2023-2024學(xué)年安徽定遠(yuǎn)示范高中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年安徽定遠(yuǎn)示范高中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn).則C的方程為（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)(且，)的一個(gè)極值點(diǎn)為2，則的最小值為（）A. B.C. D.73．若點(diǎn)在橢圓的外部，則的取值范圍為（）A. B.C. D.4．在中，若，，則外接圓半徑為（）A. B.C. D.5．已知直線(xiàn)：和直線(xiàn)：，拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)和直線(xiàn)的距離之和的最小值是（）A. B.C. D.6．已知，為雙曲線(xiàn)：的焦點(diǎn)，為，（其中為雙曲線(xiàn)半焦距），與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)，且有，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.7．若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則點(diǎn)不可能落在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知，，的面積為，則（）A. B.C. D.9．若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A. B.C. D.10．東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.我們通過(guò)類(lèi)比得到圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形.對(duì)于圖2.下列結(jié)論正確的是（）①這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形；②若，，則；③若，則；④若是的中點(diǎn)，則三角形的面積是三角形面積的7倍.A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④11．某校去年有1100名同學(xué)參加高考，從中隨機(jī)抽取50名同學(xué)總成績(jī)進(jìn)行分析，在這個(gè)調(diào)查中，下列敘述錯(cuò)誤的是A.總體是：1100名同學(xué)的總成績(jī) B.個(gè)體是：每一名同學(xué)C.樣本是：50名同學(xué)的總成績(jī) D.樣本容量是：5012．雙曲線(xiàn)：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，，，則的離心率為（）A. B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_________14．如圖，在等腰直角△ABC中，，點(diǎn)P是邊AB上異于A(yíng)、B的一點(diǎn)，光線(xiàn)從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC、CA反射后又回到原點(diǎn)P.若光線(xiàn)QR經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心，則___________.15．若兩平行直線(xiàn)3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為，則的值為_(kāi)_______16．關(guān)于曲線(xiàn)，給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，但不關(guān)于軸、軸對(duì)稱(chēng)；②曲線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)4個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；③曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不大于.其中，正確結(jié)論的序號(hào)是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）判斷是否存在直線(xiàn)，使得直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，，連接與交于點(diǎn)①若，求；②求的值19．（12分）雙曲線(xiàn)，離心率，虛軸長(zhǎng)為2（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程20．（12分）如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF＝2（1）證明：AC∥平面BEF；（2）求點(diǎn)C到平面BEF的距離21．（12分）如圖，在三棱錐中，，平面，，分別為棱，的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，，二面角的大小為，求三棱錐的體積.22．（10分）某校高二年級(jí)全體學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測(cè)試，學(xué)校利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從甲班、乙班各抽取五名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，求此兩人都來(lái)自甲班的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)已知和漸近線(xiàn)方程可得，雙曲線(xiàn)焦距，結(jié)合的關(guān)系，即可求出結(jié)論.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，則①.又因?yàn)闄E圓與雙曲線(xiàn)有公共焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的焦距，即c＝3，則a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，則雙曲線(xiàn)C的方程為.故選：B.2、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由給定極值點(diǎn)可得a與b的關(guān)系，再借助“1”的妙用求解即得.【詳解】對(duì)求導(dǎo)得：，因函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為2，則，此時(shí)，，，因，即，因此，在2左右兩側(cè)鄰近的區(qū)域值一正一負(fù)，2是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則有，又，，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為.故選：B3、B【解析】根據(jù)題中條件，得到，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的外部，所以，即，解得或.故選：B.4、A【解析】根據(jù)三角形面積公式求出c，再由余弦定理求出a，根據(jù)正弦定理即可求外接圓半徑.【詳解】,,,解得由正弦定理可得：，所以故選：A5、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義，可得點(diǎn)P到直線(xiàn)和直線(xiàn)的距離之和，當(dāng)B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，再結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，即可求解【詳解】∵拋物線(xiàn)，∴拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，焦點(diǎn)為，∴點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離PA等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離PF，即，∴點(diǎn)P到直線(xiàn)和直線(xiàn)的距離之和，∴當(dāng)B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，∵，∴，∴點(diǎn)P到直線(xiàn)和直線(xiàn)的距離之和的最小值為故選：A6、B【解析】根據(jù)求得的關(guān)系，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義以及勾股定理，即可求得的等量關(guān)系，再求離心率即可.【詳解】根據(jù)題意，連接，作圖如下：顯然為直角三角形，又，又點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，故可得，解得，由勾股定理可得：，即，即，，故雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：B.7、B【解析】作出給定的不等式組表示的平面區(qū)域，觀(guān)察圖形即可得解.【詳解】因?qū)崝?shù)滿(mǎn)足，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分，觀(guān)察圖形知，陰影區(qū)域不過(guò)第二象限，即點(diǎn)不可能落在第二象限.故選：B8、C【解析】利用面積公式，求出，進(jìn)而求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出【詳解】由面積公式得：，因?yàn)榈拿娣e為，所以，求得：因，所以由余弦定理得：所以由正弦定理得：，即，解得：故選：C9、A【解析】利用對(duì)立事件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由對(duì)立事件的概率公式可知，該群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為.