2021年中考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析 (十)

2021年中考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、填空題（本大題共22小題，每小題4分，共88分）

1.（4分）二次函數(shù)y=2?+4x+3的頂點坐標(biāo)、對稱軸分別是.

2.（4分）設(shè)x為正整數(shù)，若x+1是完全平方數(shù)，則它前面的一個完全平方數(shù)是.

3.（4分）關(guān)于x的方程izx2+te+c=0的根為2和3,則方程ax1-bx-c=0的根為.

4.（4分）函數(shù)垣的自變量的取值范圍是.

x-2

5.（4分）已知x為實數(shù)，且/+-1_=3,則/+二一的值是

23

xx

6.（4分）化簡：儂.出德:

3^2

7.（4分）直徑為1的球內(nèi)放一個正方體，那么這個正方體的棱長的最大值為.

8.（4分）若x為任意實數(shù)時，二次三項式/-6x+c的值都不小于0,則常數(shù)c滿足的條件

是.

9.（4分）如圖，在△ABC中，已知/C=90°,AC=60"〃，AB100cm,a、b、c…是在

△ABC內(nèi)部的矩形，它們的一個頂點在A8上，一組對邊分別在AC上或與AC平行，另

一組對邊分別在BC上或與8c平行.若各矩形在AC上的邊長相等，矩形。的一邊長是

12cm,則這樣的矩形a、氏c…的個數(shù)是.

10.（4分）如圖，MN是的直徑，MN=2,點A在。。上，ZAMN=30°,B為弧AN

的中點，P是直徑上一動點，則以+PB的最小值為.

11.（4分）如圖，是幾個相同的小正方體搭成的幾何體的三種視圖，則搭成這個幾何體的

小正方體的個數(shù)是個.

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13.（4分）設(shè)實數(shù)“、b、c滿足a<b<c（ac<0）,且期〈|目<聞，則|x-a|+|x-b|+|x+d的

最小值是.

14.（4分）一"個三角形的三條邊長分別是a,b,c（a,b,c都是質(zhì)數(shù)），且a+%+c=16,則

這個三角形的形狀是.

15.（4分）從-2,-1,1,2這四個數(shù)中，任取兩個不同的數(shù)作為一次函數(shù)的系

數(shù)總兒則一次函數(shù)丫=h+〃的圖象不經(jīng)過第四象限的概率是.

16.（4分）一個凸多邊形的某一個內(nèi)角的外角與其余內(nèi)角的和恰為500°,那么這個多邊形

的邊數(shù)是或.

17.（4分）若多項式27+3xy-2y2-x+8y-6可以分解為（x+2y+m）（2x-y+n）的形式，貝”

m3+l

n2-l

18.（4分）鈍角三角形的三邊長分別為4,6,8,則其面積為.

19.（4分）把正奇數(shù)依次排列成5歹IJ,如右圖，則2001排在從左數(shù)第列.

1357

1513119

17192123

31292725

33353739

20.（4分）如圖，已知4B是。。的直徑，弦COJ_AB于H,AC=10,8=12,那么sin

ZABD的值是

21.（4分）如圖，二次函數(shù)），na^+bx+cQ>。）.圖象的頂點為。，其圖象與x軸的交點A、

8的橫坐標(biāo)分別為-1、3,與y軸負(fù)半軸交于點C下面五個結(jié)論：①2a+b=0；②a+6+c

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>0；③當(dāng)xWl時，y隨X值的增大而增大；④當(dāng)-1WXW3時，a^+bx+c<0；⑤只有

當(dāng)。=工時，△ABD是等腰直角三角形.那么，其中正確的結(jié)論是.(只填你認(rèn)

2

為正確結(jié)論的序號)

22.(4分)數(shù)學(xué)拓展課上，老師定義了一種運算“*”,對于"6N*,滿足以下運算性質(zhì)：(1).2*2

=1,(2).(2〃+2)*2=3(2〃*2),則2〃*2用含〃的代數(shù)式表示為.

二、解答題：

^+3>x+i

23.(12分)(1)解不等式組《2*，并把解集在數(shù)軸上表示出來.

l-3(x-l)<C8-x

2

(2)先化簡，再求代數(shù)式3二2.(a-2ab-b)的值,其中=3tan300+1,

aa

b=V2cos450.

24.(12分)已知關(guān)于x的方程7-(2k+l)x+4(k-1)=0.

2

(1)求證：無論％取什么實數(shù)值，這個方程總有實根.

(2)若等腰△ABC的一邊長。=4,另兩邊仄c?恰好是這個方程的兩根，求△ABC的周

長.

