大學物理：第四章 流體的運動

第四章流體的運動內容提要流體的主要物理性質連續(xù)性方程、伯努利方程及其應用粘性流體的兩種流動狀態(tài)、哈根-泊肅葉定律斯托克斯定律靜止流體在任何微小的切向力作用下都要發(fā)生連續(xù)不斷的變形，即流體的一部分相對另一部分運動，這種變形稱為流動。

流動性連續(xù)介質模型設想流體是由連續(xù)分布的流體質點組成的的連續(xù)介質，流體質點具有宏觀充分小，微觀充分大的特點。根據(jù)流體的連續(xù)介質模型，任一時刻流動空間的每一點都被相應的流體質點占據(jù)，把占據(jù)該點的流體質點的物理性質定義為該空間點性質，這樣，任何時刻、在任何空間點都有確定的物理量。物理量表示成空間坐標和時間的連續(xù)函數(shù)。

第一節(jié)流體的主要物理性質一、慣性慣性是物體保持原有運動狀態(tài)的性質，表征某一流體的慣性大小可用該流體的密度。

單位：kg/m3均質流體：液體的密度隨壓強和溫度的變化很小，氣體的密度隨壓強和溫度而變化。

可壓縮性(compressibility)：在一定的溫度下，實際流體的體積隨壓強升高而縮小的性質稱為流體的可壓縮性。實驗指出，液體的可壓縮性比較小，氣體的可壓縮性比液體大得多。黏性(viscosity)：黏性是流體抵抗剪切變形的一種屬性。它表現(xiàn)為運動著的流體中速度不同的流層之間存在著沿切向的黏性阻力（即內摩擦力）。二、壓縮性流體受到壓力作用后體積或密度發(fā)生變化的特性稱為壓縮性。通常采用體積壓縮率表示流體的壓縮性。單位：m2/N體積彈性模量

：單位：N

/m2或Pa

不可壓縮流體，即在壓力作用下不改變其體積的流體。當流體的壓縮性對所研究的流動影響不大，可以忽略不計時，可視為不可壓縮流體。液體的體積彈性模量都很大，通常把液體看作不可壓縮流體；氣體的體積彈性模量都較小，通常把氣體看作可壓縮流體。三、粘性粘性是運動流體內部所具有的抵抗剪切變形的特性。它表現(xiàn)為運動著的流體中速度不同的流層之間存在著沿切向的粘性阻力（即內摩擦力）。由于內摩擦力，平板和壁面間各流層速度沿流層法線方向變化，呈速度梯度分布。yUFxhu+duudyy牛頓粘性公式

為動力黏度，單位。黏度的大小取決于流體本身的性質。液體的黏度隨溫度的升高而減小，氣體黏度隨溫度的升高而增大。yUFxhu+duud

dyyu+duududtdy理想流體(idealfluid)：絕對不可壓縮的、完全沒有粘性的流體。實際流體都是具有粘性的和可壓縮性的。粘性較小的液體和在流動過程中幾乎沒有被壓縮的氣體都可以視為理想流體。在一些實際問題中，可壓縮性和粘性只是影響運動的次要因素，只有流動性才是決定運動的主要因素，因此往往可以采用理想流體模型。例1

如圖所示為一旋轉圓筒黏度計，外筒固定，內筒由同步電機帶動旋轉，內外筒間充入實驗液體。已知內筒半徑r1=1.93cm，外筒半徑r2=2cm，內筒高h=7cm。實驗測得內筒轉速n=10r/min，轉軸上扭矩M=0.0045N·m。試求該實驗液體的黏度。解r1r2h

u內筒壁的粘滯切應力角速度扭矩黏度S四、作用在流體上的力1表面力所取定的流體之外的流體或物體通過直接接觸，施加在接觸表面上的力，表面力的大小與封閉邊界面的面積及表面應力分布有關。

