2023-2024學(xué)年廣州市嶺南中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年廣州市嶺南中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．以橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以這個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是（）A. B.C. D.2．經(jīng)過(guò)點(diǎn)作圓的弦,使點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，則弦所在直線的方程為A. B.C. D.3．在等差數(shù)列中，若，則（）A.6 B.9C.11 D.244．設(shè)是等差數(shù)列，是其公差，是其前n項(xiàng)的和．若，，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.與均為的最大值5．用反證法證明“若a，b∈R，，則a，b不全為0”時(shí)，假設(shè)正確的是（）A.a，b中只有一個(gè)為0 B.a，b至少一個(gè)不為0C.a，b至少有一個(gè)為0 D.a，b全為06．如圖，在正方體中，（）A. B.C. D.7．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)A. B.C. D.8．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.20 B.30C.40 D.509．我國(guó)的刺繡有著悠久的歷史，如圖，(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形個(gè)數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第個(gè)圖形包含個(gè)小正方形，則的表達(dá)式為（）A. B.C. D.10．已知線段AB的端點(diǎn)B在直線l：y=-x+5上，端點(diǎn)A在圓C1：上運(yùn)動(dòng)，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡為曲線C2，若曲線C2與圓C1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍是（）A.（-1，0） B.（1，4）C.（0，6） D.（-1，5）11．某手機(jī)上網(wǎng)套餐資費(fèi)：每月流量500M以下（包含500M），按20元計(jì)費(fèi)；超過(guò)500M，但沒(méi)超過(guò)1000M（包含1000M）時(shí)，超出部分按0.15元/M計(jì)費(fèi)；超過(guò)1000M時(shí)，超出部分按0.2元/M計(jì)費(fèi)，流量消費(fèi)累計(jì)的總流量達(dá)到封頂值（15GB）則暫停當(dāng)月上網(wǎng)服務(wù).若小明使用該上網(wǎng)套餐一個(gè)月的費(fèi)用是100元，則他的上網(wǎng)流量是（）A.800M B.900MC.1025M D.1250M12．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線C.的一個(gè)零點(diǎn)為 D.在區(qū)間的最小值為1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某農(nóng)場(chǎng)某植物高度，且，如果這個(gè)農(nóng)場(chǎng)有這種植物10000棵，試估計(jì)該農(nóng)場(chǎng)這種植物高度在區(qū)間上的棵數(shù)為______.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.14．總體由編號(hào)為01，02，…，30的30個(gè)個(gè)體組成.選取方法是從下面隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為____________.66065747173407275017362523611665118918331119921970058102057864532345647615．在數(shù)列中，，，則___________.16．千年一遇對(duì)稱日，萬(wàn)事圓滿在今朝，年月日又是一個(gè)難得的“世界完全對(duì)稱日”（公歷紀(jì)年日期中數(shù)字左右完全對(duì)稱的日期）.數(shù)學(xué)上把這樣的對(duì)稱自然數(shù)叫回文數(shù)，兩位數(shù)的回文數(shù)共有個(gè)（），其中末位是奇數(shù)的又叫做回文奇數(shù)，則在內(nèi)的回文奇數(shù)的個(gè)數(shù)為___三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和最值；（Ⅱ）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，18．（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求的值；（2）是否存在常數(shù)，使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意，恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由19．（12分）已知命題p：實(shí)數(shù)x滿足（其中）；命題q：實(shí)數(shù)x滿足（1）若，為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，D為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）若E為的中點(diǎn)，求與所成的角21．（12分）已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為Q，以Q為圓心的圓與直線相交于A，B兩點(diǎn)，且（1）求圓Q的方程；（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O任作一直線交圓Q于C，D兩點(diǎn)，求證：為定值22．（10分）已知函數(shù)，（1）討論的單調(diào)性；（2）若時(shí)，對(duì)任意都有恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)軸端點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得雙曲線的a，b，c，再求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵橢圓的方程為＋＝1，∴橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)坐標(biāo)為，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴雙曲線方程為，故選：B.2、A【解析】由題知為弦AB的中點(diǎn)，可得直線與過(guò)圓心和點(diǎn)的直線垂直，可求的斜率，然后用點(diǎn)斜式求出的方程【詳解】由題意知圓的圓心為，，由，得，∴弦所在直線的方程為，整理得.選A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線的斜率，直線的點(diǎn)斜式方程，屬于基礎(chǔ)題3、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量運(yùn)算求解【詳解】設(shè)的公差為d，因?yàn)?，所以，又，所以故選：B4、C【解析】由已知條件可以得出，，，即可得公差，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項(xiàng)的和的性質(zhì)可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】由可得，由可得，故選項(xiàng)B正確；由可得，因?yàn)楣?，故選項(xiàng)A正確，，所以，故選項(xiàng)C不正確；由于是等差數(shù)列，公差，，，，所以都是的最大值，故選項(xiàng)D正確；所以選項(xiàng)C不正確，故選：C5、D【解析】把要證的結(jié)論否定之后，即得所求的反設(shè)【詳解】由于“a，b不全為0”的否定為：“a，b全為0”，所以假設(shè)正確的是a，b全為0.故選：D6、B【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合向量加減法的幾何意義有，即可知所表示的向量.【詳解】∵，而，∴，故選：B7、B【解析】由拋物線方程知焦點(diǎn)在x軸正半軸，且p=4，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以選B8、B【解析】利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則，由得，即，解得或（舍），且代入①得，則，所以.