2023-2024學年吉林省長春市九臺示范高級中學高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題含解析

2023-2024學年吉林省長春市九臺示范高級中學高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，滿足條件，則的值為（）A.1 B.C.2 D.2．已知關于的不等式的解集為，則不等式的解集為（）A.或 B.C.或 D.3．在等比數(shù)列中，是和的等差中項，則公比的值為（）A.－2 B.1C.2或－1 D.－2或14．已知P是直線上的動點，PA，PB是圓的切線，A，B為切點，C為圓心，那么四邊形PACB的面積的最小值是（）A2 B.C.3 D.5．函數(shù)在處有極小值5，則（）A. B.C.或 D.或36．變量與的數(shù)據(jù)如表所示，其中缺少了一個數(shù)值，已知關于的線性回歸方程為，則缺少的數(shù)值為（）22232425262324▲2628A.24 B.25C.25.5 D.267．已知復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復數(shù)為（）A. B.C. D.8．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點M在上，且滿足，點N為BC的中點，則（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，則的值為（）A. B.C.0 D.110．已知函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，若，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.11．雙曲線：（，）的左、右焦點分別為、，點在雙曲線上，，，則的離心率為（）A. B.2C. D.12．對于圓上任意一點的值與x，y無關，有下列結論：①當時，r有最大值1；②在r取最大值時，則點的軌跡是一條直線；③當時，則.其中正確的個數(shù)是（）A.3 B.2C.1 D.0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．當曲線與直線有兩個不同的交點時，實數(shù)k的取值范圍是____________14．方程的曲線的一條對稱軸是_______，的取值范圍是______.15．已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是________16．已知圓錐的高為，體積為，則以該圓錐的母線為半徑的球的表面積為______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和18．（12分）已知，，且，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知點、分別是橢圓C：）的左、右焦點，點P在橢圓C上，當∠PF1F2=時，面積達到最大，且最大值為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設直線l：與橢圓C交于A、B兩點，求面積的最大值.20．（12分）已知為數(shù)列的前n項和，，且，，其中為常數(shù).（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）是否存在，使得是等差數(shù)列？并說明理由.21．（12分）已知圓，直線的斜率為2，且過點（1）判斷與的位置關系；（2）若圓，求圓與圓的公共弦長22．（10分）已知點A(-2，0)，B(2，0)，動點M滿足直線AM與BM的斜率之積為，記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）若直線和曲線C相交于E，F(xiàn)兩點，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先求出坐標，進而根據(jù)空間向量垂直的坐標運算求得答案.【詳解】因為，所以，解得.故選：A.2、A【解析】由一元二次不等式的解集可得且，確定a、b、c間的數(shù)量關系，再求的解集.【詳解】由題意知：且，得，從而可化為，等價于，解得或.故選：A.3、D【解析】由題可得，即求.【詳解】由題意，得，所以，因為，所以，解得或.故選：D.4、D【解析】由圓C的標準方程可得圓心為（1，1），半徑為1，根據(jù)切線的性質可得四邊形PACB面積等于，，故求解最小時即可確定四邊形PACB面積的最小值.【詳解】圓C：x2+y2-2x-2y+1=0即，表示以C（1，1）為圓心，以1為半徑的圓，由于四邊形PACB面積等于2×××=，而，故當最小時，四邊形PACB面積最小，又的最小值等于圓心C到直線l：的距離d，而，故四邊形PACB面積的最小值為，故選：D5、A【解析】由題意條件和，可建立一個關于的方程組，解出的值，然后再將帶入到中去驗證其是否滿足在處有極小值，排除增根，即可得到答案.【詳解】由題意可得，則，解得，或．當，時，．由，得；由，得．則在上單調遞增，在上單調遞減，故在處有極大值5，不符合題意．當，時，．由，得；由，得．則在上單調遞減，在上單調遞增，故在處有極小值5，符合題意，從而故選：A.6、A【解析】可設出缺少的數(shù)值，利用表中的數(shù)據(jù)，分別表示出、，將樣本中心點帶入回歸方程，即可求得參數(shù).【詳解】設缺少的數(shù)值為，則，，因為回歸直線方程經(jīng)過樣本點的中心，所以，解得.故選：A7、D【解析】由復數(shù)除法求得后可得其共軛復數(shù)【詳解】由題意，∴故選：D8、B【解析】由空間向量的線性運算求解【詳解】由題意，又，，，∴,故選：B9、B【解析】對函數(shù)求導，然后將代入導數(shù)中可得結果.