2021年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：18 等腰、等邊三角形問(wèn)題（解析版）

2021年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：專題18等腰、等邊三角形問(wèn)題

一、等腰三角形

1.定義：兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫腰，第三條邊叫底邊，兩腰的夾角叫

頂角，底邊和腰的夾角叫底角.

2.等腰三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）.

性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.

3.等腰三角形的性質(zhì)的作用

性質(zhì)1證明同一個(gè)三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個(gè)重要依據(jù).

性質(zhì)2用來(lái)證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等.

4.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形

等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對(duì)稱軸，通常情況只有一條對(duì)稱軸.

5.等腰三角形的判定

如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊“）.

要點(diǎn)詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相

等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.

二、等邊三角形

1.定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.

2.性質(zhì)

性質(zhì)1：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°；

性質(zhì)2：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且有三條對(duì)稱軸，分別為三邊的垂直平分線。

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3.判定

（1）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形：

（2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形；

（3）有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形。

三、解題方法要領(lǐng)

1.等腰（邊）三角形是一個(gè)特殊的三角形，具有較多的特殊性質(zhì)，有時(shí)幾何圖形中不存在

等腰（邊）三角形，可根據(jù)已知條件和圖形特征，適當(dāng)添加輔助線，使之構(gòu)成等腰（邊）三角形，然后利用

其定義和有關(guān)性質(zhì)，快捷地證出結(jié)論。

2.常用的輔助線有：（1）作頂角的平分線、底邊上的高線、中線。（2）在三角形的中線問(wèn)

題上，我們常將中線延長(zhǎng)一倍，這樣添輔助線有助于我們解決有關(guān)中線的問(wèn)題。

3.分類(lèi)討論是等腰三角形問(wèn)題中常用的思想方法，在已知等腰三角形的邊和角的情況下求其他三角形的邊

或角，要對(duì)已知的邊和角進(jìn)行討論，分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)一般是根據(jù)邊是腰還是底來(lái)分類(lèi)。

【例題1】（2020?臨沂）如圖，在△48C中，AB=AC,N/=40°,CD//AB,則N8CD=（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求N4C8,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可求/8CD.

?.,在△48C中,AB=AC,4=40°,

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AZACB^10°,

'：CD//AB,

：.Z^CD=180°-ZA=140°,

:.NBCD=NACD-NACB=10°.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】如圖所示，點(diǎn)D是AABC的邊AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），AD=BD,則下列結(jié)論正

確的是（）

A.AOBCB.AC=BCC.ZA>ZABCD.ZA=ZABC

【答案】A

【解析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩腰相等；等腰.三角形的兩個(gè)底角

相等；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.根據(jù)等腰三角形

的兩個(gè)底角相等，由AD=BD得至ljNA=NABD,所以NABC>NA,則對(duì)各C、D選項(xiàng)進(jìn)行判

斷；根據(jù)大邊對(duì)大角可對(duì)A、B進(jìn)行判斷.

VAD=BD,

:.ZA=ZABD,

AZABOZA,所以C選項(xiàng)和D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

AAOBC,所以A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

【例題2】（2020?寧波）△80E和△FG"是兩個(gè)全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角

形Z8C內(nèi).若求五邊形。EC”尸的周長(zhǎng)，則只需知道（）

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D,

BGEC

A.△N8C的周長(zhǎng)B.的周長(zhǎng)

C.四邊形EBG”的周長(zhǎng)D.四邊形/DEC的周長(zhǎng)

【答案】A

【解析】證明(44S),得出力了=C〃.由題意可知8E=F則得出五邊形DECHF的周長(zhǎng)

=AB+BC,則可得出答案.

:△GF4為等邊三角形，

：.FH=GH,NFHG=60°,

AZAHF+ZGHC=120°,

?.?△Z8C為等邊三角形，

：.AB=BC=AC,ZACB=ZA=60°,

/.ZGHC+ZHGC^120°,

二ZAHF=4HGC,

：./\AFH^/\CHG(AAS),

：.AF=CH.