25.(12分)某校開校運會時，某班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8

人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加游泳和田徑的有3人，同時參加游泳

和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽，問同時參加田徑和球類比賽的有多少

人？只參加游泳一項比賽的有多少人？

26.(14分)某校九年級三班為開展“迎2008年北京奧運會”的主題班會活動，派了小林

和小明兩位同學(xué)去學(xué)校附近的超市購買鋼筆作為獎品.已知該超市的錦江牌鋼筆每支8

元，紅梅牌鋼每支4.8元，他們要購買這兩種筆共40支.

(1)如果他們兩人一共帶了240元，全部用于購買獎品，那么能買這兩種筆各多少支？

(2)小林和小明根據(jù)主題班會活動的設(shè)獎情況，決定所購買的錦江牌鋼筆的數(shù)量要少于

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紅梅牌鋼筆的數(shù)量的工，但又不少于紅梅牌鋼筆的數(shù)量的工.如果他們買了錦江牌鋼筆X

24

支，買這兩種筆共花了y元.

①請寫出y(元)關(guān)于x(支)的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量比的取值范圍；

②請幫他們計算一下，這兩種筆各購買多少支時，所花的錢最少，此時花了多少元？

27.(14分)如圖，在RtA4BC中，ZACB=90°,以4c為直徑的。0與4B邊交于點。,

過點。作。。的切線，交BC于點E.

(1)求證：點E是邊BC的中點；

(2)若EC=3,BD=2在,求的直徑4c的長度；

(3)若以點O,D,E,C為頂點的四邊形是正方形，試判斷△ABC的形狀，并說明理

由.

28.(16分)在黃州服裝批發(fā)市場，某種品牌的時裝當(dāng)季節(jié)將來臨時，價格呈上升趨勢，設(shè)

這種時裝開始時定價為20元，并且每周(7天)漲價2元，從第6周開始保持30元的價

格平穩(wěn)銷售；從第12周開始，當(dāng)季節(jié)即將過去時，平均每周減價2元，直到第16周周

末，該服裝不再銷售.

(1)試建立銷售價y與周次x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若這種時裝每件進(jìn)價Z與周次x次之間的關(guān)系為Z=-0.125(x-8)2+12.1?16,

且x為整數(shù)，試問該服裝第幾周出售時，每件銷售利潤最大？最大利潤為多少？

29.(16分)設(shè)拋物線)>="2+嬴-2與x軸交于兩個不同的點A(-1,0)、B(m,0),與

y軸交于點C,且NACB=90度.

(1)求，〃的值和拋物線的解析式；

(2)已知點Q(l,〃)在拋物線上，過點A的直線y=x+l交拋物線于另一點E.若點、P

在x軸上，以點尸、B、。為頂點的三角形與AAEB相似，求點尸的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，△BDP的外接圓半徑等于.

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30.(16分)設(shè)4=國/+4*=0},8={4?+2(a+1)x+a2-1=0},若8a4,求實數(shù)a的取

值范圍.

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2021年中考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、填空題（本大題共22小題，每小題4分，共88分）

1.（4分）二次函數(shù)y=2?+4x+3的頂點坐標(biāo)、對稱軸分別是（-1,1）,x=-1.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)公式，即可求出其頂點坐標(biāo)，橫坐標(biāo)所在的直線就是

其對稱軸；

【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得，

_b=4—_]4ac-b2=4X2X3-41二?

~^2a2X2'_4a-4X2

...二次函數(shù)y=27+4x+3的頂點坐標(biāo)為：（-1,1）,

對稱軸為：x=-1.

故答案為：（-1,1）,x=-1.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟記其頂點坐標(biāo)公式，是解答的關(guān)鍵.

2.（4分）設(shè)x為正整數(shù)，若x+1是完全平方數(shù)，則它前面的一個完全平方數(shù)是

x-2Vx+1+2_-

【分析】先設(shè)丁=》+1,則丫=471，根據(jù)題意求（廠1）2即可.

【解答】解：設(shè)y2=x+l,則

那么它前面的一個完全平方數(shù)是：

（y-I）2

=9-2y+\

—x+1-2、x+1+1

—x-27x+1+2.

故答案為：x-2Nx+1+2.

【點評】主要考查了完全平方公式的運用.要熟練掌握該公式：Ca±b）2=a2±2ab+b2.

3.（4分）關(guān)于x的方程ax2+hx+c=0的根為2和3,則方程cc?-bx-c=0的根為-6和

【分析】因為方程的兩個根為2和3,所以方程可以方程因式為“（x-2）（x-3）=0,

用含“的式子表示b和c,代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根.

【解答】解：,."x2+fcr+c=0的兩根為2和3,

'.a(x-2)(x-3)=0.

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整理得：ax2-5ax+6a=0,

??b=~5a,C=6Q.

把b,c代入方程ax2-bx-c=0,

得：口1+5奴-6。=0,

a(x+6)(x-1)=0,

/?XI=-6,X2=l?

