《圓周角和圓心角的關(guān)系及其相關(guān)推論》教學(xué)設(shè)計(jì)(部級(jí)優(yōu)課)-九年級(jí)數(shù)學(xué)教案

《圓周角和圓心角的關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)一、創(chuàng)設(shè)情景激發(fā)興趣導(dǎo)入新課《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，應(yīng)處處著眼于數(shù)學(xué)與人的發(fā)展和現(xiàn)實(shí)生活之間的密切聯(lián)系”根據(jù)這一理念和九年級(jí)學(xué)生的年齡特點(diǎn)、心理發(fā)展規(guī)律，聯(lián)系生活中喜聞樂見的話題，創(chuàng)設(shè)有一定挑戰(zhàn)性的問題情景，目的在于激發(fā)學(xué)生的探索激情和求知欲望，把學(xué)生的注意力較快地集中到本課的學(xué)習(xí)中。問題：足球訓(xùn)練場(chǎng)上教練在球門前劃了一個(gè)圓圈，進(jìn)行無(wú)人防守的射門訓(xùn)練，如圖，小明、小強(qiáng)兩名同學(xué)分別站在圓上A、D兩地，他們爭(zhēng)論不休，都說(shuō)自己所在位置，射門角度大，射門的機(jī)率高。如果你是教練，請(qǐng)?jiān)u一評(píng)他們兩個(gè)人，如果僅從射門角度的大小考慮，誰(shuí)的位置射門更有利？二、數(shù)學(xué)思考師生互動(dòng)啟發(fā)猜想⑴教師引導(dǎo)學(xué)生把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題：“研究同弧所對(duì)的圓周角的大小關(guān)系問題”。導(dǎo)入新課⑵引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫圖測(cè)量，發(fā)現(xiàn)：∠C、∠D的度數(shù)相等。⑶教師引導(dǎo)，問題轉(zhuǎn)化為研究“同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系”⑷美國(guó)教育心理學(xué)家奧蘇伯爾說(shuō)：“影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道什么。要探明這一點(diǎn)并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué)”為此，教師直觀演示啟發(fā)由已學(xué)“直徑所對(duì)的圓周角的特征”這一特殊情況猜想：在一個(gè)圓中，一條弧所對(duì)的任意一個(gè)圓周角的大小都等于該弧所對(duì)的圓心角的一半．三、動(dòng)手實(shí)踐分類化歸驗(yàn)證猜想由實(shí)驗(yàn)、觀察等方法得出的猜想的正確性需要進(jìn)一步驗(yàn)證。學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐：在圓形硬紙片上任取一段弧，畫出該弧所對(duì)的圓心角和任意一個(gè)圓周角。并根據(jù)所畫的圖形，探索說(shuō)明“該弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半”成立的理由。荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)：以學(xué)生的獨(dú)立學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)的小組合作，全班交流，教師啟導(dǎo)。本活動(dòng)的設(shè)計(jì)讓學(xué)生有自主探索、合作交流的時(shí)間和空間。學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐和充分的獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上如有遇到個(gè)人難以獨(dú)立解決的問題可以小組合作解決，在這個(gè)過(guò)程中教師深入課堂對(duì)學(xué)生適時(shí)的點(diǎn)撥、指導(dǎo)（如：經(jīng)過(guò)圓周角的頂點(diǎn)把硬紙片對(duì)折，啟發(fā)學(xué)生作輔助線等。）適時(shí)的評(píng)價(jià)、激勵(lì)和有度的批評(píng)、督促。師生互動(dòng)，彼此形成一個(gè)“學(xué)習(xí)共同體”，CABCABOCABOBCAO(a)ABCO(b)(c)(d)(e)CABO⑵教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)展示硬紙片分類：圖(a)、(e)同類，圖(b)、(d)同類，圖(c)一類⑶教師用“幾何畫板”動(dòng)畫直觀演示，歸納分類如下：CCABOCABOCABO第一類：圓心在圓周角一邊上第二類：圓心在圓周角內(nèi)部第三類：圓心在圓周角外部⑷教師總結(jié)各小組驗(yàn)證成果：學(xué)生在小組交流探索中發(fā)現(xiàn)：三類情況的驗(yàn)證方法各不相同，第二、三類困難。教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：“分類驗(yàn)證的必要性”，并歸納學(xué)生的說(shuō)理的成果：學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)：第一類情況最特殊容易驗(yàn)證。由圓的軸對(duì)稱性聯(lián)想到把硬紙片對(duì)折、發(fā)現(xiàn)過(guò)圓周角的頂點(diǎn)C作輔助線“直徑”，可以把第二、第三類情況轉(zhuǎn)化為第一類來(lái)驗(yàn)證。教師提議把第一類圓內(nèi)部的圖形想象成一面三角旗、則第二類、第三類分別想象成兩面三角旗合并、兩面三角旗疊成，化抽象為具體、化一般為特殊。學(xué)生豁然開朗。