'：4BDE和XFGH是兩個(gè)全等的等邊三角形，

：.BE=FH,

：.五邊形DECHF的周長(zhǎng)=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF,

=(BD+DF+AF)+(CE+BE),

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=AB+BC.

?,?只需知道△ABC的周長(zhǎng)即可.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】如圖所示，在等邊三角形ABC的邊BC、AC上分別取點(diǎn)D、E,使BD=CE,AD與BE相交于

點(diǎn)P,則/APE的度數(shù)為°.

【答案】60

【解析】根據(jù)BD=CE可得CD=AE,即可證明△ACDgZ\BAE,得NCAD=NABE,再根據(jù)內(nèi)角和為180。的

性質(zhì)即可解題。

VBD=CE,

ABC-BD=AC-CE,

即CD=AE,

'CD=AE

在4ACD與4BAE中，，NACD=NBAE,

AB=AC

AAACD^ABAE(SAS),

.,?ZCAD=ZABE,

,/ZCAD+ZAPE+NAEB=180°,

ZABE+ZBAE+ZAEB=180°,

.,.ZAPE=ZBAE=60"

【例題3】(2020?臺(tái)州)如圖，已知AD=AE,8。和CE相交于點(diǎn)O.

(1)求證：AABD/AACE；

(2)判斷△BOC的形狀，并說(shuō)明理由.

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A

【答案】見(jiàn)解析。

【分析】(1)由“SAS”可證四△/CE；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得由等腰三角形的性質(zhì)可得N/BC=N4CB,可求NO8C=/

OCB,可得80=C0,即可得結(jié)論.

【解答】證明：(1)'：AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE,

.,.△ABDdACE(SAS)；

(2)△80C是等腰三角形，

理由如下：

AABD忠LACE,

，NABD=NACE,

"：AB=AC,

：.NABC=NACB,

：.ZABC-NABD=ZACB-NACE,

：./OBC=NOCB,

：.BO=CO,

...△80C是等腰三角形.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】如圖，己知AC_LBC,BD1AD,AC與BD交于點(diǎn)O,AC=BD.求證：

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D

O

A匕-----------------------&B

(1)BC=AD；

(2)A0AB是等腰三角形.

【答案】見(jiàn)解析。

【解析】證明：(1)VAC±BC,BD1AD,

/.ZD=ZC=90°.

‘A3=BA,

在RtAACB和RtABDA中，＜('

AC=BD,

.,.△ACB^ABDA(HL).

ABC=AD.

(2)由AACB絲ZXBDA,得/CAB=/DBA,

...△OAB是等腰三角形.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】已知：在aABC中，AB=AC,D為AC的中點(diǎn)，DE±AB,DF±BC,垂足分別為點(diǎn)E,F,

且DE=DF.求證：AABC是等邊三角形.

【答案】見(jiàn)解析。

【解析】只要證明RtAADE^RtACDF,推出/A=NC,推出BA=BC,又AB=AC,即可推出AB=BC=AC；

證明：；DE_LAB,DFXBC,垂足分別為點(diǎn)E,F,

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.,.ZAED=ZCFD=90°,

?；D為AC的中點(diǎn)，

；.AD=DC,

在RtAADE和RtACDF中，

[AD=DC

IDE=DF'

ARtAADE^RtACDF,

.*.ZA=ZC,

，BA=BC,VAB=AC,

；.AB=BC=AC,

??.△ABC是等邊三角形.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】如圖，Z\ABC中，AB=AC,NA=36°,AC的垂直平分線交AB于E,D為垂足，連接EC.

（1）求NECD的度數(shù)；（2）若CE=5,求BC長(zhǎng).

【答案】（1）NECD的度數(shù)是36°；

（2）BC長(zhǎng)是5.

【解析】（1）：DE垂直平分AC

；.CE=AE,

；./ECD=/A=36°

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(2)VAB=AC,ZA=36°,

AZB=ZACB=72°,

AZBEC=ZA+ZECD=72°,

/.ZBEC=ZB,

JBC=EC=5.

