2023-2024學(xué)年安徽省六安二中河西校區(qū)數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年安徽省六安二中河西校區(qū)數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則（）A. B.C. D.2．若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，平均變化率為3，則等于（）A. B.2C.3 D.13．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，則等于（）A. B.C.14 D.164．公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，滿(mǎn)足，.則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為B.C.最大值為D.5．設(shè)，則A.2 B.3C.4 D.56．大數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻有他最引以為豪的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的象征圖——球及其外切圓柱(如圖).以此紀(jì)念阿基米德發(fā)現(xiàn)球的體積和表面積，則球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的（）A. B.C. D.7．在下列函數(shù)中，求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（）A.， B.，C.， D.，8．已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則的面積等于（）A.6 B.C. D.9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，公差，．若取得最大值，則的值為（）A.6或7 B.7或8C.8或9 D.9或1010．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.A. B.C. D.11．在如圖所示的棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P在側(cè)面所在的平面上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①若點(diǎn)P總滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線(xiàn)②若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)周長(zhǎng)為的圓③若點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離與到點(diǎn)C的距離之和為1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓④若點(diǎn)P到平面的距離與到直線(xiàn)CD的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線(xiàn)A.1 B.2C.3 D.412．已知在等比數(shù)列中，，，則（）A.9或 B.9C.27或 D.27二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某地區(qū)有3個(gè)疫苗接種定點(diǎn)醫(yī)院，現(xiàn)有10名志愿者將被派往這3個(gè)醫(yī)院協(xié)助新冠疫苗接種工作，每個(gè)醫(yī)院至少需要2名至多需要4名志愿者，則不同的安排方法共有___________種.14．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段上，分別記四棱錐，的體積為，，則的最小值為_(kāi)_____15．如圖,在四棱錐中,平面,底面是菱形,且,則異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值為_(kāi)_____,點(diǎn)到平面的距離等于______.16．已知空間向量，，若，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某餐館將推出一種新品特色菜，為更精準(zhǔn)確定最終售價(jià)，這種菜按以下單價(jià)各試吃1天，得到如下數(shù)據(jù)：（1）求銷(xiāo)量關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程；（2）預(yù)計(jì)今后的銷(xiāo)售中，銷(xiāo)量與單價(jià)服從（1）中的線(xiàn)性回歸方程，已知每份特色菜的成本是15元，為了獲得最大利潤(rùn)，該特色菜的單價(jià)應(yīng)定為多少元？（附：，）18．（12分）已知圓C的方程為.（1）直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)P(3，1)，傾斜角為45°，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)；（2）求過(guò)點(diǎn)P(3，1)且與圓C相切的直線(xiàn)l2的方程.19．（12分）冬奧會(huì)的全稱(chēng)是冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，每四年舉辦一屆．第24屆冬奧會(huì)將于2022年在中國(guó)北京和張家口舉行．為了弘揚(yáng)奧林匹克精神，增強(qiáng)學(xué)生的冬奧會(huì)知識(shí)，廣安市某中學(xué)校從全校隨機(jī)抽取50名學(xué)生參加冬奧會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，并根據(jù)這50名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間（1）求頻率分布直方圖中a的值：（2）求這50名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)．（結(jié)果保留一位小數(shù)）20．（12分）如圖，已知等腰梯形，，為等腰直角三角形，，把沿折起（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求平面與平面所成二面角的平面角的正弦值21．（12分）已知圓（1）求圓心的坐標(biāo)和圓的面積；（2）若直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)22．（10分）已知點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離比為（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)被點(diǎn)的軌跡截得的弦長(zhǎng)為，求直線(xiàn)的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)直線(xiàn)平行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)平行，所以，即，經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足題意.故選：C2、B【解析】直接利用平均變化率的公式求解.【詳解】解：由題得.故選：B3、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，所以，由于數(shù)列是等比數(shù)列，所以.故選：C4、A【解析】根據(jù)已知條件，判斷出，即可判斷選項(xiàng)D，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，判斷，，由此判斷出選項(xiàng)A,B,C.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列滿(mǎn)足條件，，，若，則，則，，則，這與已知條件矛盾，所以不符合題意，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，所以，，，則，，數(shù)列前2021項(xiàng)都大于1，從第2022項(xiàng)開(kāi)始都小于1，因此是數(shù)列中的最大值，故選項(xiàng)A正確由等比數(shù)列的性質(zhì)，，故選項(xiàng)B不正確；而，由以上分析可知其無(wú)最大值，故C錯(cuò)誤；故選：A5、B【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，進(jìn)而可得到.【詳解】，則，故，選B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】設(shè)球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為，分別求出球的體積與表面積，圓柱的體積與表面積，從而得出答案.【詳解】設(shè)球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為所以球的體積為,表面積為.圓柱的體積為：,所以其體積之比為：圓柱的側(cè)面積為：,圓柱的表面積為：所以其表面積之比為：故選：C7、B【解析】分別求得每個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可判斷.詳解】；；；.故求導(dǎo)錯(cuò)誤的是B.