教師總結(jié)說(shuō)理如下：第一類：圓心在圓周角一邊上CCABO（一面三角旗）【∠C=∠AOB∠A=∠COA=OC】CACABOABODCAODCBODC +（兩面三角旗合并）【∠C=∠AOB∠ACD+∠BCD=(∠AOD+∠BOD)∠ACD=∠AOD、∠BCD=∠BOD】CACABOCABODACODCBOD -（兩面三角旗疊成）【∠C=∠AOB∠ACD-∠BCD=(∠AOD-∠BOD)∠ACD=∠AOD、∠BCD=∠BOD】⑸教師精講：猜想成立，就可以把情景中研究“同弧所對(duì)的圓周角的大小問題”化歸為研究“同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系問題”本環(huán)節(jié)以學(xué)生活動(dòng)為核心。本環(huán)節(jié)首先讓學(xué)生自主探究、合作交流,突出了重點(diǎn),然后教師通過(guò)引導(dǎo),環(huán)環(huán)相扣把難點(diǎn)突破,其間有機(jī)滲透了“分類”、“化歸”等數(shù)學(xué)思想四、閱讀教材深入思考聯(lián)想建構(gòu)閱讀教材第19頁(yè)藍(lán)體字判斷：⑴同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等……（）⑵等弦所對(duì)的圓周角相等……………（）⑶相等的圓周角所對(duì)的弧相等………（）思考：在同一圓內(nèi)，若兩條弧相等，則你可以得到哪些結(jié)論？精講：對(duì)于兩個(gè)相等的圓，有相同的結(jié)論。本環(huán)節(jié)加深學(xué)生了對(duì)知識(shí)的了解，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，意在培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣、引導(dǎo)學(xué)生愛讀書敢質(zhì)疑、能自主建構(gòu)圓周角、圓心角、弧、弦的關(guān)系。五、變式例題：（1）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，點(diǎn)D在圓外，CD、BD分別交⊙O于點(diǎn)E、F，比較∠BAC與∠BDC的大小，并說(shuō)明理由。（2）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，點(diǎn)D在圓內(nèi)，CD、BD分別交⊙O于點(diǎn)E、F，比較∠BAC與∠BDC的大小，并說(shuō)明理由。六、關(guān)注差異分層練習(xí)鞏固提高A層（基礎(chǔ)題）圖1：試找出圖甲中所有相等的圓周角⑵在圓中一條弧所對(duì)的圓心角和圓周角分別為(2x+100)0和(5x–30)0則這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為、圓周角的度數(shù)為。B層（中等題）⑴圖2中互余的圓周角共有…………（）A、4對(duì)B、6對(duì)C、8對(duì)D、10對(duì)⑵如圖3所示，AD平分∠BAC，那么圖中相似的三角形有………（）3圖3圖11245678圖2O12345678ABCDE圖3C層（提高題）如圖4，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=.OABCDP圖512345圖4如圖5：已知弦AB、CD相交于P點(diǎn)，且∠OABCDP圖512345圖4A層課本20頁(yè)的隨堂練習(xí)，意在讓多數(shù)學(xué)生參與，鞏固知識(shí)。B層（1）題是課本練習(xí)題的變式題，意在培養(yǎng)學(xué)生的分類思想。C層意在培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想七、課堂反思師生小結(jié)觸類旁通師生互動(dòng)，針對(duì)本堂課學(xué)生自主探索、合作交流的情況，練習(xí)的效果進(jìn)行評(píng)價(jià)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本課探索學(xué)習(xí)中所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想、方法，得到的新知識(shí)、新舊知識(shí)的聯(lián)系等進(jìn)行小結(jié)、反思。這樣可以充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，加深學(xué)生對(duì)本課內(nèi)容的學(xué)習(xí)與了解，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的滲透力，從而提高學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，分析、解決問題的能力，達(dá)到觸類旁通！八、學(xué)以致用作業(yè)適量分層要求尊重學(xué)生的個(gè)體存在差異的客觀事實(shí)，為了盡可能地讓所有的學(xué)生都能主動(dòng)的參與，都能在獲得必要發(fā)展的前提下，不同的學(xué)生獲得不同的發(fā)展。練習(xí)、作業(yè)的設(shè)計(jì)分層要求。A層（基礎(chǔ)題）如圖6所示，A、B、C三點(diǎn)在⊙O上，∠BOC=100o，則∠BAC=度，∠BDC=度.如圖7，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，∠D=25，則∠AOC=如圖8，已知AB=AC=2cm,∠BDC=60，則△ABC的周長(zhǎng)是。如圖9：∠A是⊙O的圓周角，∠A=40°，求∠OBC的度數(shù).AABCO圖9ABCDO圖6ABCDO圖7ABCDO圖8B層（中等題）在⊙O中，∠BOC=100o，則弦BC所對(duì)的圓周角是度.如圖10，AD是⊙O直徑，BC=CD，∠A=30°，求∠B的度數(shù).AABCDO圖10C層（提高題）ABCOHE圖11如圖11，AB是⊙