l-拓?fù)淇臻g中的次分離

l-拓?fù)淇臻g中的次分離

1定義[lx]的基本信息1968年，在文獻(xiàn)中提出了模糊的拓?fù)淇臻g后，l-發(fā)現(xiàn)了令人擔(dān)憂的發(fā)現(xiàn)。文獻(xiàn)中,作者系統(tǒng)地介紹了Τi(i=-1,0,1,2,3,312,4)分離性以及次T0分離性。此后,L-拓?fù)淇臻g的分離性研究又取得許多進(jìn)展,詳見文、、、。值得注意的是,次T0分離性被分離性較低的L-單位區(qū)間I(L)所具有,這無疑是次T0分離性的一大優(yōu)點(diǎn)。根據(jù)次T0分離性的思想,考慮到L-拓?fù)涞膶哟谓Y(jié)構(gòu),本文提出了一套次分離性公理。設(shè)(LX,δ)是L-拓?fù)淇臻g,其中L是有最大元ˉ[CΜ(1]|[CΜ)]、最小元⊥的F格,LX中的最大元和最小元分別記作ˉ[CΜ(1]|[CΜ)]X和⊥X,X是非空集合。δ中的元稱作開集,?A∈LX,A°=∨{B∈δ:B≤A},記A的內(nèi)部。而δ′={A′:A∈δ}中的元稱作閉集,此處()′是LX中的逆序?qū)蠈?yīng)。M(L)和M*(LX)分別記L和LX全部分子(非零并既約元)之集。閉集P稱作分子xλ∈M*(LX)的閉遠(yuǎn)域指λ?P(x)。?xλ∈M*(LX),xλ的閉遠(yuǎn)域全體記作η-(xλ)。其它未介紹的術(shù)語和記號見文獻(xiàn)。設(shè)f:X→Y是映射,本文用f→:LX→LY記f誘導(dǎo)的Zadeh型函數(shù),其逆映射記作f←:LY→LX,意義為:?B∈LY,?x∈X,f←(B)(x)=B(f(x))。下面給出本文經(jīng)常用到的定義及結(jié)論。定義1.1如果對X中的任二不同的分明點(diǎn)x與y,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)滿足yλ≤P或有Q∈η-(yλ)滿足xλ≤Q,則稱(LX,δ)為次T0空間。定義1.2設(shè)(LX,δ)是L-拓?fù)淇臻g,如果對M*(LX)中的任二不同的分子xλ與yμ,當(dāng)x≠y時,有P∈η-(xλ)和Q∈η-(yμ)使得P°∨Q°=|X,則稱(LX,δ)為Τ212空間或L-Urysohn(原稱為L-fuzzyU2)空間。注1.1Τi(i=1,2,212,3,4)分離性是L-好的推廣。定義1.3稱L-拓?fù)淇臻g(LX,δ)是層T0的,如果?α∈M(L),(X,ιopα(δ))是T0空間。其中ιopα(δ)={ιopα(A):A∈δ′},ιopα(A)={x∈X:α≤A(x)}。類似可定義層Ti(i=1,2)、層正則(完全正則、正規(guī))、層Τ3(Τ312、T4)分離性。2關(guān)于次t1空間在L-拓?fù)渲?由于層次結(jié)構(gòu)的原因,其分離性比經(jīng)典拓?fù)涞姆蛛x性復(fù)雜得多?？紤]到其層次結(jié)構(gòu),我們提出一套新的分離性公理,詳見下面定義2.1、定義2.2、定義2.3、定義2.4、定義2.5。定義2.1設(shè)(LX,δ)是L-拓?fù)淇臻g,?x,y∈X,當(dāng)x≠y時,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)滿足yλ≤P,則稱(LX,δ)為次T1空間。顯然,T1空間是次T1空間。次T1空間的刻畫定理如下:定理2.1設(shè)(LX,δ)是L-拓?fù)淇臻g,下列各條等價:(1)(LX,δ)為次T1空間。(2)?(x,y)∈X×X滿足x≠y,存在λ∈M(L),使得η-(xλ)≠η-(yλ)。(3)?(x,y)∈X×X滿足x≠y,存在λ∈M(L),使得xλ?yλ-且yλ?xλ-.定理2.2設(shè)(LX,ωL(T))是由分明拓?fù)淇臻g(X,T)拓?fù)渖傻腖-拓?fù)淇臻g,則(LX,ωL(T))是次T1空間?(X,T)是T1空間。證明必要性。設(shè)(LX,ωL(T))是次T1空間。任取x∈X.若y∈X使得y≠x.