故答案是：-6和1.

【點評】本題考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程的兩根代入方程，整理后

用含。的式子表示人和c,然后把6,c代入后面的方程，用因式分解法可以求出方程的

根.

4.(4分)函數(shù)yMEl的自變量的取值范圍是且xW2.

x-2

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0,分母不等于0,可

以求出x的范圍.

【解答】解：根據(jù)題意得：x-120且X-2W0,

解得：且xW2.

故答案為且xW2.

【點評】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍問題，函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考

慮：

(1)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

(2)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0;

(3)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)非負(fù).

5.(4分)已知x為實數(shù)，且/+2=3,則1+-L的值是±2、/.

23----

xx

【分析】根據(jù)/+1-=3,可求出1+x的值，把變形為含有「與工+x的形式

X2Xvx3X2Xv

即可.

112

【解答】解：：/+一？=(xJ)-2=3,

x2x

故工+x=±遂，

X

又———(x+—)-1+.1.)=±J^X2

3v2

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—±2旄.

故答案為：±2近.

【點評】本題考查了完全平方公式，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是利用完全平方公式進(jìn)行變形求

解.

6.（4分）化簡：您.的律:1.

3^2

【分析】本題可對根號內(nèi)的項進(jìn)行配方，轉(zhuǎn)換成平方形式，然后進(jìn)行開方，化簡即可.

【解答】解：原式=-23-61[4^=叵~644^^+2

3-h/23m

=V23-6（2-V2）

3-h/2

=111+6加

3+^2

3+V2

=1

【點評】本題考查二次根式的化簡求值，計算時結(jié)合（《+〃）2,注意配方結(jié)合各項之間

的關(guān)系.

7.（4分）直徑為1的球內(nèi)放一個正方體，那么這個正方體的棱長的最大值為返.

一￡一

【分析】利用球與其內(nèi)接正方體的關(guān)系，得出球的半徑與其內(nèi)接正方體邊長之間的關(guān)系

是解決本題的關(guān)鍵，發(fā)現(xiàn)球的直徑就是其內(nèi)接正方體的體對角線長.

【解答】解：設(shè)這個正方體的棱長的最大值為X,

A1B=J]2+]

,這個正方體的體對角線AlC=q（a）2+\lx=y[^x,

:球的直徑為1,

:，

.x=?

??X1—1?

3_

故答案為：返.

3

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【點評】本題考查空間幾何體的內(nèi)外接問題，要找準(zhǔn)球與其內(nèi)接正方體之間的聯(lián)系，建

立球的半徑與正方體邊長之間的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想.

8.（4分）若尤為任意實數(shù)時，二次三項式/-6x+c的值都不小于0,則常數(shù)c?滿足的條件

是c>9.

【分析】根據(jù)完全平方公式得出（x-3）2+C-9N0,根據(jù)完全平方的非負(fù)性得出c-9

>0即可.

【解答】解：x2-6x+c=x2-6x+9+c-9,

=（x-3）2+c-9^0,

V若x為任意實數(shù)時，二次三項式x2-6x+c的值都不小于0,

Ac-9^0,

；.c29.

故答案為：c29.

【點評】本題考查了對完全平方公式和二次函數(shù)與不等式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)

題意得出c-920.

9.（4分）如圖，在AABC中，己知/C=90°,AC=6（km,AB100cm,a,b、c?…是在

△ABC內(nèi)部的矩形，它們的一個頂點在4B上，一組對邊分別在AC上或與AC平行，另

一組對邊分別在8c上或與BC平行.若各矩形在4c上的邊長相等，矩形。的一邊長是

12cm,則這樣的矩形a、b、c…的個數(shù)是9.

【分析】根據(jù)勾股定理可以求出每階臺階的寬，依據(jù)8C的長，即可解答.

【解答】解：如圖，

易證△BDEg△EFG四△GKH空/XHLM,

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可得BD=EF=GK=HL=BC-1Q02-602-72=8?！?

根據(jù)此規(guī)律，共有80+8-1=9個這樣的矩形.

故答案為:9.

【點評】本題將勾股定理和規(guī)律的探索與實際問題相結(jié)合，有一定的難度，善于觀察題

目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

10.（4分）如圖，MN是。0的直徑，MN=2,點A在O。上，NAMN=30°,8為弧AN

的中點，P是直徑上一動點，則出+P8的最小值為_及_.

【分析】首先利用在直線L上的同側(cè)有兩個點4、B,在直線L上有到A、B的距離之和

最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線L的對稱點，對稱點

與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點P的位置，然后根據(jù)弧的度數(shù)發(fā)現(xiàn)一個

等腰直角三角形計算.