專題點(diǎn)對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練

一、選擇題

1.（2020?聊城）如圖，在△/8C中，AB=AC,NC=65°,點(diǎn)。是8C邊上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。尸〃

交ZC于點(diǎn)E,則NFEC的度數(shù)是（）

A.120°B.130°C.145°D.150°

【答案】B

【解析】由等腰三角形的性質(zhì)得出NB=NC=65°,由平行線的性質(zhì)得出NCZ）E=/8=65°,再由三角形

的外角性質(zhì)即可得出答案.

"：AB=AC,ZC=65°,

：.ZB=ZC=65°,

'：DF//AB,

:.NCDE=NB=65°,

:.NFEC=NCDE+NC=65°+65°=130°.

2.（2020?南充）如圖，在等腰△Z8C中，8。為N/8C的平分線，N4=36°,AB=AC=a,BC=b,則CO

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=（）

a+ba-b

A.------B.------C.a-bD.b-a

22

【答案】C

【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定得出進(jìn)而解答即可.

???在等腰△/BC中，8D為N/8C的平分線，ZA=36°,

AZABC=ZC=2ZABD=12°,

AZABD=360=N4,

:?BD=AD,

：.ZBDC=NA+NABD=72°=ZC,

:?BD=BC,

\'AB=AC=a,BC=b,

：.CD=AC-AD=a-b

3.（2020?徐州）如圖，43是OO的弦，點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)5的切線上，OCLCU,OC交AB于點(diǎn)P.若NBPC

=70°,則NZBC的度數(shù)等于（）

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A

cB

A.75°B.70°C.65°D,60°

【答案】B

【解析】先利用對(duì)頂角相等和互余得到N4=20°,再利用等腰三角形的性質(zhì)得到NO以=N4=20。，然

后根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB上BC,從而利用互余計(jì)算出NABC的度數(shù).

\'OC±OAf：.ZAOC=90°,

VZAPO=ZBPC=10°,AZA=90°-70°=20°,

?：OA=OB,：.ZOBA=ZA=20°,

???8C為OO的切線，：.OB1BC,：.ZOBC=90°,AZABC=90°-20°=70°.

4.已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)P為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到三邊的距離之和

為（）

A.返B.0返C.aD.不能確定

222

【答案】B

【解析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形的面積求點(diǎn)P到三邊的距離之和等于

等邊三角形的高是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀.

作出圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出高AH的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn)P到

三邊的距離之和等于高線的長(zhǎng)度，從而得解.

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D,

/、'c

如圖，?.?等邊三角形的邊長(zhǎng)為3,

二高線AH=3XK=>^S,

22

SA*BC」BJC?AH」AB?PD+LBC?PE+LC?PF,

2222

工X3?AH=LX3?PD+LX3?PE+LX3?PF,

2222

PD+PE+PF=AH=

即點(diǎn)p到三角形三邊距離之和為3返.

5.（2019?浙江衢州）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的。借助如圖所示的“三等分角儀”

能三等分任一角。這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒。4,OB組成，兩根棒在。點(diǎn)相連并可繞。轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)

固定，OC=CD=DE,點(diǎn)D,E可在槽中滑動(dòng)，若NBDE=75°,則/CDE的度數(shù)是（）

A.60°B.65°C.75°D.80°

【答案】D

【解析】考點(diǎn)是三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)。

OC=CD=DE,

：.ZO=ZODC,ZDCE=ZDEC,

設(shè)NO=/ODC=x,

第12頁(yè)共22頁(yè)

???ZDCE=ZDEC=2xf

：.ZCDE=180°-ZDCE-ZDEC=180°-4x,

VZBD￡=75°,

???ZOOC+ZCDE+ZBDE=180°,

BPx+180°-4x+75o=180°,

解得:x=25°,

ZCDE=180°-4x=80°.

