洛倫茲空間r31中類時曲面m上非退化曲線的測地曲率

洛倫茲空間r31中類時曲面m上非退化曲線的測地曲率

著名的gauss-bo定罪公式用于研究曲線上的三角形內(nèi)角和邊界值。Gauss-Bonnet公式也許是曲面微分幾何中最深刻的定理,在歐氏空間中這一公式在很多方面都要用到。洛倫茲空間在理論物理學(xué)的相對論理論中自然地出現(xiàn)。我們的現(xiàn)實(shí)空間就是4維Einstein時空中的類空超曲面。因此對洛倫茲空間中曲面的幾何性質(zhì)的研究同時受到幾何學(xué)家和理論物理學(xué)家的關(guān)注。在本文中我們將歐氏空間E3中曲面的Gauss-Bonnet公式推廣到Lorentz空間R31中的類時曲面上。因?yàn)镚auss-Bonnet公式是曲面的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì),所以對R31中的類空曲面,Gauss-Bonnet公式自然成立。但是對于類時曲面,還沒有相應(yīng)的結(jié)果。我們運(yùn)用Green公式得到下述類時曲面上的局部Gauss-Bonnet公式。定理A設(shè)S:?r=?r(u,v)為洛倫茲空間R31中的類時曲面,(u,v)是S的等溫參數(shù)。則對于曲面S上由k條非退化曲線C1,…,Ck圍成的區(qū)域D,成立∫∫DΚdA=∫C(κg-dθds)ds=k∑j=1∫Cj(κg-dθds)ds其中θ是雙曲角度,C是Ω的邊界,參數(shù)方程為?r(s)=?r(u(s),v(s)),s∈[a,b]。Cj是C上的一段曲線,對應(yīng)于參數(shù)s∈(sj-1,sj),其中a=s0<s1<…<sk=b。文中通過具體的例子說明了這一公式與歐氏空間中經(jīng)典Gauss-Bonnet公式的不同之處。1單位法向量的確定設(shè)R31是具有下述內(nèi)積〈·,·〉的3維洛倫茲(Lorentz)空間:??x,?y?=x1y1+x2y2-x3y3其中?x=(x1,x2,x3),?y=(y1,y2,y3)。記|?x|=√|??x,?x?|。若|?x|=1,則稱x?是單位向量。若?x?,y??=0,則稱x?,y?是正交的,記為x?⊥y?。R13中的一組3個向量{e?1?e?2?e?3}如果滿足?e?i,e?j?=εiδij,i,j=1,2,3其中ε1=ε2=-ε3=1,則稱{e?1,e?2,e?3}是一組幺正基。對x?∈R13,當(dāng)?x?,x??＞0,或x?=0?時,稱x?是類空的(space-like);當(dāng)?x?,x??=0,且x?≠0?時,稱x?是類光的(null);當(dāng)?x?,x??＜0時,稱x?是類時的(time-like)。對a?=(a1?a2?a3)?b?=(b1?b2?b3),稱(|a2a3b2b3|,|a3a1b3b1|,-|a1a2b1b2|)為a?與b?的外積,記作a?×b?。由定義即得b?×a?=-a?×b?。三向量a??b?和c?=(c1?c2?c3)的混合積定義為(a??b??c?)∶=?a?×b?,c??=|a1a2a3b1b2b3c1c2c3|如果3個向量a?,b?和c?滿足(a?,b?,c?)＞0,則稱a?,b?,c?構(gòu)成右手系。直接計(jì)算可得下面的二重外積公式和Lagrange恒等式:(a?×b?)×c?=?b?,c??a?-?a?,c??b?(1)?a?×b?,a?×b??=?a?,b??2-?a?,a???b?,b??(2)設(shè)S:r?=r?(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v)∈Ω是R13中的一個正則曲面,其中Ω?R2是平面上的一個連通區(qū)域。設(shè)S的第一基本形式為Ι=?dr?,dr??=Edu2+2Fdudv+Gdv2其中E=?r?u,r?u?,F=?r?u,r?v?,G=?r?v,r?v?(3)令g=(EFFG)。當(dāng)detg>0時,稱S是類空曲面。當(dāng)detg<0時,稱S是類時曲面。設(shè)S:r?=r?(u?v)是類時曲面,則由(2),有?r?u×r?v,r?u×r?v?