【解答】解：作點B關(guān)于MN的對稱點C,連接AC交MN于點P,則P點就是所求作

的點.

此時南+PB最小，且等于AC的長.

連接。4,0C,

；.NAON=60°,

...弧AN的度數(shù)是60°,

則弧8N的度數(shù)是30°,

根據(jù)垂徑定理得弧CN的度數(shù)是30°,

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則NAOC=90°,又OA=OC=1,

則AC=?

【點評】此題主要考查了確定點P的位置，垂徑定理的應(yīng)用.

11.（4分）如圖，是幾個相同的小正方體搭成的幾何體的三種視圖，則搭成這個幾何體的

【分析】根據(jù)主視圖以及左視圖可得出該小正方形共有兩行搭成，俯視圖可確定幾何體

中小正方形的列數(shù).

【解答】解：由主視圖與左視圖可以在俯視圖上標(biāo)注數(shù)字為：

主視圖有三列，每列的方塊數(shù)分別是：1,2,2；

左視圖有兩列，每列的方塊數(shù)分別是：2,1；

俯視圖有三列，每列的方塊數(shù)分別是：1,2,2；

因此總個數(shù)為1+2+2=5個.

故答案為5.

【點評】本題考查三視圖的知識及從不同方向觀察物體的能力，解題中用到了觀察法.確

定該幾何體有幾列以及每列方塊的個數(shù)是解題關(guān)鍵.

12.（4分）等腰AABC的一個底角為30°,一條邊長為則aABC的周長為6+4亞

或或2?_.

【分析】根據(jù)已知的邊可以是腰長，也可以是底邊的長度，然后作出底邊上的高，再根

據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，分別利用勾股定理進(jìn)行求解即可.

【解答】解：如圖，作。為垂足，則

BD=CD=1AB（等腰三角形三線合一），

2

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①當(dāng)已知邊為腰長時，A8=2?,N8=30°,

.'.AD=^AB=y[2f

在RdABO中，BD=后右=向赤？=3,

：.BC=2BD=2X3=6,

：.△ABC的周長=6+2近X2=6+4?,

②當(dāng)已知邊為底邊時，BO=4X2?=J§,NB=30°,

2

在RtZXABD中，AB2=AD2+BD2,

即AB2=1AB2+^,

4

解得AB=2,

/XABC的周長=2X2+2?=4+2近，

綜上所述，△ABC的周長為6+4?或4+2?.

故答案為：6+4?或4+2b.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半

的性質(zhì)，勾股定理，因為已知邊不明確，要注意分情況進(jìn)行討論求解，避免漏解而導(dǎo)致

出錯.

13.(4分)設(shè)實數(shù)a、b、c滿足aVbVc(ac<0),且|c|V向〈同，則-a|+|x-b|+|x+c|的

最小值是-c-〃?

【分析】根據(jù)acVO可知，a,c異號，再根據(jù)4VbV。以及同〈|回〈間,即可確定a,b,

-c在數(shù)軸上的位置,而|%-。|+優(yōu)-例+MM表示數(shù)軸上的點到。，治-c三點的距離的和,

根據(jù)數(shù)軸即可確定.

【解答】解：??ZcV0

:?a,c異號，

c>0

又?：a<b<c,以及|c|V|b|V|4|,

.*.?</?<-c<O<c,

X*.*\x-a\+\x-b|+|x+c|表示到a，b,-c三點的距離的和，

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當(dāng)x在a,c之間時距離最小，

即|x-a|+|x-b|+|x+c|最小，最小值是。與-c之間的距離，BP-c-a.

故答案為：-c-a.

【點評】本題考查了絕對值函數(shù)的最值問題，解決的關(guān)鍵是根據(jù)條件確定a,b,c,-c

之間的大小關(guān)系，把求式子的最值的問題轉(zhuǎn)化為距離的問題，有一定難度.

14.（4分）一個三角形的三條邊長分別是a,b,c（a,h,c都是質(zhì)數(shù)），且a+〃+c=16,則

這個三角形的形狀是等腰三角形.

【分析】把a(bǔ),b,c中的兩個字母的和當(dāng)作一個整體，由于a+b+c=16,16是偶數(shù)，根

據(jù)偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)，而2是唯一的偶質(zhì)數(shù)，得出

a,h,c中有一個是2,不妨設(shè)a=2,則6+c=14,且氏c都是奇質(zhì)數(shù)，再根據(jù)三角形

三邊關(guān)系定理得出氏c的值，從而得出結(jié)果.

【解答】解：；a+b+c=16,a,h,c都是質(zhì)數(shù)，貝ija,兒c的值一定是：1或2或3或5

或7或11或13.

.,.a,h,c中有一個是2,不妨設(shè)。=2.