由次T1分離性知,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(yλ)滿足xλ≤P.令U={z∈X:P′(z)?λ′},則U∈T,x?U且y∈U,因此,y?{x}-({x}-是{x}在(X,T)中的閉包)。證得單點(diǎn)集{x}是閉集,此即(X,T)是T1空間。充分性。設(shè)(X,T)是T1空間,由T1分離性是L-好的推廣知,(LX,ωL(T))是T1空間,故(LX,ωL(T))是次T1空間?，F(xiàn)在引入次T2分離性。定義2.2設(shè)(LX,δ)是L-拓?fù)淇臻g,?x,y∈X,當(dāng)x≠y時,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)和Q∈η-(yλ)滿足Ρ∨Q=→ˉ[CΜ(1]|[CΜ)]X,則稱(LX,δ)為次T2空間。顯然,T2空間是次T2空間。關(guān)于次T2,有下列收斂唯一性的結(jié)論。定理2.3(LX,δ)為次T2空間,則對(LX,δ)中的每個分子網(wǎng)S都有|KS|≤1,其中,KS={x∈X:limS(x)=ˉ[CΜ(1]|[CΜ)]}。證明設(shè)(LX,δ)為次T2空間,S={S(n):n∈D}是分子網(wǎng)。假設(shè)|KS|=|{x:limS(x)=ˉ[CΜ(1]|[CΜ)]}|≥2。任取x,y∈KS且x≠y,因?yàn)?LX,δ)為次T2空間,所以存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)和Q∈η-(yλ)滿足Ρ∨Q=ˉ[CΜ(1]|[CΜ)]X.由文獻(xiàn)中定理2.3.4及xλ≤limS和yλ≤limS推得,S→xλ,S→yλ.因此,存在n1∈D使得當(dāng)n≥n1時,S(n)?P,且存在n2∈D使得當(dāng)n≥n2時,S(n)?Q.取n3∈D使得n3≥n1,n3≥n2,從而當(dāng)n≥n3時,S(n)?P∨Q,此與Ρ∨Q=ˉ[CΜ(1]|[CΜ)]X矛盾!如果ˉ[CΜ(1]|[CΜ)]為分子,上述定理的逆命題也成立。故有下面的定理。定理2.4L-拓?fù)淇臻g(LX,δ)中的每個分子網(wǎng)S都有|KS|≤1,其中ˉ[CΜ(1]|[CΜ)]為分子,KS={x∈X:limS(x)=ˉ[CΜ(1]|[CΜ)]},則(LX,δ)為次T2空間。證明(反證法)假設(shè)(LX,δ)不是次T2空間,則存在x,y∈X滿足y≠x,?λ∈M(L),?P∈η-(xλ),Q∈η-(yλ)都有Ρ∨Q≠ˉ[CΜ(1]|[CΜ)]X.令D(λ)=η-(xλ)×η-(yλ),并在D(λ)中引入積序使之成為定向集。此時?m=(P,Q)∈D(λ)可取分子Sλ(m)?P∨Q.令Sλ={Sλ(m):m∈D(λ)},則可以證明Sλ→xλ且Sλ→yλ.因此,limSλ≥xλ∨yλ.又因?yàn)椤CΜ(1]|[CΜ)]是分子,則標(biāo)準(zhǔn)極小集β*(ˉ[CΜ(1]|[CΜ)])是定向集。記E=β*(ˉ[CΜ(1]|[CΜ)])。注意{xλ}λ∈E,{yλ}λ∈E是分子網(wǎng)且{xλ}λ∈E→x|,{yλ}λ∈E→y|.做網(wǎng)Sˉ:E×∏λ∈ED(λ)→Μ*(LX)使Sˉ(λ,f)=Sλ(f(λ)),?(λ,f)∈E×∏λ∈ED(λ)則Sˉ→x|,Sˉ→y[CΜ(1]|[CΜ)]ˉ.事實(shí)上,由{xλ}λ∈E→x|知,任取P∈η-(x|)存在λ0,使得λ∈E且λ≥λ0時,有xλ?P.又由Sλ→xλ知,對此λ≥λ0存在mλ∈D(λ)使得m∈D(λ)且m≥mλ時,Sλ(m)?P.定義f0∈∏λ∈ED(λ)使得λ≥λ0時,f0(λ)=mλ,λ?λ0時,f0(λ)在相應(yīng)的D(λ)中任意取定。則可以證得?(λ,f)∈E×∏λ∈ED(λ),當(dāng)(λ,f)≥(λ0,f0)時,Sˉ(λ,f)?Ρ.即Sˉ最終不在x|的任意閉遠(yuǎn)域P中。由分子網(wǎng)收斂的定義,Sˉ→x|.同理可證Sˉ→y|.從而|K|≥2,此與|K|≤1的假設(shè)矛盾!故(LX,δ)為次T2空間。由定理2.3和定理2.4,可得出下面的結(jié)論。