=F2-EG＞0。因此曲面S的單位法向量n?=r?u×r?v|r?u×r?v|是類空向量。設(shè)S的第二基本形式為Ⅱ=?d2r?,n??=?r?uudu2+2r?uvdudv+r?vvdv2,n??=Ldu2+2Μdudv+Νdv2其中L=?r?uu,n??=-?n?u,r?u?,Μ=?r?uv,n??=-?n?u,r?v?=-?n?v,r?u?,Ν=?r?vv,n??=-?n?v,r?v?(4)線性變換A:ΤpS→ΤpS:X?=ar?u+brv|→A(X?)=-(an?u+bn?v)稱為Weingarten變換。由(4)可見?AX?,Y??=?X?,AY??,?X?,Y?∈ΤpS設(shè)Weingarten變換A在基{r?u,r?v}下的矩陣為B=(bij),則有-n?u=Ar?u=b11r?u+b21r?v,-n?v=Ar?v=b12r?u+b22r?v(5)分別用r?u,r?v與上式兩邊作內(nèi)積,由(3),(4)可得{L=?Ar?u,r?u?=Eb11+Fb21Μ=?Ar?v,r?u?=Eb12+Fb22Μ=?Ar?u,r?v?=Fb11+Gb21Ν=?Ar?v,r?v?=Fb12+Gb22上面4個等式可用矩陣形式改寫成(LΜΜΝ)=(EFFG)(b11b12b21b22)因此A在基{r?u,r?v}下的矩陣B=(b11b21b12b22)=(EFFG)-1(LΜΜΝ)=1EG-F2(GL-FΜGΜ-FΝEΜ-FLEΝ-FΜ)(6)眾所周知,A的特征多項(xiàng)式f(λ)=λ2-(b11+b22)λ+b11b22-b12b21。設(shè)f(λ)的兩個根為λ1=λ1(u,v),λ2=λ2(u,v)。由線性代數(shù)知識可知λ1λ2=detB與基的選取無關(guān)。函數(shù)Κ=λ1λ2=detB=LΝ-Μ2EG-F2(7)稱為曲面S的Gauss曲率。定義1.1如果在參數(shù)(u,v)下,曲面的第一基本形式Ⅰ=E(du2-dv2),(E＞0)(8)即F=0,E=-G>0,則稱(u,v)是曲面的等溫參數(shù)。命題1.2任意類時曲面S上必有局部的等溫參數(shù)。證明設(shè)S:r?=r?(u,v)是類時曲面,它的第一基本形式為Ⅰ=Edu2+2Fdudv+Gdv2由定義,有EG-F2<0。于是可將Ⅰ分解成兩個一次微分形式的乘積:Ⅰ=(A1du+B1dv)(A2du+B2dv)根據(jù)常微分方程理論,局部地存在積分因子λ,μ使得λ(A1du+B1dv)和μ(A2du+B2dv)為全微分,即有函數(shù)u?=u?(u,v),v?=v?(u,v)使得du?=λ(A1du+B1dv),dv?=μ(A2du+B2dv)先作參數(shù)變換u?=u?(u,v),v?=v?(u,v),則有du?dv?=λμ(A1du+B1dv)(A2du+B2dv)=λμⅠ即在參數(shù)(u?,v?)下,Ⅰ=4E?du?dv??其中E?=(4λμ)-1。因?yàn)榍鍿是非退化的,有E?≠0。當(dāng)E?＞0(或E?＜0)時,再作參數(shù)變換uˉ=u?+v??vˉ=u?-v?(相應(yīng)地,uˉ=u?-v??vˉ=u?+v?),就可使得(8)成立。定理1.3設(shè)S:r?=r?(u,v)是類時曲面,(u,v)是S的等溫參數(shù)。則Gauss曲率Κ=-1E[(lnE)uu-(lnE)vv](9)證明在等溫參數(shù)下,Ⅰ=E(du2-dv2),故有?r?u,r?u?=E＞0,?r?u,r?v?=F=0,?r?v,r?v?=-E＜0(10)因?yàn)閧r?u,r?v,n?}處處線性無關(guān),可設(shè)r?uu=Γ111r?u+Γ112r?v+Ln?(11)分別用r?u,r?v與上式兩邊作內(nèi)積,利用(10)可得Γ111=1E?r?uu,r?u?=Eu2E=(lnE)uΓ112=1G?r?uu,r?v?=1E?r?u,r?uv?=Ev2E=(lnE)v因此可將(11)改寫成r?uu=(lnE)ur?u+(lnE)vr?v+Ln?(12)類似地,有r?uv=(lnE)vr?u+(lnE)ur?v+Μn?(13)r?vv=(lnE)ur?u+(lnE)vr?v+Νn?