2021年中考數(shù)學解答題壓軸題每日一題60

2021年中考數(shù)學解答題壓軸題每日一題

1.在平面直角坐標系中，矩形ABCD與等邊△EFG按如圖①所示放置：點B、G與坐標原

點。重合，F(xiàn)、B、G、C在x軸上，E、A、。三點同在平行于x軸的直線上.△EFG沿x

軸向右勻速移動，當點G移至與點C重合時，叢EFG即停止移動.在△EFG移動過程中，

與矩形ABCD的重合部分的面積5（c/n2）與移動時間t（5）的一部分函數(shù)圖象是線段MN

如圖②所示（即△EFG完全進入矩形A8CD內(nèi)部時的一段函數(shù)圖象）

（1）結合圖②，求等邊△EFG的邊長和它移動的速度；

（2）求S與f的函數(shù)關系式，并在圖②中補全△EFG在整個移動過程中，S與f的函數(shù)關

系式的大致圖象；

（3）當△EFG移動（V3+1）s時，E點到達P點的位置，一開口向下的拋物線產(chǎn)-x2+bx-

a

過P、O兩點且與射線AD相交于點兒與x軸相交于點。（異于原點）.請問。是否存在

取某一值或某一范圍，使OQ+P”的值為定值？如果存在，求出〃值或〃的取值范圍；如果

不存在，請說明理由.

【分析】（1）此題的關鍵在于讀懂圖②的含義，首先能看出，值在（2~4）時，S是一個定

值，可以得出兩個含義：

1、當2WfW4時，△EFG在矩形ABC。內(nèi)部，此時S的值為等邊△EFG的面積，結合等邊

三角形的性質以及等邊三角形的面積即可得到該三角形的邊長；

2、當時，△EFG與矩形的重疊部分的面積在時刻變化著，也就說明了這個過程中，

點尸從原位置運動到了點O的位置（即FG的長），可以根據(jù)這個條件來求△EFG的移動速

度.

（2）首先抓住兩個關鍵位置：①點E運動到y(tǒng)軸上時，②點尸運動到y(tǒng)軸上時；那么此題

可以分作三個階段討論：

1、當點2、E位于），軸兩側時（即0W/W1時），△EFG和矩形A3C。的重疊部分是個小直

角三角形，它的兩條直角邊可以三角形的運動速度以及特殊角的正切值表示出來，則面積可

求；

2、當點E、F位于），軸兩側時（即l<rW2時），△EFG和矩形A8C。的重疊部分是個不規(guī)

則四邊形，其面積可以由等邊三角形減去小直角三角形的面積所得；

3、當△EFG完全處于矩形內(nèi)部時.，它們重疊的部分就是整個等邊三角形，其面積是個定值

（由圖②所給的部分函數(shù)可得）.

（3）雖然題設的條件較為復雜，但思路并不難，可以先根據(jù)△EFG的移動時間求出點尸的

坐標，代入給出的新拋物線解析式中，可得到6的關系式；而點0、〃以及P、。這兩

組點都關于拋物線對稱軸對稱，可根據(jù)這個特點表示出點“、Q兩點的坐標，則0Q、PH

的長可得，那么再判斷0Q+PH是否為定值，若是定值，再進一步求a的取值范圍；

在求。的取值范圍時，可以根據(jù)拋物線開口向下（拋物線解析式的二次項系數(shù)小于0）以及

PH20（點尸、〃可能重合，此時新拋物線頂點位于直線4。上）這兩個條件來解.

【解答】解：（1）由圖②可知，△EFG的面積為3ac〃?2；

設△EFG的邊長為x。"，則其面積為：SAEFG=L?返x=3?,解得x=2爪（的）；

22

由圖②可以看出：當點尸從原位置運動到點。處過程中，△EFG與矩形ABC。重疊部分的

面積時刻在變化著，整個過程共運動了2s,所以有：

△EFG的移動速度：產(chǎn)?森也=百岫；

2s

綜上，等邊△EFG的邊長為它的移動速度為J5Ms.

（2）當點E運動到y(tǒng)軸上時，r=ls；當點尸運動到y(tǒng)軸上時，r=2s；

???分三個階段討論（如右圖）：

①當OWtWl時，=2匝於；

22

②當14W2時，弘。而=上《2近-心）??=2/1（2-r）2,

22

所以，重疊部分的面積為：S=SM，F(xiàn)G，0ONF'=AX2^3X（返X2?）-2/1（2

_222

-t）2=3?-盟?。?-f）2；

2_

③當2WfW4時，S=2X2?X（返X2?）=3?：

22

-^-t2(04t&l)

綜上，S=<望1”2)2+3如(l<t<2),圖象如下:

373(2<t<4)

(3)?.?△萬水；移動(b+1)秒，速度為每秒?！?，

:.EP=M(V3+1)=3+6，

；.AP=3+?-E=3,

，點P(3,3),

?.,點尸在拋物線上，

ab=a-3,

?.?拋物線y=X^+bx的對稱軸為直線X=--^―=-處，

.a2X-12

a

...與x軸的另一個交點。的坐標為(-ab,0),

拋物線開口向下，?<0,P、“關于》=-辿?對稱，

2

當點，在點尸右側時，

PH=2(---3)=-ab-6=-(a-3)-6=-a+3-6=-a-3,

2

AOQ+PH=2X(-a-3=-(a-3)-a-3=-a+3-a-3=-2”,

此時。Q+P”不是定值，舍去；

當點”在點尸左側時，

PH=2(3+至)=ab+6,

2

A