hochwald保譜的可乘線性映射

hochwald保譜的可乘線性映射

線性跟蹤一直是國(guó)際矩陣?yán)碚撗芯康囊粋€(gè)非常活躍的領(lǐng)域。最早Frobenius研究了矩陣代數(shù)上保持行列式的線性映射,刻畫了Pn×n的線性算子f滿足det(f(A))=detA?A∈Ρn×n(1)近年來(lái),一些作者分別用加法映射或乘法映射來(lái)代替線性映射。研究加法保持問題主要工作涉及秩保持、譜保持、冪等保持等,而研究乘法映射的一個(gè)主要結(jié)果是刻畫了保譜可乘映射。1994年Hochwald在文獻(xiàn)中率先對(duì)矩陣代數(shù)上的可乘映射問題進(jìn)行了探討,證明了下面結(jié)果。定理1若f:Pn×n→Pn×n是一個(gè)保譜的可乘線性映射,則存在一個(gè)可逆矩陣T∈Pn×n,使得f(A)=Τ-1AΤ?A∈Ρn×n(2)本文將該定理中的保譜條件進(jìn)行削弱,得到的主要結(jié)果是:定理2若f:Pn×n→Pn×n是一個(gè)可乘線性映射,且f保持矩陣特征值之和與積,則存在可逆矩陣T∈Pn×n,使得f(A)=Τ-1AΤ?A∈Ρn×n本文中符號(hào)Eij表示(i,j)位置是1,其余位置是0的n階矩陣,Pn×n表示數(shù)域P上的n階矩陣環(huán),E表示單位矩陣。又用[1,n]記集合{1,2,…,n}。又如果A,B∈Pn×n且AB=BA=0,則稱A和B正交。矩陣A∈Pn×n若滿足Ak=A,則稱A為k冪陣。1u3000添加at定義1一個(gè)映射f:Pn×n→Pn×n稱為一個(gè)加法映射(或稱f保持加法),如果f(A+B)=f(A)+f(B)?A?B∈Ρn×n定義2一個(gè)映射f:Pn×n→Pn×n稱為一個(gè)乘法映射(或稱f保持乘法),如果f(AB)=f(A)f(B)?A?B∈Ρn×n定義3矩陣A的所有特征值的集合稱為A的譜,記σ(A)。一個(gè)映射f:Pn×n→Pn×n稱為一個(gè)保譜的,若σ(f(A))=σ(A)。定義4設(shè)f:Pn×n→Pn×n若對(duì)?A∈Pn×n,都有A與f(A)的所有特征值之和(或積)相等,則稱f是保持特征值之和(或積)。為證明及應(yīng)用方便,引入標(biāo)準(zhǔn)單位(列)向量e1,e2,…,en。其中則矩陣Eij具有如下一些簡(jiǎn)單的性質(zhì):(1)Eij=eieTj,eTiei=1,eTiej=0(i≠j)。(2)EijEjk=Eik,EijEkl=0(j≠k)。證明EijEjk=(eieTj)(ejeTk)=ei(eTjej)eTk=ei·1·eTk=eieTk=Eik,當(dāng)j≠k時(shí),EijEkl=ei(eTjek)eTEl=ei·0·eTl=0。證畢。(3)EiiEijEjj=Eij。證明利用性質(zhì)2即得。證畢。(4)eTiAej恰為矩陣A的第(i,j)處元素。證明直接驗(yàn)證即得。證畢。引理1設(shè)f(x)∈F[x],A∈Pn×n,滿足f(A)=0,若f(x)無(wú)重限,則矩陣A可相似于對(duì)角陣。引理2設(shè)A∈Pn×n滿足Ak=A,則A的特征值只能是0或k-1次單位根,即對(duì)A的任一特征值λ,都有λ=0或λk-1=1。證明設(shè)Aξ=λξ(ξ≠0),則Ak=A可得λkξ=λξ,故λk=λ,于是有λ=0或λk-1=1。證畢。引理3設(shè)A1,A2,…,At是Pn×n中彼此正交的t個(gè)k冪陣。