2023-2024學(xué)年湖南省婁底市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析_第1頁
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2023-2024學(xué)年湖南省婁底市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.過點(1,0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是()A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=02.橢圓的長軸長為()A. B.C. D.3.已知,若對于且都有成立,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.4.紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中,石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺(即圓錐用平行于底面的平面截去一個錐體得到的).下圖給出了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位:cm),那么該壺的容量約為()A.100 B.C.300 D.4005.已知雙曲線C:的漸近線方程是,則m=()A.3 B.6C.9 D.6.等差數(shù)列中,若,則()A.42 B.45C.48 D.517.曲線上存在兩點A,B到直線到距離等于到的距離,則()A.12 B.13C.14 D.158.為了了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,采用系統(tǒng)抽樣的方法,從中抽取容量為50的樣本,則分段的間隔為()A.20 B.25C.40 D.509.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過樣本點中心(,)C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重必為58.79kg10.已知隨機變量,且,,則為()A.0.1358 B.0.2716C.0.1359 D.0.271811.在平面直角坐標(biāo)系中,線段的兩端點,分別在軸正半軸和軸正半軸上滑動,若圓上存在點是線段的中點,則線段長度的最小值為()A.4 B.6C.8 D.1012.設(shè)命題,則為A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若圓柱的高、底面半徑均為1,則其表面積為___________14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn):平面內(nèi)到兩個定點,的距離之比為定值的點的軌跡是圓.人們將這個圓稱為阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓.已知點,,動點滿足,記動點的軌跡為曲線,給出下列四個結(jié)論:①曲線方程為;②曲線上存在點,使得到點的距離為;③曲線上存在點,使得到點的距離大于到直線的距離;④曲線上存在點,使得到點與點的距離之和為.其中所有正確結(jié)論的序號是___________.15.已知拋物線的焦點為,點為拋物線上一點,以為圓心的圓經(jīng)過原點,且與拋物線的準(zhǔn)線相切,切點為,線段交拋物線于點,則___________.16.若數(shù)列滿足,,則__________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知等差數(shù)列中,,.(1)求的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前n項和.18.(12分)設(shè)命題p:實數(shù)x滿足x≤2,或x>6,命題q:實數(shù)x滿足x2﹣3ax+2a2<0(其中a>0)(1)若a=2,且為真命題,求實數(shù)x的取值范圍;(2)若q是的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間與極值;(2)若在上有解,求實數(shù)a的取值范圍.20.(12分)已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列,首項,且成等比數(shù)列(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足,求數(shù)列的前n項和21.(12分)如圖,在直三棱柱中,,,與交于點,為的中點,(1)求證:平面;(2)求證:平面平面22.(10分)已知函數(shù).(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)存在兩個極值點,且,若,求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)出直線方程,利用待定系數(shù)法得到結(jié)果.【詳解】設(shè)與直線平行的直線方程為,將點代入直線方程可得,解得則所求直線方程為.故A正確【點睛】本題主要考查兩直線的平行問題,屬容易題.兩直線平行傾斜角相等,所以斜率相等或均不存在.所以與直線平行的直線方程可設(shè)為2、D【解析】由橢圓方程可直接求得.【詳解】由橢圓方程知:,長軸長為.故選:D.3、D【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為對于且時,都有恒成立,構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為時,恒成立,求得的導(dǎo)數(shù),轉(zhuǎn)化為在上恒成立,即可求解.【詳解】由題意,對于且都有成立,不妨設(shè),可得恒成立,即對于且時,都有恒成立,構(gòu)造函數(shù),可轉(zhuǎn)化為,函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),所以當(dāng)時,恒成立,又由,所以在上恒成立,即在上恒成立,又由,所以,即實數(shù)取值范圍為.故選:D4、B【解析】根據(jù)圓臺的體積等于兩個圓錐的體積之差,即可求出【詳解】設(shè)大圓錐的高為,所以,解得故故選:B【點睛】本題主要考查圓臺體積的求法以及數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題5、C【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線求得的值.【詳解】依題意可知,雙曲線的漸近線為,所以.故選:C6、C【解析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】依題意是等差數(shù)列,,.故選:C7、D【解析】由題可知A,B為半圓C與拋物線的交點,利用韋達(dá)定理及拋物線的定義即求.【詳解】由曲線,可得,即,為圓心為,半徑為7半圓,又直線為拋物線的準(zhǔn)線,點為拋物線的焦點,依題意可知A,B為半圓C與拋物線的交點,由,得,設(shè),則,,∴.故選:D.8、A【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣定義可求得結(jié)果【詳解】分段的間隔為故選:A9、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71,則=0.85>0,y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系,A正確;回歸直線過樣本點的中心(),B正確;該大學(xué)某女生身高增加1cm,預(yù)測其體重約增加0.85kg,C正確;該大學(xué)某女生身高為170cm,預(yù)測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg,D錯誤故選D10、C【解析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可求概率.