【詳解】，則，則，故選：B10、B【解析】令，求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調性，即可得到，從而求出答案【詳解】解：令，則，又不等式恒成立，所以，即，所以在單調遞增，故，即，所以，故選：B11、C【解析】根據(jù)雙曲線定義、余弦定理，結合題意，求得關系，即可求得離心率.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：不妨設，則，，①；在△中，由余弦定理可得：，代值得：，②；聯(lián)立①②兩式可得：；在△和△中，由，可得：，整理得：，③；聯(lián)立②③可得：，又，故可得：，則，則，故離心率為.故選：C.12、B【解析】可以看作點到直線與直線距離之和的倍，的取值與，無關，這個距離之和與點在圓上的位置無關，圓在兩直線內部，則，的距離為，則，，對于①，當時，r有最大值1，得出結論；對于②在r取最大值時，則點的軌跡是一條平行與，的直線，得出結論；對于③當時，則得出結論.【詳解】設，故可以看作點到直線與直線距離之和的倍，的取值與，無關，這個距離之和與點在圓上的位置無關，可知直線平移時，點與直線，的距離之和均為，的距離，即此時圓在兩直線內部，，的距離為，則，對于①，當時，r有最大值1，正確；對于②在r取最大值時，則點的軌跡是一條平行與，的直線，正確；對于③當時，則即，解得或，故錯誤.故正確結論有2個，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出直線恒過的定點，結合曲線的圖象，數(shù)形結合，找出臨界狀態(tài)，即可求得的取值范圍.【詳解】因為，故可得，其表示圓心為，半徑為的圓的上半部分；因為，即，其表示過點，且斜率為的直線.在同一坐標系下作圖如下：不妨設點，直線斜率為，且過點與圓相切的直線斜率為數(shù)形結合可知：要使得曲線與直線有兩個不同的交點，只需即可.容易知：；不妨設過點與相切的直線方程為，則由直線與圓相切可得：，解得，故.故答案為：.14、①.x軸或直線②.【解析】根據(jù)給定條件分析方程的性質即可求得對稱軸及x的取值范圍作答.【詳解】方程中，因，則曲線關于x軸對稱，又，解得，此時曲線與都關于直線對稱，曲線的對稱軸是x軸或直線，的取值范圍是.故答案為：x軸或直線；15、m≥6【解析】分別求出p，q成立的等價條件，利用p是q的充分條件，轉為當0＜x≤1時，m大于等于的最大值，求出最值即可確定m的取值范圍【詳解】由，得0＜x≤1，即p：0＜x≤1由4x+2x﹣m≤0得4x+2x≤m因為，要使p是q的充分條件，則當0＜x≤1時，m大于等于的最大值，令，則在上單調遞增，故當時取到最大值6，所以m≥6故答案為：m≥6【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的應用,考查函數(shù)的最值，考查轉化的思想，屬于基礎題16、【解析】利用圓錐體積公式可求得圓錐底面半徑，利用勾股定理可得母線長；根據(jù)球的表面積公式可求得結果.【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線長為，圓錐體積，，，以為半徑的球的表面積.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，依題意得到方程組，解得、，即可求出數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，再利用分組求和法求和即可；【小問1詳解】解：設等差數(shù)列的公差為，由題意，得，解得或，因為，所以【小問2詳解】解：當時，，所以18、.【解析】求得集合，根據(jù)，分和，兩種情況討論，結合二次函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】由題意，集合當時，即，解得，此時滿足，當時，要使得，則或，當時，可得，即，此時，滿足；當時，可得，即，此時，不滿足，綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.19、（1）（2）3【解析】（1）根據(jù)焦點三角形的性質可求出，從而可得標準方程,（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用公式表示三角形面積，從而可求面積的最大值.小問1詳解】△PF1F2面積達到最大時為橢圓的上頂點或下頂點，而此時∠PF1F2=，故面積最大時為等邊三角形，故，因面積的最大值為，故，故，故橢圓的標準方程為：.【小問2詳解】設，則由可得，此時恒成立.而，到的距離為,故的面積，令，設，則，故在上為增函數(shù)，故即的最大值為3.20、（1）詳見解析；（2）存在時是等差數(shù)列，詳見解析.【解析】（1）利用與的關系可得，再結合條件即證；（2）由題可得，，若是等差數(shù)列，可得，進而可求數(shù)列的通項公式，即證.【小問1詳解】∵，∴，∴，又，∴，∴，∴數(shù)列為等差數(shù)列；【小問2詳解】∵，，∴，又，∴，若是等差數(shù)列，則，即，解得，當時，由，∴數(shù)列的奇數(shù)項構成的數(shù)列為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，∴，即，為奇數(shù)，∴數(shù)列的偶數(shù)項構成的數(shù)列為首項為2，公差為2的等差數(shù)列，∴，即，為偶數(shù)，綜上可得，當時，，，故存在時，使數(shù)列是等差數(shù)列.21、（1）與相切；（2）【解析】（1）求出圓C的圓心坐標，半徑和直線l的方程，根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷直線與圓的位置關系；（2）圓與圓的方程相減，可求出公共弦所在的直線方程，然后根據(jù)圓M的圓心到公共弦所在直線的距離及圓M的半徑即可求出公共弦長.【小問1詳解】由圓，可得，所以圓心為，半徑，直線的方程為，即因為圓心到的距離為，所以與相切【小問2詳解】聯(lián)立方程可得，作