6.（2019?湖南長(zhǎng)沙）如圖，心△/BC中，ZC=90°,N8=30°,分別以點(diǎn)/和點(diǎn)8為圓心，大于工的

2

長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于“、N兩點(diǎn)，作直線MN,交BC于點(diǎn)、D,連接Z。，則/。1。的度數(shù)是（）

A.20°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】在△/8C中，VZB=30°,ZC=90°,

：.ZBAC^180°-ZB-ZC=60°,

由作圖可知MN為AB的中垂線，

:.DA=DB,

:.NDAB=NB=30°,

：.ZCAD=ZBAC-ZDAB=30°

二、填空題

第13頁(yè)共22頁(yè)

7.（2020?臺(tái)州）如圖，等邊三角形紙片Z8C的邊長(zhǎng)為6,E,尸是邊8C上的三等分點(diǎn).分別過(guò)點(diǎn)E,F沿

著平行于歷1,。方向各剪一刀，則剪下的△Z5E尸的周長(zhǎng)是.

【答案】6

【解析】根據(jù)三等分點(diǎn)的定義可求加"的長(zhǎng)，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)即可求解.

?.?等邊三角形紙片/8C的邊長(zhǎng)為6,E,E是邊BC上的三等分點(diǎn)，

:.EF=2,

'：DE//AB,DF//AC,

.?.△OE尸是等邊三角形，

二剪下的尸的周長(zhǎng)是2X3=6.

8.（2020?牡丹江）如圖，在RtZ\Z8C中，CA=CB,"是48的中點(diǎn)，點(diǎn)。在8M上，AEA.CD,BFLCD,

垂足分別為E,F,連接則下列結(jié)論中：

@BF=CE；

（2）ZAEM=NDEM；

@AE-CE=近ME；

④。原+。產(chǎn)=2。河2；

⑤若NE平分NB4C,則EF：BF=A/2：1；

⑥CF*DM=BM?DE,

第14頁(yè)共22頁(yè)

正確的有.（只填序號(hào)）

【解析】①②③④⑤⑥.

【分析】證明△BC/gZiCZE,得到8F=CE,可判斷①；再證明四△CEM,從而判斷尸為等

腰直角三角形，得到EF=V^EM,可判斷③，同時(shí)得到NMEF=/A/FE=45°,可判斷②；再證明△￡）棧

必NEM,得到△。河N為等腰直角三角形，得到。N=&,DM,可判斷④；根據(jù)角平分線的定義可逐步

EFEFEFy[2EM/—

推斷出DE=EM,再證明之△4CE,得到OE=CE,則有一=—=—=-----=V2,從而判斷

BFCEDEDE

⑤；最后證明△CD"S”￡）E,得到黑=器，結(jié)合8“=CA/,AE=CF,可判斷⑥.

【解析】；N/C8=90°,

:.NBCF+NACE=90°,

■:NBCFMCBF=90°,

ZACE=ZCBF,

又,；NBFD=90°=NAEC,AC=BC,

:./\BCFgACAE(AAS),

：.BF=CE,故①正確；

由全等可得：AE=CF,BF=CE,

：.AE-CE=CF=CE=EF,

連接FW,CM,

；點(diǎn)M是Z8中點(diǎn),

第15頁(yè)共22頁(yè)

：.CM=^AB=BM=AM,CMLAB,

在△8OE和△CD/W中，NBFD=/CMD,NBDF=NCDM,

：.ZDBF=ZDCM,

又BM=CM,BF=CE,

：./\BFM注LCEM(SAS),

：.FM=EM,ZBMF=ZCME,

■:NBMC=90°,

:.NEMF=90°,即為等腰直角三角形，

：.EF=\[2EM=AE-CE,故③正確，NMEF=NMFE=45°,

VZAEC=90°,

：.ZMEF^ZAEM=45°,故②正確，

設(shè)AE與CM交于點(diǎn)、N,連接。M

ZDMF=ZNME,FM=EM,ZDFM=ZDEM=ZAEM=45°,

:.叢DFM9叢NEM(ASA),

:*DF=EN,DM=MN,

...△ZM/N為等腰直角三角形，

：.DN=>/2DM,而/。E/=90°,

DE2+DF2=DN2=2DM2,故④正確；

*C=8C,4c8=90°,

二/。8=45°,

：4E■平分/8/C,

第16頁(yè)共22頁(yè)

