經(jīng)典測量平差模型的內(nèi)在聯(lián)系

經(jīng)典測量平差模型的內(nèi)在聯(lián)系

一、附限制條件的條件平差模型測量差異基礎(chǔ)是測量專業(yè)的重要一門課程，此外，它還提供了gis和航測實踐的課程，這些課程還包括gis、航測實踐和遙感。而在一般的教材講述中都是將四種平差模型分別進行講述。於宗儔教授早在20世紀(jì)80年代末就提出旨在統(tǒng)一四種經(jīng)典平差模型的概括模型——附有限制條件的條件平差模型。王新洲教授最近又論證了附有限制條件的間接平差模型本身就是其余四種模型的概括模型,并詳細(xì)地證明了其他四種模型都是該模型的特例。顯然這兩種概括模型都很好地揭示了平差模型之間的關(guān)系,為進一步闡明這五種模型之間的內(nèi)在聯(lián)系,本文討論間接平差模型與條件平差模型之間、附有參數(shù)的條件平差模型與附有限制條件的間接平差模型之間的關(guān)系,以期作為上述兩種概括模型的補充。二、條件差模型與間接差模型之間的等效性1.t、n-t矩陣條件平差的函數(shù)模型為Ar,n?Ln,1+A0r,1=0(1)Ar,nL?n,1+A0r,1=0(1)間接平差的函數(shù)模型為?Ln,1=Bn,t?Xt,1+dn,1(2)L?n,1=Bn,tX?t,1+dn,1(2)其中,n為觀測值個數(shù);t為必要觀測個數(shù);r=n-t為多余觀測個數(shù)。矩陣的含義同文獻。將式(2)中的獨立參數(shù)選為t個獨立觀測值,則式(2)變?yōu)閇?L1t,1?L2r,1]=[Ιt,tB1r,t]?Xt,1+[0t,1d1r,1](3)??????L?1t,1L?2r,1??????=????It,tB1r,t????X?t,1+????0t,1d1r,1????(3)式(3)進行變量替換得?L2r,1=B1r,t?L1t,1+d1r,1(4)L?2r,1=B1r,tL?1t,1+d1r,1(4)令A(yù)=[-B1r,tΙr,r],A0=-dr,1A=[?B1r,tIr,r],A0=?dr,1,式(4)便變?yōu)槭?1),即條件平差是間接平差當(dāng)選取t個獨立觀測值時其余r個觀測值與所選取的獨立觀測值之間滿足的條件。2.間接平差模型法上述推導(dǎo)過程步步可逆,故很容易從條件平差模型導(dǎo)出以獨立觀測值為參數(shù)的間接平差模型來。以下從條件平差模型推導(dǎo)以t個獨立待定量作為參數(shù)的間接平差。從式(1)作變量替換可得式(3),其中?Xt,1=?L1t,1?X?t,1=L?1t,1?即有[?L1t,1?L2r,1]=[Ιt,tB1r,t]?L1t?1+[0t,1d1r,1](5)??????L?1t,1L?2r,1??????=????It,tB1r,t????L?1t?1+????0t,1d1r,1????(5)參照間接平差模型的建立方法,易知t個獨立觀測值?L1t,1L?1t,1可用t個獨立待定量?Xt,1X?t,1來表示,即?L1t,1=B2t,t?Xt,1+d2t,1(6)L?1t,1=B2t,tX?t,1+d2t,1(6)將式(6)代入式(5)可得[?L1t,1?L2r,1]=[B2t,tB1r,tB2t,t]?Xt,1+[d2t,1d1r,1B1r,td2t,1](7)??????L?1t,1L?2r,1??????=????B2t,tB1r,tB2t,t????X?t,1+????d2t,1d1r,1B1r,td2t,1????(7)顯然式(7)與式(2)是完全相同的。至此便從條件平差模型推出以t個獨立待定量作為參數(shù)的間接平差模型。由此可以看出,間接平差模型與選取參數(shù)的類型沒有關(guān)系,即選取觀測值與選取待定量作為參數(shù)是等價的。綜上可以看出,任何間接平差模型都可以由條件平差模型導(dǎo)出,而任何條件平差模型都可以從間接平差模型導(dǎo)出,即條件平差模型與間接平差模型是等價的。三、附條件的條件平差模型附有參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型為Ac,n?Ln,1+Bc,u?Xu,1+A0c,1=0(8)Ac,nL?n,1+Bc,uX?u,1+A0c,1=0(8)其中,0<u<t,u為增選的獨立參數(shù);c=r+u,c為總條件方程個數(shù)。附有限制條件的間接平差的函數(shù)模型為?Ln,1=Bn,u?Xu,1+dn,1(9)L?n,1=Bn,uX?u,1+dn,1(9)Cs,u?Xu,1-Wxs,1=0(10)Cs,uX?u,1?Wxs,1=0(10)其中,u>t,且包含t個獨立參數(shù);s=u-t為約束參數(shù)的條件方程個數(shù)。文獻已詳細(xì)推導(dǎo)了附有參數(shù)的條件平差模型是附有限制條件的間接平差模型的一個特例,即附有參數(shù)的條件平差就是參數(shù)的個數(shù)大于觀測值的個數(shù),且選擇觀測值的真值為前n個參數(shù),而剩余參數(shù)相互獨立時的附有條件的間接平差模型在消去前n個參數(shù)以后的中間形式。反過來,由附有參數(shù)的條件平差模型可以導(dǎo)出附有限制條件的間接平差模型,推導(dǎo)過程如下:由文獻知式(8)可分解為A1r,n?Ln,1+A01r,1=0(11)A1u,n?Ln,1+B2u,u?Xn,1+A02u,1=0(12)式(11)就是條件平差函數(shù)模型,由前討論該式可以導(dǎo)出間接平差模型式(2),將其另寫為?Ln,1=B1n,t?Xt,1+dn,1(13)將式(13)代入式(12)得A1u,nB1n,t?Xt,1+B2u,u?Xu,1+A1u,ndn,1+A02u,1=0(14)令Cu,t+u=[A1u,nB1n,tB2u,u]??Xt+u,1=[?Xt,1?Xu,1]?Wxu,1=-(A1u,ndn,1+A02u,1)且令s=u,式(14)便變?yōu)槭?10)。由式(13),令Bn,u=[B1n,t0n,s]??Xu,1=[?Xt,1?Xs,1]便得式(9)。至此便由附有參數(shù)的條件平差模型推出了附有限制條件的間接平差模型。可見這兩種模型有密切的聯(lián)系,但由于附有參數(shù)的條件平差模型要求0<u<t,所以總條件數(shù)c=r+u<n,而附有限制條件的間接平差模型只要求u>t,其中包含t個獨立參數(shù),u的個數(shù)可以大于n。因此只有當(dāng)附有限制條件的間接平差模型的u<n時,才能被附有參數(shù)的條件平差模型導(dǎo)出,而當(dāng)u>n時,則不能。四、條件平差模型的生成1.條件平差模型與間接平差模型是等價的,二者是可以互相導(dǎo)出的;2.間接平差模型中未知參數(shù)的選取與參數(shù)類型無關(guān),即選取觀測值還