：.b+c=14,且b、c都是奇質(zhì)數(shù),

又；14=3+11=7+7,

而2+3VII,以2,3,11為邊不能組成三角形；

2+7>7,...以2,7,7為邊能組成三角形.

這個三角形是等腰三角形.

故答案為：等腰三角形.

【點評】本題考查了奇偶數(shù)、質(zhì)數(shù)的有關(guān)知識及三角形三邊關(guān)系定理.難度較大，其中

對于奇偶數(shù)、質(zhì)數(shù)的有關(guān)知識考查屬于競賽題型，超出教材大綱要求范圍.

15.（4分）從-2,-1,1,2這四個數(shù)中，任取兩個不同的數(shù)作為一次函數(shù)>=齒+6的系

數(shù)4,b,則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限的概率是—上―.

【分析】列舉出所有情況，看不經(jīng)過第四象限的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可.

【解答】解：共12種情況，不經(jīng)過第四象限的一次函數(shù)圖象有2種，

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所以概率為2=2

126

故答案為：1.

6

【點評】考查概率的求法；用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.得到

不經(jīng)過第四象限的一次函數(shù)圖象是解決本題的難點.

16.（4分）一個凸多邊形的某一個內(nèi)角的外角與其余內(nèi)角的和恰為500°,那么這個多邊形

的邊數(shù)是4或5.

【分析】本題涉及多邊形的內(nèi)角和、方程的思想.關(guān)鍵是根據(jù)內(nèi)角和的公式和等量關(guān)系

“一個凸多邊形的某一個內(nèi)角的外角與其余內(nèi)角的和恰為500?！绷谐龇匠蹋诰螂[含著

邊數(shù)為正整數(shù)這個條件求解.

【解答】解：設(shè)邊數(shù)為“，這個內(nèi)角為x度，則0Vx<180°根據(jù)題意，得

("-2)780°-x+(180°-%)=500°

解得〃=3+理］——捏匹

180°

?.?〃為正整數(shù),

...140+2%必為180的倍數(shù),

又...OCxVlgO,

/.n=4或5.

故答案為：4,5.

【點評】主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理及內(nèi)角與外角的關(guān)系，較難.

”邊形的內(nèi)角和為：180°?（〃-2）；多邊形的內(nèi)角與它的外角互為鄰補(bǔ)角.

17.（4分）若多項式2f+3xy-2y2-x+8y-6可以分解為（x+2y+/?）（2x-y+〃）的形式，則

mM_7_

至7=-I-

【分析】由題意多項式2x2+3xy-2）2-x+8y-6可以分解為（x+2y+zn）（2x-y+n）的形式,

第14頁共28頁

將整式(x+2y+加C2x-y+n)相乘，然后根據(jù)系數(shù)相等求出機(jī)和小從而求解.

【解答】解：,**多項式2/+3孫-2y2-x+Sy-6可以分解為(x+2y+W(2x-y+〃)的形式，

:.(x+2y+/%)(2x-y+n)=2x^+3xy-2y2+(2m+n)x+(2n-m)y+mn=2x2+3xy-2y2-

x+8y-6,

/.2m+n=-1,2n-m=8,mn=一6,

解得m=-2,〃=3,

?m3+l_-8+l_7

??'―-■—,

n2-l9-18

故答案為：-1.

8

【點評】此題主要考查因式分解的意義，緊扣因式分解的定義，是一道基礎(chǔ)題.

18.(4分)鈍角三角形的三邊長分別為4,6,8,則其面積為瓜

【分析】如圖，作CD1AB,設(shè)BD=x,根據(jù)勾股定理得，62-x2-42-(8-x)2,然

后，可得二I求出x,根據(jù)三角形的面積計算公式，求出即可；

【解答】解：如圖，作CD_LAB,設(shè)BO=x,

.*.62-^=42-(8-x)2,

解得，x=—9

4

CD=VBC2-DB2=^62-

,S=5XABXCD=5X8X

224

故答案為：3^/15-

【點評】本題主要考查了勾股定理和三角形面積的求法，求出一邊上的高，是解答本題

的關(guān)鍵.

19.(4分)把正奇數(shù)依次排列成5歹！I,如右圖，則2001排在從左數(shù)第2列.

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1357

1513119

17192123

31292725

33353739

【分析】根據(jù)上表可以得出以下信息，即每一行為4個相鄰的奇數(shù)，當(dāng)行數(shù)為奇數(shù)時從

第二列開始到第五列，當(dāng)行數(shù)為偶數(shù)時，從第四列開始到第一列，奇數(shù)都是遞增排列的.所

以可以得出2001的位置.

【解答】解：由題意可知：排列為1,3,5,7,-In-1,則〃=1001,說明2001是第

1001個奇數(shù).