ZDAE=ZCAE=22.5°,ZADE=67.5°,

?；NDEM=45°,

：.ZEMD=67.5°,BPDE=EMf

^：AE=AEfZAED=ZAEC,/DAE=/CAE,

??.△ADEm4ACECASA\

:?DE=CE,

???/XMEF為等腰直角三角形，

：.EF=?EM,

tEFEFEF誓=亞，故⑤正確;

??BF-CE-DE-DE

?:NCDM=/ADE,NCMD=NAED=90°,

:.XCDMSADE,

9CDCMDM

AD~AE~DE"

■:BM=CM,AE=CF,

.BM_DM

?.=f

CFDE

:?CF*DM=BM?DE,故⑥正確。

第17頁(yè)共22頁(yè)

B

9.如圖所示，D是等邊AABC的AC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，DE=DB,4ABC的周長(zhǎng)是9,

則NE二°,CE=.

【答案】30；-

2

【解析】由4ABC為等邊三角形，且BD為邊AC的中線，根據(jù)"三線合一"得到BD平分NABC,而/ABC

為60°,得到NDBE為30°,又因?yàn)镈E=DB,根據(jù)等邊對(duì)等角得到NE與NDBE相等，故NE也為30°；

由等邊三角形的三邊相等且周長(zhǎng)為9.求出AC的長(zhǎng)為3,且/ACB為60。，根據(jù)NACB為4DCE的外角，

根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，求出/CDE也為30°,根據(jù)等角對(duì)等邊得到CD=CE,

都等于邊長(zhǎng)AC的一半，從而求出CE的值

解：.??△ABC為等邊三角形，D為AC邊上的中點(diǎn)，

ABD為NABC的平分線，且NABC=60。，

BPZDBE=30°,又DE=DB,

.,.ZE=ZDBE=30°,

?.?等邊aABC的周長(zhǎng)為9,，AC=3,且NACB=60°,

.*.ZCDE=ZACB-ZE=30°,即NCDE=NE,

/.CD=CE=-AC=-.

22

第18頁(yè)共22頁(yè)

10.（2019黑龍江綏化）如圖,在aABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上，且BI）=BC=AD,則NA=度.

【答案】16

【解析】：BD=AD,設(shè)NA=NABI）=x,NBDC=2x,：BD=BC,；.NC=NBDC=2x,：AB=AC,；./ABC=NC

=2x,.,.x+2x+2x=180°,；.x=36".

三、解答題

11.（2020?紹興）問(wèn)題：如圖，在中，BA=BD.在8。的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,C,作△4EC,使￡4=

EC.若/BAE=9Q°,NB=45°,求ND4c的度數(shù).

答案：ZDAC=45Q.

思考：（1）如果把以上“問(wèn)題”中的條件“N8=45°”去掉，其余條件不變，那么ND4C的度數(shù)會(huì)改變嗎？

說(shuō)明理由.

（2）如果把以上“問(wèn)題”中的條件“NB=45°”去掉，再將“/BAE=90°”改為“NBAE=n。”,其余

條件不變，求/D4c的度數(shù).

【答案】見(jiàn)解析。

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NZED=2NC,①求得ND4E=90°-NBAD=90°-（45°+Z

C）=45。-NC,②由①，②即可得到結(jié)論；

（2）設(shè),根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解析】（1）ND4c的度數(shù)不會(huì)改變;

第19頁(yè)共22頁(yè)

■:EA=EC,

；?N4ED=2NC,①

VZBAE=90°,

1

ZBAD=^[180°-(90°-2NC)]=45°+NC,

AZDAE=9Q°-NB4D=90°-(45°+ZC)=45°-ZC,②

由①，②得，ZDAC=ZDAE+ZCAE=45°；

(2)設(shè)//8C=M,

則NB/O=±(180°-m°)=90°—獷，4EB=180°-n°-m°,

AZDAE=n°-ZBAD=n°-