(1)若t>n,則?j∈[1,t]使得Aj=0;(2)若t=n且A1,A2,…,An均非零,則存在可逆矩陣T∈Pn×n,使得T-1AiT=ciEii,?i∈[1,n],其中ck-1i=1。2之2可逆矩陣t引理4設(shè)f是Pn×n→Pn×n的保持加法和乘法的線性映射,且f可逆,則f(0)=0,f(E)=E。證明由f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0),得f(0)=0。由f(E)=f(E·E)=f(E)·f(E),又E可逆,從而f(E)也可逆。所以,f(E)=E。證畢。引理5設(shè)f:Pn×n→Pn×n是可乘線性映射,且f保持矩陣特征值之和與積,則存在可逆矩陣T∈Pn×n,使得f(Eii)=T-1EiiT(i=1,2,…,n)。證明當(dāng)i≠j時(shí),EiiEjj=EjjEii=0,從而f(EiiEjj)=f(EjjEii)=f(0)=0。即f(Eii)f(Ejj)=f(Ejj)f(Eii)=f(0)=0。又Ekii=Eii,即Eii為k冪陣。于是,f(Ekii)=fk(Eii)=f(Eii)。即f(Eii)(i=1,2,…,n)為n個(gè)彼此正交的k冪陣,由引理3之(2)得,存在可逆矩陣T,使得Tf(Eii)T-1=ciEii,即f(Eii)=ciT-1EiiT,其中ck-1i=1,i=1,2,…,n。由于Eii的n個(gè)特征值為1,0,…,0,而ciT-1EiiT的n個(gè)特征值為ci,0,…,0,則它們特征值的各分別為1與ci,又f保持特征值的和,從而有ci=1,所以f(Eii)=Τ-1EiiΤ證畢。引理6設(shè)f:Pn×n→Pn×n是可乘線性映射,且f保持矩陣特征值之和與積,則存在可逆陣T及bij∈F使f(Eij)=bijT-1EijT,并且滿足bijbji=1及b1ibijbj1=1,這里i,j=1,2,…,n。證明由引理5知,存在可逆陣T使得f(Eii)=T-1EiiT,由EiiEijEjj=Eij得f(Eii)f(Eij)f(Ejj)=f(Eij)即(Τ-1EiiΤ)?f(Eij)?Τ-1EjjΤ)=f(Eij)亦即Eii?Τf(Eij)Τ-1?Ejj=Τf(Eij)Τ-1記Tf(Eij)T-1=B=(bij)n×n,上式即為EiiBEjj=B,從而eieTiBejeTj=B。即eibijeTj=B,亦即B=bijeieTj=bijEij。于是Τf(EijΤ-1=bijEij即f(Eij)=Τ-1(bijEij)Τ=bijΤ-1EijΤ再由EijEji=Eii,得f(Eij)f(Eji)=f(Eii)即T-1(bijEij)T·T-1(bjiEji)T=T-1EiiT因此bijEijbjiEji=Eii即bijbjiEii=Eii從而(bijbji-1)Eii=0所以bijbji=1由E11=E1iEijEj1得f(E11)=f(E1i)f(Eij)f(Ej1)從而T-1E11T=T-1(b1iE1i)T·T-1(bijEij)T·T-1(bj1Ej1)T即E11=b1ibijbj1(E1iEijEj1)=b1ibijbj1E11也就是(1-b1ibijbj1)E11=0由于E11≠0所以b1ibijbj1=1證畢。引理7設(shè)f:Pn×n→Pn×n是可乘線性映射,且f保持矩陣特征值之和與積,則存在可逆陣Q使得f(Eij=Q-1EijQ,i,j=1,2,…,n。證明由前面已證,存在可逆陣T,當(dāng)i≠j時(shí),bijbji=1,使得取從而得當(dāng)i≠j時(shí),有定理2的證明。證明設(shè)A=(aij)n×n,則A=∑ni=1∑nj=1