又：1001+4=250余1,

...2001在251行，為第1個數(shù)，

就是第二列，

故答案為：2.

【點評】此題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，

并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應(yīng)該具備的基本能力.

20.（4分）如圖，已知是。。的直徑，弦于”，4c=10,8=12,那么sin

ZABD的值是

【分析】首先根據(jù)垂徑定理得出NABO=NABC,然后由直徑所對的圓周角是直角，得

出NACB=90°,根據(jù)勾股定理算出斜邊AB的長，再根據(jù)正弦的定義求出sinNABC的

值，從而得出sin/ABZ）的值.

【解答】解：由條件可知：弧AC=MA。，則NABD=NABC,

所以sinZABD=sinZACD=M；

AC

4B為直徑，4c=6,CD=\2,可得CH=6,A4=8,

：.sinZABD=^..

5

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故答案為名.

5

【點評】本題主要考查了垂徑定理及銳角三角函數(shù)的定義.垂直于弦的直徑平分這條弦，

并且平分弦所對的兩條弧.在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊.

21.（4分）如圖，二次函數(shù)），=/+岳c+c（a>0）.圖象的頂點為。，其圖象與x軸的交點4、

B的橫坐標(biāo)分別為-1、3,與），軸負(fù)半軸交于點C.下面五個結(jié)論：①2a+6=0；@a+b+c

>0；③當(dāng)xWl時，y隨x值的增大而增大；④當(dāng)-1WXW3時，/+尿+c<0；⑤只有

當(dāng)。=工時，△ABZ）是等腰直角三角形.那么，其中正確的結(jié)論是①⑤.（只填你

2

【分析】根據(jù)拋物線的對稱性可得到拋物線的對稱軸為直線x=l,根據(jù)拋物線的對稱軸

為直線X=-燃=1可判斷①正確；根據(jù)圖象得X=1對應(yīng)的函數(shù)值為負(fù)數(shù)，可判斷以

②錯誤；

根據(jù)拋物線當(dāng)4>0,在對稱軸左側(cè)，y隨X的增大而減小可判斷以③錯誤；利用x=-l

或x=3時，ax1+hx+c=0,可判斷④錯誤；

【解答】解：?.?二次函數(shù)的圖象與x軸的交點4、8的橫坐標(biāo)分別為-1、3,

??.A8中點坐標(biāo)為（1,0）,而點A與點3是拋物線上的對稱點，

...拋物線的對稱軸為直線x=1,

.*.%=-1,即2。+6=0,所以①正確；

2a

?..當(dāng)x=l時，對應(yīng)的函數(shù)圖象在x軸下方，

；.a+b+c<0,所以②）錯誤；

Va>0,

...當(dāng)xWl時，），隨x值的增大而減，所以③錯誤；

由于當(dāng)-l<x<3時，a^+A-+cVO,而x=-l或x=3時，aj^+bx+c=O,所以④錯誤；

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設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3)-lax-3a,對稱軸x=1交x軸與E點,

如圖，

2

當(dāng)△AB。是等腰直角三角形，則。E=工5,即14a?(-3a)-4a尸工義4,

24a2

.\a=—,所以⑤正確.

2

故答案為①⑤.

【點評】本題考查了二次函數(shù)yncM+fev+c(〃W0)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：〃>0,開口向

上，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小；對稱軸為直線尤=-_”；拋物線的頂點坐標(biāo)

2a

2

為(-巨，)；b2-4?c>0,拋物線與x軸有兩個交點.也考查了拋物線的交

2a4a

點式以及等腰直角三角形的性質(zhì).

22.(4分)數(shù)學(xué)拓展課上，老師定義了一種運算“*”,對于“6N*,滿足以下運算性質(zhì)：(1).2*2

=1,(2).(2/?+2)*2=3(2〃*2),則2〃*2用含〃的代數(shù)式表示為3”<.

【分析】根據(jù)：①2X2=1；②(2〃+2)※2=3(2科2),判斷數(shù)列｛(2缶2)｝是等比

數(shù)列，即可求得其通項公式.

【解答】解:：2※2=1,(2〃+2)※2=3⑵※2),

：.[2(n+1)⑵※2)=3

/.｛(2〃派2)｝是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，

...第〃項是：3nl.

故答案是：為3"一1.

【點評】本題考查對新定義的理解及等比數(shù)列的定義和通項公式的求法，旨在考查學(xué)生

的觀察分析和歸納能力，屬基礎(chǔ)題.

二、解答題:

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23.(12分)(1)解不等式組2，并把解集在數(shù)軸上表示出來.

l-3(x-l)<C8-x

2

(2)先化簡，再求代數(shù)式3二包.(a-2ab-b)的值,其中a=3tan300+1,

aa

b=V^cos45°.

