軸為x=3,1>0,...當x>3時，y隨x的增大而增大，x<

3時，y隨x的增大而減小，'：y0+l>y0,.?.當0C3V3,0<6<3時，a>b；當a>3,b>

3時，a〈b；當0<a<3,6>3時，a<b,故④錯誤；故選C.

9.如圖，二次函數(shù)丫=2乂2+6*+。3>0）的圖象的頂點為D,其圖象與x軸的交點A,B的

橫坐標分別為一1,3,與y軸負半軸交于點C,在下面五個結(jié)論中：①2a—b=0；②a+b+

c>0;③c=-3a；④只有當a=；時，AABD是等腰直角三角形；⑤使AACB為等腰三角形

的a值可以有四個.其中正確的結(jié)論是③④.（只填序號）

類型2三種函數(shù)的綜合運用

10.一次函數(shù)丫=@*+1）和反比例函數(shù)y=￡在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則二

次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象可能是（A）

解析：觀察函數(shù)圖象可知：a<0,b>0,cVO,???二次函數(shù)y=ax」+bx+c的圖象開口

向下，對稱軸x=—《>0,與y軸的交點在y軸負半軸.

2a

11.若abVO,則正比例函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)y=g在同一坐標系的大致圖象可能是（B）

ABCD

12.在同一直角坐標系中，函數(shù)y=—：與y=ax-+l（a#0）的圖象可能是（B）

13.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=kix+2與x軸交于點A,與y軸交于點C,

k1

與反比例函數(shù)y=12在第一象限內(nèi)的圖象交于點B,連接B0,若%詆=1,ta/?ZBOC=-,則

k2的值是（D）

14.如圖，函數(shù)y=-x的圖象是二、四象限的角平分線，將y=-x的圖象以點O為中心旋

轉(zhuǎn)90°與函數(shù)y=:圖象交于點A,再將y=-x的圖象向右平移至點A,與x軸交于點B,

則點B的坐標為（2,0）.

15.如圖，一次函數(shù)yi=kix+b（kir。）的圖象與反比例函數(shù)丫2=§（1<2甘0）的圖象交于A、B

兩點，觀察圖象，當yi>yz時，x的取值范圍是x>2或一l<x<0.

16.如圖，將二次函數(shù)y=x,一m（其中m>0）的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的

其余部分保持不變，形成新的圖象記為y”另有一次函數(shù)y=x+b的圖象記為yz,則以下說

法：①當m=l,且力與yz恰好有三個交點時b有唯一值為1；②當b=2,且yi與y?恰有兩

7

個交點時，n>4或③當m=—b時，1與y?一定有交點；④當m=b時，yi與y?

至少有2個交點，且其中一個為（0,m）.其中正確說法的序號為②④.

當直線y=x+b與拋物線相切時，也有三個交點.但bWl,故①錯

誤.

fy=x+2

②如圖2中，觀察圖象知m>4時，外與yz恰有兩個交點.由『2,,消去y得到

ly=-x+m

77

xJ+x+2—m=0,當△=()時，1—8+4m=0,.*.111=-,觀察圖象知當時，yi與y?

恰有兩個交點.故②正確.③如圖3中，當b=-4時，觀察圖象可知，yi與y?沒有交點,

故③錯誤.

④如圖4中，當b=4時，觀察圖象可知，b>0,外與y?至少有2個交點，且其中一個

為(0,b),故④正確.故答案為②④.

2021年中考數(shù)學核心考點強化突破：函數(shù)與幾何綜合運用

類型1存在性問題

存在性問題一般有以下題型：是否存在垂直、平行一一位置關系；等腰、直角三角形、

(特殊)平行四邊形一一形狀關系；最大、最小值一一數(shù)量關系等.

13

1.如圖，已知二次函數(shù)yL—x'+7x+c的圖象與x軸的一個交點為A(4,0),與y軸的

交點為B,過A、B的直線為yz=kx+b.

(1)求二次函數(shù)的解析式及點B的坐標；

⑵由圖象寫出滿足外＜%的自變量X的取值范圍；

(3)在兩坐標軸上是否存在點P,使得aABP是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求

出點P的坐標：若不存在，說明理由.

解：⑴將A(4,0)代入yi=-x^+^x+c,得-42+~^X4+C=0,解得c=3.所求二

44

13

次函數(shù)的解析式為y1=—x?+才x+3..當x=0時，yi=3,...點B的坐標為(0,3).

(2)滿足y】Vy2的自變量x的取值范圍是：xVO或x>4.