推論2.1當(dāng)[CΜ(1]|[CΜ)]ˉ為分子時,則L-拓?fù)淇臻g(LX,δ)為次T2空間當(dāng)且僅當(dāng)對每個分子網(wǎng)S都有|KS|≤1,其中,KS={x∈X:limS(x)=[CΜ(1]|[CΜ)]ˉ}。定理2.5設(shè)(LX,ωL(T))是由分明拓?fù)淇臻g(X,T)拓?fù)渖傻腖-拓?fù)淇臻g,則(LX,ωL(T))是次T2空間?(X,T)是T2空間。證明只須證明必要性。設(shè)(LX,ωL(T))是次T2空間,則任取x,y∈X滿足y≠x時,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)和Q∈η-(yλ)滿足Ρ∨Q=[CΜ(1]|[CΜ)]ˉX.因?yàn)镻′,Q′∈ωL(T),所以U={z∈X:P′(z)?λ′}∈T,V={z∈X:Q′(z)?λ′}∈T.易證x∈U,y∈V.為證(X,T)是T2空間,僅需證U∩V=?.若z∈U∩V≠?則λ?P(z),λ?Q(z),所以λ?(Ρ∪Q)(z)=[CΜ(1]|[CΜ)]ˉ,此與λ≤[CΜ(1]|[CΜ)]ˉ矛盾!故U∩V=?.從而必要性得證。本文所提出的次T2分離性還有以下重要的性質(zhì)。定理2.6(LX,δ)為次T2空間且L的最大元[CΜ(1]|[CΜ)]ˉ是分子,則(LX,δ)的超F(xiàn)緊性、良緊性、強(qiáng)F緊性與F緊性彼此等價。證明參看文獻(xiàn)(6.4.29定理),證法類似。定理2.7(LX,δ)是具有次T2的弱誘導(dǎo)空間,則底空間(X,[δ])是T2空間。證明參看文獻(xiàn)(6.6.6定理),證法類似于其必要性的證明。然后我們考慮次Τ212分離性。定義2.3設(shè)(LX,δ)是L-拓?fù)淇臻g,如果?x,y∈X,滿足x≠y時,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)和Q∈η-(yλ)滿足Ρ°∨Q°=[CΜ(1]|[CΜ)]ˉX,則稱(LX,δ)為次Τ212空間或次L-Urysohn空間。顯然,Τ212空間?次Τ212空間。引理2.1τα:LX→2X保有限并(α∈M(L))。其中A∈LX,τα(A)={x∈X:A(x)≥α}。引理2.2若(LX,δ)是拓?fù)渖傻腖-拓?fù)淇臻g,A∈LX,則A°=∨{αχ[τα(A)]°:α∈M(L)}。定理2.8設(shè)(LX,ωL(T))是由分明拓?fù)淇臻g(X,T)拓?fù)渖傻腖-拓?fù)淇臻g,則(LX,ωL(T))是次Τ212空間?(X,T)是Τ212空間。證明只需證必要性。設(shè)(LX,ωL(T))為次Τ212空間,且?x,y∈X滿足x≠y.由次Τ212的定義,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)和Q∈η-(yλ)滿足P°∨Q°=|X.注意此時必有Ρ∨Q=[CΜ(1]|[CΜ)]ˉX.由λ?P(x)和λ?Q(y)知,存在λP∈β*(λ),λQ∈β*(λ)使得λP?P(x)且λQ?Q(y)。因?yàn)棣耸欠肿?故標(biāo)準(zhǔn)極小集β*(λ)是定向集。取γ∈β*(λ)使得γ≥λP∨λQ,現(xiàn)令E=τγ(P)={z:P(z)≥γ},F=τγ(Q)={z:Q(z)≥γ},則E和F是閉集且x?E,y?F和E∪F=X.為證(X,T)是Τ212空間,由Τ212空間的定義知,僅需證明E°∪F°=X.為此我們需證明τλ(P°)?[τγ(P)]°且τλ(Q°)?[τγ(Q)]°.以τλ(P°)?[τγ(P)]°為例證明如下:任取x∈τλ(P°),則由引理2.13知,∨α∈Μ(L)αχ[τα(Ρ)]°(x)=Ρ°(x)≥λ因此,存在α∈M(L)使得x∈[τα(P)]°且α≥γ.進(jìn)而有x∈[τα(P)]°?[τγ(P)]°.由x的任意性得τλ(P°)?[τγ(P)]°.所以有E°∪F°=[τγ(P)]°∪[τγ(Q)]°?τλ(P°)∪τλ(Q°)=τλ(P°∪Q°)=X,i.e,(X,T)是Τ212空間?，F(xiàn)在給出次Τi(i=1,2,212)分離性都具有的性質(zhì)。