【詳解】由題設(shè)可得,,故選:C.11、C【解析】首先求點的軌跡,將問題轉(zhuǎn)化為兩圓有交點,即根據(jù)兩圓的位置關(guān)系,求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè),,的中點為,則,故點的軌跡是以原點為圓心,為半徑的圓,問題轉(zhuǎn)化為圓與圓有交點,所以,,即,解得:,所以線段長度的最小值為.故選:C12、C【解析】特稱命題的否定為全稱命題,所以命題的否命題應(yīng)該為,即本題的正確選項為C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】根據(jù)圓柱表面積公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意得到圓柱的高,底面半徑,則表面積.故答案為:14、①④【解析】設(shè),根據(jù)滿足,利用兩點間距離公式化簡整理,即可判斷①是否正確;由①可知,圓上的點到的距離的范圍為,進(jìn)而可判斷②是否正確;設(shè),根據(jù)題意可知,再根據(jù)在曲線上,可得,由此即可判斷③是否正確;由橢圓的的定義,可知在橢圓上,再根據(jù)橢圓與曲線的位置關(guān)系,即可判斷④是否正確.【詳解】設(shè),因為滿足,所以,整理可得:,即,所以①正確;對于②中,由①可知,點在圓的外部,因為到圓心的距離,半徑為,所以圓上的點到的距離的范圍為,而,所以②不正確;對于③中,假設(shè)存在,使得到點的距離大于到直線的距離,又,到直線的距離,所以,化簡可得,又,所以,即,故假設(shè)不成立,故③不正確;對于④中,假設(shè)存在這樣的點,使得到點與點的距離之和為,則在以點與點為焦點,實軸長為的橢圓上,即在橢圓上,易知橢圓與曲線有交點,故曲線上存在點,使得到點與點的距離之和為;所以④正確.故答案為:①④.15、【解析】分析可知為等腰三角形,可得出,將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程,可求得的值,可得出拋物線的方程以及點的坐標(biāo),求出點的坐標(biāo),設(shè)點,其中,分析可知,利用平面向量共線的坐標(biāo)表示求出的值,進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】由拋物線的定義結(jié)合已知條件可知,則為等腰三角形,易知拋物線的焦點為,故,即點,因為點在拋物線上,則,解得,所以,拋物線的方程為,故點、,因為以點為圓心,為半徑的圓與直線相切于點,則,設(shè)點,其中,,,由題意可知,則,整理可得,解得,因此,.故答案為:.16、7【解析】根據(jù)遞推公式,依次求得值.【詳解】依題意,由,可知,故答案為:7三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】(1)先設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題中條件,列出方程求出首項和公差,即可得出通項公式;(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,得到,再由等比數(shù)列的求和公式,即可得出結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,因為,,所以,解得,所以;(2)由(1)可得,,即數(shù)列為等比數(shù)列,所以數(shù)列的前n項和.18、(1){x|2<x<4};(2).【解析】(1)分別求出命題和為真時對應(yīng)的取值范圍,即可求出;(2)由題可知,列出不等式組即可求解.【詳解】解:(1)當(dāng)a=2時,命題q:2<x<4,∵命題p:x≤2或x>6,,又為真命題,∴x滿足,∴2<x<4,∴實數(shù)x的取值范圍{x|2<x<4};(2)由題意得:命題q:a<x<2a;∵q是的充分不必要條件,,,解得,∴實數(shù)a的取值范圍.【點睛】結(jié)論點睛:本題考查根據(jù)充分不必要條件求參數(shù),一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷:(1)若是的必要不充分條件,則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集;(2)若是的充分不必要條件,則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集;(3)若是的充分必要條件,則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等;(4)若是的既不充分又不必要條件,則對應(yīng)的集合與對應(yīng)集合互不包含19、(1)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,函數(shù)有極小值,無極大值(2)【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,然后由極值的定義求解即可;(2)分和兩種情況分析求解,當(dāng)時,不等式變形為在,上有解,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求解的最小值,即可得到答案【小問1詳解】當(dāng)時,,所以當(dāng)時;當(dāng)時,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時函數(shù)有極小值,無極大值.【小問2詳解】因為在上有解,所以在上有解,當(dāng)時,不等式成立,此時,當(dāng)時在上有解,令,則由(1)知時,即,當(dāng)時;當(dāng)時,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,,所以,綜上可知,實數(shù)a的取值范圍是.點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題或有解問題的策略為:通常構(gòu)造新函數(shù)或參變量分離,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值從而求得參數(shù)的取值范圍20、(1);(2)【解析】(1)設(shè)數(shù)列的公差為d,根據(jù)等比中項的概念即可求出公差,再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求出答案;(2)由(1)得,再根據(jù)分組求和法即可求出答案【詳解】解:(1)設(shè)數(shù)列的公差為d,由已知得,,即,解得或,又,∴,∴;(2)由(1)得,【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式,考查數(shù)列的分組求和法,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題21、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)根據(jù)直棱柱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì),結(jié)合三角形中位線定理、線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可;(2)根據(jù)直棱柱的性質(zhì)、菱形的判定定理和性質(zhì),結(jié)合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可.【小問1詳解】在直三棱柱中,,且四邊形平行四邊形,又,則為的中點,又為的中點,故,即:,且平面,平面,所以平面;【小問2詳解】在直三棱柱中,平面,平面,則,且,,平面,故平面,因為平面,所以,

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