【分析】(1)先解兩個不等式，再把解集畫在數(shù)軸上，得出解集即可；

(2)先化簡a,h,再化簡代數(shù)式，再代入數(shù)據(jù)即可.

【解答】解：(1)解第一個不等式得：xWl

解第二個不等式得：x>-2

所以不等式組的解集為：-2<xWl

【II.Q.II,!1I、

-5-4-2-102345

(2)原式=且土+比辿止=31旦

aaa(a_b)2a-b

Va-3tan30°+1=揚(yáng)1,

b=V2cos45°=1,

把“，6的值代入上式得：原式

V33

【點評】本題考查了解一元一次不等式組、分式的化簡求值以及特殊角的三角函數(shù)值，

是基礎(chǔ)知識要熟練掌握.

24.(12分)已知關(guān)于x的方程/-(2Z+1)x+4(%-工)=0.

2

(1)求證：無論/取什么實數(shù)值，這個方程總有實根.

(2)若等腰AABC的一邊長”=4,另兩邊氏c恰好是這個方程的兩根，求△A8C的周

長.

【分析】(1)先把方程化為一般式：x2-(2A+l)x+4%-2=0,要證明無論《取任何實數(shù),

方程總有兩個實數(shù)根，即要證明△》()；

(2)先利用因式分解法求出兩根：力=2,X2=2k-1.先分類討論：若。=4為底邊；若

。=4為腰，分別確定匕，c的值，求出三角形的周長.

【解答】(1)證明：方程化為一般形式為：(2Z+1)x+4k-2=0,

:△=(2R1)2-4(4k-2)=(2k-3)2,

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而(2k-3)2-0,

...△eo,

所以無論k取任何實數(shù)，方程總有兩個實數(shù)根；

(2)解：?-⑵+1)x+4k-2=0,

整理得(x-2)[x-(2-1)]=0,

.*.xi=2,xi—2k-1,

當(dāng)a=4為等腰△ABC的底邊，則有8=c,

因為仄c恰是這個方程的兩根，則2=2%-1,

解得《=旦，則三角形的三邊長分別為：2,2,4,

2

：2+2=4,這不滿足三角形三邊的關(guān)系，舍去；

當(dāng)。=4為等腰AABC的腰，

因為氏c恰是這個方程的兩根，所以只能2k-1=4,

則三角形三邊長分別為：2,4,4,

此時三角形的周長為2+4+4=10.

所以△ABC的周長為10.

【點評】本題考查了一元二次方程以2+fev+c=0(a/0,?,b,c為常數(shù))根的判別式△

=y-4".當(dāng)△>(),方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=(),方程有兩個相等的實數(shù)根;

當(dāng)△<(),方程沒有實數(shù)根.同時考查了分類思想的運用、等腰三角形的性質(zhì)和三角形三

邊的關(guān)系.

25.(12分)某校開校運會時，某班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8

人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加游泳和田徑的有3人，同時參加游泳

和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽，問同時參加田徑和球類比賽的有多少

人？只參加游泳一項比賽的有多少人？

【分析】根據(jù)15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，同時參加游泳和田徑的有3人，

同時參加游泳和球類比賽的有3人，可以求得只參加游泳比賽的人數(shù)；

再結(jié)合總?cè)藬?shù)即可求得同時參加山徑和球類比賽的人數(shù).

【解答】解：只參加游泳比賽的人數(shù)：15-3-3=9(人)；

同時參加田徑和球類比賽的人數(shù)：8+14-(28-9)=3(人).

第20頁共28頁

【點評】注意每兩種比賽的公共部分.

26.（14分）某校九年級三班為開展“迎2008年北京奧運會”的主題班會活動，派了小林

和小明兩位同學(xué)去學(xué)校附近的超市購買鋼筆作為獎品.已知該超市的錦江牌鋼筆每支8

元，紅梅牌鋼每支4.8元，他們要購買這兩種筆共40支.

（1）如果他們兩人一共帶了240元，全部用于購買獎品，那么能買這兩種筆各多少支？

（2）小林和小明根據(jù)主題班會活動的設(shè)獎情況，決定所購買的錦江牌鋼筆的數(shù)量要少于

紅梅牌鋼筆的數(shù)量的工，但又不少于紅梅牌鋼筆的數(shù)量的」.如果他們買了錦江牌鋼筆x

24

支，買這兩種筆共花了y元.

①請寫出y（元）關(guān)于x（支）的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；

②請幫他們計算一下，這兩種筆各購買多少支時，所花的錢最少，此時花了多少元？

【分析】（1）錦江牌鋼筆費用+紅梅牌鋼筆費用就是240元.

（2）總費用y元，即購買紅梅牌鋼筆與錦江牌鋼筆的費用的和.用代數(shù)式表示出兩種費

用，即可寫出函數(shù)關(guān)系式.