定理2.9次Τi(i=1,2,212)分離性具有弱同胚不變性。即,設(shè)(LX,δ)為次Ti空間,存在一一滿的L值Zadeh型函數(shù)f→:(LX,δ)→(LY,μ)且f→,f←均連續(xù),則(LY,μ)是次Ti空間(i=1,2,212)。證明以次T1為例證明此定理。設(shè)?y,z∈Y,y≠z.因?yàn)閒是一一滿的,所以f-1(y),f-1(z)∈X且f-1(y)≠f-1(z)。記u=f-1(y),v=f-1(z),則u≠v.因?yàn)?LX,δ)是次T1空間,所以存在λ∈M(L)使得有P∈η-(uλ)且vλ≤P.所以yλ=f→(uλ)?f→(P),zλ=f→(vλ)≤f→(P)。又因?yàn)镻∈δ′,f←連續(xù),所以f→(P)∈η-(yλ)。故(LY,μ)是次T1空間。最后引入次正則,次正規(guī)及次Ti(i=3,4)分離性的概念。先介紹L-集的閉遠(yuǎn)域及準(zhǔn)分明集的定義。閉集P稱作L-集A的閉遠(yuǎn)域指?x∈X,當(dāng)A(x)>⊥時A(x)?P(x)。A的閉遠(yuǎn)域之集記作η-(A)。對于L-集A,如果存在a∈L-{⊥},使A(x)>⊥當(dāng)且僅當(dāng)?x∈X,A(x)≥a,則A稱為準(zhǔn)分明集。定義2.4設(shè)(LX,δ)是L-拓?fù)淇臻g,如果對X上的任意非零準(zhǔn)分明閉集A和任意點(diǎn)x,當(dāng)x?suppA時,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)和Q∈η-(λA)滿足P∨Q=|X,則稱(LX,δ)為次正則空間。次T1的次正則空間稱為次T3空間。定義2.5設(shè)(LX,δ)是L-拓?fù)淇臻g,如果對X上的任意非零準(zhǔn)分明閉集A和B,當(dāng)suppA∩suppB=?時,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(λA)和Q∈η-(λB)滿足P∨Q=|X,則稱(LX,δ)為次正規(guī)空間。次T1的次正規(guī)空間稱為次T4空間。從以上的定義中易得以下結(jié)論:如果L-拓?fù)淇臻g(LX,δ)是Ti(i=3,4)(正則,正規(guī))空間,則必是次Ti(i=3,4)(次正則,次正規(guī))空間。定理2.10設(shè)(LX,ωL(T))是由分明拓?fù)淇臻g(X,T)拓?fù)渖傻腖-拓?fù)淇臻g,則(LX,ωL(T))是次正則(次正規(guī),次Ti(i=3,4))空間?(X,T)是正則(正規(guī),Ti(i=3,4))空間。證明僅就次正則性證明本定理。只證必要性。設(shè)E是(X,T)中的閉集,?x∈X,滿足x?E.則χE是(LX,ωL(T))中準(zhǔn)分明的閉集,且x?supp(χE)。由(LX,ωL(T))是次正則空間知,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)和Q∈η-(λχE)滿足P∨Q=|X.令U={z:P′(z)?λ′},V={z:Q′(z)?λ′}。則有x∈U,E?V和U∩V=?(其中U,V均為開集)。故證得(X,T)是正則空間。由定理2.2、定理2.5、定理2.9、定理2.10可得下面結(jié)論。推論2.2可拓?fù)渖傻腖-拓?fù)淇臻g(LX,δ)是次Τi(i=1,2,212,3,4)空間?(LX,δ)是Τi(i=1,2,212,3,4)空間。3次分離性定理本節(jié)介紹次分離性公理的遺傳性與可乘性。關(guān)于次分離性公理的遺傳性有以下結(jié)論。定理3.1次Τi(i=1,2,212)分離性是遺傳的。證明以次T1為例證明此定理。設(shè)(LX,δ)是次T1空間,對X的任一非空子集Y,下證子空間(LY,δ|Y)也是次T1空間。任取x,y∈Y滿足x≠y,由(LX,δ)是次T1空間知,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(x*λ)且y*λ≤P,其中x*λ,y*λ是xλ,yλ∈M*(LY)的擴(kuò)張。