故選：A.10、A【解析】對(duì)于①，由三角形大邊對(duì)大角的性質(zhì)分析，對(duì)于②，根據(jù)題意利用正弦定理分析，對(duì)于③，利用余弦定理分析，對(duì)于④，利用三角形的面積公式分析判斷【詳解】對(duì)于①，根據(jù)題意，圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，故，，所以這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故①正確；對(duì)于②，由題知，在中，，，，所以，所以由正弦定理得解得，因?yàn)?，所以，故②正確；對(duì)于③，不妨設(shè)，所以在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)得，所以，所以，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若是的中點(diǎn)，則，所以，故④正確.故選：A第II卷（非選擇題11、B【解析】采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)總體，個(gè)體，樣本的概念，可得結(jié)果.【詳解】據(jù)題意：總體是1100名同學(xué)的總成績(jī)，故A正確個(gè)體是每名同學(xué)的總成績(jī)，故B錯(cuò)樣本是50名同學(xué)的總成績(jī)，故C正確樣本容量是：50，故D正確故選：B【點(diǎn)睛】本題考查總體，個(gè)體，樣本的概念，屬基礎(chǔ)題.12、C【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)定義、余弦定理，結(jié)合題意，求得關(guān)系，即可求得離心率.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：不妨設(shè)，則，，①；在△中，由余弦定理可得：，代值得：，②；聯(lián)立①②兩式可得：；在△和△中，由，可得：，整理得：，③；聯(lián)立②③可得：，又，故可得：，則，則，故離心率為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線(xiàn)上，再求導(dǎo)，代入切線(xiàn)方程公式即可【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線(xiàn)上求導(dǎo)得：，所以故切線(xiàn)方程為故答案為：14、【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得△的內(nèi)心坐標(biāo)，根據(jù)△內(nèi)心以及關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，則問(wèn)題得解.【詳解】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，如下所示：則，不妨設(shè)，則直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，且，整理得，解得，即點(diǎn)，又；設(shè)△的內(nèi)切圓圓心為，則由等面積法可得，解得；故其內(nèi)心坐標(biāo)為，由及△的內(nèi)心三點(diǎn)共線(xiàn)，即，整理得，解得（舍）或，故.故答案為：.15、±1【解析】由題意得＝≠，∴a＝－4且c≠－2，則6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋＝0，由兩平行線(xiàn)間的距離公式，得＝，解得c＝2或c＝－6，∴＝±116、①③【解析】設(shè)為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，判斷、、是否滿(mǎn)足曲線(xiàn)方程即可判斷①；求出曲線(xiàn)過(guò)的整點(diǎn)即可判斷②；由條件利用即可得，即可判斷③；即可得解.【詳解】設(shè)為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)、軸、軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為、、，因?yàn)?；；；所以點(diǎn)在曲線(xiàn)上，點(diǎn)、點(diǎn)不在曲線(xiàn)上，所以曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，但不關(guān)于軸、軸對(duì)稱(chēng)，故①正確；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，.此外，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故曲線(xiàn)過(guò)整點(diǎn)，，，，，，故②錯(cuò)誤；又，所以恒成立，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以曲線(xiàn)上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故③正確.故答案為：①③.【點(diǎn)睛】本題考查了與曲線(xiàn)方程有關(guān)的命題真假判斷，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，方程為和.【解析】（1）根據(jù)橢圓上的點(diǎn)、離心率和關(guān)系可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理形式，根據(jù)共線(xiàn)向量可得，代入韋達(dá)定理中可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程可求得，進(jìn)而得到直線(xiàn)方程.【小問(wèn)1詳解】由題意得：，解得：，橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】由題意知：直線(xiàn)斜率存在且不為零，可設(shè)，，，由得：，則；，，，，，解得：，，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)存在，方程為和.18、（1）（2）①,②【解析】（1）由題意得解方程組求出，從而可得橢圓的方程，（2）①由題意可得的方程為，再與橢圓方程聯(lián)立，解方程組求出的坐標(biāo)，從而可求出；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)方程為，與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)的坐標(biāo)，再將直線(xiàn)的方程與方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出的值【小問(wèn)1詳解】由題意得解得，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率，則的垂線(xiàn)的方程為由得解得故，，②由，，顯然斜率存在，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直，則直線(xiàn)方程為由得顯然設(shè)，，則，則中點(diǎn)直線(xiàn)的方程為，由得所以綜上的值為19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意求出即可得出；（2）利用點(diǎn)差法求出直線(xiàn)斜率即可得出方程.【小問(wèn)1詳解】∵，，∴，，∵，∴，∴，∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，，由在雙曲線(xiàn)上，可得：，兩式相減可得以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線(xiàn)斜率為：則以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線(xiàn)方程為，即為，聯(lián)立方程得：，，符合，∴直線(xiàn)的方程為：.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出平面BEF的法向量，然后證明線(xiàn)面平行；（2）算出在向量方向上的投影，進(jìn)而求得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镈E⊥平面ABCD，DA、DC平面ABCD，所以DE⊥DA，DE⊥DC，因?yàn)锳BCD是正方形，所以DA⊥DC.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(0，0，2)，F(xiàn)(2，0，1)，所以，，設(shè)平面BEF的法向量，因?yàn)椋裕?x－2y＋2z＝0，－2y＋z＝0，令y＝1，則＝(1，1，2)，又因?yàn)椋?－2，2，0)，所以，即，而平面BEF，所以AC∥平面BEF.【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)C到平面BEF的距離為d，而，所以，所以點(diǎn)C到平面BEF的距離為21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）利用線(xiàn)面垂直的判定定理及性質(zhì)即證；（2）利用坐標(biāo)法，結(jié)合條件可求，然后利用體積公式即求.【小問(wèn)1詳解】，是的中點(diǎn)，，平面，平面，，又，平面，平面，；【小問(wèn)2詳解】，，，取的中點(diǎn)，連接，則，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線(xiàn)為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得，∵二面角的大小為，，解得，，則三棱錐的體積.22、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為，由此能求出，根據(jù)由，且，能求出.（