(14)假定S是3次以上連續(xù)可微的,則r?uuv=r?uvu。由(12)和(13)可得(lnE)v(r?uu-r?vv)+[(lnE)uu-(lnE)vv]r?v+(Μu-Lv)n?+Μn?u-Lnv=0?將(5),(6)和(12),(14)代入上式,注意到F=0,G=-E,可得Gauss方程[(lnE)uu-(lnE)vv]=Μb21-Lb22=LΝ-Μ2E=GΚ=-EΚ這就是所要證明的(9)式。由定理可知在等溫參數(shù)下,ΚdA=-[(lnE)uu-(lnE)vv]dudv(15)其中dA=|EG-F2|dudv=Edudv是曲面的面積元素。2色變音雙曲角度公式設(shè)C:r?=r?(t)是R13中一條參數(shù)曲線。如果r?′≠0??則稱C是正則的。如果|r?′|≠0,則稱C是非退化的。當(dāng)?r?′,r?′?＞0時,稱C是類空曲線;當(dāng)?r?,r?′?＜0時,稱C是類時曲線。對于非退化曲線C:r?=r?(t)(t∈[a,b],可以定義C的弧長參數(shù)s=s(t)=∫t0t|r?′(ξ)|dξ其中t0是區(qū)間中[a,b]的一個固定點(diǎn)。在弧長參數(shù)下,C:r?=r?(s)的單位切向量是α?=r?˙?其中“·”表示對弧長的導(dǎo)數(shù)。設(shè)C:u=u(s),v=v(s)是類時曲面S:r?=r?(u?v)上的一條非退化曲線,其中s是弧長參數(shù)。設(shè)α?是曲線C的單位切向量,記δ=?α?,α??。當(dāng)δ=1時,C是類空曲線;當(dāng)δ=-1時,C是類時曲線。曲線C的單位切向量α?=α?(s)是沿著C的向量場。設(shè)n?(u,v)是曲面的單位法向量。則n?(s)=n?(u(s),v(s))也是沿著C的向量場。令ε?(s)=-δn?(s)×α?(s)(16)由Lagrange恒等式可知?ε?,ε??=-δ,從而{r?,α?,ε?,n?}是沿著曲線C的右手么正標(biāo)架場。定義2.1設(shè)C:u=u(s),v=v(s)是類時曲面S:r?=r?(u,v)上的一條非退化曲線,其中s是弧長參數(shù)。函數(shù)κg(s)=?α?˙(s)?ε?(s)?(17)稱為曲線C的測地曲率。在歐氏空間中,計(jì)算曲面上一條曲線的測地曲率,有著名的Liouville公式。由命題1.2,類時曲面上局部存在等溫參數(shù)。下面來導(dǎo)出在等溫參數(shù)下計(jì)算測地曲率的Liouville公式。設(shè)(u,v)是定向的類時曲面S:r?=r?(u?v)的等溫參數(shù)。則在S上有定向的右手幺正標(biāo)架{r??e?1?e?2?n?},其中e?1=1Er?u?e?2=1Er?v?n?=e?×e?2=1Er?u×r?v(18)由二重外積公式(1)可得n?×e?1=-e?2?n?×e?2=-e?1(19)下面定義一條非退化曲線C的雙曲角度θ。如果C是類空的,則有唯一的函數(shù)θ=θ(s)使得(sgn?α?,e?1?)α?=coshθe?1-sinhθe?2(20)事實(shí)上,因?yàn)閧r?,e?1,e?2,n?}是幺正標(biāo)架,且?α?,n??=0,所以α?=?α?,e?1?e?1-?α?,e?2?e?2,1=?α??α??=?α??e?1?2-?α??e?2?2由此可知|?α?,e?1?|＞|?α?,e?2?|。因此有唯一的θ=θ(s)使得coshθ=(sgn?α?,e?1?)?α?,e?1?,sinhθ=(sgn?α?,e?1?)?α?,e?2?同理,如果C是類時的,則有唯一的函數(shù)θ=θ(s)使得(sgn?α?,e?2?)α?=sinhθe?1-coshθe?2(21)函數(shù)θ=θ(s)稱為曲線C與參數(shù)曲線網(wǎng)所成的雙曲角度。記ci=sgn?α?,e?i?,i=1,2(22)對于類空曲線C,利用(20),(22),(16),(19)可得α?=c1(coshθe?1-sinhθe?2),ε?=-c1(sinhθe?1-coshθe?2)因此α?˙=-θ˙ε?+c1(coshθe?˙1-sinhθe?˙2)從而κg=?α?˙?ε??