再依據(jù)：所購買的錦江牌鋼筆的數(shù)量要少于紅梅牌鋼筆的數(shù)量的工，但又不少于紅梅牌

2

鋼筆的數(shù)量的」.列出不等式組，解出x的取值范圍；根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

4

【解答】解：（1）設(shè)能買錦江牌鋼筆x支，則能買紅梅牌鋼筆（40-x）支.依題意，

得8x+4.8（40-x）=240.

解得x=15.；.40-x=40-15=25.

答：能買錦江牌鋼筆15支，紅梅牌鋼筆25支.

（2）①依題意，得y=8x+4.8（40-x）=3.2x+192.

x<y（40-x）

又由題意，有《解得8WxV也.

XA^（40-X）

Jy關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=3.2x+192.

自變量X的取值范圍是8Wx〈絲且X為整數(shù).

3

②對一次函數(shù)y=3.2x+192,Vjt=3.2>0

；.），隨x的增大而增大.

第21頁共28頁

...對8WxV歿，當(dāng)x=8時，y值最小.

3

此時40-x=40-8=32,y最小=3.2X8+192=217.6（元）.

答：當(dāng)買錦江牌鋼筆8支，紅梅牌鋼筆32支時，所花錢最少，為217.6元.

【點評】（1）利用一次函數(shù)求最值時，主要應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)；

（2）用一次函數(shù)解決實際問題是近年中考中的熱點問題.

27.（14分）如圖，在RtaABC中，NACB=90°,以4c為直徑的與48邊交于點。,

過點。作OO的切線，交BC于點E.

（1）求證：點E是邊8c的中點；

（2）若EC=3,BD=2?，求。。的直徑AC的長度；

（3）若以點0,D,E,C為頂點的四邊形是正方形，試判斷△4BC的形狀，并說明理

由.

【分析】（1）利用EC為。。的切線，EQ也為。。的切線可求EC=ED,再求得EB=EC,

EB=E￡＞可知點E是邊BC的中點；

（2）解答此題需要運用圓切線和割線的性質(zhì)和勾股定理求解；

（3）判定△A8C是等腰直角三角形時要用到正方形的性質(zhì)來求得相等的邊.

【解答】（1）證明：連接。。；

VZACB=90°,AC為直徑，

；.EC為。0的切線；

又；瓦？也為的切線，

:.EC=ED,

又；NED0=90°,

：.ZBDE+ZADO=9QQ,

.?./BZ）E+NA=90°

又,25+4=90°,

:.NBDE=NB,

第22頁共28頁

：.EB=ED,

：.EB=EC,即點E是邊8c的中點;

(2)解：YBC,8(分別是。。的切線和割線,

:.BC2=BD,BA,

：.(2EC)2=B?BA,即BA?2娓=36,

**-BA=

在RtZXABC中，由勾股定理得

AC=VAB2-BC2=7(376)2-62=3^2;

（3）解：△ABC是等腰直角三角形.

理由：?..四邊形OCEC為正方形，

；.NOOC=N4CB=90°,BPDO//BC,

又；點E是邊BC的中點，

：.BC=2OD=AC,

...△A5C是等腰直角三角形.

【點評】本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識.運用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計

算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題.

28.（16分）在黃州服裝批發(fā)市場，某種品牌的時裝當(dāng)季節(jié)將來臨時，價格呈上升趨勢，設(shè)

這種時裝開始時定價為20元，并且每周（7天）漲價2元，從第6周開始保持30元的價

格平穩(wěn)銷售：從第12周開始，當(dāng)季節(jié)即將過去時，平均每周減價2元，直到第16周周

末，該服裝不再銷售.

（1）試建立銷售價y與周次x之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑵若這種時裝每件進(jìn)價Z與周次x次之間的關(guān)系為Z=-0.125（x-8）2+12.1WxW16,

且x為整數(shù)，試問該服裝第幾周出售時，每件銷售利潤最大？最大利潤為多少？

第23頁共28頁

【分析】由于y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為分段函數(shù)，則W與x之間的函數(shù)關(guān)系式亦為分

段函數(shù).分情況解答.

【解答】解：(1)依題意得，可建立的函數(shù)關(guān)系式為：

'20+2(x-1)(l<x<6)

?'?y-'30(6<x《ll)

.30-2(x71)(12<x<16)

'2x+18(l<x<6)

即y=30(6<x<U)4分

,-2x+52(12<x<16)

(2)設(shè)利潤為W,則W=售價-進(jìn)價

20+2X-4-(X-8)2-14(1<X<6)

o

3og(x-8)2-12(64x《ll),

故W='o

n

高(x-8)-2x+40(12<x<16)

o