故選：B.8、B【解析】根據(jù)橢圓定義和余弦定理解得，結(jié)合三解形面積公式即可求解【詳解】由與是橢圓上一點(diǎn)，∴，兩邊平方可得，即，由于，，∴根據(jù)余弦定理可得，綜上可解得，∴的面積等于，故選：B9、B【解析】根據(jù)題意可知等差數(shù)列是，單調(diào)遞減數(shù)列，其中，由此可知，據(jù)此即可求出結(jié)果.【詳解】在等差數(shù)列中，所以，所以，即，又等差數(shù)列中，公差，所以等差數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，所以，所以等差數(shù)列的前項(xiàng)和為取得最大值，則的值為7或8.故選:B.10、D【解析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性【詳解】的定義域?yàn)?，，令，解得故的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：D11、C【解析】根據(jù)線(xiàn)面關(guān)系、距離關(guān)系可分別對(duì)每一個(gè)命題判斷.【詳解】若點(diǎn)P總滿(mǎn)足，又，，，可得對(duì)角面，因此點(diǎn)P的軌跡是直線(xiàn)，故①正確若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)B為圓心，以1為半徑的圓（在平面內(nèi)），因此圓的周長(zhǎng)為，故②正確點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離PB與到點(diǎn)C的距離PC之和為1，又，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線(xiàn)段BC，因此③不正確點(diǎn)P到平面的距離（即到直線(xiàn)的距離）與到直線(xiàn)CD的距離（即到點(diǎn)C的距離）相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以線(xiàn)段BC的中點(diǎn)為頂點(diǎn)，直線(xiàn)BC為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)（在平面內(nèi)），因此④正確故有①②④三個(gè)故選:C12、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可求.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，設(shè)公比為，則，解得，又，所以.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、22050【解析】先分組，再排列，注意部分平均分組問(wèn)題，需要除以平均組數(shù)的全排列.【詳解】根據(jù)題意，這10名志愿者的安排方法共有兩類(lèi)：第一類(lèi)是2，4，4，第二類(lèi)是3，3，4.故不同的安排方法共有種.故答案為：2205014、【解析】設(shè)，用參數(shù)表示目標(biāo)函數(shù)，利用均值不等式求最值即可.【詳解】取線(xiàn)段AD中點(diǎn)為F，連接EF、D1F，過(guò)P點(diǎn)引于M，于N，則平面，平面，則，∴，設(shè)，則，，即，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：15、①.②.【解析】因?yàn)榈酌媸橇庑?可得,則異面直線(xiàn)與所成的角和與所成的角相等,即可求得異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值.在底面從點(diǎn)向作垂線(xiàn),求證垂直平面,即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出其立體圖形:如圖底面是菱形,則異面直線(xiàn)與所成的角和直線(xiàn)與所成的角相等平面,平面又,底面是菱形即故:異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值為:在底面從點(diǎn)向作垂線(xiàn)平面,平面,平面故是到平面的距離故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題考查了求異面直線(xiàn)的夾角和點(diǎn)到面距離,解題關(guān)鍵是掌握將求異面直線(xiàn)夾角轉(zhuǎn)化為共面直線(xiàn)夾角的解法,考查了分析能力和推理能力,屬于基礎(chǔ)題.16、2【解析】依據(jù)向量垂直充要條件列方程，解之即可解決.【詳解】空間向量，，由，可知，即，解之得故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）24【解析】（1）求出，的值，根據(jù)公式求出的值，代入公式即可求出回歸直線(xiàn)方程（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，求出利潤(rùn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解【詳解】解：（1）由題意得，，，，得，，所以關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為：.（2）由題意得，每份菜獲得的利潤(rùn)，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，∴單價(jià)應(yīng)定為24元，可獲得最大利潤(rùn).【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線(xiàn)的求法與應(yīng)用，著重考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬基礎(chǔ)題18、（1）（2）x=3或【解析】（1）首先利用點(diǎn)斜式求出直線(xiàn)的方程，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到直線(xiàn)的距離，最后利用垂直定理、勾股定理計(jì)算可得；（2）依題意可得點(diǎn)在圓外，分直線(xiàn)的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在直線(xiàn)得到直線(xiàn)方程，但直線(xiàn)的斜率存在時(shí)設(shè)直線(xiàn)方程為，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得到方程，解得，即可得解；【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意，直線(xiàn)的方程為，即，則圓心到直線(xiàn)的距離為故；【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)在圓外，分兩種情況討論：當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程是，此時(shí)與圓C：相切，滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，即，直線(xiàn)與圓相切時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離為解得此時(shí)，直線(xiàn)的方程為，所以滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)的方程是或.19、（1）（2）眾數(shù)；中位數(shù)【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖矩形面積和為1列式即可；（2）根據(jù)眾數(shù)即最高矩形中間值，中位數(shù)左右兩邊矩形面積各為0.5列式即可.【小問(wèn)1詳解】由,得【小問(wèn)2詳解】50名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為設(shè)中位數(shù)為,則解得所以這50名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為76.420、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)E，連，證明四邊形為平行四邊形，從而可得為等邊三角形，四邊形為菱形，從而可證，，即可得平面，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）取的中點(diǎn)M，連接，以B為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解：取的中點(diǎn)E，連，∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∵，∴為等邊三角形，四邊形為菱形，∴，，∴∴，∵，，，平面，，∴平面，∵平面，∴；【小問(wèn)2詳解】解：取的中點(diǎn)M，連接，由（1）知，，∵平面平面，，∴平面，以B為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，可得，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，有，有，故平面與平面所成二面角的正弦值為21、（1）圓心，面積為；（2）.【解析】（1）將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求出圓心、半徑和圓的面積；（2）求出圓心到直線(xiàn)的距離，進(jìn)而通過(guò)勾股定理求得答案.【小問(wèn)1詳解】由已知，得