=θ˙-?coshθe?˙1-sinhθe?˙2?sinhθe?1-coshθe?2?=θ˙+?e?˙1,e?2?(23)同理,對于類時曲線C,κg=?α?˙,εˉ?=θ˙+?sinhθe?˙1-coshθe?˙2,coshθe?1-sinhθe?2?=θ˙+?e?˙1,e?2?(24)結(jié)合(23)和(24),總有κg=θ˙+?e?˙1,e?2?(25)根據(jù)(18),?e?˙1,e?2?=1E?r?uuu˙+r?uvv˙?r?v?=12E(-Evu˙-Euv˙)(26)代入(25),即得定理2.2(Liouville公式)在等溫參數(shù)下,測地曲率κg=dθds+?de?1ds,e?2?=dθds-?(lnE)?vduds-?(lnE)?udvds(27)其中θ是雙曲角度,由(20)或(21)所確定。上式可以寫成κgds=dθ+?de?1,e?2?=dθ-(lnE)vdu-(lnE)udv(28)3類、sv形參數(shù)在類時曲面S上,正則閉曲線不可能是非退化的。事實(shí)上,在等溫參數(shù)下,閉曲線(C:u=u(t),v=v(t)(t∈[a,b])的參數(shù)坐標(biāo)函數(shù)u(t)必有極值點(diǎn),從而在該點(diǎn)有u′=0,?r?′,r?′?=?r?v,r?v?(v′)2=-E(v′)2＜0同理也必有?r?′,r?′?＞0的點(diǎn),從而由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),必有?r?′,r?′?=0的點(diǎn)。因此本文中考慮S上的一個充分小的區(qū)域D,它的邊界曲線為Ω中的閉曲線C:u=u(t),v=v(t),其中(u,v)是等溫參數(shù)。設(shè)第一基本形式為Ⅰ=E(du2-dv2),(E＞0)(29)并且設(shè)D的邊界由k條非退化曲線C1,…,Ck組成。定理3.1設(shè)S:r?=r?(u,v)為R13中的類時曲面,(u,v)是S的等溫參數(shù)。則對于曲面S上由k條非退化曲線C1,…,Ck圍成的區(qū)域D,成立∫∫DΚdA=∫C(κg-dθds)ds=∑j=1k∫Cj(κg-dθds)ds(30)其中θ是雙曲角度,C是D的邊界,其弧長參數(shù)方程為r?(s)=r?(u(s),v((s)),s∈[a,b]?Cj是C上的一段曲線,對應(yīng)于r?(s)=r?(u(s),v(s))?s∈(sj-1,sj),其中a=s0<s1<…<sk=b。證明設(shè)Ω是曲面S上的區(qū)域D在(u,v)平面上對應(yīng)的區(qū)域,?Ω為Ω的邊界。利用Green公式,從(15)和(28)可得∫∫DΚdA=-∫∫Ω[(lnE)uu-(lnE)vv]dudv==-∫?Ω[(lnE)vdu+(lnE)u]dv=∫C(κg-dθds)ds=∑j=1k∫Cj(κg-dθds)ds例3.2考慮洛倫茲空間R13中的平面S:r?(u,v)=(0,u,v)。它的第一基本形式Ⅰ=du2-dv2因此E=1?e?1=r?u?e?2=r?v。由定理1.3可知的Gauss曲率K≡0。因?yàn)閞?u=(0,1,0),所以任意一條u-曲線C:v=c(常數(shù))是類空曲線。它的弧長參數(shù)s=u?α?=r?u=e?1。由(20)可知C的雙曲角度θ≡0,從而由Liouville公式(27)可知C是測地線,即測地曲率κg≡0。同理,v曲線是類時的測地線。設(shè)Ω=[a1,b1]×[a2,b2]是參數(shù)平面中的矩形區(qū)域,D=r?(Ω)是S上的一個區(qū)域。則Gauss-Bonnet公式(30)成立。例3.3設(shè)(u,v)是類時曲面S的等溫參數(shù)。局部地可設(shè)S定義在包含Ω的某個區(qū)域Ω′上,其中Ω={(u,v)|u2+v2<1}。于是D=r?(Ω)的邊界曲線為C:u=cost,v=sint,t∈[0,2π]因此r?′(t)=-sintr?u+costr?v=E(-sinte?1+coste?2)(31)?r?′,r?′?=-Ecos2t,ds=E|cos2t|dt(32)該曲線在t=±π4,±3π4處為退化點(diǎn)