此即,存在λ∈M(L)使得有P|Y∈η-(xλ)且yλ≤P|Y。所以(LY,δ|Y)也是次T1空間。定理3.2次正則(次正規(guī),次Ti(i=3,4))分離性是閉遺傳的。證明僅以次正則性證明為例。設(shè)(LX,δ)是次正則空間,Y?X且χY是(LX,δ)中的閉集。下證子空間(LY,δ|Y)也是次正則空間。設(shè)B是Y上任意準(zhǔn)分明閉集,y是Y中的任意點(diǎn)且滿足y?suppB.根據(jù)子空間的定義知,存在(LX,δ)中的閉集A使得B=A|Y.又有B=B*|Y,其中B*是B的擴(kuò)張?？梢宰C明B*=A∧χY.由于χY是(LX,δ)中的閉集,故B*是(LX,δ)中的閉集。易證B*是(LX,δ)中的非零準(zhǔn)分明閉集。由(LX,δ)是次正則空間及y?suppB*知,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(yλ*)和Q∈η-(λB*)滿足Ρ∨Q=[CΜ(1]|[CΜ)]ˉX.此即,存在λ∈M(L)使得有Ρ|Y∈η-(yλ)和Q|Y∈η-(λB)滿足(Ρ|Y)∨(Q|Y)=[CΜ(1]|[CΜ)]ˉY.即證得(LY,δ|Y)是次正則空間。下面給出次分離性公理可乘性的結(jié)論。定理3.3次Ti分離性是可乘的。即,設(shè)(LX,δ)是{(LXt,δt)}t∈T的乘積空間,如果?t∈T,(LXt,δt)是次Ti空間,則(LX,δ)為次Ti空間。反過來,如果(LX,δ)為次Ti空間,則當(dāng)(LXt,δt)是滿層空間時,(LXt,δt)是次Ti空間(i=1,2,212)。證明以次T2為例證明此定理。必要性。?x={xt}t∈T,y={yt}t∈T∈X滿足x≠y,有r∈T使xr≠yr.因?yàn)?LXr,δr)是次T2空間,所以存在λ∈M(L)使得有Br,Cr∈δ′r滿足Br∈η-(xλr),Cr∈η-(yrλ)且Br∨Cr=|Xr.而P←r(Br),P←r(Cr)都是(LX,δ)中的閉集,且有Pr←(Br)(x)=Br(xr)?λ和Pr←(Cr)(y)=Cr(yr)?λ.所以xλ?Pr←(Br),yλ?Pr←(Cr)且Ρr←(Br)∨Ρr←(Cr)=[CΜ(1]|[CΜ)]ˉX.故證得(LX,δ)為次T2空間。充分性。設(shè)(LX,δ)為次T2空間,r∈T,(LXr,δr)是滿層空間。?x={xt}t∈T∈X,由文獻(xiàn)中的定理2.8.9知,(LX,δ)的過點(diǎn)x且平行于(LXr,δr)的平面(LX?r,δ|X?r)與(LXr,δr)同胚。又因?yàn)?LX?r,δ|X?r)作為(LX,δ)的子空間是次T2空間。所以(LXr,δr)也是次T2空間。推論3.1設(shè){(LXt,ωL(Tt))}t∈T是一族可拓?fù)渖傻腖-拓?fù)淇臻g,(LX,ωL(T))是其乘積空間,則(LX,ωL(T))是次Ti空間當(dāng)且僅當(dāng)?t∈T,(LXt,ωL(Tt))是次Ti空間(i=1,2,212),其中T=∏t∈ΤTt是可拓?fù)渖傻摹?lx,為次t3空間文獻(xiàn)提出了三種不同意義的分離性公理,其它分離性公理在文獻(xiàn)中也有見?，F(xiàn)在我們先證明本文提出的次分離性公理彼此間有相當(dāng)好的協(xié)調(diào)性,再討論次分離性公理和文獻(xiàn)中提出的分離性公理及文獻(xiàn)提出的層分離性公理的關(guān)系。定理4.1次T1空間是次T0空間,即,次T1?次T0.定理4.2次T2空間是次T1空間,即,次T2?次T1.證明設(shè)(LX,δ)為次T2空間。?x∈X,當(dāng)y∈X且x≠y時,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)和Q∈η-(yλ)滿足Ρ∨Q=[CΜ(1]|[CΜ)]ˉX.因?yàn)閥λ≤P∨Q且yλ?Q,所以yλ≤P.故?x∈X,當(dāng)y∈X且x?y時,存在λ∈M(L)使得P∈η-(xλ)滿足yλ≤P.所以(LX,δ)為次T1空間。由定義2.2和定義2.4,易得到下面的定理。定理4.