SA

Fs

T

P法向應力切向應力應力的單位是帕斯卡，簡稱帕，以符號Pa表示，1Pa=1N/m2。pA習慣上稱為A點的壓強V2質量力質量力是流體所處的外力場作用在取定流體的每個質點上的非接觸力，質量力的大小與外力場的強度及流體的質量分布有關。

VB

F單位質量力單位質量力的單位為m/s2。在直角坐標系內，習慣以X，Y，Z來表示單位質量力的分量。若作用在流體上的質量力只有重力，則單位質量力第二節(jié)理想流體的定常流動一、描述流體運動的兩種方法拉格朗日法拉格朗日法著眼于流體質點，研究各個流體質點的運動及物理量隨時間變化，再綜合所有流體質點的運動后便可以得到整個流體的運動規(guī)律。歐拉法歐拉法著眼于空間點，研究流動空間點上各種物理量的變化。

▽二、流體運動的基本概念1定常流動空間的每一點都有不隨時間而改變的物理量，即速度、壓強和密度等物理量僅是空間點坐標的函數(shù)。

lMM

如果水箱較小以致液面隨時間增長而下降，各點的速度將隨時間而變，故此管路為非定常均勻流，如果水箱中的水位保持恒定，則整個管流為定常均勻流。

2跡線、流線和流管跡線：流體質點在空間運動的軌跡。

流線：空間曲線，曲線上任何一點的切線方向都與流體通過該點時的速度方向一致。

（1）流線不相交，也不能是折線，而是光滑曲線或直線。（2）定常流動，流線的形狀和位置都不隨時間而改變。（3）定常流動時，流線和跡線重合。流管：如果在運動的流體中標出一個橫截面，那么經(jīng)過橫截面周界的流線就組成一個管狀體，這個管狀體就稱為流管。v1S1v2S2流體作定常流動時，空間每一點的流速都與該點的流線相切，所以，流管中的流體只能在流管中流動而不能流出管外，流管外的流體也不能流進流管內。三、連續(xù)性方程單位時間內通過某一過流斷面的流體量稱為該斷面的流量。若通過的量以體積計量則稱體積流量

，用QV表示。若通過的量以質量計量，則稱為質量流量，記為Qm。

流量udSS體積流量

單位：m3/s質量流量

單位：kg/svu

(r)平均流速連續(xù)性方程（質量流量）不可壓縮的流體作定常流動時，流管上兩個截面處的流量相等。流管有分支時：連續(xù)性方程

設理想流體在重力場中作定常流動，t

時刻之間的流體，經(jīng)過時間，移動到。四、伯努利方程及其應用1伯努利方程在時間內，、處流體分別移動、。伯努利方程如，具體對水平流管有：理想流體作定常流動時，同一流管的不同截面處，或者同一根流線的不同位置處，單位體積內流體的動能、勢能與該處的壓強之和是常量。2伯努利方程的應用1水平管2空吸作用(suction)，水流抽水機3汾丘里流量計(Venturimeter)4流速計(tachometer)5虹吸管(siphon)(2)空吸作用水空氣水和空氣水流抽水機12水平管2伯努利方程的應用(1)水平管h1h2h12S1S2文丘里流量計(3)流量計hh1h2液體h氣體氣體密度ρ液體密度ρ'皮托管測量液體和氣體的流速(4)流速計ADBC流體流速壓強與高度的關系粗細均勻的虹吸管中，高處液體的壓強小于低處的。例如水：(5)虹吸管12例1