⑶存在，理由如下:作線段AB的中垂線1,垂足為C,交x軸于點R,交j軸于點P2.?；A(4,

____5

0),B(0,3),.,.0A=4,OB=3./.^y?fAAOBAB=V°^+OB2=5-V^AACPi

5

APiACAPi225

與燈2X013有公共/OAB,.../AACPy應&\0民即解得AP尸匚而OPi

xiijuaD~Eo

2577

=0A-APl=4-y=-,???點B的坐標為(10).又???欣4P2cB與應ZXAOB有公共NOBA,

5

PBBCP田225257

.,./N△P2CBS〃〃\A0B.即解得PZB=Y?.而0P2=P2B-0B=7-3=>.?.

ABBO536o6

點P2的坐標為(0,一3).所求點P的坐標為4，0)或(0,-1).

2.如圖，拋物線y.nax'+bx—3經(jīng)過點A(2,-3),與x軸負半軸交于點B,與y軸交于點

C,且0C=30B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點D在y軸上，且/BDO=/BAC,求點D的坐標；

(3)點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A,B,M,N為頂點的四

邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

解：⑴由y=ax'+bx—3得C(0.-3),/.0C=3,V0C=30B,，OB=1,0),

[4a+2b—3=—3fa=l

把A(2,—3),B(—1,0)代入y=ax~+bx—3得，，，拋物線的

a—b—3=0b=-2

解析式為y=x>—2x—3；

⑵設連接AC,作BF,AC交AC的延長線于F,：A(2,-3),C(0,一3),；.AF〃x軸,

.\F(-1,-3),；.BF=3,AF=3,；.NBAC=45°,設D(0,m),則0D=|m,VZBDO=ZBAC,

.,.ZBD0=45°,；.0D=0B=l,A\m\.=l,，m=±l,AD.CO,1),D2(0,-1)；

O~/Ex

(3)設M(a,a?—2a—3),N(l,n),①以AB為邊，則AB〃MN,AB=MN,如圖2,過M

作ME_L對稱軸于E,AFJ_x軸于F,則aABF絲ZiNME,；.NE=AF=3,ME=BF=3,A|a-l

=3,；.a=4或a=-2,AM(4,5)或(一2,5)；②以AB為對角線,BN=AM,BN/7AM,如

圖3,則N在x軸上，M與C重合，，網(wǎng)。，-3),綜上所述，存在以點A,B,M,N為頂點

的四邊形是平行四邊形，M(4,5)或(一2,5)或(0,-3).

類型2幾何最值、定值問題

3.如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，將此平行四邊形繞點0順時針

旋轉(zhuǎn)90°得到平行四邊形A'B'0C'.拋物線y=-x?+2x+3經(jīng)過點A、C、A'三點.

(1)求A、A'、C三點的坐標；

(2)求平行四邊形ABOC和平行四邊形A'B'0C'重疊部分的面積：

(3)點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，問點M在何處時，△AMA'的面積最大？最大

面積是多少？并寫出此時M的坐標.

2

解：(1)當y=0時，-X+2X+3=0,解得XI=3,X2=-L.,.€(-1,0),A'(3,0).當

x=0時，y=3,3).

(2)設A'C與OB相交于點D.(—1,0),ACO,3),，B(L3).：.0B=yj32+l2=

1Q

〈lb..?.S,A=5><1><3=5.又???平行四邊形ABOC旋轉(zhuǎn)90°得到平行四邊形A'B'0C'，

AZAC0=Z0C,D.XVZAC0=ZAB0,AZAB0=Z0CzD.又「NC'0D=ZA0B,

人，ASACoo/0C'、2/1、23

AACOD^ABOA.---=(-7=)'.ASAC'OD=-

1△BOAUD\l10NU

(3)設M點的坐標為(m,—m2+2m+3),連接0M.SAA^'=S△M<)A'+SAW—SA.WA=gx3X(—

113933.273

in2+2m+3)+5X3X111—/X3義3=—亍/+即=—不加一寸+g.(0VmV3)當m=押,SAAMA-

取到最大值,，.Fl(|,牛).

4.如圖，已知拋物線y=ax2—2#ax—9a與坐標軸交于A,B,C三點，其中C(0,3),ZBAC

的平分線AE交y軸于點D,交BC于點E,過點D的直線1與射線AC,AB分別交于點M,N.

(1)直“接寫出a的值.、點A的坐標及拋物線的對稱軸；

(2)點P為拋物線的對稱軸上一動點，若aPAD為等腰三角形，求出點P的坐標；

(3)證明：當直線1