故選：B.9、D【解析】先分別觀察給出正方體的個(gè)數(shù)為：1，，，，總結(jié)一般性的規(guī)律，將一般性的數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列再求解【詳解】解：根據(jù)前面四個(gè)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，累加得：，，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納推理，屬于中檔題10、D【解析】設(shè)，AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，代入圓C1：得點(diǎn)點(diǎn)M的軌跡方程，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系建立不等式，代入，求解即可得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，AB的中點(diǎn)，則，所以，又因?yàn)槎它c(diǎn)A在圓C1：上運(yùn)動(dòng)，所以，即，因?yàn)榍€C2與圓C1有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以，又因B在直線l：y=-x+5上，所以，所以，整理得，即，解得，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍是，故選：D.11、C【解析】根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)求得小明的上網(wǎng)流量.【詳解】顯然小明上網(wǎng)流量超過(guò)了1000M但遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)達(dá)到封頂值，假設(shè)超出部分為M，由得.故選：C12、D【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷其周期、對(duì)稱軸、零點(diǎn)、最值即可.【詳解】函數(shù)，周期為，故A錯(cuò)誤；函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為，，，不是對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；函數(shù)的零點(diǎn)為，，，所以不是零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；時(shí)，，所以，即，所以，故D正確.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1359【解析】由已知求得，則，結(jié)合已知求得，乘以10000得答案【詳解】解：由，得，又，，則，估計(jì)該農(nóng)場(chǎng)這種植物高度在區(qū)間，上的棵數(shù)為故答案為：135914、23【解析】根據(jù)隨機(jī)表，由編號(hào)規(guī)則及讀表位置列舉出前5個(gè)符合要求的編號(hào)，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，依次得到的數(shù)字為57，47，17，34，07，27，50，17，36，25，23，……根據(jù)編號(hào)規(guī)則符合要求的依次為17，07，27，25，23，……所以第5個(gè)個(gè)體編號(hào)為23.故答案為：23.15、##.【解析】由遞推關(guān)系取可求，再取求，取求.詳解】由分別取，2，3可得，，，又，∴，，，故答案為：.16、【解析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合題中定義、組合的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】?jī)晌粩?shù)的回文奇數(shù)有，共個(gè)，三位數(shù)的回文奇數(shù)有，四位數(shù)的回文奇數(shù)有，所以在內(nèi)的回文奇數(shù)的個(gè)數(shù)為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；最小值為，無(wú)最大值；（Ⅱ）證明見解析【解析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可確定單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性可得最值點(diǎn)；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可確定單調(diào)性，結(jié)合的正負(fù)可確定的零點(diǎn)的范圍，進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）由題意得：定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為的最小值為，無(wú)最大值（Ⅱ）設(shè)，則，令得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減由（Ⅰ）知：，可得：，，可得：，即又，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到函數(shù)單調(diào)性和最值的求解、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等知識(shí)；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵是能夠通過(guò)移項(xiàng)構(gòu)造的方式，構(gòu)造出新的函數(shù)，通過(guò)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)所處的范圍可分析得到結(jié)果.18、（1）2；（2）存在，.【解析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用得的值；（2）討論和分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)求解最值即可求解【詳解】解：（1），又由題意有（2）由（1）知，此時(shí)，由或，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和要恒成立，即①當(dāng)時(shí)，，則要恒成立，令，再令，所以在內(nèi)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，故，所以在內(nèi)遞增，；②當(dāng)時(shí)，lnx>0，則要恒成立，由①可知，當(dāng)時(shí)，，所以內(nèi)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，故，所以在內(nèi)遞增，綜合①②可得，即存在常數(shù)滿足題意19、（1）（2）【解析】（1）由得命題p：，然后由為真命題求解；（2）由得，再根據(jù)是的充分條件求解.小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：，由為真命題，，解得；【小問(wèn)2詳解】由（其中）可得，因?yàn)槭堑某浞謼l件，則，解得：20、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）連接，交于O，連接OD，根據(jù)中位線的性質(zhì)，可證，根據(jù)線面平行的判定定理，即可得證；（2）如圖建系，求得各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求得平面與平面法向量，根據(jù)二面角的向量求法，即可得答案；（3）求得坐標(biāo)，根據(jù)線線角的向量求法，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】連接，交于O，連接OD，則O為的中點(diǎn)，在中，因?yàn)镺、D分別為、BC中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面【小?wèn)2詳解】由題意得，兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，為x，y，z軸正方向建系，如圖所示：設(shè)，則，所以，則，，因?yàn)槠矫嬖谄矫鍭BC內(nèi)，且平面ABC，所以即為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，令，則，所以法向量，所以，由圖象可得平面與平面的夾角為銳角，所以平面與平面的夾角的余弦值為【小問(wèn)3詳解】由（2）可得，設(shè)與所成的角為，則，解得，所以與所成的角為21、（1）（2）證明見解析【解析】（1）先求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)圓心到直線的距離公式及的值求出半徑即可求得圓的方程.（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立圓和直線方程利用韋達(dá)定理來(lái)求解.【小問(wèn)1詳解】解：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q為由Q到直線的距離，所以所以圓的方程為【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線CD斜率不存在時(shí)，，所以.當(dāng)直線CD斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線為，記，聯(lián)