已知：水平管中液體密度1處：2處：求：2處的流速和壓強。由連續(xù)性方程可得：計算可得:水平管，應用伯努利方程可求得2處壓強：解例2

如圖所示，水庫通過寬度B=0.7m，高度D=1.5的閘門泄水，閘門中心的水下深度H=2.0m。（1）試計算通過大孔口的流量，（2）與按小孔口出流的流量作比較。

解（1）選水庫自由表面為1-1斷面，并以該處為基準面，大孔口水下深度為h處為2-2斷面。HDBhdh1-1斷面

P1=Pa,v1≈0，h1=02-2斷面

P2=Pa,流速v2，h2=-h

應用伯努利方程可得大孔口總的流量H（2）閘門處中央的流速按小孔出流處理，可看作閘門處的平均流速通過閘門的的流量相對誤差當H>D時，閘門通?？梢钥醋鳌靶】卓凇?。

第三節(jié)粘性流體的運動一、粘性流體的兩種流動狀態(tài)1兩種流態(tài)粘性流體在管中分層流動，各流層之間僅作相對滑動而不混合，叫層流。當層流被破壞，各個流層混淆，甚至可能出現(xiàn)渦漩，叫湍流。AA′BB′CvC′PDEQ(1)(2)(3)實驗結果表明：當流速增大到某一臨界值后，層流轉變?yōu)橥牧鳎划斄魉俳档偷侥骋慌R界值υc后，湍流轉變?yōu)閷恿鳌?雷諾數(shù)通常用雷諾數(shù)(Reynoldsnumber)來確定流體的流動形態(tài)是層流還是湍流。流層和湍流的轉變速度與流體的密度ρ、流體的黏度

和過流斷面的形狀(例如管徑d)等因素有關。層流湍流過渡流對于圓管流來說，實驗得出：一般把下臨界雷諾數(shù)作為層流、湍流的判別標準。例3

水在內徑d=100mm的管中流動，流動速度u=0.5m/s，水的運動黏度（

=

/

）

=1×10-6m2/s，試問水在管中呈何種流動狀態(tài)？如果管中的流體變?yōu)橛?，流動速度不變，但運動黏度

=31×10-6m2/s，試問油在管中又呈何種流動狀態(tài)？

解對于水：湍流對于油：層流二、粘性流體的運動規(guī)律粘性流體在流動過程中，對所選流管內的流體存在著粘滯阻力，因此對流管內的流體作負功w，伯努利方程變?yōu)椋荷鲜街衱是指單位體積的不可壓縮的粘性流體，從一處運動到另一處時，克服粘性力所做的功或損失的能量！三、能量損失有兩種能量損失：沿程能量損失、局部能量損失沿程能量損失沿程能量損失均勻分布在整個流段上，與流段的長度成比例。局部能量損失在邊壁沿程急劇變化（邊壁形狀、尺寸、過流方向等有變化），流速分布發(fā)生變化的局部區(qū)段上，集中產(chǎn)生的流動能量損失稱為局部能量損失。如斷面的突然擴大或突然縮小、噴管、異徑管、彎管、三通、閥門等各種管件處的能量損失，都是局部能量損失。在不可壓縮的粘性流體作定常流動時的伯努利方程中，w應該等于沿流程上各段的沿程能量損失與所有局部能量損失之和。12h1例4水通過直徑為20.0cm的管子從塔底部流出，塔內水位高出出水口25.0m，并維持其水位不變。已知管路中的沿程能量損失和局部能量損失之和為24.5mH2O。求每小時由管口排出的水量。每小時流量：粘性流體的定常流動。對圖中1、2兩處有：h2=0,v1<<v2,p1=p2=p解四、圓管中的層流運動1流動特征Rv（r）

drr不可壓縮的牛頓粘性流體在均勻水平管中作定常流動時，如果雷諾數(shù)不大，流動的形態(tài)是層流，各流層為從圓筒軸線開始，半徑逐漸增大的“薄皮”圓筒形。流速從軸線處向外逐漸減小，在管壁處為零。2流速分布流體元兩端壓力差：流體元側面受粘性力：定常流動時：牛頓流體的速度分布v（r）3流量流阻：哈根-泊肅葉定律表明：牛頓粘性流體在均勻水平管中流動時，流量與管兩端的壓強差成正比，與其流阻成反比。dr哈